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6
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第三讲　二次函数与幂函数
考点测评
1.[多选题]下列说法正确的是
(　　)
A.二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是
B.二次函数y=x2+mx+1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2
C.幂函数的图象不可能出现在第四象限
D.当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数
2.[2017浙江高考]若函数f
(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M
-
m
(　　)
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
3.[2020南阳模拟]已知点(m,9)在幂函数f
(x)=(m
-
2)xn的图象上,设a=f
(),b=f
(ln
),c=f
(),则a,b,c的大小关系为
(　　)
A.aB.bC.cD.b4.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图2
-
3
-
1所示,则a,b,c,d的大小关系是(　　)
A.d>c>b>a　B.a>b>c>d
C.d>c>a>b　D.a>b>d>c
图
2
-
3
-
1
5.[2018上海高考]已知α∈{
-
2,
-
1,
-
,,1,2,3},若幂函数f
(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,
则α=　　　　.?
【知识回顾
查漏补缺】
考法1
二次函数的图象及应用
例1
[多选题]对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a
-
1)x2
-
x在同一坐标系内的图象不可能是
【解析】
当0-
1)x2
-
x的图象开口向下,对称轴为直线x=<0,C，D中的图象均不可能；当a>1时,y=logax为增函数,y=(a
-
1)x2
-
x的图象开口向上,对称轴为直线x=>0,则
B中图象不可能，A中图象可能..
【答案】BCD
【变式练习
牛刀小试】
1.如果函数f
(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f
(1+x)=f
(
-
x),那么
(　　)　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
A.f
(0)(2)(
-
2)
B.f
(0)(
-
2)(2)
C.f
(2)(0)(
-
2)
D.f
(
-
2)(0)(2)
考法2
二次函数的性质及应用
命题角度1　二次函数的最值
例2已知函数f
(x)=
-
x2+2ax+1
-
a在0≤x≤1时有最大值2,则实数a的值为　　　　.?
【解题思路】
函数解析式函数图象的对称轴为直线x=a讨论a取不同值时,直线x=a与[0,1]的位置关系根据最值求出参数
【解析】(数形结合思想和分类讨论思想的应用)易知y=
-
x2+2ax+1
-
a(x∈R)的图象的对称轴为直线x=a.
当a<0时,函数f
(x)=
-
x2+2ax+1
-
a(0≤x≤1)的图象如图2
-
3
-
2(1)中实线部分所示,当x=0时,y有最大值ymax=f
(0)=1
-
a,
∴1
-
a=2,即a=
-
1.
当0≤a≤1时,函数f
(x)=
-
x2+2ax+1
-
a(0≤x≤1)的图象如图2
-
3
-
2(2)中实线部分所示,当x=a时,y有最大值ymax=f
(a)=
-
a2+
2a2+1
-
a=a2
-
a+1.
∴a2
-
a+1=2,解得a=.
图2
-
3
-
2
∵
0≤a≤1,∴a=不满足题意.
当a>1时,函数f
(x)=
-
x2+2ax+1
-
a(0≤x≤1)的图象如图2
-
3
-
2(3)中实线部分所示,当x=1时,y有最大值ymax=f
(1)=a=2,∴a=2.
综上可知,a的值为
-
1或2.
【变式练习
牛刀小试】
2.(1)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“在0≤x≤1时有最小值2”,则实数a的值为　　　　.?
(2)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f
(x)≤2在[0,1]上恒成立”,则实数a的取值范围为　　　　.?
(3)将示例2中的条件“在0≤x≤1时有最大值2”改为“f
(x)≥2在[a,a+1]上恒成立”,则实数a的取值范围为　　　　.?
命题角度2　二次函数与不等式恒成立问题
例3
[2020河北沧州七校联考]已知两函数f
(x)=8x2+16x
-
k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[
-
3,3],都有f
(x)≤g(x)成立,则k的取值范围为　　　　；?
(2)存在x∈[
-
3,3],使f
(x)≤g(x)成立,则k的取值范围为　　　　；?
(3)对任意x1,x2∈[
-
3,3],都有f
(x1)≤g(x2),则k的取值范围为　　　　.?
【解析】
(1)设h(x)=f
(x)
-
g(x)=6x2+12x
-
4
-
k,将原问题转化为x∈[
-
3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数性质可知h(x)max=h(3)=86
-
k,由86
-
k≤0,得k≥86.
