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第四章　三角函数、解三角形
第一讲　三角函数的基本概念、
同角三角函数的基本关系与诱导公式
考点测评
1.[多选题]下列说法正确的是 (　　)
A.第二象限角大于第一象限角
B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关
C.若sin α=sin β,则α与β的终边相同或关于y轴对称
D.若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.
2.[2020百校联考]已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α - cos α= (　　)
A. B. - C. D. -
3.[2019湖南衡阳三模]若sin α<0,则下列三角函数的值恒为负数的是 (　　)
A.cos α B.tan α C.cos D.tan
4.[2019全国卷Ⅰ] tan 255° = (　　)
A. - 2 - B. - 2+ C.2 - D.2+
5.[2020山西大同高三调研]已知sin α+cos α=,α∈(0,π),则= (　　)
A. - B. C. D. -
6.[2019河南郑州三测]已知cos(+α)=,α∈(,π),则cos α= (　　)
A. B. - C. - D.
7.[2019北京高考]如图4 - 1 - 1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 (　　)
A.4β+4cos β 　　B.4β+4sin β
C.2β+2cos β 　　D.2β+2sin β
8.[2018全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a - b|= (　　)
A. B. C. D.1
知识回顾
考法1 三角函数定义的应用
例1已知角α的终边上一点P( - ,m)(m≠0),且sin α=,则cos α=　　　　,tan α=　　　　.　　　　　　　　　　　　　
【解题思路】由sin α=,结合三角函数的定义建立关于参数m的方程,求出m的值,再根据定义求cos α,tan α的值.
【解析】设P(x,y).由题设知x= - ,y=m,
所以R2=OP2=( - )2+m2(O为原点),即R=,
所以sin α=,所以R==2,
即3+m2=8,解得m=±.
当m=时,cos α== - ,tan α= - ;
当m= - 时,cos α== - ,tan α=.
例2如图4 - 1 - 3,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为　　　　.?
【解题思路】求解本题的关键是确定点P转过的弧长,可借助三角函数的定义寻找点P的坐标,进而得的坐标.
【解析】如图4 - 1 - 4所示,设滚动后的圆的圆心为C,点P的坐标为(xP,yP),过点C作x轴的垂线,垂足为A,过点P作x轴的垂线与过点C所作y轴的垂线交于点B.
图4 - 1 - 4
因为圆心移动的距离为2,所以劣弧=2,即圆心角∠PCA=2,则∠PCB=2 - ,
所以PB=sin(2 - )= - cos 2,CB=cos(2 - )=sin 2,
所以xP=2 - CB=2 - sin 2,yP=1+PB=1 - cos 2,
所以=(2 - sin 2,1 - cos 2).
变式练习
1.(1)[2019四川攀枝花三诊]已知角θ=,且角θ的终边经过点P(x,2),则x的值为 (　　)
A.±2 B.2 C. - 2 D. - 4
(2)[2017北京高考]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则
sin β=　　　　.?
考法2 同角三角函数关系的应用
命题角度1　公式的应用
例3已知 =5,则sin2α - sin αcos α=　　　.?
【解析】解法一　由已知可得sin α+3cos α=5(3cos α - sin α),即6sin α=12cos α,也就是sin α=2cos α,
代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=, (运用平方关系:sin2α+cos2α=1)
从而sin2α - sin αcos α=4cos2α - 2cos2α=2cos2α=.
解法二　由已知可得=5, (弦化切)
整理得tan α=2.从而sin2α - sin αcos α== (利用sin2α+cos2α代换分母1)
.
命题角度2　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
例4[2019四川成都二诊]已知α为第二象限角,且sin α+cos α=,则cos α - sin α=
A. B. - C.± D. -
【解题思路】观察已知式sin α+cos α=与待求式cos α - sin α的特征,可以求出sin αcos α的值,整体代入求解即可;或利用换元法,令cos α - sin α=t,结合已知条件和同角三角函数的基本关系求解;或根据sin2α+cos2α=1及sin α+cos α=求出sin αcos α= - ,结合方程的根与系数的关系求出sin α,cos α的值,从而使问题得解.
