资源简介

江西师大附中高二（理）数学月考试卷
2021．4
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知false是虚数单位，false的虚部是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设false、false是两条不同的直线，false、false是两个不同的平面，则能得出false的是（ ）
A．false，false∥false，false B．false，false，false∥false
C．false，false，false∥false D．false，false∥false，false
3．设false，则false的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在棱长为2的正方体false中，false是棱false的中点，过false，false，false作
正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．false表示空间中的两条直线，若false：false是异面直线；false：false不相交，则false是false的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视
图不可能是（ ）
7．已知false是虚数单位，false得“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知长方体false中，false、false与底面false所成的角分别为false和
false，则异面直线false和false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（ ）
28327350A．false B．false
C．false D．false
10．如图，在棱长均相等的四棱锥false
中，false为底面正方形的中心，false分别为
侧棱false的中点，有下列结论：
①false∥平面false；
②平面false∥平面false；
③false；
405193513335④直线false与false所成角的大小为false．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③
C．②③ D．②③④
11．在false中，false，false，false，false为false的中点，
将false沿false折起，使点false间的距离为false，则折起后点
false到平面false的距离为（ ）
4109720125730A．false B．false C．1 D．false
12．如图，在false中，false，false．若平面false
外的点false和线段false上的点false，满足false，false，则
四面体false的体积最大时其外接球的表面积是（ ）．
A．false B．false C．false D．false
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
445770017462513．已知false，false是虚数单位，若false为纯虚数，则false______．
14．如图，在圆柱false内有一个球false，该球与圆柱的上、下底面及母线均
相切．记圆柱false的体积为false，球O的体积为false，则false的值是____．
15．已知正方体false的棱长为false，false是线段false上的一点且
false，false是平面false内一动点，则false的最小值是____．
348996045910516．如图，在直角梯形false中， false，false∥false，false，点false是线段false上异于点false的动点， false于点false，将false沿false折起到的false位置，并使false，则五棱锥false的体积的取值范围为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）如图，在三棱锥false中，false，false，
false，false．
（1）根据图中所给的主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）上已画出该三
棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；
（2）求证：false．

339471024193518．（本题满分12分）如图，在正四棱台false中，上底面边长为1，下底
面边长为3，侧棱长为2．
（1）求此正四棱台的侧面积；
（2）求此正四棱台的体积．
19．（本题满分12分）在四棱锥false中，底面false为正方形，false为false的
重心．
（1）设false，若false∥平面false，求实数false的值；
（2）若false平面false，且false，求异面直线false与false所成的角．
37693605080
20．（本题满分12分）如图，四边形false是一个边长为2的菱形，且false，现沿
着false将false折到false的位置，使得平面false平面false，false是线段false，
false上的两个动点（不含端点），且false，平面false与平面false相交于false．
318516013335（1）求证：false∥false；
（2）false为false上一个动点，求平面false与平面false所成
锐二面角的最小值．
21．（本题满分12分）如图甲，设正方形false的边长为3，点false分别在false
上，且满足false，false．将直角梯形false沿false折到false的位
置，使得点false在平面false上的射影false恰好在false上，如图乙所示．
（1）证明：false∥平面false；
239458512700（2）求二面角false的余弦值．
22．（本题满分12分）如图，在三棱锥false中，false，若false，
false，false，且false．
（1）求证：平面false平面false；
3899535528320（2）若false，试问在线段false上是否存在点false，
使直线false与平面false所成角的正弦值为false，若存在，求出点false
的位置，若不存在，请说明理由．
江西师大附中高二（理）数学月考答案
命题人： 审题人： 2021．4
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知false是虚数单位，false的虚部是（）A
A．falseB．false C．false D．false
2．设false、false是两条不同的直线，false、false是两个不同的平面，则能得出false的是（）C
A．false，false∥false，false B．false，false，false∥false
C．false，false，false∥false D．false，false∥false，false
3．设false，则false的共轭复数在复平面内对应的点位于（）D
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在棱长为2的正方体false中，false是棱false的中点，过false，false，false作
正方体的截面，则这个截面的面积为（）C
A．false B．false C．falseD．false
5．false表示空间中的两条直线，若false：false是异面直线；false：false不相交，则false是false的（A）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的俯视
图不可能是（）C
7．已知false是虚数单位，false得“false”是“false”的（）A
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知长方体false中，false、false与底面false所成的角分别为false和
false，则异面直线false和false所成角的余弦值为(　　)A
A．falseB．falseC．false D．false
9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）B
A．false B．false C．false D．false
35134551651010．如图，在棱长均相等的四棱锥false中，false为底
面正方形的中心，false、false分别为侧棱false，false的中点，
有下列结论：
①false∥平面false；②平面false∥平面false；
③false；④直线false与false所成角的大小为false．
其中正确结论的序号是（）B
A．①②B．①②③
C．②③ D．②③④
11．在false中，false，false，false，false为false的中点，将false沿false折
起，使点false间的距离为false，则折起后点false到平面false的距离为（）A
A．false B．false C．1 D．false
right2095512．如图，在false中，false，false．若平面false
外的点false和线段false上的点false，满足false，false，则
四面体false的体积最大时其外接球的表面面积是（）．D
A．false B．false C．false D．false