(2)由题意知,“存在x∈[
-
3,3],使f
(x)≤g(x)成立”等价于“h(x)=f
(x)
-
g(x)=6x2+12x
-
4
-
k≤0在[
-
3,3]上有解”,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(
-
1)=
-
10
-
k,由
-
10
-
k≤0,得k≥
-
10.
(3)对任意x1,x2∈[
-
3,3],都有f
(x1)≤g(x2)成立,所以f
(x)max≤g(x)min,x∈[
-
3,3].由二次函数的性质可得f
(x)max=f
(3)=120
-
k,g(x)min=
g(
-
1)=2.所以120
-
k≤2,解得k≥118.
【点评】
不等式恒成立问题一般可等价转化为最值问题求解.本题的三小问表面上非常相似,但其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确掌握不等式成立的充要条件.
【变式练习
牛刀小试】
3.已知函数f
(x)=x2
-
2ax+5(a>1).
(1)若函数f
(x)的定义域和值域均为[1,a],则实数a的值为　　　　；?
(2)若f
(x)在区间(
-
∞,2]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f
(x1)
-
f
(x2)|≤4,则实数a的取值范围为　　　　.?
考法3
幂函数的图象与性质的应用
例4
在同一直角坐标系中,函数f
(x)=xa(x>0),g(x)=loga
x的图象可能是
　　A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　
D
【解析】
当a>1时,y=xa与y=logax均为增函数,但y=xa递增越来越快,排除C；当0【答案】D
例5比较下列各组数的大小.
(1)1.,0.,1；(2)(
-
,(
-
,(
-
1.1.
【解析】
(1)把1看作,易知幂函数y=在(0,+∞)上是增函数.∵
0<0.9<1<1.1
,
∴0.<1..即0.<1<1..
(2)∵
(
-
-
=(,(
-
=(
-
-
=(,(
-
1.1=(1.12=1.2,
幂函数y=在(0,+∞)上是增函数,且<1.21,
∴(
-
<(
-
<(
-
1.1.
例6当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2
-
m
-
1)x
-
5m
-
3为减函数,则实数m的值为
A.m=2
B.m=
-
1
C.m=
-
1或m=2
D.m≠
【解题思路】
由幂函数知m2
-
m
-
1=1由函数在(0,+∞)上为减函数,得幂指数小于0求得m的值,得出结论
【解析】因为函数y=(m2
-
m
-
1)x
-
5m
-
3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以解得m=2.
【答案】A
【变式练习
牛刀小试】
4.若(2m+1>(m2+m
-
1,则实数m的取值范围是　　　　.?
数学探究　二次函数的零点分布的类型及解题方法
例7
m为何值时,f
(x)=x2+2mx+3m+4满足下列条件.
(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且均比
-
1大.
【解题思路】先将二次函数的零点满足的条件用准确的式子表示出来,然后求解即可.
【解析】
(1)由f
(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,可知方程f
(x)=0有两个相等实根,故Δ=0,即4m2
-
4(3m+4)=0,即m2
-
3m
-
4=0,∴m=4或m=
-
1.
(2)解法一　设f
(x)的两个零点分别为x1,x2,
则x1+x2=
-
2m,x1·x2=3m+4.
由题意,知即解得
∴
-
5-
1.故m的取值范围为(
-
5,
-
1).
解法二　由题意,知即
∴
-
5-
1.
∴m的取值范围为(
-
5,
-
1).
【变式练习
牛刀小试】
5.(1)若二次函数f
(x)=x2
-
2x+m在区间(1,4)内存在零点,则实数m的取值范围是　　　　.?
(2)若方程x2+(k
-
2)x+2k
-
1=0的两根中,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,则实数k的取值范围是　　　　.?
第三讲　《二次函数与幂函数》测试
基础篇
1.[2020浙江联考]在同一直角坐标系中，函数y=ax2+bx，y=ax
-
b(a>0且a≠1)的图象可能是
(　　)
2.
