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第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
第一讲　函数及其表示
考点测评
1.下列说法中正确的个数是
(　　)
(1)f
(x)=是一个函数.
(2)已知f
(x)=m(x∈R),则f
(m3)=m3.
(3)y=ln
x2与y=2ln
x表示同一函数.
(4)f
(x)=则f
(
-
x)=
A.0
B.1
C.2
D.3
2.[多选题]已知函数f
(x)的图象如图2
-
1
-
1所示,则函数f
(x)的解析式不可能是
(　　)
A.f
(x)=(4x+4
-
x)|x|
B.f
(x)=(4x
-
4
-
x)log4|x|
C.f
(x)=(4x+4
-
x)lo|x|
D.f
(x)=(4x+4
-
x)log4|x|
3.[2016全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg
x的定义域和值域相同的是
(　　)
A.y=x
B.y=lg
x
C.y=2x
D.y=
4.[2020成都市高三测试]已知函数f
(x)=则f
(
-
2)+f
(1)=
(　　)
A.
B.
C.
D.
5.[2019江苏高考]函数y=的定义域是　　　　.?
6.[2015福建高考]若函数f
(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是　　　　.?
【知识回顾
能力提升】
考法1求函数的定义域
命题角度1　求具体函数的定义域
例1：(1)函数y=的定义域为　　　　.?
(2)函数y=(a>0且a≠1)的定义域为　　　　.?
【解析】
(1)要使函数有意义,则??
所以函数的定义域为(1,)∪(,2).
(2)当a>1时,由loga(x
-
1)>0,得x
-
1>1,所以x>2;
当0-
1)>0,得0-
1<1,所以1所以当a>1时,函数的定义域为(2,+∞);当0命题角度2　求抽象函数的定义域
例2：
(1)若函数f
(x)的定义域为[
-
1,2],则函数f
(1
-
2x)的定义域为　　　　.?
(2)若函数f
(1
-
2x)的定义域为[
-
1,2],则函数f
(x)的定义域为　　　　.?
(3)若函数f
(2x)的定义域为[
-
1,1],则函数h(x)=f
(x)+f
(x
-
1)的定义域为　　　　.?
【解析】
(1)由
-
1≤1
-
2x≤2,得
-
≤x≤1,
所以函数f
(1
-
2x)的定义域为[
-
,1].
(2)因为函数f
(1
-
2x)的定义域为[
-
1,2],
所以
-
1≤x≤2,所以
-
3≤1
-
2x≤3.
所以函数f
(x)的定义域为[
-
3,3].
(3)因为函数f
(2x)的定义域为[
-
1,1],
所以≤2x≤2,
所以函数f
(x)的定义域为[,2].
对于函数h(x),有所以≤x≤2,
所以函数h(x)的定义域为[,2].
考点2
求函数的解析式
例3：已知二次函数f
(2x+1)=4x2
-
6x+5,则f
(x)=　.?
【解题思路】
已知复合函数f
(g(x))求f
(x),可用换元法或配凑法求解.由于f
(x)是二次函数,也可采用待定系数法求解.
【解析】
解法一　(换元法)令2x+1=t(t∈R),则x=,
所以f
(t)=4()2
-
6·+5=t2
-
5t+9(t∈R),
所以f
(x)=x2
-
5x+9(x∈R).
解法二　(配凑法)因为f
(2x+1)=4x2
-
6x+5=(2x+1)2
-
10x+4=(2x+1)2
-
5(2x+1)+9,
所以f
(x)=x2
-
5x+9(x∈R).
解法三　(待定系数法)因为f
(x)是二次函数,所以设f
(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f
(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+
a+b+c.
因为f
(2x+1)=4x2
-
6x+5,所以解得
所以f
(x)=x2
-
5x+9(x∈R).
例4：已知f
(x)满足2f
(x)+f
()=3x
-
1,则f
(x)=　　　　.?
【解题思路】注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数),先构造一个新的等式,然后通过解方程组求得f
(x)的解析式.
【解析】(构造方程组法)已知2f
(x)+f
()=3x
-
1　①,
以代替①中的x(x≠0),得2f
()+f
(x)=
-
1　②,
①×2
-
②,得3f
(x)=6x
1,
故f
(x)=2x
(x≠0).
【变式练习
牛刀小试】
1.已知函数f
(x)=g(x)=x+1,则①g(f
(x))=　　　　;②f
(g(x))=　　　　.?
