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第四章　三角函数、解三角形
第二讲　三角恒等变换
考点测评
1.[多选题]下列说法正确的是 (　　)
A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的
B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立
C.公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立
D.存在实数α,使tan 2α=2tan α
2.[2015 新课标全国Ⅰ]sin 20°cos 10° - cos 160°sin 10°=(　　)
A. - B. C. - D.
3.[2018全国卷Ⅲ]若sin α=,则cos 2α= (　　)
A. B. C. - D. -
4.[2019全国卷Ⅱ]已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= (　　)
A. B. C. D.
5.[2020百校联考]tan 67.5° - tan 22.5°=　　　　.?
6.[2018全国卷Ⅱ]已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.?
7.[2018全国卷Ⅱ]已知tan(α - )=,则tan α=　　　　.?
8.[2019江苏高考]已知= - ,则sin(2α+)的值是　　　　.?
知识回顾
考法1 三角函数式的化简求值
1化简:=　　　　.?
【解题思路】
思路一　运用二倍角公式及诱导公式→化简即可
思路二　运用两角和(差)的正弦(切)公式→切化弦→化简即可
【解析】解法一　原式=
=
=
=
=1.
解法二　原式=
=
=
=1.
【点评】 解法一运用了“同化原则”,先根据角( - α)与角(+α)互余的关系,将sin(+α)化成cos( - α),能减少角,再采用切化弦法,减少函数名,最后分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,很容易得出结果;而解法二是直接运用公式,运算量大,且易出错.
变式练习
1.已知α∈(0,π),化简:=　　　　.?
考法2 三角函数的求值
命题角度1　给角求值
例2(1)[2019湖南四校联考]计算sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. - C. D.
(2)[2019安徽黄山三检](1+tan 20°)(1+tan 25°)=　　　　.?
【解题思路】(1)利用诱导公式、两角和的余弦公式求解.(2)观察式子中所涉及的角之间的关系,即20°+25°=45°,借助
tan 45°=tan(20°+25°)=1,利用两角和的正切公式及其变形求解即可;也可利用同角三角函数的基本关系及辅助角公式进行求解.
【解析】(1)sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°= - sin 47°·cos 17°+cos 47°cos 73°= - sin 47°sin 73°+
cos 47°cos 73°=cos(47°+73°)=cos 120°= - .故选B.
(2) 解法一　(配凑法)由题意知,(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°.
因为tan 45°=tan(20°+25°)==1, (借助两角和的正切公式进行配凑)
所以tan 20°+tan 25°=1 - tan 20°tan 25°.
所以(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=2.
解法二　(切化弦)原式=(1+)(1+)
=
=
=2.
变式练习
2.(tan 10° - )=　　　　.?
命题角度2　给值求值
例3 (1)已知α为锐角,β为第二象限角,且cos(α - β)=,sin(α+β)=,则sin(3α - β)=
A. - B. C. - D.
(2)[2019山东临沂模拟]已知sin α+cos α=,则sin2(α - )=　　　　.?
【解题思路】(1)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是3α - β=2α+(α - β),需先利用2α=(α+β)+(α - β)及α为锐角求出2α的值,进而求得结果;二是3α - β=2(α - β)+(α+β),需先利用倍角公式求出cos 2(α - β)和sin 2(α - β)的值,进而求得结果.
(2)根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函数的基本关系求值即可;或将已知式两边同时平方,求出sin 2α的值,再利用降幂公式求解即可.
【解析】(1)解法一　因为α为锐角,β为第二象限角,cos(α - β)>0,sin(α+β)>0,
所以α - β为第四象限角,α+β为第二象限角, (符号定象限)
因此sin(α - β)= - ,cos(α+β)= - ,
所以sin 2α=sin(α - β+α+β)= - ×( - )+×=1.
因为α为锐角,所以2α=,
所以sin(3α - β)=sin(2α+α - β)=cos(α - β)=,故选B. (变换角求值)
解法二　同解法一可得,sin(α - β)= - ,cos(α+β)= - .
