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第一章
集合、常用逻辑用语与不等式301
第四讲　基本不等式
考点测评
1.[2020河南驻马店模拟]设0(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.aB.a<C.a<D.2.[多选题]下列结论不正确的为
(　　)
A.函数y=x+的最小值是2
B.函数f(x)=cos
x+,x∈(0,)的最小值为4
C.“x>0且y>0”是“+≥2”的充分不必要条件
D.若a>0,则a3+的最小值为2
3.[2019天津高考]设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　.?
4.[2017
江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　.?
5.[2015山东高考]定义运算“?”：x?y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x?y+(2y)
?
x的最小值为　　　.?
知识回顾
提升能力
考法1
利用基本不等式求最值　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题角度1　利用拼凑法求最值
例1：
（1）[2019辽宁两校联考]已知a>b>0,则a+的最小值为
A.　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.3
(2)设0-
2x)的最大值为　　　　.?
【解题思路】
（1）观察式子的结构特征→将a用后面两个式子的分母表示,凑出积为定值的形式→利用基本不等式求最值
(2)观察式子的结构特征→拼系数,凑出和为定值的形式→利用基本不等式求最值
【解析】
（1）因为a=[(a+b)+(a
-
b)],
所以a+(a+b)+(a
-
b)+.
(变形凑成积为定值)
因为a>b>0,
所以a+b>0,a
-
b>0.
由基本不等式可得(a+b)+≥2=2　①,当且仅当(a+b)=,即a+b=2时,等号成立;
(a
-
b)+≥2　②,
当且仅当(a
-
b)=,即a
-
b=时,等号成立.
由解得
(检验等号成立的条件)
所以当时,①②中的等号同时成立.
故a+的最小值为2=3.
(2)y=4x(3
-
2x)=2[2x(3
-
2x)]≤2[]2=,当且仅当2x=3
-
2x,即x=时,等号成立.
因为∈(0,),
所以函数y=4x(3
-
2x)(0命题角度2　利用常数代换法求最值
例2：直线2mx
-
ny
-
2=0(m>0,n>0)过点(1,
-
2),则的最小值为
A.2
B.6
C.12
D.3+2
【解题思路】
把点的坐标代入直线的方程得m与n的关系式→进行“1”的代换→利用基本不等式求最值
【解析】
因为直线2mx
-
ny
-
2=0(m>0,n>0)过点(1,
-
2),
所以2m+2n
-
2=0,即m+n=1,
所以=()(m+n)=3+≥3+2,
(运用“1”的代换求解)
当且仅当,即n=m时取等号,
所以的最小值为3+2.
【答案】D
命题角度3　利用消元法求最值
例3：[2019辽宁五校联考]已知正实数a,b满足ab
-
b+1=0,则+4b的最小值是　　　　.?
【解题思路】先将已知等式变形,可得a=,然后对+4b=+4b进行合理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可.
【解析】
由ab
-
b+1=0可得a=,由a=>0且b>0得b>1,
所以+4b=+4b=+4(b
-
1)+5.
易知+4(b
-
1)≥4,所以+4b≥9,当且仅当=4(b
-
1),即b=,a=时等号成立,故+4b的最小值是9.
【变式练习
牛刀小试】
1.(1)[2018天津高考]已知a,b∈R,且a
-
3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　.?
(2)[2017
山东高考]若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　.?
考法2
利用基本不等式解决实际问题
例4：经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3
-
(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
【解题思路】
题中信息
对接方法
年销售量、年促销费用
由题中信息确定k值,进而明确两者关系.
销售价格、成本
销售价格、成本用年销售量x与年促销费用m表示,构建关于m的关系式.
利润最大
利用基本不等式求解.
【解析】
(1)由题意可知,当m=0时,x=1,
∴1=3
-
k,解得k=2,即x=3
-
,
(代值定参数)
每1万件产品的销售价格为1.5×(万元),
∴2019年的利润y=x(1.5×)
-
(8+16x+m)
(建模,利润=总收入
-
总投入)
=4+8x
-
m
=4+8(3
-
)
-
m
=28
-
-
m(m≥0).
