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实系数一元二次方程
一、复数的平方根
1.平方根：如果复数和满足：，则称是的一个平方根．因为，所以的平方根有两个，分别是和
(1)正数的平方根：可先计算正数的算术平方根，再用调剂
(2)负数的平方根：可先计算正数的算术平方根，再用调剂“负号”
(3)纯虚数的平方根：，可先计算的算术平方根，再用再用调剂
二、实系数一元二次方程的解法
1.实系数一元二次方程：设一元二次方程
(1)配方法：
(2)判别式：，方程有两实根（不等实根或相等实根），的平方根为
，，方程有两共轭虚根，的平方根为
，
(3)求根公式：
(4)韦达定理：
2.注意环节：
(1)实系数方程虚根成对：高次方程同样适用，特别是奇次方方程必有实根
(2)虚系数一元二次方程：配方可用，判别式不可用，求根公式可用，韦达定理可用
(3)实系数方程两根关联：，（虚根）
例1.
的平方根为________.
【难度】★★★
例2.复数范围内关于的方程的解集为______
【难度】★★
例3.已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则的取值范围是　______
【难度】★★
例4.已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实
数的取值范围是______
【难度】★★★
例5.在复数范围内方程的解是______
【难度】★★★
例6.在复数集中分解因式：___________________．
【难度】★★
例7.已知方程的两个虚根是，，若，则______
【难度】★★★
例8.已知实系数一元二次方程的两根分别为，．
（1）若上述方程的一个根为虚数单位），求实数，的值；
（2）若方程的两根满足，求实数的取值范围．
【难度】★★★
例9.已知关于的一元二次方程的虚根为、．
（1）求的取值范围，并解该方程；
（2）若，求的值．
【难度】★★★★
例10.若三次方程有一个根是纯虚数，则实数______
【难度】★★★
1、若复数（是虚数单位）的平方根为，则=_____
【难度】★★
2、在复数范围内分解因式：______．
【难度】★★
3、若一个实系数一元二次方程的一个根是，则此方程的两根之积为______
【难度】★★
4、已知复数为虚数单位）是关于的方程，为实数）的一个根，则的值为　　
A．4
B．2
C．0
D．
【难度】★★
5、已知复数是关于的方程的一个根，则实数，的值分别为　　
A．6，8
B．12，0
C．12，26
D．24，26
【难度】★★
6、对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是、，下列结论中不正确的是　　
A．若，则
B．若，则，且
C．一定有
D．一定有
【难度】★★★
7、若，是一元二次方程的两个根，则的值为　　
A．
B．
C．3
D．
【难度】★★★
8、设为实数，在复数中解方程：．
【难度】★★★
9、已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若方程的两根为、，且，求的值；
（2）若方程有虚根，且，求的值．
【难度】★★★
10、已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．
【难度】★★★★
1、实系数一元二次方程的两个虚根、，的实部，则的模等于1，则实数______
【难度】★★★★
2、，是关于的方程的两个虚根，若复平面上，，1对应点构成正三角形，那么实数______
【难度】★★★
3、解关于的方程，．
【难度】★★★★
1、复数的平方根__________．
【难度】★
2、复数（i为虚数单位）的平方根为_________
【难度】★★
3、的平方根是______．
【难度】★
4、在复数范围内因式分解=___________
【难度】★★
5、关于实系数方程，下列说法错误的是　　
A．时，方程有两个不相等实根
B．时，方程有两个不相等虚根
C．时，方程有两个相等实根
D．时，方程有两个互为共轭复数的虚根
【难度】★★★
6、（1）已知，是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；
（2）求纯虚数的平方根．
【难度】★★★
7、在复数集中解关于的方程：
【难度】★★★★
8、在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）．
【难度】★★
9、解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★实系数一元二次方程
一、复数的平方根
1.平方根：如果复数和满足：，则称是的一个平方根．因为，所以的平方根有两个，分别是和
(1)正数的平方根：可先计算正数的算术平方根，再用调剂
(2)负数的平方根：可先计算正数的算术平方根，再用调剂“负号”
(3)纯虚数的平方根：，可先计算的算术平方根，再用再用调剂
二、实系数一元二次方程的解法
1.实系数一元二次方程：设一元二次方程
(1)配方法：
(2)判别式：，方程有两实根（不等实根或相等实根），的平方根为
，，方程有两共轭虚根，的平方根为
，
(3)求根公式：
(4)韦达定理：
2.注意环节：
(1)实系数方程虚根成对：高次方程同样适用，特别是奇次方方程必有实根
(2)虚系数一元二次方程：配方可用，判别式不可用，求根公式可用，韦达定理可用
(3)实系数方程两根关联：，（虚根）
例1.