所以cos 2(α - β)=2cos2(α - β) - 1=2×()2 - 1= - ,
sin 2(α - β)=2sin(α - β)cos(α - β)=2×( - )×= - .
所以sin(3α - β)
=sin[2(α - β)+(α+β)]
=sin 2(α - β)·cos(α+β)+cos 2(α - β)·sin(α+β)
=( - )×( - )+( - )×
=.故选B. (变换角求值)
(2)解法一　由已知可得sin α+cos α=(sin α+cos α)=cos(α - )=, (逆用两角差的余弦公式)
所以cos(α - )=.
故sin2(α - )=1 - cos2(α - )=1 - ()2=.
解法二　将sin α+cos α=两边同时平方,得sin2α+2sin αcos α+cos2α=,即sin 2α=.
所以sin2(α - )=.
变式练习
3.(1)若α∈(0,π),且sin α+2cos α=2,则tan = (　　)
A. B. C. D.
(2)已知cos(+x)=,若π4.[2018江苏高考]已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)= - .
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α - β)的值.
命题角度3　给值求角
例4在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.则2α - β的值为　　　　.?
【解题思路】先根据三角函数的定义和已知求出cos α,sin β,然后利用同角三角函数的基本关系求出sin α,cos β,再确定2α - β的取值范围,求出2α - β的三角函数值,从而确定2α - β的值.
【解析】解法一　由已知可知cos α=,sin β=. (利用三角函数的定义求值)
又α,β为锐角,所以sin α=,cos β=. (利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)
因此cos 2α=2cos2α - 1=,sin 2α=2sin αcos α=, (利用倍角公式求值)
所以sin(2α - β)= ××.
因为α为锐角,所以0<2α<π,
又cos 2α>0,所以0<2α<,
又β为锐角,所以 - <2α - β<, (判断角的取值范围)
又sin(2α - β)=,所以2α - β=.
解法二　同解法一得,cos β=,sin α=.
因为α,β为锐角,所以α - β∈( - ,),
所以sin(α - β)=sin αcos β - cos αsin β=××. (求两角差的正弦值)
所以sin(α - β)>0,故α - β∈(0,), (判断两角差的取值范围)
故cos(α - β)=, (利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)
所以cos(2α - β)=cos[α+(α - β)]=cos αcos(α - β) - sin α·sin(α - β)=××.
又α∈(0,),所以2α - β=α+(α - β)∈(0,π),
所以2α - β=.
【反思】
利用三角函数值求角时,要尽量把角的取值范围转化到某个函数的单调区间内,这样就不会产生多解.如解法一中,因为
2α - β∈( - ,),显然正弦函数在该区间内单调递增,所以一个正弦值只对应一个角.若求该角的余弦值,则一个余弦值对应两个角,容易产生多解.解法二中,2α - β∈(0,π),余弦函数在该区间内单调递减,所以一个余弦值只对应一个角.此外,在求解过程中还需要利用三角函数的符号不断缩小角的范围,如解法一中利用cos 2α的符号,得2α∈(0,);解法二中利用sin(α - β)的符号,得α - β∈(0,).
变式练习
5.(1)[2019山西吕梁模拟]已知α∈(0,),β∈(0,),tan α=,则 (　　)
A.α+β= B.α - β= C.α+β= D.α+2β=
(2)[2019黑龙江大庆二模]已知α,β为锐角,且(1 - tan α)·(1 - tan β)=4,则α+β=　　　　.?
易错 不会缩小角的范围而致误
例5[2019安徽六安二模]若sin 2α=,sin(β - α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.或 D.或
【解题思路】
【解析】因为α∈[,π],所以2α∈[,2π],
又sin 2α=,所以2α∈(,π),α∈(,).
所以cos 2α= - = - . (根据sin 2α>0缩小角2α,α的范围)
因为β∈[π,],
所以α+β∈(π,2π),β - α∈(,).
又sin(β - α)=>0,所以β - α∈(,π), (根据sin(β - α)>0缩小角β - α的范围)
所以cos(β - α)= - = - .