∴y与m之间的函数关系式是y=28
-
-
m(m≥0).
(2)由(1)知y=
-
[+(m+1)]+29(m≥0).
∵
当m≥0时,+(m+1)≥2=8,
(利用基本不等式求最值)
当且仅当=m+1,即m=3时取等号,∴y≤
-
8+29=21,
即当m=3时,y取得最大值,为21.
∴当该厂家2019年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元.
【点评】本题主要考查阅读理解能力、建模能力以及基本不等式的应用.这类与实际问题相结合的题也是高考命题的热点,解决这类问题的关键是仔细读题,提取有效信息,将文字语言转化为数学语言,建立数学模型进行求解.
【变式练习
牛刀小试】
2.[2019江苏南京三模]某工厂有100名工人接受了生产1
000台某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每名工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组,分别加工甲型和乙型装置,设加工甲型装置的工人有x名,他们加工完甲型装置所需时间为t1时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2时,设f
(x)=t1+t2.
(1)求f
(x)的解析式,并写出其定义域;
(2)当x等于多少时,
f
(x)取得最小值?
考法3
利用基本不等式证明不等式
例5：(1)已知a,b,c∈R,求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c);
(2)设a,b均为正实数,求证：+ab≥2.
【解析】
(1)∵
a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,当且仅当a4=b4=c4时取等号,
∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,当且仅当a2=b2=c2时取等号,c2a2+a2b2≥2a2bc,
∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),
即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).
∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
(2)∵
a,b均为正实数,
∴≥2,当且仅当,即a=b时等号成立.
∵
+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,
所以+ab≥+ab≥2,
当且仅当即a=b=时取等号.
(多次使用不等式,等号要同时成立)
【反思】
本题先局部运用基本不等式,然后利用不等式的性质,通过不等式相加(有时相乘)综合推出待证的不等式,这种证明方法是证明这类轮换对称不等式的常用方法.
【变式练习
牛刀小试】
3.已知a>0,b>0,a+b=1,
求证：(1+)(1+)≥9.
易错
连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错
例6
[2017天津高考]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　.?
【解析】
因为ab>0,
所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当时等号成立,
(连续使用两次基本不等式,两个等号成立的条件要一致)
故的最小值是4.
【素养探源】
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
找出a4+4b4与ab的关系,利用基本不等式求最值.
二
数学运算
基本不等式的应用,等号成立的条件的求解.
一
【变式练习
牛刀小试】
4.[2019安徽合肥二模]若a+b≠0,则a2+b2+的最小值为　　　　.?
第四讲《基本不等式》测试
基础篇
1.[2020四省八校联考]若a>0，b>0，ab=2，则a+2b的最小值为
(　　)
A.2
B.4
C.4
D.6
2.已知关于x的不等式x2
-
4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，则x1+x2+的最大值是
(　　)
A.
B.
C.
D.-
3.[2020惠州市二调][双空题]设x，y为正数，若x+=1，则的最小值是　　　　，此时x=　　　　.?
4.[2020惠州市一调]已知x，则函数y=4x+的最小值为　　　　.?
5.[2020江苏扬州中学阶段检测]已知正数x，y，z满足(x+2y)(y+z)=4yz，且z≤3x，则的取值范围是　　　　.?
提升篇
6.[多选题]已知a>1，b>1且ab
-
(a+b)=1，那么下列结论正确的是
(　　)
A.a+b有最小值2+2
B.a+b有最大值2+2
C.ab有最大值1+
D.ab有最小值3+2
7.[2020合肥市调研检测]若直线l：ax
-
by+2=0(a>0，b>0)经过圆x2+y2+2x
-
4y+1=0的圆心，则的最小值为
(　　)
A.2
B.
C.2+1
D.
8.[2019福建宁德市、福鼎市三校联考]已知正数a，b，c满足4a
-
2b+25c=0，则lg
a+lg
c
-
2lg
b的最大值为
(　　)
A.
-
2
B.2
C.