[2020南阳一中模拟]“函数f
(x)=
-
x2+2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是
(　　)
A.1B.1C.2≤m≤3
D.23.[2020贵州省安顺市第一次联考]已知a=(，b=(，c=log3，则
(　　)
A.cB.aC.bD.c4.[2020湖南长沙雅礼中学模拟]如果f
(x)=ax2
-
(2
-
a)x+1在区间(
-
∞，]上为减函数，则a的取值范围是
(　　)
A.(0，1]
B.[0，1)
C.[0，1]
D.(0，1)
5.[2020山西省吕梁市高三阶段测试]已知函数f
(x)=x2
-
2x+3在区间[m，m+2]上的最大值为6，则m的取值集合为
(　　)
A.{
-
1，3}
B.{
-
1，1}
C.{
-
3，1}
D.{
-
3，3}
6.[2020沈阳市东北育才学校模拟]已知函数y=f
(x)为偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，则y=f
(2
-
x2)的一个单调递增区间为
(　　)
A.(
-
∞，0]
B.[0，+∞)
C.[0，]
D.[，+∞)
7.[2019皖中名校第二次联考]设a∈R，若函数f
(x)在区间(0，+∞)上是增函数，则
(　　)
A.f
(a2+a+2)>f
()
B.f
(a2+a+2)()
C.f
(a2+a+2)≥f
()
D.f
(a2+a+2)≤f
()
8.[易错题]函数f
(x)=ax2+3x
-
a(a∈R)
(　　)
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
D.有一个零点或有两个零点
9.[2019衡水模拟]已知函数f
(x)=(m+2)是幂函数，设a=log54，b=lo，c=0.5
-
0.2，则f
(a)，f
(b)，f
(c)的大小关系是
(　　)
A.f
(a)(b)(c)
B.f
(b)(c)(a)
C.f
(c)(b)(a)
D.f
(c)(a)(b)
10.[2019湖北、山东部分重点中学第一次联考]已知函数y=4x
-
3·2x+3，若其值域为[1，7]，则x可能的取值范围是
(　　)
A.[2，4]
B.(
-
∞，0]
C.(0，1]∪[2，4]
D.(
-
∞，0]∪[1，2]
11.[2020河南周口一检]函数y=loga(x
-
1)+4的图象恒过定点P，点P在幂函数f
(x)的图象上，则f
(3)=　　　　.?
12.[2020惠州市一调]设函数f
(x)=则f
(
-
3)=　　　　.?
13.[2020南阳市第一中学第三次月考]已知幂函数f
(x)=(m2
-
3m+3)·xm+1为奇函数，则不等式f
(2x
-
3)+f
(x)>0的解集为　　　　.?
14.[2019蓉城名校高三第一次联考]若?x∈R，2x2
-
mx+3≥0恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.
?
15.[2019湖南省邵阳市高三大联考]若对任意的x∈[a，a+2]，均有(3x+a)3≤8x3，则a的取值范围是　　　　.?
提升篇
16.[交汇题]已知函数f
(x)=x2+(a+8)x+a2+a
-
12(a<0)，且f
(a2
-
4)=f
(2a
-
8)，则
(n∈N
)的最小值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
17.[2020江苏镇江一中模拟]已知函数f
(x)是定义在[2
-
a，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且f
(
-
m2
-
)>f
(
-
m2+2m
-
2)，则实数m的取值范围是　　　　.?
18.[2019广东省茂名市五校联考]已知函数f
(x)=x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f
(x)-
1，3)，则满足f
(3t
-
m)19.[2019江西红色七校联考]定义:如果函数f
(x)在[a，b]上存在x1，x2(a'
(x1)
=f
'
(x2)
=，则称函数f
(x)是[a，b]上的“中值函数”.已知函数f
(x)
=x3x2+m是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是　　　　.?
参考答案与解析
二次函数与幂函数
考点测评
1.BCD　因为x的取值有范围限制，所以函数最值不一定是，故A错误；由
-
≤1得，m≥
-
2，故B正确；由幂函数的图象与性质可知C，D正确.故选BCD.
2.B　由题意得f
(x)=(x+)2
-
+b，分情况讨论:①当0≤
-
≤1时，f
(x)min=m=f
(
-
)=
-
+b，f
(x)max=M=max{f
(0)，f
(1)}=max{b，1+a+b}，∴M
-
m=max{，1+a+}与a有关，与b无关；②当
-
<0时，f
(x)在[0，1]上单调递增，∴M
-
m=f
(1)
-
f
(0)=1+a与a有关，与b无关；③当
-
>1时，f
(x)在[0，1]上单调递减，∴M
-
m=f
(0)
-
f
(1)=
-
1
-
a与a有关，与b无关.综上所述，M
-
m与a有关，但与b无关，故选B.
