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1107440012382500690245-167640第七章随机变量及其分布
第七章随机变量及其分布
3134995134620综合复习
综合复习

134620-212725 知识点1-----条件概率
知识点1-----条件概率
1.定义：
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
false
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式
条件概率的计算
1) 用定义计算:
61912563500P(B)>0
P(B)>0

2)从加入条件后可用缩减样本空间法
224155194945知识点2-----随机变量
知识点2-----随机变量


1.随机变量的概念
如果随机试验的结果可用一个变量来表示,而这个变量是随着试验结果的变化而变化的，称这个变量为随机变量
例如：一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数?与之对应，我们称X为随机变量
2. 随机变量的表示：
随机变量常用字母：X，Y，ξ，η等表示.
3.随机变量与函数有什么联系和区别?
共同点：随机变量和函数都是一种映射
区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数
联系： 试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；
注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
4.随机变量的分类：
1)离散型随机变量：
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
2)连续型随机变量:
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.

833755158750注意
离散型随机变量的特点:(1)取值依赖于样本点;(2)所有可能取值是明确的
注意
离散型随机变量的特点:(1)取值依赖于样本点;(2)所有可能取值是明确的


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200025-15875知识点3-----离散型随机变量的均值
知识点3-----离散型随机变量的均值

1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变 量X的分布列为
X
false
false
false
false
false
false
P
false
false
false
false
false
false
则称false为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数， 它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
349250151130注意:
E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的，可取不同的值,而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.
注意:
E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定.随机变量X是可变的，可取不同的值,而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态.







80645119380知识点4-----二项分布
知识点4-----二项分布


1.伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验

2.n重伯努利实验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立


3.?二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
falsefalse
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作false
121920439420知识点5-----正态曲线
知识点5-----正态曲线
1.正态曲线:
沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变， 所得的曲线依然是正态曲线false函数，其中false,false为参数.
显然对于任意x∈R，false，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称false为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率密度函数为false，则称随机变量X服从正态分布，记为X～false，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

2.正态曲线的性质：
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在时达到峰值；
④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.
⑤曲线与轴之间的面积为1；
⑥决定曲线的位置和对称性；
当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。
⑦确定曲线的形状；
当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。


-55880623570 重难点总结
重难点总结
正态分布在三个特殊区间的概率值：
；
；
。
上述结果可用下图表示：
要点诠释：
若随机变量服从正态分布，则落在内的概率约为，落在之外的概率约为，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。
一般的，服从于正态分布的随机变量通常只取之间的值，简称为原则。
求正态分布在给定区间上的概率方法
（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与轴之间面积为1。
①正态曲线关于直线对称，与对称的区间上的概率相等。
例如；
②；
③若，则。
(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
①；
②；
③。
00经典例题
经典例题
例题1.一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ξn ，则下列说法错误的是（??? ）
A.?E(ξn)=0????????B.?D(ξn)=n????????C.?P(ξ2020=0)【答案】 C
【解析】由题意知：设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ξn∈[?n,n] ，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为 12 ，
∴爬行 n 次后小虫一共向前爬行 r 次，则向后爬行 n?r 次，有 ξn=r+[?(n?r)]=2r?n ；故 P{ξn=2r?n}=Cnr(12)n ，则：1、 E(ξn)=r=0nCnr(2r?n)2n=0 ， D(ξn)=E(ξn2)?E(ξn)2=E(ξn2)=r=0nCnr(2r?n)22n=n ，A、B符合题意；2、 P(ξ2020=0)=C20201010(12)2020 ， P(ξ2020=2)=C20201011(12)2020 ，即 P(ξ2020=0)P(ξ2020=2)=10111010>1 ，有 P(ξ2020=0)>P(ξ2020=2) ，C不符合题意；3、 P(ξ2018=0)=C20181009(12)2018 ，即 P(ξ2020=0)P(ξ2018=0)=40384040<1 ，有 P(ξ2020=0)故答案为：C
例题2.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（??? ）
A.?62%?????????????????????????????????????B.?56%?????????????????????????????????????C.?46%?????????????????????????????????????D.?42%
【答案】 C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 A+B ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 A?B ，
则 P(A)=0.6 ， P(B)=0.82 ， P(A+B)=0.96 ，
所以 P(A?B)= P(A)+P(B)?P(A+B) =0.6+0.82?0.96=0.46
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 46% .
故答案为：C.
例题3.在编号分别为 i(i=0,1,2,???,n?1) 的n名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n所得的余数如果恰好为i，则选编号为i的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（??? ）
A.?n=2???????????????????????????????????B.?n=3???????????????????????????????????C.?n=4???????????????????????????????????D.?n=6
【答案】 C
【解析】由题意知两枚骰子的点数之和为 X ，则 X 可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ，
P(X=2)=136 ， P(X=3)=236 ， P(X=4)=336 ， P(X=5)=436 ， P(X=6)=536
P(X=7)=636 ， P(X=8)=536 ， P(X=9)=436 ， P(X=10)=336 ， P(X=11)=236 ， P(X=12)=136 ，
对于A： n=2 时， i=0,1,
P(i=0)=(136+336+536)×2=12 ， P(i=1)=236+436+636+436+236=12 ，
所以 n=2 是公平的， A不符合题意；
对于B： n=3 时， i=0,1,2 ，
P(i=0)=236+536+436+136=13 ， P(i=1)=336+636+336=13 ，
P(i=2)=136+436+536+236=13 ，所以 n=3 是公平的，B不符合题意；
对于C： n=4 时， i=0,1,2,3
P(i=0)=336+536+136=14 ， P(i=1)=436+436=29 ，
P(i=2)=136+536+336=14 ， P(i=3)=236+636+236=518
因为概率不相等，所以 n=4 不公平，C符合题意；
对于D： n=6 时， i=0,1,2,3,4,5
P(i=0)=536+136=16 ， P(i=1)=636=16 ， P(i=2)=136+536=16 ，
P(i=3)=236+436=16 ， P(i=4)=336+336=16 ， P(i=5)=436+236=16 ，
所以 n=6 是公平的，D不符合题意，
故答案为：C