-
1
D.1
9.直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，则a+b+ab的最大值为
(　　)
A.1
B.-1
C.+
D.+1
10.[2020湖南师大附中高三摸底测试]已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得am·an=16，则的最小值为　　　　.?
11.[2020四川天府名校第一轮联考]已知实数a>b>c>0，若不等式≥0恒成立，则k的最大值是　　　　.?
12.[2019湖南湘潭模拟]某单位有员工1
000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，该单位决定优化产业结构，调整出x(x∈N
)名员工从事第三产业，调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a
-
0.8x%)(a>0)万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1
000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1
000名员工创造的年总利润的条件下，若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的取值范围.
参考答案与解析
基本不等式
考点测评
1.B　因为0-
()<0，故a<；因为b
-
>0，所以b>；由基本不等式知.综上所述，a<2.ABD　对于A，当x<0时，y≤
-
2，故A错误；对于B，易知当且仅当cos
x=2时f
(x)取最小值，但cos
x不可能为2，所以等号不可能成立，故B错误；对于C，当x<0且y<0时，不等式≥2也成立，故C正确；2不是定值，故D错误.选ABD.
3.4　=2.由x+2y=5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x=2y=时等号成立.2≥2=4，当且仅当2，即xy=3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.
4.30　一年购买
次，则总运费与总存储费用之和为6+4x=4(+x)≥8=240，当且仅当x=30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
5.　因为x>0，y>0，所以x?y+(2y)?x=()≥，当且仅当，即x=y时取等号.故x?y+(2y)?x的最小值为.
【变式练习
牛刀小试】
1.(1)　由a
-
3b+6=0，得a=3b
-
6，则2a+=23b
-
6+≥2=2×2
-
3=，当且仅当23b
-
6=，即b=1时等号成立，故2a+的最小值为.
(2)8　∵直线=1(a>0，b>0)过点(1，2)，∴=1.∵a>0，b>0，∴2a+b=(2a+b)()=4+≥4+2=8，当且仅当和=1同时成立，即a=2，b=4时等号成立，∴2a+b的最小值为8.
2.(1)易知t1=，t2=，则f
(x)=t1+t2=，定义域为{x|1≤x≤99，x∈N
}.
(2)f
(x)==1
000()=10[x+(100
-
x)]()=10[10+].
因为f
(x)的定义域为{x|1≤x≤99，x∈N
}，所以>0，>0，故≥2=6，当且仅当，即x=75时取等号.
故当x=75时，
f
(x)取得最小值.
3.解法一　∵a>0，b>0，a+b=1，∴1+=1+=2+.
同理，1+=2+.
∴(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2()≥5+4=9，当且仅当，即a=b=时取等号.
∴(1+)(1+)≥9，当且仅当a=b=时等号成立.
解法二　(1+)(1+)=1+=1+=1+.
∵a>0，b>0，a+b=1，
∴ab≤()2=，当且仅当a=b=时取等号.
∴≥4，≥8，当且仅当a=b=时取等号.
∴(1+)(1+)≥1+8=9，当且仅当a=b=时等号成立.
4.　解法一　因为2ab≤a2+b2，所以(a+b)2≤2(a2+b2).
由a+b≠0，知a2+b2+≥a2+b2+≥2，
当且仅当a=b且a2+b2=，即a=b=±时两个等号同时成立.
故a2+b2+的最小值为.
解法二　因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥(a+b)2，
所以a2+b2≥，
所以a2+b2+≥≥2，
当且仅当a=b且，即a=b=±时两个等号同时成立.
故a2+b2+的最小值为.
基础篇
1.B　因为a>0，b>0，ab=2，所以a+2b≥2=4，当且仅当即时取等号.故选B.
2.D　∵不等式x2
-
4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1，x2)，
∴在方程x2
-
4ax+3a2=0中，由根与系数的关系知x1x2=3a2，x1+x2=4a，则x1+x2+=4a+.
∵a<0，
∴
-
(4a+)≥2，当且仅当4a=，即a=
-
时等号成立.∴4a+≤
-
，故x1+x2+的最大值为
-
.故选D.