3.A　∵f
(x)=(m
-
2)xn为幂函数，∴m
-
2=1，得m=3.∴f
(3)=3n=9，得n=2.∴f
(x)=x2，∴f
(x)为偶函数且在(0，+∞)上单调递增.易知a=f
()，c=f
()，b=
f
(ln
)=f
(
-
ln
3)=f
(ln
3).∵[(]6=<[(]6=，∴c>a.又ln
3>1>，∴a4.B　由幂函数的图象可知，在(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
5.
-
1　∵α∈{
-
2，
-
1，
-
，，1，2，3}，幂函数f
(x)=xα为奇函数，且在(0，+∞)上递减，∴α是奇数，且α<0，∴α=
-
1.
【变式练习
牛刀小试】
1.A　由f
(1+x)=f
(
-
x)知函数f
(x)的图象的对称轴为直线x=，而抛物线的开口向上，且|0
-
|=，|2
-
|=，|
-
2
-
|=，根据到对称轴的距离越远的点对应的函数值越大得f
(
-
2)>f
(2)>f
(0).故选A.
2.(1)?　易知函数f
(x)=
-
x2+2ax+1
-
a(0≤x≤1)的最小值在端点处取得，故或即或无解，故a的取值范围为?.
(2)[
-
1，2]　由题意知f
(x)max≤2，由示例2可知，
①解得
-
1≤a<0；
②解得0≤a≤1；
③解得1综上，a的取值范围是[
-
1，2].
(3)(
-
∞，
-
1]∪[2，+∞)　由示例2可知f
(x)在[a，a+1]上的最小值为f
(a+1)，由题意知f
(x)min≥2，∴f
(a+1)≥2.即
-
(a+1)2+2a(a+1)+1
-
a≥2，
解得a≥2或a≤
-
1.
3.(1)2　因为f
(x)=x2
-
2ax+5在(
-
∞，a]上单调递减，
所以f
(x)=x2
-
2ax+5(a>1)在[1，a]上单调递减，
所以f
(x)max=f
(1)=6
-
2a=a，f
(x)min=f
(a)=
-
a2+5=1，解得a=2.
即实数a的值为2.
(2)2≤a≤3　因为f
(x)在(
-
∞，2]上单调递减，函数f
(x)的对称轴为直线x=a，所以a≥2.
所以f
(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a+1]上单调递增，
所以f
(x)min=f
(a)=5
-
a2，f
(x)max=max{f
(1)，f
(a+1)}，
又f
(1)
-
f
(a+1)=6
-
2a
-
(6
-
a2)=a(a
-
2)≥0，
所以f
(x)max=f
(1)=6
-
2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f
(x1)
-
f
(x2)|≤4，
所以f
(x)max
-
f
(x)min≤4，即6
-
2a
-
(5
-
a2)≤4，解得
-
1≤a≤3，
又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.
4.≤m<2　因为函数y=的定义域为[0，+∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于
解2m+1≥0，得m≥
-
；
解m2+m
-
1≥0，得m≤或m≥；
解2m+1>m2+m
-
1，即m2
-
m
-
2<0，得
-
1综上，实数m的取值范围是≤m<2.
5.(1)(
-
8，1)　二次函数f
(x)的图象的对称轴方程为x=1.若在区间(1，4)内存在零点，只需f
(1)<0且f
(4)>0即可，即
-
1+m<0且8+m>0，解得
-
8(2)(，)　设函数f
(x)=x2+(k
-
2)x+2k
-
1，结合图D
2
-
3
-
1，
图D
2
-
3
-
1
可知即解得即基础篇
1.D　本题考查函数的图象.分a>1和01时，由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知，b>0，则A选项中二次函数图象不符，D选项符合.当02.B　f
(x)=
-
x2+2mx图象的对称轴为直线x=m，若函数f
(x)=
-
x2+2mx在区间[1，3]上不单调，则1(x)=
-
x2+2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是13.D　由指数函数的单调性可知0a>0.而c=log34.C　由题意，当a=0时，可得f
(x)=
-
2x+1在R上单调递减，满足题意；当a<0时，显然不成立；当a>0时，要使f
(x)在(
-
∞，]上为减函数，则≥，解得a≤1，∴05.B　f
(x)=x2
-
2x+3=(x
-
1)2+2.①当|m
-
1|≥|m+2
-
1|即m≤0时，f
(x)max=f
(m)，又f
(x)max=6，即m2
-
2m+3=6，解得m=
-
1；②当|m
-
1|<|m+2
-
1|即m>0时，f
(x)max=f
(m+2)，又f
(x)max=6，即(m+2)2
-
2(m+2)+3=6，解得m=1.综上可得m=
-
1或m=1，故选B.