【解析】解法一　(整体代入法)由sin α+cos α=两边同时平方,得1+2sin αcos α=,则2sin αcos α= - ,
所以(cos α - sin α)2=1 - 2sin αcos α=1+. (配凑出关于sin αcos α的式子,整体代入)
因为α为第二象限角,所以cos α - sin α= - . (三角函数值的符号由角α所在的象限决定)
故选B.
解法二　(换元法)已知sin α+cos α=,　①
令cos α - sin α=t.　② (整体换元)
由①2+②2,得2sin2α+2cos2α=+t2,即2=+t2, (利用同角三角函数的平方关系求值)
整理得t2=2 - ,解得t=±.
因为α为第二象限角,所以cos α - sin α<0,故cos α - sin α= - . (检验,舍去不满足题意的值)
故选B.
解法三　(列方程法)由sin α+cos α=两边同时平方,得1+2sin αcos α=,
则2sin αcos α= - ,即sin αcos α= - .
所以sin α,cos α是方程x2 - x - =0的两根,
解方程得x1= - ,x2=.
因为α是第二象限角,所以sin α=,cos α= - ,
所以cos α - sin α= - .故选B.
【答案】B
变式练习
2.(1)[2017全国卷Ⅲ]已知sin α - cos α=,则sin 2α= (　　)
A. - B. - C. D.
(2)[2016全国卷Ⅲ]若tan α=,则cos2α+2sin 2α= (　　)
A. B. C.1 D.
考法3 诱导公式的应用
例5(1)[2016四川高考] sin 750°=　　　.?
(2)已知cos( - α)=,则cos(+α) - sin2(α - )=.
【解题思路】(1)利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得出结论;(2)利用( - α)+(+α)=π和α - = - ( - α),将待求式中的角进行转化即可求解.
【解析】(1)sin750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=.
(2) 因为cos(+α)=cos[π - ( - α)]= - cos( - α)= - ,
sin2(α - )=sin2[ - ( - α)]=sin2( - α)=1 - cos2( - α)=1 - ()2=,
所以cos(+α) - sin2(α - )= - = - .
变式练习
3.(1)[2017全国卷Ⅲ]函数f (x)=sin(x+)+cos(x - )的最大值为 (　　)
A. B.1 C. D.
(2)设f (α)=(1+2sin α≠0),则f ( - )=　　　　.?
考法4 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
例6 [2016全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ - )=　　　　.?
【解析】解法一　因为sin(θ+)=,所以cos(θ - )=sin[+(θ - )]=sin(θ+)=.因为θ为第四象限角,所以 - +2kπ<θ<2kπ,k∈Z,所以
- +2kπ<θ - <2kπ - ,k∈Z,所以sin(θ - )= - = - ,所以tan(θ - )== - .
解法二　因为θ是第四象限角,且sin(θ+)=,所以θ+为第一象限角,所以cos(θ+)=,所以tan(θ- )==
- = - .
变式练习
4.已知tan α=2,则cos(π+2α)= (　　)
A. B. C. - D. -
易错 三角函数求值时忽略隐含条件致错
例7已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则tan θ的值为　　　　.?
【解析】解法一　将sin θ+cos θ=两边同时平方,得1+2sin θcos θ=1 - ,即sin θcos θ= - ,易知θ≠.
故sin θcos θ== - ,
解得tan θ= - 或tan θ=- .
∵ θ∈(0,π),sin θcos θ= - <0,∴θ∈(,π).由sin θ+cos θ=>0可知sin θ> - cos θ,即|sin θ|>|cos θ|,故θ∈(,),则tan θ< - 1,
∴tan θ= - .
解法二　(本题若利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系,就会得到更为便捷的解法)
由sin θ+cos θ=　①,得sin θcos θ= - <0,
又θ∈(0,π),∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ - cos θ>0.
又(sin θ - cos θ)2=1 - 2sin θcos θ=1+,
∴sin θ - cos θ=　②.