3.4　　因为x+=1，x>0，y>0，所以=()(x+)=2+≥2+2=4，当且仅当，即x=，y=1时等号成立，所以的最小值为4，此时x=.
4.7　解法一　当x>时，y=4x+=4x
-
5++5≥2+5=7，当且仅当4x
-
5=，即x=时取等号，故y=4x+的最小值为7.
解法二　由题意得y'
=4
-
，x>.令y'
=0，得x=.当<0，函数y=4x+单调递减；当x>时，y'
>0，函数y=4x+单调递增.所以当x=时，函数y=4x+取得最小值，即ymin=4=7.
5.[，]　由(x+2y)(y+z)=4yz，得xy+2y2+xz=2yz，z=≤3x.又x，y，z为正数，所以2y
-
x>0，xy+2y2≤6xy
-
3x2，所以3x2+2y2≤5xy.因为3x2+2y2≥2xy，当且仅当x=y时等号成立，所以≤，≥，所以的取值范围为[，].
提升篇
6.AD　由ab
-
(a+b)=1得ab=1+(a+b)≤()2(当且仅当a=b>1时取等号)，即(a+b)2
-
4(a+b)
-
4≥0且a+b>2，解得a+b≥2+2.∴a+b有最小值2+2，故A正确，B错误.由ab
-
(a+b)=1得ab
-
1=a+b≥2(当且仅当a=b>1时取等号)，即ab
-
2
-
1≥0且ab>1，解得ab≥3+2，∴ab有最小值3+2，故D正确，C错误.故选AD.
7.D　直线ax
-
by+2=0(a>0，b>0)经过圆x2+y2+2x
-
4y+1=0的圆心，所以圆x2+y2+2x
-
4y+1=0的圆心(
-
1，2)在直线ax
-
by+2=0上，可得
-
a
-
2b+2=0，即a+2b=2，所以(a+2b)()=()≥，当且仅当，即a=2
-
2，b=2
-
时等号成立，所以的最小值为，故选D.
8.A　由4a
-
2b+25c=0，变形为4a+25c=2b.∵4a+25c≥2，当且仅当4a=25c时等号成立，∴2b≥2，即b2≥100ac.∴lg
a+lg
c
–
2lg
b=lg≤lg
10
-
2=
-
2，故选A.
9.C　∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切，∴圆心O(0，0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径，即=1，∴a2+b2=1.易知a+b+ab的最大值一定在a>0，b>0时取得，∴a+b+ab=+ab=+ab.令=t，则ab=.
∵ab≤(当且仅当a=b=时取“=”)且ab>0，
∴1-
(t+1)2
-
1，
∴当t=时，(a+b+ab)max=.故选C.
10.　设正项等比数列{an}的公比为q，且q>0，由
a7=a6+2a5，得a1q6=a1q5+2a1q4，即q2
-
q
-
2=0，解得q=2.
由am·an=16，得qm+n
-
2=16，所以2m+n
-
2=24，得m+n=6.
()=(1++9)≥，
当且仅当即时取等号，
因为m，n为正整数，所以等号不成立，所以.
验证可得当m=2，n=4时，取得最小值，最小值为.
11.4　因为a>b>c>0，所以a
-
b>0，b
-
c>0，a
-
c>0，由不等式≥0恒成立，得k≤=1++1+恒成立.
因为≥2=2，当且仅当b
-
c=a
-
b时取等号，所以k的最大值是4.
12.(1)由题意得10(1
000
-
x)(1+0.4x%)≥10×1
000，即x2
-
750x≤0，又x>0，所以0(2)易知调整出的员工创造的年总利润为10(a
-
)x万元，剩余员工创造的年总利润为10(1
000
-
x)(1+)万元，
则10(a
-
)x≤10(1
000
-
x)(1+)，化简得ax≤+1
000+3x，
即a≤+3对任意的x∈(0，750]恒成立.
易知≥2=4，当且仅当，即x=500时等号成立，则+3≥7，所以a≤7，又a>0，所以0故a的取值范围是{a|021世纪教育网
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精品试卷·第
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