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选修第二册第3章排列组合与与二项式定理
一、选择题
在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施
个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
已知
，则
A．
B．
C．
D．
（）的展开式中第
项是常数项，则
的值是
A．
B．
C．
D．
已知
，则
A．
B．
C．
D．
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学对选取的礼物都满意，那么不同的选法有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等
部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这
部专著中有
部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这
部专著中选择
部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选
部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为
A．
B．
C．
D．
汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有
A．
B．
C．
D．
若一个四位数的各位数字相加和为
，则称该数为“完美四位数”，如数字“”，则用数字
，，，，，，，
组成的无重复数字且大于
的“完美四位数”有
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
二、填空题
若
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
．
生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为
．
的展开式中，所有有理项（系数为有理数，
的次数为整数的项）的系数和为
；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有
种．（用数字作答）
习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排
名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙，丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少
人，因工作需要，李老师不去甲校，则分配方案种数为
．
三、解答题
已知
名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为
．
(1)
求
的值；
(2)
求
的展开式中的常数项．
已知有甲、乙、丙、丁、戊、己
人．（以下问题用数字作答）
(1)
邀请这
人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？
(2)
将这
人作为辅导员全部安排到
项不同的活动中，求每项活动至少安排
名辅导员的方法总数．
解答下列问题．
(1)
已知
的第九项，第十项，第十一项的二项式系数满足
，求
的值；
(2)
若
的展开式中常数项为
，求
展开式中的有理项．
已知有
，，，，，
这六个数字．
(1)
若数字不允许重复，可以组成多少个能被
整除的且百位数字不是
的不同五位数？
(2)
若直线方程
中的
，
可以从已知的六个数字中任取两个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
已知在
的展开式中，第
项的系数与第
项的系数之比是
．求：
(1)
展开式中的所有有理项；
(2)
展开式中系数绝对值最大的项；
(3)
的值．
将
个不同的红球和
个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出
个球．
(1)
若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法？
(2)
取出一个红球记
分，取出一个白球记
分，若取出
个球的总分不少于
分，则有多少种不同的取法？
(3)
若将取出的
个球放入一个箱子中，记“从箱子中任意取出
个球，然后放回箱子中”为一次操作，若操作三次，求恰有一次取到
个红球并且恰有一次取到
个白球的概率．
四、多选题
已知
，则
可能的取值是
A．
B．
C．
D．
对于
，以下判断正确的有
A．存在
，展开式中有常数项
B．对任意
，展开式中没有常数项
C．对任意
，展开式中没有
的一次项
D．存在
，展开式中有
的一次项
现安排甲、乙、丙、丁、戊
名同学参加
年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有
人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排
人，则这
名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有
人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
关于
及其展开式，下列说法正确的是
A．该二项展开式中非常数项的系数和是
B．该二项展开式中第六项为
C．该二项展开式中不含有理项
D．当
时，
除以
的余数是
答案
一、选择题
1.
【答案】B
【解析】首先将B，C捆绑在一起作为整体，共有
种情况，又A只能出现在第一步或最后一步，故总的编排方法有
（种）．
2.
【答案】A
【解析】逆用二项式定理得
，即
，
所以
，
所以
．
故选A．
3.
【答案】D
【解析】
（）的展开式的通项为
（），
因为
是常数项，
所以
，解得
．
4.
【答案】B
【解析】令
，可得
，即
；
令
，可得
，即
，
所以
．
5.
【答案】C
【解析】根据题意，分
种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的
种中任意选择一种，则选法有
（种）；如果同学甲选马那么同学乙能选牛、兔狗和羊中的种，丙同学可以从剩下的
种中任意选择一种则选法有
（种），故不同的选法共有
（种），故选C．
6.
【答案】A
【解析】从
部专著中选择
部的所有可能情况有
（种）．
设“所选
部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件
，则
包含的基本事件个数为
．由古典概型概率公式可得
．
7.