考法3
已知定义域(值域)求参数的值或取值范围
例5：已知函数y=的定义域为R,则实数k的值为　　　　.?
【解析】函数y
=
的定义域即满足k2x2+3kx+1≠0的实数x的集合.
由函数的定义域为R,得方程k2x2+3kx+1=0无解.
当k=0时,函数y
=
=1,函数的定义域为R,因此k=0符合题意;
当k≠0时,要使k2x2+3kx+1=0无解,即Δ=9k2
-
4k2=5k2<0,不等式不成立.
所以实数k的值为0.
例：6已知函数f
(x)=
-
x2+4x+1,其中x∈[
-
1,t],函数的值域为[
-
4,5],则实数t的取值范围是　　　.?
【解析】函数f
(x)=
-
x2+4x+1=
-
(x
-
2)2+5,对称轴方程为x=2,且f
(x)在[
-
1,2]上单调递增,f
(
-
1)=
-
4,f
(2)=5,
因为x∈[
-
1,t]时,f
(x)的值域为[
-
4,5],所以t≥2,
由
-
x2+4x+1=
-
4,可得x=
-
1或x=5,所以t≤5,
所以实数t的取值范围是[2,5].
【变式练习
牛刀小试】
2.(1)已知函数f
(x)=lg(2a·x
-
1)的定义域是(2,+∞),则实数a的取值集合是　　　　.?
(2)已知函数f
(x)=(x
-
1)2+1的定义域与值域都是[1,b](b>1),则实数b的值为　　　　.?
考法4
分段函数的应用
例7
(1)[2015新课标全国Ⅱ]设函数f
(x)=则f
(
-
2)+f
(log212)=
A.3
B.6
C.9
D.12
(2)[2017
山东高考]设f
(x)=若f
(a)=f
(a+1),则f
()=
A.2
B.4
C.6
D.8
(3)[2019南京金陵中学模拟]已知函数f
(x)=则使得f
(x)≤3成立的x的取值范围是　　　　.?
【解析】(1)因为f
(
-
2)=1+log24=3,f
(log212)==6,所以f
(
-
2)+f
(log212)=9.故选C.
(2)当01,f
(a)=,f
(a+1)=2(a+1
-
1)=2a,因为f
(a)=f
(a+1),所以=2a,解得a=或a=0(舍去).所以f
()=f
(4)=2×(4
-
1)=6.当a>1时,a+1>2,所以f
(a)=2(a
-
1),f
(a+1)=2(a+1
-
1)=2a,
所以2(a
-
1)=2a,无解.当a=1时,a+1=2,f
(1)=0,f
(2)=2,不符合题意.综上,f
()=6.故选C.
(3)当x≥0时,2x
-
1≤3,所以2x≤4=22,所以0≤x≤2.
当x<0时,x2
-
2x≤3,所以x2
-
2x
-
3≤0,所以
-
1≤x<0.
综上可得x的取值范围是[
-
1,2].
【变式练习
牛刀小试】
3.
(1)[2017全国卷Ⅲ]设函数f
(x)=则满足f
(x)+f
(x
-
)>1的x的取值范围是　　　　.?
(2)[2016北京高考]设函数f
(x)=
①若a=0,则f
(x)的最大值为　　　　;?
②若f
(x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　.?
数学探究
与函数有关的新定义问题
例8：在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f
(x)的图象恰好经过n(n∈N
)个整点,则称函数f
(x)为n阶整点函数.下列函数中，是一阶整点函数的是
A.f
(x)=sin
2x
B.g(x)=x3
C.h(x)=()x
D.φ(x)=ln
x.
【解题思路】
给什么得什么
(1)新定义——n阶整点函数,即其图象恰好经过n个整点(其横、纵坐标为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且仅经过n个整点.(2)4个具体的函数.
求什么想什么
判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数.
差什么找什么
分别判定有关函数是否为一阶整点函数,并结合选项排除得解.
【解析】对于函数f
(x)=sin
2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数;
对于函数g(x)=x3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数;
…………………………….….(只要找到两个整点,即可判断函数不是一阶整点函数)
对于函数h(x)=()x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(
-
1,3),
…
,所以它不是一阶整点函数;
对于函数φ(x)=ln
x,它的图象(图略)只经过一个整点(1,0),所以它是一阶整点函数.