例题4.田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
【答案】 （1）解：将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为 T1 、 T2 、 T3 ，
齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为 W1 、 W2 、 W3 ，
并且用马的记号表示该马上场比赛.
设事件 Ω= “第一局双方参赛的马匹”，事件 A= “在第一局比赛中田忌胜利”，
由题意得 Ω={(T1W1),(T1W2),(T1W3),(T2W1),(T2W2),(T2W3),(T3W1),(T3W2),(T3W3)} ，
A={(T1W2),(T1W3),(T2W3)} ，
则在第一局比赛中田忌胜利的概率是 P(A)=39=13 .
2）解：设事件 B= “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，
事件 C= “田忌获得本场比赛胜利”，
由题意得 B={(T3W1,T1W2,T2W3),(T3W1,T1W3,T2W2),(T3W1,T2W2,T1W3),(T3W1,T2W3,T1W2)} ，
BC={(T3W1,T1W2,T2W3),(T3W1,T2W3,T1W2)} ，
则本场比赛田忌胜利的概率是 P(C|B)=24=12 .
（3）解： 16
【解析】（1）首先将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为 T1 、 T2 、 T3 ，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为 W1 、 W2 、 W3 ，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案.（2）首先设事件 B= “第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件 C= “田忌获得本场比赛胜利”，列举出事件 B ， C 的个数，利用条件概率公式即可的得到答案.（3）根据题意直接写出答案即可.
例题5.某单位食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售，如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂，根据调查，得到食堂每天面包销售量 X （单位：个）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率，同一组数据用该区间的中点值作为代表.
（1）求面包的日销售量 X （单位：个）的分布列和均值；
（2）若食堂每天购买的面包数量相同，该食堂有以下两种购买方案：方案一：按平均数购买；方案二：按中位数购买，请你以利润期望值为决策依据选择更合理的方案.
【答案】 （1）解：由频率分布直方图可知， X 所有的可能取值为65，75，85，95，105，
且 P(X=65)=0.025×10=0.25 ， P(X=75)=0.015×10=0.15 ，
P(X=85)=0.02×10=0.2 ， P(X=95)=0.025×10=0.25 ，
P(X=105)=0.015×10=0.15 .
因此 X 的分布列为：
X
65
75
85
95
105
P
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
E(X)=65×0.25+75×0.15+85×0.2+95×0.25+105×0.15=84
（2）解：由（1）知平均数为84，由频率分布直方图可知中位数为 80+0.10.02=85 .
假设食堂一天所获利润为 Y 元，
若选择方案一，即一天买入84个面包，
当 X=65 时， Y=65×2?(84?65)×2=92 ；
当 X=75 时， Y=75×2?(84?75)×2=132 ；
当 X≥85 时， Y=84×2=168 ，
此时 E(Y)=92×0.25+132×0.15+168×0.6=143.6 .
若选择方案二，即一天买入85 个面包，
当 X=65 时， Y=65×2?(85?65)×2=90 ；
当 X=75 时， Y=75×2?(85?75)×2=130 ；
当 X≥85 时， Y=85×2=170 ，
此时 E(Y)=90×0.25+130×0.15+170×0.6=144 .
因为 143.6<144 ，所以选择方案二
【解析】 （1）由频率分布直方图得X的所有可能取值为65，75，85，95，105，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．
（2）由频率分布直方图得中位数为85，假设食堂一天所获利润为Y元，选择方案一，即一天买入84个面包，求出E（Y）=143.6．选择方案二，即一天买入85个面包，求出E（Y）=144，从而选择方案。
例题6.为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为 13 ，答错的概率为 23 .
（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；
（2）若甲在回答过程中出现在第 i(i≥2) 个等级的概率为 Pi ，证明： {Pi?Pi?1} 为等比数列.
【答案】 （1）解：依题意可得， X=5,6,7,8,9,10 ，
P(X=5)=C55(23)5=(23)5=32243 ， P(X=6)=C54(23)4(13)=5×(23)4×13=80243 ，
P(X=7)=C53(23)3(13)2=80243 ， P(X=8)=C52(23)2(13)3=40243 ，