【答案】C
【解析】根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，分
步进行分析：
对于区域①②③，三个区域两两相邻，有
种情况，
对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有
种情况，
若④与②的颜色不同，则④有
种情况，⑤有
种情况，此时区域④⑤的情况有
种，
则区域④⑤有
种情况，
则一共有
种涂色方案．
8.
【答案】A
【解析】A根据题意，四位无重复数字相加和为
的情况有①
，，，，②
，，，，③
，，，，④
，，，，⑤
，，，，共
种情况，
则分
种情况讨论：
①当四个数字为
，，，
时，
千位数字可以为
或
，有
种情况，将其余
个数字全排列，依次安排在百位，十位，个位上，有
种情况，此时有
个“完美四位数”；
②当四个数字为
，，，
时，
千位数字可以为
或
，有
种情况，将其余
个数字全排列，依次安排在百位，十位，个位上，有
种情况，此时有
个“完美四位数”；
③当四个数字为
，，，
时，
若千位数字为
，
则将其余
个数字全排列，依次安排在百位，十位，个位上，有
种情况，
若千位数字为
，
则有
，，，，，共
种情况，此时有
个“完美四位数”；
④当四个数字为
，，，
时，
千位数字可以为
或
或
，有
种情况，将其余
个数字全排列，依次安排在百位，十位，个位上，有
种情况，此时有
个“完美四位数”；
⑤当四个数字为
，，，
时，
千位数字可以为
或
或
，有
种情况，将其余
个数字全排列，依次安排在百位，十位，个位上，有
种情况，此时有
个“完美四位数”，
则一共有
个“完美四位数”．
二、填空题
9.
【答案】
【解析】由题意可得
，
故展开式的通项为
，
令
，
解得
，
故展开式中的常数项是
．
10.
【答案】
【解析】由题意，对六艺“礼、乐、射、御、书、数”进行全排列，
基本事件的总数为
，
满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的情况有两类：
当第一节是“数”时，共有
种不同的排法；
当第二节是“数”时，共有
种不同的排法，
所以所求概率
．
11.
【答案】
；
【解析】
的展开式的通项为
，
因为
，
所以
，
故所有有理项的系数和为
．
把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有
（种）．
12.
【答案】
【解析】解法一：根据
名教师到甲、乙，丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少
人，可分四种情况：
（）甲校安排
名教师，分配方案种数为
；
（）甲校安排
名教师，分配方案种数为
；
（）甲校安排
名教师，分配方案种数为
；
（）甲校安排
名教师，分配方案种数为
，
由分类加法计数原理，可得共有
种分配方案．
解法二：由
名教师到三所学校，每所学校至少
人，知可能的分组情况为
，，；，，；，，．
对于第一种情况，
因为李老师不去甲校，
所以李老师自己去一个学校且该学校不是甲校，有
种分配方案，其余
名分成一人组和四人组有
种分配方案，则有
种分配方案；
若李老师分配到四人组且该组不去甲校有
种分配方案，则第一种情况共有
种分配方案；
对于第二种情况，李老师分配到一人组有
种分配方案，李老师分配到两人组有
种分配方案，李老师分配到三人组有
种分配方案，
所以第二种情况共有
种分配方案；
对于第三种情况，共有
种分配方案．
综上所述，共有
种分配方案．
三、解答题
13.
【答案】
(1)
所有不同的排法种数为
．
(2)
由（）知，，
所以
的展开式的通项为
，
令
，解得
，
所以展开式中的常数项为
．
14.
【答案】
(1)
由题意，共有
种不同的安排方法．
(2)
该问题共分为三类：
第一类，
人中恰有
人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分
人，共有
种方法；
第二类，
人中恰有
人分配到其中一项活动中，共有
种方法；
第三类，
人平均分配到三项活动中，共有
种方法，
所以每项活动至少安排
名辅导员的方法总数为
．
15.
