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　圆的方程
一、教材概念·结论·性质重现
1．圆的定义及方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：，半径：
(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)23．常用结论
以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(
√
)
(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(
×
)
(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.(
×
)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(
×
)
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2,3)，3
B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)，
D　解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2
B．－2
C．1
D．－1
B　解析：由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．a＝±1
A　解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－15．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4)　5　解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
考点1　求圆的方程——基础性
　　　　　　　　　　　　　
(1)(2020·北京高三一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－2)2＋(y－4)2＝4
D．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D　解析：因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)．
因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．
因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝，所以d＝＝，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．
因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.
(2)(2021·聊城第一中学月考)已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
A　解析：(方法一)因为圆心在直线x－y＝0上，所以圆心的横、纵坐标相同，排除B，C.选项D中，圆心(－1，－1)到直线x＋y＝0的距离是＝；圆心(－1，－1)到直线x＋y－4＝0的距离是＝3≠.故D不符合题意．故选A.
(方法二)由圆心在直线y＝x上，设圆心为(a，a)，因为圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，所以圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，即＝，解得a＝1，所以圆心坐标为(1,1)，R＝＝，则圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选A.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法．通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
1．(2020·重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－2)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16
D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16
A　解析：由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0，可得(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过的交点，解得即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝16.故选A.
2．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为(　　)
A．(－1,1)
B．(－1,0)
C．(1，－1)
D．(0，－1)
D　解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝.
当k＝0时，rmax＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
考点2　与圆有关的轨迹问题——综合性
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，
从而
又点N在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
1．若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
B　解析：设P(x，y)，则由题意可得2＝，化简整理得x2＋y2＝16.
2．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程．
解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．
由A(－1,0)，B(1,0)，
设动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)．由重心坐标公式得
则
代入x2＋y2＝1，整理得2＋y2＝(y≠0)，
故所求轨迹方程为2＋y2＝(y≠0)．
考点3　与圆有关的最值问题——综合性
考向1　斜率型、截距型、距离型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，
解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题的3种几何转化法
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
考向2　利用对称性求最值
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
A　解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
1．设点P是函数y＝－图像上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
－2　解析：函数y＝－的图像表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图像如图所示．
由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，故直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
2．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
2　解析：因为圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r＝为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故解得故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝＝3.连接A′C交圆C于点Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.课程标准
命题解读
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．3．掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直．4．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．5．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．6．能判断直线与圆，圆与圆的位置关系．7．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．8．了解抛物线与双曲线的定义、标准方程，以及它们的简单几何性质．9．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
考查形式：一般为两个选择题或填空题和一个解答题．考查内容：直线和圆的位置关系，圆锥曲线标准方程的求解，椭圆、双曲线离心率的计算等几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，最值与范围问题，定点与定值问题，探索性问题或证明问题．备考策略：(1)熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程的求法．(2)深刻理解圆锥曲线的定义，并能应用定义解决相关问题．(3)在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，要加强运算的训练，重视“设而不求”的思想方法的应用．(4)掌握最值和范围、定点与定值、探索性问题等的一般解法和思想．核心素养：数学抽象、数学运算.
　直线方程
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)若直线与x轴平行或重合，则规定该直线的倾斜角为0°.
(3)倾斜角的取值范围是0°～180°.
2．直线的斜率
(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．
直线的斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有的直线都适用
(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．
(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(
×
)
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(
×
)
(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．(
×
)
(4)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(
×
)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(
√
)
2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin
α＋cos
α＝0，则a，b满足
(　　)
A．a＋b＝1
B．a－b＝1
C．a＋b＝0
D．a－b＝0
D　解析：因为sin
α＋cos
α＝0，所以
tan
α＝－1.
又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－，
所以－＝－1，即a－b＝0.
3．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C　解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
4．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则
x＝________.
－3　解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3.
5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为__________________．
3x－2y＝0或x＋y－5＝0　解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
考点1　直线的倾斜角与斜率——基础性
1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k2D　解析：由图可知k1>0，k2<0，k3<0，且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角，所以k3>k2.综上可知k22．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
D　解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>.
3．已知直线的方程为xsin
α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
B　解析：因为直线l的方程为xsin
α＋y－1＝0，所以y＝－x＋，即直线的斜率k＝－.由－1≤sin
α≤1，得－≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为∪.
4．(2021·八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
，－3　解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图的平面直角坐标系．
设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan
θ＝2.
由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，
kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
1．倾斜角α与斜率k的函数关系
k＝tan
α，α∈∪，求倾斜角或斜率范围时，可结合图像解题．
2．斜率的两种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据公式k＝(x1≠x2)求斜率．
考点2　求直线的方程——基础性
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin
α＝(0≤α<π)．
从而cos
α＝±，则k＝tan
α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为＋＝1.又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意．
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
求适合下列条件的直线方程：
(1)求过点A(1,3)，倾斜角是直线y＝－x的倾斜角的的直线方程；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解：(1)因为y＝－x的斜率为k＝－，其倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为，
所以直线方程为y－3＝(x－1)，即直线方程为x－y＋3－＝0.
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan
α＝3，所以tan
2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又直线经过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
考点3　直线方程的综合应用——综合性
考向1　求与最值有关的直线方程
过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)．
因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为1＝＋≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．
所以，当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小．
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1(a>0，b>0)，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤
(1)设出直线方程，建立目标函数．
(2)利用均值不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数．
(3)写出直线方程．
考向2　由直线方程求参数的值或取值范围
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.又0由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项
(1)注意寻找等量关系或不等关系．若点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解．
(2)注意直线恒过定点问题．
1.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米．现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．
10　解析：如图，建立平面直角坐标系．
设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以A，B(0,4－3k)，所以△ABO的面积S＝×(4－3k)×＝×.
因为k<0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为＝10(米)．
2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA||PB|的最大值是________．
5　解析：由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，得定点B(1,3)．当m＝0时，两条动直线垂直；当m≠0时，因为×m＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.
已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　
[四字程序]
读
想
算
思
△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程
1.三角形面积的表达式；2．以谁为变量？
用适当的变量表示面积S，并求其最小值和此时的直线方程
转化与化归
直线过定点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点
1.
S＝ah；2．S＝ab·sin
C；3．点的坐标作变量；4．直线的斜率作变量
1.S＝ab≥12；2．S≥[12＋2]＝×(12＋12)＝12
1.均值不等式；2．三角函数的性质
思路参考：设出直线的截距式方程，利用均值不等式求出ab的最小值．
解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24.
从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－.
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．
解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
将点P(3,2)的坐标代入得＋＝1.
令＝sin2α，＝cos2α，则a＝，b＝，
所以S△ABO＝ab＝＝.
因为0由图可知b＞0，所以当且仅当＝时等号成立，即k＝－＝－，
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合均值不等式求得最值．
解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A，B(0,2－3k)，
所以S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．
2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化，构造函数利用均值不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．
过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：
(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；
(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．
解：(1)设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.所以ab＝ab＝2b＋a≥2，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA||OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)．
所以|PA||PB|＝＝≥4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
所以|PA||PB|的最小值为4时，
直线的方程为x＋y－3＝0.

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