的平方根为________.
【难度】★★★
答案：
例2.复数范围内关于的方程的解集为______
【难度】★★
答案：，．
例3.已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则的取值范围是　______
【难度】★★
答案：．
例4.已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实
数的取值范围是______
【难度】★★★
答案：．
例5.在复数范围内方程的解是______
【难度】★★★
答案：0，，．
例6.在复数集中分解因式：___________________．
【难度】★★
答案：
例7.已知方程的两个虚根是，，若，则______
【难度】★★★
答案：
例8.已知实系数一元二次方程的两根分别为，．
（1）若上述方程的一个根为虚数单位），求实数，的值；
（2）若方程的两根满足，求实数的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）；
（2），．
例9.已知关于的一元二次方程的虚根为、．
（1）求的取值范围，并解该方程；
（2）若，求的值．
【难度】★★★★
答案：（1），；（2）．
例10.若三次方程有一个根是纯虚数，则实数______
【难度】★★★
答案：．
1、若复数（是虚数单位）的平方根为，则=_____
【难度】★★
答案：或
2、在复数范围内分解因式：______．
【难度】★★
答案：
3、若一个实系数一元二次方程的一个根是，则此方程的两根之积为______
【难度】★★
答案：5
4、已知复数为虚数单位）是关于的方程，为实数）的一个根，则的值为　　
A．4
B．2
C．0
D．
【难度】★★
答案：．
5、已知复数是关于的方程的一个根，则实数，的值分别为　　
A．6，8
B．12，0
C．12，26
D．24，26
【难度】★★
答案：．
6、对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是、，下列结论中不正确的是　　
A．若，则
B．若，则，且
C．一定有
D．一定有
【难度】★★★
答案：．
7、若，是一元二次方程的两个根，则的值为　　
A．
B．
C．3
D．
【难度】★★★
答案：．
8、设为实数，在复数中解方程：．
【难度】★★★
答案：当时，
；当时，
；当时，
．
9、已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若方程的两根为、，且，求的值；
（2）若方程有虚根，且，求的值．
【难度】★★★
答案：（1），或．（2）．
10、已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．
【难度】★★★★
答案：．
1、实系数一元二次方程的两个虚根、，的实部，则的模等于1，则实数______
【难度】★★★★
答案：2．
2、，是关于的方程的两个虚根，若复平面上，，1对应点构成正三角形，那么实数______
【难度】★★★
答案．
3、解关于的方程，．
【难度】★★★★
答案：．
1、复数的平方根__________．
【难度】★
答案：或
2、复数（i为虚数单位）的平方根为_________
【难度】★★
答案：
3、的平方根是______．
【难度】★
答案：
4、在复数范围内因式分解=___________
【难度】★★
答案：2[x﹣（）][x﹣（）]
5、关于实系数方程，下列说法错误的是　　
A．时，方程有两个不相等实根
B．时，方程有两个不相等虚根
C．时，方程有两个相等实根
D．时，方程有两个互为共轭复数的虚根
【难度】★★★
答案：．
6、（1）已知，是虚数单位，若，是纯虚数，写出一个以为其中一根的实系数一元二次方程；
（2）求纯虚数的平方根．
【难度】★★★
答案：（1）（2）或
7、在复数集中解关于的方程：
【难度】★★★★
答案：时，
或；当或时，
，；
时，
，．
8、在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）．
【难度】★★
答案：（1）或；（2）或．
9、解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
答案：（1），；（2），；（3），．

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