所以cos(α+β)=cos[2α+(β - α)]
=cos 2αcos(β - α) - sin 2αsin(β - α) (利用两角和的余弦公式化简)
= - ×( - ) - ×
=.
又α+β∈(,2π),所以α+β=.
【答案】A
【素养探源 】　
核心素养 考查途径 素养水平
逻辑推理 找出已知角与所求角之间的关系,根据不等式的性质推出角的范围,由三角函数值的正负缩小角的范围. 二
数学运算 同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的三角函数值的求解. 一
【易错警示】
本题的易错点是不能根据题设条件缩小角2α,α及β - α的取值范围,导致求cos(α+β)时出现两解而造成失误.利用三角函数值求角时,要充分结合条件,对角的范围精准定位后,再选取合适的三角函数进行求值,最后确定角的具体取值.
第二讲　《三角恒等变换》测试
基础篇
1.[2020唐山市摸底考试]已知sin(α - )= - 3cos(α - )，则tan 2α= (　　)
A.-4 B.- C.4 D.
2.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知sin( - 2x)=，则sin 4x的值为 (　　)
A. B.± C. D.±
3.[2020广东七校联考]已知cos(+α)=2cos(π - α)，则tan(+α)= (　　)
A.3 B. - 3 C. - D.
4.[2020江西红色七校第一次联考]已知角θ以x轴的非负半轴为始边，且终边经过点(2， - 3)，将角θ的终边顺时针旋转后得到角β，则tan β= (　　)
A. - B.5 C. D. - 5
5.[2020陕西省百校第一次联考]已知cos( - α)=，则sin 2α= (　　)
A. B.- C. D.-
6.[2019山东三校联考]已知sin 2α=，则cos2(α - )= (　　)
A. B. C. D.
7.[2019河北六校联考]已知α∈(0，π)，且tan α=2，则cos 2α+cos α= (　　)
A. B. C. D.
8.[2020山东省统考]已知cos(α+) - sin α=，则sin(α+)=　　　　.?
9.[2020江淮十校联考]函数f (x)=sin x+cos x - cos(2x - )的最小值为　　　　.?
10.[2019江西景德镇二检]公元前5世纪，古希腊的毕达哥拉斯提出了黄金分割，黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin 18°.若m2+n=4，则=　　　　 .?
提升篇
11.[2020广东广州天河区一模]已知函数f (x)=sin(2x - )，x∈(0，π)，若方程f (x)=的解为x1，x2(0A.- B.- C.- D.-
12.[2019太原市二模]已知α∈(0，)，β∈(0，)，且sin 2α(1+sin β)=cos β(1 - cos 2α)，则下列结论正确的是 (　　)
A.2α - β= B.2α+β= C.α+β= D.α - β=
13.[2019唐山市高三摸底考试]已知函数f (x)=sin x - sin 3x，x∈[0，2π]，则f (x)的所有零点之和等于 (　　)
A.5π B.6π C.7π D.8π
14.[2020湖南衡阳测试]已知tan(α - β)=，tan β= - ，且α，β∈(0，π)，则2α - β=　　　　.?
15.[2019江西红色七校第一次联考]若0<α<， - <β<0，cos(α+)=，sin()=，则cos(2α+β)=　　　　.?
16.[2019三湘名校联考]函数f (x)=sin 2x+2cos x在区间[0，π]上的值域为　　　　.?
17.[2019合肥三检]已知函数f (x)=2cos(x+)cos(x - )+sin x，若对任意的实数x，恒有f (α1)≤f (x)≤f (α2)，则cos(α1 - α2)=　　　　.?
18.[2020唐山市摸底考试]若sin 78°=m，则sin 6°= (　　)
A. B. C. D.
19.[2019绵阳市三诊][交汇题]已知向量a=(sin 2α，1)，b=(cos α，1)，若a∥b，0<α<，则α=　　　.?
参考答案与解析
三角恒等变换
考点测评
1.ABD　易知ABD正确，对于C，只有当α，β，α+β都不等于kπ+(k∈Z)时，公式才成立，C错误，选ABD.
2.D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=.故选D.
3.B　cos 2α=1 - 2sin2α=1 - 2×()2=.故选B.