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13．已知false，false是虚数单位，若false为纯虚数，则false______．false
14．如图，在圆柱false内有一个球false，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱
false的体积为false，球O的体积为false，则false的值是______．false

3886200-42799015．已知正方体false的棱长为false，
false是线段false上的一点且false，false是平面
false内一动点，则false的最小值是______．false
309943523876016．如图，在直角梯形false中，false，false∥false，false，点false是线段false上异于点false的动点，false于点false，将false沿false折起到的false位置，并使false，则五棱锥false的体积的取值范围为______．
false
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）如图，在三棱锥false中，false，false，false，false．
（1）根据图中所给主视方向，在下列方格纸（方格的单位长度为1）中已画出该三棱锥的主视图，请画出该三棱锥的左视图和俯视图；
（2）求证：false．
【解析】（1）三棱锥的左视图和俯视图如图所示
…………………………………………5分
注：对一个给3分，全对得5分
（2）因为false，false，false，
由勾股定理得false，false，………………………………………………7分
从而false， ………………………………………………………………9分
所以false． ………………………………………………………………………10分
18．（本题满分12分）如图，在正四棱台false中，上底面边长为1，下底面边长为3，侧棱长为2.
270891010160（1）求此正四棱台的侧面积；
（2）求此正四棱台的体积．
【解析】（1）如图，连接false，作false，易知false平面false，…………1分
再作false，连接false，则false，……………………………………………2分
在梯形false中，易得false， ……………………………………………………4分
所以此正四棱台的侧面积为false；……………………………………6分
（2）在false，false，false，……………………………………………8分
所以此正四棱台的体积为false；…………………………………12分
19．（本题满分12分）在四棱锥false中，底面false为正方形，false为false的重心．
（1）设false，若false∥平面false，求实数false的值；
（2）若false平面false，且false，求异面直线false与false所成的角．
【解析】（1）连接false并延长交false于false，连接false，false，…………………………1分
因为false∥平面false，所以false∥false，………………………………………………3分
由false为false的重心，得false，……………………………………………………5分
从而false，故false；………………………………………………………………6分
（2）分别在取线段false的中点false，连接false，…………7分
易证false∥false，false∥false， ………………………………………………………8分
从而异面直线false与false所成的角为false或其补角，……………………………9分
设false，易得false，false，………………………………………10分
由false平面false，得false，从而得false，…………………………11分
在false中，false，所以false，
故异面直线false与false所成的角为false．………………………………………………12分
359473531686520．（本题满分12分）如图，四边形false是一个边长为2的菱形，且false，现沿着false将false折到false的位置，使得平面false平面false，false是线段false，false上的两个动点（不含端点），且false，平面false与平面false相交于false．
（1）求证：false∥false；
（2）false为false上一个动点，求平面false与平面false所成锐二面角的最小值．
【解析】（1）证明：因为false，所以false∥false，…………………………2分
因为false平面false，false平面false，false∥平面false，…………………4分
平面false与平面false相交于false，false平面false，所以false∥false； …………6分
（2）取false中点false，连接false，false，
357568598425则false平面false，且false，……………………7分
过点false作false于false，连接false，则false，
所以false为所求锐二面角的平面角，记为false， ……8分
所以false，当false最大时，false最小，……9分
因为false，所以false在以false为直径的圆上，
当false与false重合时，false的最大值为1，……………11分
所以false，从而false的最小值为false．……12分
21．（本题满分12分）如图甲，设正方形false的边长为3，点false分别在false上，且满足false，false．将直角梯形false沿false折到false的位置，使得点false在平面false上的射影false恰好在false上，如图乙所示．
（1）证明：false∥平面false；
（2）求二面角false的余弦值．
【解析】（1）在题图甲中，易知false∥false，从而在题图乙中有false∥false，……2分
又false∥false，从而平面false∥平面false，…………………………………………4分
因为false平面false，所以false∥平面false；……………………………………6分
（2）如图（1），过点false作false于点false，连接false，因为false平面false，
所以false，又false，所以false平面false，从而false，
所以false为二面角false的平面角．………………………………………8分
在图（2）中有false，又false，所以false三点共线，
设false的中点为false，则false，连接false，可证false，
所以false，则false．
易知false，所以false， ……………………10分
false， ……………………………………………………………11分
在false中，false，
即二面角false的余弦值为false． ………………………………………………12分
22．（本题满分12分）如图，在三棱锥false中，false，若false，false，false，且false．
（1）求证：平面false平面false；
（2）若false，试问在线段false上是否存在点false，使直线false与平面false所成的角的正弦值为false，若存在，求出点false的位置，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由false得false，………………1分
设false，
由余弦定理得false，…………………………2分
进一步化简得false，从而false，…………………………………3分
取false中点false，因为false，所以false， ……………………………4分
因为false，所以false，从而false， ………5分
由false且false得false平面false，
又false平面false，平面false平面false．…………………………………6分
（2）作false，由（1）知，false平面false，
从而平面false平面false，连接false，作false，
易知false平面false，且false∥false，
连接false，则false为直线false与平面false所成的角，……………………8分
由题意知false，设false，从而false，
因为false，所以false
在false中，false，……………………………………………………9分
因为false∥false，所以false，得false，……………………………10分
在false中，由正弦定理得，false，……………………………11分
从而false，所以false，因此false为线段false中点．…………12分

展开更多......

收起↑