联立①②,解得∴tan θ= - .
【素养探源】
核心素养 考查途径 素养水平
逻辑推理 弦切互化,角的限制条件的挖掘,判断三角函数值的符号. 二
数学运算 求三角函数值. 一
【易错警示】　
本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin θ|>|cos θ|”的挖掘,从而得到错误答案:tan θ= - 或tan θ= - .有些关于三角函数的条件求值问题,表面上角的范围不受条件限制,实际上只要对已知式稍加变形,就会推出三角函数值间的限制关系,这种限制关系本身就隐含了角的取值范围.解题时,如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘,就很可能出错.
变式练习
5.[2019安徽师大附中模拟]已知角α终边上一点P的坐标为(sin,cos),则角α是 (　　)
A. B. C. - D. -
思想方法　分类讨论思想在三角函数化简求值中的应用
例8在△ABC中,若sin(2π - A)= - sin(π - B),cos A= - cos(π - B),则C=　　　.?
【解题思路】利用同角三角函数基本关系式的平方关系时,要对开方的结果进行分类讨论.
【解析】由已知得
①2+②2,得2cos2A=1,即cos A=±.
当cos A=时,cos B=,又A,B是三角形的内角,
所以A=,B=,所以C=π - (A+B)=π.
当cos A= - 时,cos B= - ,又A,B是三角形的内角,所以A=π,B=π不符合题意,舍去.
综上可得C=π.
【素养探源】　
核心素养 考查途径 素养水平
逻辑推理 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式恒等变形,分类讨论. 二
数学运算 三角恒等变换,求角A,B和C. 二
【反思】
(1)本题在三角函数的化简求值过程中,应用了分类讨论思想,即使讨论的某种情况不符合题意,也不能省略讨论的步骤,需提升数学思维的严谨性.
(2)求解三角形中的三角函数问题时,要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用.
变式练习
6.已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是　　　　.?
第一讲　《三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式》测试
基础篇
1.若sin(+θ)<0，cos( - θ)>0，则θ是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.[2020贵阳市高三摸底测试]已知角α的顶点与原点 O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P( - ， - )，则sin(π - α)= (　　)
A. - B. C. - D.
3.[2020惠州市二调]若sin(π - α)=，且≤α≤，则sin 2α的值为 (　　)
A. - B. - C. D.
4.[2020四川五校联考]已知sin α+cos α=2，则tan α= (　　)
A. B. C.- D. -
5.[2020洛阳市第一次联考]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=3x上，且sin α<0，
又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|=(O为坐标原点)，则m - n等于 (　　)
A.2 B.-2 C.4 D.-4
6.[2019合肥市高三调研]已知tan α=3，则sin( - α)·cos(+α)的值为 (　　)
A. B. - C. D. -
7.[2020长春市第一次质量监测]已知sin - cos ，则sin α=　　　　.?
8.[2020大同市高三调研]已知sin(θ - )=，且θ∈(0，)，则cos(θ - )=　　　　.?
9.[2019蓉城名校高三联考]sin( - 390°)= 　.?
10.[2019湖南省邵阳市高三大联考]已知tan(α - )=，则cos2(α - )=　　　　.?
提升篇
11.[2020长春市第一次质量监测]中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中沿圆的半径剪下的扇形面制作而成的，
设扇形面的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇面的圆心角的弧度数为 (　　)
A.(3 - )π B.( - 1)π C.(+1)π D.( - 2)π
12.[2019湖北武汉调研]若角α满足=5，则= (　　)
A. B. C.5或 D.5
13.[2019河南八市重点高中联考]已知点(3，a)和点(2a，4)分别在角β和角β - 45°的终边上，则实数a的值是 (　　)
A.-1 B.6 C.6或-1 D.6或1
14.[2019陕西宝鸡二模]已知曲线f (x)=x3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则= (　　)
A. B.2 C. D.-
15.[2019安徽省池州中学第二次质量检测]已知cos(α - )=，则sin(α+)的值是　　　　.?