P(X=9)=C51(23)×(13)4=10243 ， P(X=10)=C50(13)5=1243 ，
则 X 的分布列如表所示.
X
5
6
7
8
9
10
P
32243
80243
80243
40243
10243
1243
E(X)=5×32243+6×80243+7×80243+8×40243+9×10243+10×1243=203
（2）解：处于第 i+1 个等级有两种情况：
由第 i 等级到第 i+1 等级，其概率为 23Pi ；
由第 i?1 等级到第 i+1 等级，其概率为 13Pi?1 ；
所以 Pi+1=23Pi+13Pi?1 ，所以 Pi+1?Pi=?13(Pi?Pi?1) ，
即 Pi+1?PiPi?Pi?1=?13 .
所以数列 {Pi?Pi?1} 为等比数列
【解析】 (1)首先确定X的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望即可；
(2)根据已知的关系，求出Pi+1与Pi ， Pi-1的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可．
00随堂练习
随堂练习
练习1.某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩 X 服从正态分布 N(82,16) ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（??? ）
〖参考数据〗： P(μ?σA.?2300????????????????????????????????????B.?3170????????????????????????????????????C.?3415????????????????????????????????????D.?460
练习2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为( ??)
A.?89??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?25??????????????????????????????????????????D.?13
练习3.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A发生的条件下事件B发生的概率是（?? ）
A.?47????????????????????????????????????????B.?516????????????????????????????????????????C.?58????????????????????????????????????????D.?514
练习4.某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题（共5题）和选答题（共2题）两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为 45 ，答对每道选答题的概率为 25 .
（1）求甲恰好答对4道必答题的概率；
（2）在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为 12 ，试求甲同学在选答题阶段，得分 X 的分布列.
练习5.在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：
得分
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ξ?N(μ,196) ， μ 近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求 μ 的值；
②若 P(ξ>2a?5)=P(ξ（2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于 μ 的可以获赠2次随机话费，得分低于 μ 的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额(单位：元)
20
50
概率
34
14
现有市民甲参加此次问卷调查，记 X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与数学期望.
练习6.网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.
订单：（单位：万件）
[3,5) ?
[5,7)
[7,9)
[9,11)
频率
0.04
0.06
0.10
0.10
订单：（单位：万件）
[11,13)
[13,15)
[15,17)
[17,19)
[19,21)
频率
0.30
0.20
0.10
0.08
0.02
（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数 Z （单位：万件）近似地服从正态分布 N(μ,σ2) ，其中 μ 为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）， σ 为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间 (4.88,15.8] 内的城市数为 X ，求 X 的数学期望（取整数）；
②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间 (12.16,19.44] 内的可能性最大，试求整数k的值.
参考数据：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ?σ00参考答案
参考答案
练习1【答案】 A