【答案】AD
【变式练习
牛刀小试】
4.[2017山东高考]若函数exf
(x)(e=2.718
28…是自然对数的底数)在f
(x)的定义域上单调递增,则称函数
f
(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　.?
①f
(x)=2
-
x　②f
(x)=3
-
x　②f
(x)=x3　④f
(x)=x2+2
思想方法　分类与整合思想在函数中的应用
例9：[2015山东高考]设函数f
(x)=则满足
f
(f
(a))=2f
(a)的a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　
　（
）
A.[,1]
B.[0,1]
C.[,+∞)
　D.[1,+∞)
【解析】由f
(f
(a))=2f
(a),得f
(a)≥1.若a<1,则3a
-
1≥1,解得≤a<1;若a≥1,则2a≥1,解得a≥1.综上,a的取值范围是[,+∞).
【答案】C
【变式练习
牛刀小试】
5.函数y=f
(x)的图象是如图2
-
1
-
2所示的折线段OAB,其中A(1,2),B(3,0),函数g(x)=x·f
(x),
那么函数g(x)的值域为
(　　)
A.[0,2]
　　B.[0,]
C.[0,]
　　D.[0,4]
第一讲　《函数及其表示》测试
基础篇
1.[2020陕西省安康市第一次联考]函数f
(x)=+ln|x|的定义域为
(　　)
A.[
-
1，+∞)
B.[
-
1，0)∪(0，+∞)
C.(
-
∞，
-
1)
D.(
-
1，0)∪(0，+∞)
2.[2020湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考]下列函数中，其定义域和值域与函数y=eln
x的定义域和值域相同的是
(　　)
A.y=x
B.y=ln
x
C.y=
D.y=10x
3.[2020山东师大附中二模]函数f
(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是
(　　)
A.(
-
∞，
-
1)
B.[，1]
C.[
-
1，)
D.(0，)
4.[2020福建龙海初调]已知函数f
(x)=且f
(a)=
-
3，则f
(6
-
a)=
(　　)
A.-
B.-
C.-
D.-
5.[2019皖中名校联考]若函数f
(x)=(a>0，a≠1)的最大值是4，则a的取值范围是
(　　)
A.(0，1)∪(1，2]
B.(0，1)∪(1，]
C.(0，1)
D.(0，1)∪(1，]
6.[2020惠州市二调]设函数f
(x)=则f
(f
(
-
4))=　　　　　.?
7.[双空题]已知a>0且a≠1，函数f
(x)=若f
(2)=8，则实数a的值为　　　　，f
(
-
3)=　　　　.?
8.[2020陕西省百校第一次联考]设函数f
(x)=则使1(x)<2成立的x的取值范围是　　　　　　　　.?
提升篇
9.[多选题]设函数f
(x)的定义域为D，?x∈D，?y0∈D，使得f
(y0)=
-
f
(x)成立，则称f
(x)为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是
(　　)
A.y=x2
B.y=
C.y=ln(2x+3)
D.y=2x+3
10.[2020武汉市模拟]设函数f
(x)=则满足2f
(f
(a))=f
(a)的a的取值范围是
(　　)
A.(
-
∞，0]
B.[0，2]
C.[2，+∞)
D.(
-
∞，0]∪[2，+∞)
11.[2020宁夏长庆模拟]若函数f
(x)的定义域为[1，8]，则函数y=的的定义域为
(　　)
A.(0，3)
B.[1，3)∪(3，8]
C.[1，3)
D.[0，3)
12.[交汇题]设a=sin390°，函数f
(x)=则f
()+f
(log2)的值等于
(　　)
A.9
B.10
C.11
D.12
13.[易错题]已知函数f
(x)=
若不等式a≤f
(x)≤b的解集恰好为[a，b]，则b
-
a=　　　　　.?
14.[2019郑州市第三次质量预测]设函数h(x)的定义域为D，若满足条件:存在[m，n]?D，使h(x)在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称h(x)为“倍胀函数”.若函数f
(x)=ax(a>1)为“倍胀函数”，则实数a的取值范围是　　　　.?
参考答案与解析
函数及其表示
考点测评
1.B　对于(1)，定义域是空集，不满足函数的概念，故(1)错误；对于(2)，f
(x)是常数函数，所以f
(m3)=m，故(2)错误；对于(3)，两个函数的定义域不同，故不是同一函数，(3)错误；对于(4)，结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1，故选B.