6.C　由y=f
(x)为偶函数，可得y=f
(2
-
x2)也为偶函数.令m=2
-
x2，则y=f
(m)在[0，+∞)上单调递减，在(
-
∞，0)上单调递增.因为m=2
-
x2在(0，+∞)上单调递减，且当0≤x≤时，m≥0，所以m=2
-
x2在[0，]上单调递减，此时，y=f
(m)也单调递减，所以f
(2
-
x2)在[0，]上单调递增，故选C.
7.C　因为a2+a+2=(a+)2+≥，且函数f
(x)在区间(0，+∞)上是增函数，所以f
(a2+a+2)≥f
().
8.D　当a≠0时，Δ=9+4a2>0，函数f
(x)有两个零点.当a=0时，f
(x)=3x，此时f
(x)有一个零点.因此原函数有一个零点或有两个零点.
9.D　∵f
(x)=(m+2)为幂函数，∴m+2=1，解得m=
-
1，∴f
(x)=x
-
2，∴f
(x)在区间(0，+∞)上为减函数.∵0-
0.2>0.50=1，
∴0(c)(a)(b).故选D.
10.D　令t=2x，则y=t2
-
3t+3=(t
-
)2+.当x≤0或1≤x≤2时，011.9　由题意可知P(2，4)，设f
(x)=xα，则2α=4，解得α=2，所以f
(x)=x2.所以f
(3)=9.
12.4　f
(
-
3)=f
(
-
3+2)=f
(
-
1)=f
(1)=12+3=4.
13.(1，+∞)　因为f
(x)=(m2
-
3m+3)·xm+1是幂函数，所以m2
-
3m+3=1，所以m=1或2.又f
(x)=xm+1是奇函数，所以m=2，所以f
(x)=x3且f
(x)在R上单调递增.因为f
(2x
-
3)+f
(x)>0，所以f
(2x
-
3)>f
(
-
x)，所以2x
-
3>
-
x，解得x>1.
14.[
-
2，2]　根据题意知，2x2
-
mx+3=0最多有一个实数根，所以Δ=(
-
m)2
-
4×2×3≤0，解得
-
2≤m≤2，即m∈[
-
2，2].
15.(
-
∞，
-
1]　由题可得，(3x+a)3≤(2x)3，因为y=x3在R上单调递增，所以3x+a≤2x，即x+a≤0在x∈[a，a+2]时恒成立，所以2a+2≤0，即a≤
-
1.
提升篇
16.A　二次函数f
(x)=x2+(a+8)x+a2+a
-
12图象的对称轴为直线x=
-
，由f
(a2
-
4)=f
(2a
-
8)及二次函数的图象，可以得出=
-
，解得a=
-
4或a=1.又a<0，∴a=
-
4，∴f
(x)=x2+4x，∴=n+1++2≥2+2=2+2，当且仅当n+1=，即n=
-
1时等号成立.又n∈N
且2<
-
1<3，当n=2时，，当n=3时，+2=，∴(n∈N
)的最小值为.故选A.
17.[1
-
，)　由函数f
(x)是定义在[2
-
a，3]上的偶函数，得2
-
a+3=0，所以a=5，所以f
(
-
m2
-
)>f
(
-
m2+2m
-
2)即f
(
-
m2
-
1)>f
(
-
m2+2m
-
2).又易知偶函数f
(x)在[
-
3，0]上单调递增，而
-
m2
-
1<0，
-
m2+2m
-
2<0，所以解得1
-
≤m<.
18.(1，log37)　由函数f
(x)=x2+bx+c(b，c∈R)的值域为[0，+∞)知，Δ=b2
-
4c=0，所以c=.不等式f
(x)-
-
，所以2=4，解得m=4，所以
-
1<3t
-
4<3，解得119.(，)　由题意，知f
'
(x)=x2
-
x在[0，m]上存在x1，x2(0'
(x1)=f
'
(x2)=m2
-
m，所以方程x2
-
x=m2
-
m在(0，m)上有两个不相等的解.令g(x)=x2
-
x
-
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精品试卷·第
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