【解析】依题意知， μ=82,δ=4 所以 P(74则 P(x≥90)=(1?0.954)×12=0.023 ，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为
100000×0.023=2300 故答案为：A
练习2【答案】 A
【解析】由于对称轴在 y 轴左侧，故 ?b2a<0 ，故 a,b 同号，基本事件有 3×3×7×2=126 . ξ 的可能性有 0,1,2 三种， P(ξ=0)=6×7126=13 ， P(ξ=1)=8×7126=49 ， P(ξ=2)=4×7126=29 .故期望值为 0×13+1×49+2×29=89 .
故答案为：A.
练习3【答案】 A
【解析】由题意可理解为条件概率，则可由条件概率公式得； P(B|A)=n(A?B)n(A)=5×45×7=47 ,
故答案为：A
练习4【答案】 （1）解：甲恰好答对4道必答题的概率为 P=C54(45)4(15)=256625 .
（2）解：依题意，每道题选择回答并答对的概率为 12×25=15 ，选择回答且答错的概率为 12×35=310 ，选择放弃回答的概率为 12 .
甲得分的可能性为 ?4 分， ?2 分，0分，3分，5分和10分.
所以 P(X=?4)=9100 ，
P(X=?2)=C2112×12×(35)=310 ，
P(X=0)=12×12=14 ，
P(X=3)=C2112×12×(25)×(35)=325 ，
P(X=10)=12×12×(25)2=125 .
所以 X 的分布列为
X
-4
-2
0
3
5
10
P
9100
310
14
325
15
125
【解析】（1）根据相互独立事件的概率公式解之即可；（2）甲得分的可能性为 ?4 分， ?2 分，0分，3分，5分和10分，然后根据相互独立事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列即可.
练习5【答案】 （1）解：①由题意得： 30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4100=60.5 ，
∴μ=60.5 ，
② ∵P(ξ>2a?5)=P(ξ∴ 由正态分布曲线的对称性得， (2a?5)+(a+3)2=60.5 ，
解得 a=41
（2）解：由题意得， P(Z<μ)=P(Z≥μ)=12 ，即获赠1次和2次随机话费的概率均为 12 ,
故获赠话费的 X 的所有可能取值为20，40，50，70，100
P(X=20)=12×34=38 ，
P(X=40)=12×34×34=932 ，
P(X=50)=12×14=18 ，
P(X=70)=12×14×34+12×34×14=632=316 ，
F(X=100)=12×14×14=132 .
∴X 的分布列为：
X
20
40
50
70
100
P
38
932
18
316
132
E(X)=20×38+40×932+50×18+70×316+100×132 =3308=41.25 元.
所以 X 的数学期望为41.25元.
【解析】 （1）利用频率分布表即可求出均值，得到对称轴，然后求解a的值；
（2）由题意知P（ξ＜μ)=P(ξ≥μ)=12 ，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
练习6【答案】 （1）解：①由频率分布表可得，样本平均数为 μ=4×0.04+6×0.06+8×0.1+10×0.1
+12×0.3+14×0.2+16×0.1+18×0.08+20×0.02=12.16 ，
所以 Z?N(12.16,3.642) ，
因此 P(4.88=12P(μ?2σ由题意，可得 X?B(6,0.8186) ，所以 X 的数学期望为 E(X)=6×0.8186=4.9116≈5 ；
②由分层抽样知，这100个城市中每月订单数在区间 [3,5) 内的有 100×0.040.04+0.06=40 个，
则每月订单数在区间 [5,7) 内的有 100×0.060.04+0.06=60 个，
若不开展营销活动，则一个月的利润为 40×4×5+60×6×5=2600 （万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为 100×9×(5?2)=2700 （万元），
因此M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利 100 万元；
（2）解：因为 P(12.16=0.47725 ，
即随机抽取1个城市的外卖订单数在区间 (12.16,19.44] 内的概率为 P=0.47725 ，
则从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，抽到K个城市的M外卖订单数在区间 (12.16,19.44] 内的概率为 P(X=k)=C100kPk(1?P)k ，
为使若抽到K个城市的M外卖订单数在区间 (12.16,19.44] 内的可能性最大，
只需 {C100k?Pk?(1?P)100?k≥C100k+1?Pk+1?(1?P)99?kC100k?Pk?(1?P)100?k≥C100k?1?Pk?1?(1?P)101?k ，
即 {A100kAkk?(1?P)≥A100k+1Ak+1k+1?PA100kAkk?P≥A100k?1Ak?1k?1?(1?P) ，即 {1?P≥100?kk+1?P101?kk?P≥1?P ，解得 101P?1≤k≤101P ，
则 47.20225≤k≤48.20225 ，
又 k 为整数，所以 k=48 .
【解析】（1）①先由频率分布表求出样本平均数，得到 Z?N(12.16,3.642) ，求出 P(4.88

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