2.ABC　对于A，f
(x)大于等于0恒成立，与图象不符；对于B，当x<
-
1时，f
(x)<0，与图象不符；对于C，当x>1时，f
(x)<0，与图象不符；对于D，当|x|≥1时，f
(x)≥0，当0<|x|<1时，f
(x)<0，与图象有可能吻合.选ABC.
3.D　解法一　函数y=10lg
x的定义域为(0，+∞)，当x>0时，y=10lg
x=x，故函数的值域为(0，+∞).只有选项D符合.
解法二　易知函数y=10lg
x中x>0，排除选项A，C；因为10lg
x必为正值，所以排除选项B.选D.
4.C　f
(
-
2)+f
(1)=sin(
-
2π+)+(21+1)=sin
+3=+3=，故选C.
5.[
-
1，7]　要使函数有意义，则7+6x
-
x2≥0，解得
-
1≤x≤7，则函数的定义域是[
-
1，7].
6.(1，2]　因为f
(x)=所以当x≤2时，
f
(x)≥4.又函数f
(x)的值域是[4，+∞)，所以解得1【变式练习
牛刀小试】
1.　　①当x<0时，f
(x)=，则g(f
(x))=+1；
当x≥0时，f
(x)=x2，则g(f
(x))=x2+1.
∴g(f
(x))=
②令g(x)=x+1<0，得x<
-
1，则此时f
(g(x))=.
令g(x)=x+1≥0，得x≥
-
1，则此时f
(g(x))=(x+1)2.
∴f
(g(x))=
2.(1){
-
1}　由题意得，不等式2a·x
-
1>0的解集为(2，+∞)，由2a·x
-
1>0可得x>，∴=2，∴a=
-
1.
(2)3　f
(x)=(x
-
1)2+1，x∈[1，b]且b>1，
f
(1)=1，
f
(b)=(b
-
1)2+1，
函数图象的对称轴为直线x=1，且f
(x)在[1，b]上单调递增.
∴函数的值域为[1，(b
-
1)2+1].
由已知得(b
-
1)2+1=b，解得b=3或b=1(舍).
3.(1)(
-
，+∞)　当x>0时，f
(x)=2x>1恒成立，当x
-
>0，即x>时，f
(x
-
)=>1，当x
-
≤0，即0(x
-
)=x+，则不等式f
(x)+f
(x
-
)>1恒成立.当x≤0时，f
(x)+f
(x
-
)=x+1+x
-
+1=2x+>1，即
-
-
，+∞).
(2)①
2　若a=0，则f
(x)=当x>0时，
-
2x<0；当x≤0
时，f
'
(x)=3x2
-
3=3(x+1)(x
-
1)，令f
'
(x)>0，得x<
-
1，令f
'
(x)<0，得
-
1(x)在(
-
∞，
-
1]上单调递增，在(
-
1，0]上单调递减，所以函数f
(x)在(
-
∞，0]上的最大值为f
(
-
1)=2.综上可得，函数f
(x)的最大值为2.
②(
-
∞，
-
1)　函数y=x3
-
3x与y=
-
2x的大致图象如图
D
2
-
1
-
1所示，
图D
2
-
1
-
1
若函数f
(x)=无最大值，由图象可知
-
2a>2，解得a<
-
1.所以实数a的取值范围是(
-
∞，
-
1).
4.①④　对于①，exf
(x)=ex·2
-
x，故[exf
(x)]'
=(ex·2
-
x)'
=ex·2
-
x(1
-
ln
2)>0，故函数exf
(x)=ex·2
-
x在(
-
∞，+∞)上为增函数，故①符合要求；
对于②，exf
(x)=ex·3
-
x，故[exf
(x)]'
=(ex·3
-
x)'
=ex·3
-
x(1
-
ln
3)<0，故函数exf
(x)=ex·3
-
x在(
-
∞，+∞)上为减函数，故②不符合要求；
对于③，exf
(x)=ex·x3，故[exf
(x)]'
=(ex·x3)'
=ex·(x3+3x2)，显然函数exf
(x)=ex·x3在(
-
∞，+∞)上不单调，故③不符合要求；
对于④，exf
(x)=ex·(x2+2)，故[exf
(x)]'
=[ex·(x2+2)]'
=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2+1]>0，故函数exf
(x)=ex·(x2+2)在(
-
∞，+∞)上为增函数，故④符合要求.