16.[2019百校联考]已知cos(α+)=，α为锐角，则cos(2α - )=　　　　.?
参考答案与解析
三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式
考点测评
1.BC　举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A错；易知BC正确；当θ=π时，cos θ= - 1，此时θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故D错.综上可知只有BC正确.
2.D　由点P(cos 300°，sin 300°)是角α终边上一点，可得sin α - cos α=sin 300° - cos 300°= - .
3.D　由sin α<0，得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z)，故kπ+4.D　由正切函数的周期性可知，tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(30°+45°)==2+，故选D.
5.A　sin α+cos α=等号两边同时平方得1+2sin αcos α=，所以sin αcos α= - <0，又α∈(0，π)，所以sin α>0，则cos α<0，所以sin α - cos α>0.因为(sin α - cos α)2=1 - 2sin αcos α=，所以sin α - cos α=.所以= - ，故选A.
6.C　由题意知，cos(+α)=cos(+α)=sin α=，又α∈(，π)，所以cos α= - = - .故选C.
7.B　如图D 4 - 1 - 1，设点O为圆心，连接PO，OA，OB，AB，
图D 4 - 1 - 1
在劣弧上取一点C，则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A，B是圆周上的定点，所以弓形ACB的面积为定值，故当△ABP的面积最大时，阴影区域面积最大.又AB的长为定值，故当点P为优弧的中点时，点P到弦AB的距离最大，此时△ABP面积最大，即当点P为优弧的中点时，阴影区域面积最大.下面计算当点P为优弧的中点时阴影区域的面积.
因为∠APB为锐角，且∠APB=β，所以∠AOB=2β，∠AOP=∠BOP=180° - β，则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=22×2sin(180° - β)+22×2β=4β+4sin β，故选B.
8.B　由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α - 1=，所以cos α=，sin α=±，则|tan α|=.由题意知|tan α|=||，所以|a - b|=.
变式练习
1.(1)C　由题意知tan θ=tan=tan(2π+)=tan =tan(π - )= - tan= - .
因为角θ的终边经过点P(x，2)，所以tan θ=.
所以 - ，解得x= - 2.故选C.
(2) - 　解法一　因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α+β=2kπ+π，k∈Z，
所以cos(α - β)=cos(2kπ+π - 2α)= - cos 2α= - (1 - 2sin2α)= - [1 - 2×()2]= - .
解法二　因为sin α=>0，所以角α为第一象限角或第二象限角.
当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(2，1)，则cos α=，
又点(2，1)关于y轴对称的点( - 2，1)在角β的终边上，所以sin β=，cos β= - ，此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=( - )+= - ；
当角α为第二象限角时，可取其终边上一点( - 2，1)，则cos α= - ，因为点( - 2，1)关于y轴对称的点(2，1)在角β的终边上，所以sin β=，cos β=，此时cos(α - β)=cos αcos β+sin αsin β=( - )= - .
综上可得，cos(α - β)= - .
2.(1)A　将sin α - cos α=的两边同时平方，得sin2α - 2sin αcos α+cos2α=，即sin 2α= - ，故选A.
(2)A　解法一　由tan α=，cos2α+sin2α=1，得或则sin 2α=2sin αcos α=，则cos2α+2sin 2α=.故选A.
解法二　cos2α+2sin 2α=.故选A.
3.(1)A　因为cos(x - )=cos[(x+) - ]=sin(x+)，所以f (x)=sin(x+)，于是f (x)的最大值为，故选A.
(2)　因为f (α)=，所以f ( - )=.
4.D　由诱导公式可得，cos(+2α)=cos[2π+(+2α)]=cos(+2α)= - sin 2α== - .故选D.
5.D　本题考查三角函数的定义.∵角α终边上一点P的坐标为(sin，cos)，且sin=cos()=cos=cos( - )，cos=cos(π - )= - cos= - sin()=sin( - )，即P(cos( - )，sin( - ))，则角α是 - ，故选D.
6.{2， - 2}　当k为偶数时，A==2；
当k为奇数时，A== - 2.
