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　随机事件的概率
一、教材概念·结论·性质重现
1．样本点与样本空间
把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．
2．事件的相关概念
3．事件的关系与运算
(1)事件的关系
定义
表示法
图示
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)
A?B(或B?A)
相等关系
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”
A＝B?A?B且B?A
事件互斥
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥
AB＝?(或A∩B＝?)
事件对立
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
(2)事件的和与积
定义
表示法
图示
事件的和(并)
给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)
A＋B或(A∪B)
事件的积(交)
给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
AB(或A∩B)
(3)事件的混合运算
因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，例如(A)＋(B)表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.
(3)不可能事件的概率P(?)＝0.
(4)①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
③如果A?B，那么P(A)≤P(B)．
④设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
1．随机事件A，B互斥与对立的区别与联系
当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．
2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(
×
)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(
×
)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(
√
)
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(
√
)
(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(
×
)
(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(
√
)
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是
(　　)
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
D　解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是(　　)
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
B　解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件．
4．(多选题)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是　(　　)
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排尾”
D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
BCD　解析：对于A，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件．对于B，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．对于C，“甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．对于D，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件．故选BCD.
5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．
0.45　解析：由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，所以样本数据落在区间[10,40)的频率为＝0.45.
6．(2021·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．
0.35　解析：因为事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为p＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
考点1　随机事件的关系——基础性
(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　)
A．是对立事件
B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件
D．不是互斥事件
C　解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．
(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件．如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
判断互斥事件、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
1．(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”
B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”
C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”
D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”
C　解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件．故选C.
2．口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；
②B与C是互斥事件；
③C与E是对立事件；
④P(C∪E)＝1；
⑤P(B)＝P(C)．
①④　解析：显然A与D是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝，P(C)＝，⑤不正确．
考点2　随机事件的频率与概率——基础性
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率p＝＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.
因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为(　　)
A．49
B．0.5
C．0.51
D．0.49
C　解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为＝0.51.
2．(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35～50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是(　　)
A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%
B．该校教职工具有研究生学历的概率超过50%
C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
D　解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝＝＝62.5%>60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p＝＝＝37.5%<50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝＝≈8.3%<10%，故C错误；对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p＝＝＝12.5%>10%，故D正确．故选D.
考点3　互斥事件与对立事件的概率——综合性
经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．
提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．间接法体现了“正难则反”的思想方法．
1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
C　解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝.
因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
2．(2020·重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
C　解析：4人到3个车站的方法总数为CA＝36，其中小李和小明在同一车站的方法数为A＝6.因此小李和小明在同一车站的概率是p′＝＝，小李和小明不在同一车站的概率为p＝1－p′＝.故选C.　事件的独立性与条件概率及其关系、全概率公式
一、教材概念·结论·性质重现
1．条件概率
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率
表示
P(A|B)
计算公式
P(A|B)＝
性质
(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
2.事件的相互独立性
事件A与事件B相互独立
对任意的两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立)
性质
如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)
(1)易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
(2)易混淆P(B|A)与P(A|B)
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．
3．全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．
(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)相互独立事件就是互斥事件．(
×
)
(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(
×
)
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(
√
)
(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(
√
)
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B.依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A)＝＝.
3．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)
A．0.2
B．0.3
C．0.38
D．0.56
C　解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
4．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8.则甲正点到达目的地的概率为(　　)
A．0.72
B．0.96
C．0.86
D．0.84
C　解析：设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.
5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
0.128　解析：记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A.由题意知，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.
考点1　相互独立事件的概率——基础性
1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能处理器“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉完全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其中选择“芯片领域”的概率为＝，故其没有选择“芯片领域”的概率为，则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××＝.因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－＝.故选D.
2．(2020·天津市和平区高三二模)已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元)．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5，0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2，0.4，则甲、乙两人租车费用相同的概率为(　　)
A．0.18
B．0.3
C．0.24
D．0.36
B　解析：由题意知甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4.所以甲、乙两人所租车费用相同的概率为p＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.
3．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
考点2　条件概率——基础性
(1)2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家．设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，
则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，P(A|B)＝＝.故选A.
(2)一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．
解：如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，
所以n(AB)＝1，
所以P(AB)＝，P(A|B)＝＝.
求条件概率的两种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是求条件概率的通法．
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝.
1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求的概率为P(B|A)＝＝＝.
2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
　　解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝.
P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率．因为“三个点数都不相同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P(B|A)＝.
考点3　全概率公式——基础性
甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，
这2个产品都是次品的事件数为C＝3.
所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，
P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.
通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因．如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中．
(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生．
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和．
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合．
一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率．
解：A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}．
因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝0.6.

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