综上，具有M性质的函数的序号为①④.
5.B　由题图可知，直线OA的方程是y=2x；因为kAB==
-
1，所以直线AB的方程为y=
-
(x
-
3)=
-
x+3.
所以f
(x)=所以g(x)=x
f
(x)=
当0≤x≤1时，g(x)=2x2，此时函数g(x)的值域为[0，2]；
当1-
x2+3x=
-
(x
-
)2+，显然，当x=时，函数g(x)取得最大值；当x=3时，函数g(x)取得最小值0.此时函数g(x)的值域为[0，].
综合上述，函数g(x)的值域为[0，].故选B.
基础篇
1.B　由题意得所以x∈[
-
1，0)∪(0，+∞).
2.C　函数y=eln
x的定义域和值域均为(0，+∞)，y=x的定义域和值域都是R，不满足要求；函数y=ln
x的定义域为(0，+∞)，值域为R，不满足要求；函数y=10x的定义域为R，值域为(0，+∞)，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为(0，+∞)，满足要求，故选C.
3.C　因为函数f
(x)=的值域为R，所以
解得
-
1≤a<，故选C.
4.A　因为f
(a)=
-
3，所以或解得a=7，所以f
(6
-
a)=f
(
-
1)=2
-
1
-
1
-
2=
-
.
故选A.
5.C　当x>2时，若a>1，则函数f
(x)=1+logax单调递增，没有最大值，因此必有0(x)=1+logax满足f
(x)<1+loga2.当x≤2时，f
(x)=x+2的最大值是4.因此有1+loga2≤4，解得06.0　f
(
-
4)=16
-
4
-
2=10，所以f
(f
(
-
4))=f
(10)=1
-
lg
10=0.
7.3　2　由题意知f
(2)=a2
-
1=8，即a2=9，又a>0且a≠1，所以a=3，所以f
(
-
3)=f
(
-
1)=f
(1)=3
-
1=2.
8.(
-
∞，0)∪(4，9)　由不等式1(x)<2得或解得x<0或4(x)<2成立的x的取值范围是(
-
∞，0)∪(4，9).
提升篇
9.BCD　由题意知，“美丽函数”f
(x)的值域关于原点对称.对于A，函数y=x2的值域为[0，+∞)，不关于原点对称，不符合题意；对于B，函数y=的值域为(
-
∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，符合题意；对于C，函数y=ln(2x+3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；对于D，函数y=2x+3的值域为R，关于原点对称，符合题意.故选BCD.
10.D　因为2f
(f
(a))=f
(a)，所以f
(f
(a))=.
①当a<1时，f
(a)=()a，要使f
(f
(a))=，必有()a≥1，即a≤0；
②当a≥1时，f
(a)=，要使f
(f
(a))=，必有≥1，即a≥2.
综上，实数a的取值范围是(
-
∞，0]∪[2，+∞).故选D.
11.D　f
(x)的定义域为[1，8]，若函数y=有意义，则解得0≤x<3.故选D.
12.C　因为a=sin
390°=sin(360°+30°)=sin
30°=，所以f
(x)=所以f
()+f
(log2)=f
()+f
(
-
3)=+()
-
3=3+8=11，故选C.
13.4　由函数f
(x)的解析式知，函数f
(x)在(
-
∞，2)上单调递减，在[2，+∞)上单调递增，
f
(x)min=f
(2)=1.若a>1，则不等式a≤f
(x)≤b的解集为[x1，x2]∪[x3，x4]的形式，不符合题意，所以a≤1，此时因为22
-
1=2，所以b≥2，令m2
-
3m+4=m，解得m=(舍去)或m=4，取b=4，令22
-
x=4，得x=0，所以a=0，所以b
-
a=4.
14.(1，)　由题意知，f
(m)=am=2m，f
(n)=an=2n，所以方程ax=2x有两个不等的实数根，所以ln
ax=ln
2x，即ln
a=有两个不等的实数根.设g(x)=，则g'
(x)=，令g'
(x)==0，得x=，当0(x)>0，g(x)=在(0，)上单调递增，当x>时，g'
(x)<0，g(x)=在(，+∞)上单调递减，故当x=时，g(x)=有最大值g()=，故0a<，解得121世纪教育网
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精品试卷·第
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