4.B　因为2sin 2α=cos 2α+1，所以4sin αcos α=2cos2α.
因为α∈(0，)，所以cos α>0，sin α>0，所以2sin α=cos α，所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1，所以sin2α+4sin2α=1，即5sin2α=1，即sin2α=.
又sin α>0，所以sin α=.故选B.
5.2　由tan α - tan β=tan(α - β)(1+tan αtan β)得tan 67.5° - tan 22.5°=tan 45°(1+tan 67.5°tan 22.5°)=1×2=2.
6. - 　∵sin α+cos β=1，cos α+sin β=0，
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1　①，
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0　②，
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1，∴sin(α+β)= - .
7.　解法一　因为tan(α - )=，所以，即，解得tan α=.
解法二　因为tan(α - )=，所以tan α=tan[(α - )+]=.
8.　解法一　 = - ，解得tan α=2或tan α= - .
当tan α=2时，sin 2α=，
cos 2α== - ，此时sin 2α+cos 2α=.
同理当tan α= - 时，sin 2α= - ，cos 2α=，此时sin 2α+cos 2α=.
所以sin(2α+)=(sin 2α+cos 2α)=.
解法二　= - ，则sin αcos(α+)= - cos αsin(α+)，又=sin[(α+) - α]=sin(α+)cos α - cos(α+)sin α=sin(α+)cos α，则sin(α+)cos α=，则sin(2α+)=sin[(α+)+α]=sin(α+)cos α+cos(α+)sin α=sin(α+)cos α=.
变式练习
1.cos α　原式=.
因为α∈(0，π)，所以cos>0，
所以原式==(cos+sin)·(cos - sin)=cos2 - sin2=cos α.
2. - 2　解法一　原式=(tan 10° - tan 60°)
=()
=·
= - 2.
解法二　原式=()
=
=
=
= - 2.
【审题指导】　注意到10°，50°与特殊角60°的关系:10°+50°=60°.同时=tan 60°，考虑利用特殊值化切为弦.也可直接将tan 10°化为，然后通分变为，再考虑用引入辅助角的方法求解.
3.(1)A　解法一　由已知得cos α=1 - sin α.
代入sin2α+cos2α=1，得sin2α+(1 - sin α)2=1，
整理得sin2α - sin α=0，解得sin α=0或sin α=.
因为α∈(0，π)，所以sin α=，故cos α=1 - .
所以tan .
解法二　因为sin α=2sin ·cos ，cos α=1 - 2sin2，
所以sin α+2cos α=2可以化为2 sin ·cos +2(1 - 2sin2)=2，化简可得2sin ·cos =4sin2　①.
因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，所以sin ≠0.
所以①式可化为2cos =4sin ，即tan .
(2) - 　解法一　由π又cos(+x)=，所以sin(+x)= - ，所以cos x=cos[(+x) - ]=cos(+x)cos+sin(+x)sin= - ，从而sin x= - ，tan x=7.
则= - .
解法二　由解法一，得tan(+x)= - .又sin 2x= - cos(+2x)= - cos 2(+x)= - 2cos2(+x)+1= - +1=，
则=sin 2x·=sin 2x·tan(x+)=( - )= - .
4.(1)因为tan α=，tan α=，所以sin α=cos α.
因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=，
因此，cos 2α=2cos2α - 1= - .
(2)因为α，β为锐角，所以α+β∈(0，π).
又cos(α+β)= - ，所以sin(α+β)=，
因此tan(α+β)= - 2.
因为tan α=，所以tan 2α== - ，
因此，tan(α - β)=tan[2α - (α+β)]== - .
5.(1)B　解法一　已知等式可化为，即sin α(1 - sin 2β)=cos αcos 2β，
整理得cos αcos 2β+sin αsin 2β=sin α，即cos(α - 2β)=sin α.
因为α∈(0，)，β∈(0，)，
所以α - 2β∈( - π，).
又cos(α - 2β)=sin α>0，所以α - 2β∈( - ，).