所以A的值构成的集合是{2， - 2}.
基础篇
1.B　因为sin(+θ)=cos θ<0，cos( - θ)=sin θ>0，所以θ是第二象限角，故选B.
2.A　 根据题意知sin α= - ，所以sin(π - α)=sin α= - .故选A.
3.A　由题意得sin(π - α)=sin α=，又≤α≤，所以cos α= - = - ，所以sin 2α=2sin αcos α=2( - )= - ，故选A.
4.A　解法一　由得4cos2α - 4cos α+3=(2cos α - )2=0，得cos α=，则sin α=，所以tan α=，故选A.
解法二　sin α+cos α=2(sin α+cos α)=2sin(α+)=2，故sin(α+)=1，可得α+=2kπ+，k∈Z，即α=2kπ+，k∈Z，所以tan α=tan(2kπ+)=tan，故选A.
5.A　因为P(m，n)在直线y=3x上，所以n=3m　①，又sin α<0，所以m<0，n<0.由|OP|=，得m2+n2=10　②.联立①②并结合m<0，n<0，可得m= - 1，n= - 3，所以m - n=2，故选A.
6.B　解法一　因为tan α=3，所以sin( - α)·cos(+α)= - cos αsin α== - ，故选B.
解法二　因为tan α=3，所以sin α=3cos α，又sin2α+cos2α=1，所以cos2α=，所以sin( - α)·cos(+α)= - cos αsin α= - 3cos2α= - ，故选B.
7.　由题意得(sin - cos )2=()2，整理得1 - 2sin ·cos ，即sin α=.
8.1　因为θ∈(0，)，所以θ - ∈( - ，).由sin(θ - )=，得θ - ，所以θ=，则cos(θ - )=cos()=1.
9. - 　sin( - 390°)= - sin 390°= - sin 30°= - .
10.　cos2(α - )=.
提升篇
11.A　设扇面的圆心角的弧度数为θ，其所在圆的半径为r，则，解得θ=(3 - )π，故选A.
【方法点拨】　弧度制下弧长l=αr，扇形的面积公式是S=lr=αr2，其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是半径.
12.D　解法一　由=5，
得
=
=
=5.故选D.
解法二　因为·=1，
所以=5.
故选D.
【解后反思】　解决三角函数化简求值问题时，要灵活利用同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1.如本题的解法一，分子乘以(1 - cos α)后得sin2α，化简易得结果；解法二利用已知式与待求式的“倒数”相乘积为1进行巧解.
13.B　解法一　由任意角的三角函数的定义得tan β=，tan(β - 45°)=.由tan(β - 45°)=，得，整理得a2 - 5a - 6=0，解得a=6或a= - 1.
当a= - 1时，点(3， - 1)在第四象限，点( - 2，4)在第二象限，产生矛盾，舍去；
当a=6时，点(3，6)在第一象限，点(12，4)也在第一象限，符合题意.故选B.
解法二　当a<0时，两个角的终边分别在第四象限和第二象限，它们的夹角不可能为45°，排除A，C.当a=6时，如图D 4 - 1 - 2所示，显然满足题意.当a=1时，如图D 4 - 1 - 3所示，显然不满足题意，舍去，排除D.选B.
图D 4 - 1 - 2　　 　　　　图D 4 - 1 - 3
【解后反思】　解决本题的关键是准确把握两个角之间的关系——两角之差为45°.点的坐标中含有参数a，点的位置随着a的取值变化而变化，那么角的终边所在的位置也随着变化.本题解法一利用两角差的正切公式求出a的值后，一定要把a的值代入检验.
14.C　由f ' (x)=2x2，得tan α=f ' (1)=2，所以.故选C.
15. - 　sin(α+)= - sin(α+)= - sin(α - )= - cos(α - )= - .
16.　因为cos(α+)=，α为锐角，所以sin(α+)=，则cos(2α - )=cos[2(α+) - ]=sin 2(α+)=2sin(α+)cos(α+)=2.
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