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复数的几何意义
一、复平面与坐标
1.复平面：复数一一对应有序实数对与直角坐标系中对应坐标建立一一对应关系，这样的平面坐标系称为复平面，复平面上复数的坐标记为
(1)实轴：坐标系中原轴对应复数实部，称为实轴
(2)虚轴：坐标系中除原点外，原轴对应复数虚部，称为虚轴
(3)复数的向量表示：
复平面上复数的坐标对应向量坐标记为
二、复数的几何意义
1.
复平面中点的距离：复数的坐标
(1)复数的模：复数的坐标，则表示点
(2)两点距离：表示点与的两点间距离，亦可解读为其中一点到另一点的距离，如：常解读成动点到定点的距离
(3)模的运算性质：
，，，，，
特别的：
2.直线轨迹：表示以与为端点的线段的垂直平分线
3.圆：表示以原点为圆心，半径为的圆
表示以原点为圆心，半径为的圆
例1.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限．
【难度】★★★
例2.在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______
【难度】★★
例3.若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则
△的周长为______
【难度】★★★
例4.设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的实部为______，虚部为______
【难度】★★
例5.满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为______
【难度】★★★
例6.在复平面内，复数，对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______
【难度】★★★
例7.设复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹方程为______
【难度】★★★
例8.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是0、、，则该正方形的第四个顶点对应的复数是______
【难度】★★★
例9.若复数满足，则的取值范围是______
【难度】★★★
例10.在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为
，则______
【难度】★★★★
例11.若复数满足，则的最小值为______
【难度】★★★
例12.设复数，满足图，且，其中为虚数单位，则　______
【难度】★★★★
1、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”．高斯在1831年，用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”．若复数满足，则对应的点位于第______象限，______
【难度】★★★
2、设，其中为虚数单位．若是纯虚数，则在复平面上对应点的坐标为______
【难度】★★
3、已知复数，则下面结论正确的是______
（1）；
（2）；
（3）一定不是纯虚数；
（4）在复平面上，对应的点可能在第三象限
【难度】★★★
4、若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第______象限．
【难度】★★
5、若则取值范围是______
【难度】★★★
6、复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
7、在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
8、设复数满足，则的最大值为　　
A．
B．
C．2
D．3
【难度】★★★
1、已知复数集合，，，，，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为______
【难度】★★★★
2、已知为实数，设复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）当复数对应的点在直线的上方，求的取值范围．
【难度】★★★★
1、棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第______象限．
【难度】★★★
2、在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为______
【难度】★★
3、在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是______
【难度】★★★
4、设复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第　______象限．
【难度】★★
5、已知为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【难度】★★★
6、已知是复平面内的平行四边形，顶点，，对应的复数分别为，，．
（1）求点对应的复数为；
（2）令复数，当实数取什么值时，复数表示的点位于第二或四象限．
【难度】★★★
7、已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【难度】★★
8、已知复数是虚数单位），当实数为何值时．
（1）复数对应的点在第四象限；
（2）复数．
【难度】★★★
9、已知复数，，．
（1）求实数的值；
（2）设，，在复平面上对应点分别为，，，求的面积．
【难度】★★★★复数的几何意义
一、复平面与坐标
1.复平面：复数一一对应有序实数对与直角坐标系中对应坐标建立一一对应关系，这样的平面坐标系称为复平面，复平面上复数的坐标记为
(1)实轴：坐标系中原轴对应复数实部，称为实轴
(2)虚轴：坐标系中除原点外，原轴对应复数虚部，称为虚轴
(3)复数的向量表示：
复平面上复数的坐标对应向量坐标记为
二、复数的几何意义
1.
复平面中点的距离：复数的坐标
(1)复数的模：复数的坐标，则表示点
(2)两点距离：表示点与的两点间距离，亦可解读为其中一点到另一点的距离，如：常解读成动点到定点的距离
(3)模的运算性质：
，，，，，
特别的：
2.直线轨迹：表示以与为端点的线段的垂直平分线
3.圆：表示以原点为圆心，半径为的圆
表示以原点为圆心，半径为的圆
例1.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第______象限．
【难度】★★★
答案：三．
例2.在平行四边形中，对角线与相交于点，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______
【难度】★★
答案：．
例3.若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则
△的周长为______
【难度】★★★
答案：16．
例4.设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的实部为______，虚部为______
【难度】★★
答案：5；．
例5.满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为______
【难度】★★★
答案：
例6.在复平面内，复数，对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______
【难度】★★★
答案：．
例7.设复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹方程为______
【难度】★★★
答案：．
例8.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是0、、，则该正方形的第四个顶点对应的复数是______
【难度】★★★
答案：．
例9.若复数满足，则的取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
例10.在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为
，则______
【难度】★★★★
答案：．
例11.若复数满足，则的最小值为______
【难度】★★★
答案：．
例12.设复数，满足图，且，其中为虚数单位，则　______
【难度】★★★★
答案：．
1、德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”．高斯在1831年，用实数组代表复数，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”．若复数满足，则对应的点位于第______象限，______
【难度】★★★
答案：四；．
2、设，其中为虚数单位．若是纯虚数，则在复平面上对应点的坐标为______
【难度】★★
答案：．
3、已知复数，则下面结论正确的是______
（1）；
（2）；
（3）一定不是纯虚数；
（4）在复平面上，对应的点可能在第三象限
【难度】★★★
答案：（2）．
4、若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第______象限．
【难度】★★
答案：四．
5、若则取值范围是______
【难度】★★★
答案：，．
6、复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
7、在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为　　
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
答案：．
8、设复数满足，则的最大值为　　
A．
B．
C．2
D．3
【难度】★★★
答案：．
1、已知复数集合，，，，，其中为虚数单位，若复数，则对应的点在复平面内所形成图形的面积为______
【难度】★★★★
答案：
2、已知为实数，设复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）当复数对应的点在直线的上方，求的取值范围．
【难度】★★★★
答案：（1）；（2），，．
1、棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第______象限．
【难度】★★★
答案：二．
2、在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为______
【难度】★★
答案：．
3、在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是______
【难度】★★★
答案：．
4、设复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第　______象限．
【难度】★★
答案：四
5、已知为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【难度】★★★
答案：．
6、已知是复平面内的平行四边形，顶点，，对应的复数分别为，，．
（1）求点对应的复数为；
（2）令复数，当实数取什么值时，复数表示的点位于第二或四象限．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）或．
7、已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）．
8、已知复数是虚数单位），当实数为何值时．
（1）复数对应的点在第四象限；
（2）复数．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）．
9、已知复数，，．
（1）求实数的值；
（2）设，，在复平面上对应点分别为，，，求的面积．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．

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