【答案】
(1)
由
，化简得
，解得
或
．
(2)
的展开式中的常数项为
，解得
，则
，其展开式的通项为
，故展开式中的有理项为
，，．
16.
【答案】
(1)
当首位数字是
，而末位数字是
时，符合题意的五位数有
（个）；
当首位数字是
，而末位数字是
或
时，符合题意的五位数有
（个）；
当首位数字是
或
或
，而末位数字是
或
时，符合题意的五位数有
（个）．
故符合题意的五位数共有
（个）．
(2)
当
，
中有一个取
时，不同的直线有
条；
当
，
都不取
时，不同的直线有
（条）；
而
，
与
，
重复，
，，与
，
重复．
故不同的直线共有
（条）．
17.
【答案】
(1)
由
，
解得
（
舍去），
所以展开式的通项为
当
为整数时，
可取
，，
于是有理项为
和
．
(2)
设第
项系数的绝对值最大，
则
解得
，
又
，则
．
所以系数绝对值最大的项为
．
(3)
18.
【答案】
(1)
若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有
红、
红
白、
红
白三种情况，
其中
红有
种取法，
红
白有
种取法，
红
白有
种取法．因此，共有
种不同的取法．
(2)
若取出
个球的总分不少于
分，则有
红、
红
白、
红
白和
红
白四种情况．
其中
红有
种取法，
红
白有
种取法，
红
白有
种取法，
红
白有
种取法．
因此，共有
种不同的取法．
(3)
由题意知，箱子中
个球中红球有
个，白球也有
个，从这
个球中取出
个球，取出
个红球只有一种情况，取出
个白球也只有一种情况，取出
红
白有
种情况，总共有
种情况．
若操作三次，则共有
种情况．
恰有一次取到
个红球并且恰有一次取到
个白球共有
种情况，
因此，恰有一次取到
个红球并且恰有一次取到
个白球的概率为
．
四、多选题
19.
【答案】C；D
【解析】因为
，
所以
，
所以
或
，
故选CD．
20.
【答案】A；D
【解析】设
展开式的通项为
，
不妨令
，则当
时，展开式中有常数项，故选项A正确，选项B错误；
令
，则当
时，展开式中有
的一次项，故选项C错误，选项D正确．
21.
【答案】A；B；C
【解析】每人有四项工作可以安排，所以
人都安排一项工作的不同方法数为
，故选项A中说法错误；
每项工作至少有
人参加，则有一项工作安排
人，其他三项工作各
人，所以共有
种不同方法数，选项B中
是每项工作先安排
人，还剩下
人在四项工作中选择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译”与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安排翻译”重复计算了，故选项B中说法错误；
选项C中是先分组后分配，
代表的是
人分成
人、
人、
人三组，
代表的是
人分成
人、
人、
人三组，然后三组人分配三项工作，乘
，然而在分组的过程中都有重复，比如：
人、
人、
人分组中，先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只有一种分法，而不是
种分法，故选项C中说法错误；
选项D分两类考虑，第一类：司机安排
人，方法数为
，另外
人分
组，方法数为
（
人选
人为
组，另外
人分
组只有一种分法），然后
组人安排除司机外的三项工作，方法数为
，则不同安排方案的种数是
，第二类：司机安排
人，方法数为
，剩下
人安排另外三项工作，方法数为
，则不同安排方案的种数是
，由分类加法计数原理得，共有
种不同的安排方案，故选项D中说法正确．
22.
【答案】A；D
【解析】
的展开式的第
项为
（）．
对于A，当
时，得到常数项为
．又
的展开式的各项系数和为
，所以该二项展开式中非常数项的系数和是
，故A正确；
对于B，该二项展开式中第六项为
，故B错误；
对于C，当
时，对应的各项均为有理项，故C错误；
对于D，当
时，
因为
显然是
的倍数，即能被
整除，
而
所以当
时，
除以
的余数是
，故D正确．

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