又cos(α - 2β)=sin[(α - 2β)+]，且α - 2β+∈(0，π)，α∈(0，)，
所以α - 2β+=α或α - 2β+=π - α.
当α - 2β+=α时，β=，此时1 - sin 2β=0，已知等式无意义，不符合题意，舍去；
当α - 2β+=π - α时，α - β=.故选B.
解法二　tan α== =tan(+β).
因为α∈(0，)，β∈(0，)，
所以α=+β，即α - β=.故选B.
解法三　不妨令β=，则由已知等式可求得tan α=，又α为锐角，所以α=.则α+β=，故可排除A，C.
当β → 0时，sin 2β → 0，cos 2β →1，所以tan α=→1，因为α∈(0，)，所以α → ，所以α+2β → ，故可排除D.
综上可知，选B.
(2)　将(1 - tan α)(1 - tan β)=4展开，得 - (tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β)，即=tan(α+β)= - ，由于α，β为锐角，所以0<α+β<π，故α+β=.
基础篇
1.A　因为sin(α - )= - 3cos(α - )，所以sin α - cos α= - 3cos α - 3sin α，则2sin α= - cos α，即tan α= - ，所以tan 2α== - 4，故选A.
2.A　解法一　因为sin( - 2x)=，所以(cos 2x - sin 2x)=，两边同时平方得(1 - 2sin 2xcos 2x)=，所以sin 4x=，故选A.
解法二　因为sin( - 2x)=，所以cos( - 4x)=1 - 2sin2( - 2x)=1 - 2×()2=，所以sin 4x=.故选A.
3.B　∵cos(+α)=2cos(π - α)，∴ - sin α= - 2cos α，∴tan α=2，
∴tan(+α)== - 3，故选B.
4.B　由三角函数的定义知tan θ= - ，又β=θ - ，所以tan β=tan(θ - )==5，故选B.
5.C　解法一　因为cos( - α)=，所以sin 2α=sin[-2( - α)]=cos 2( - α)=2cos2( - α) - 1=2×()2 - 1=.故选C.
解法二　令 - α=θ，则α= - θ，因为cos θ=，所以sin 2α=sin 2( - θ)=sin( - 2θ)=cos 2θ=2cos2θ - 1=2×()2 - 1=.故选C.
解法三　因为cos( - α)=，所以(cos α+sin α)=，所以cos α+sin α=，两边同时平方得1+sin 2α=，即sin 2α=.故选C.
【技巧点拨】　(1)借助“换元”转化，巧解题——处理有关三角函数求值问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，借助“换元”的形式，有利于进一步分析、解决问题；(2)借助“平方”变形，巧解题——遇到涉及同角的正、余弦函数之和(或之差)类等式问题时，往往需要借助“平方”变形加以灵活处理；(3)借助“加减”变形，巧解题——有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，往往可为灵活运用和差角公式及题设条件创造有利条件.
6.C　sin 2α=cos( - 2α)=2cos2( - α) - 1=，则cos2(α - )=cos2( - α)=.
7.B　∵α∈(0，π)，tan α=2，∴α在第一象限，且cos α=.∴cos 2α+cos α=2cos2α - 1+cos α=2×()2 - 1+= - ，故选B.
8. - 　∵cos(α+) - sin α=cos α - sin α=，∴ - cos α+sin α=sin(α - )= - ，∴sin(α+)=sin[(α - )+2π]=sin(α - )= - .
9. - 1　由诱导公式化简得f (x)=sin x+cos x+sin 2x，令sin x+cos x=t，t∈[ - ，]，则f (t)=t+(t2 - 1)，t∈[ - ，]，又f (t)=t2+t - (t+1)2 - 1，所以函数f (x)的最小值为 - 1.
10.2　因为m=2sin 18°，m2+n=4，
所以n=4 - m2=4 - 4sin218°=4cos218°.
所以=2.
提升篇
11.A　因为0所以2x - ∈( - ，).令2x - +kπ(k∈Z)，可得x=(k∈Z).
因为方程f (x)=的解为x1，x2(0因为x1所以2x1 - ∈( - ，).
由f (x1)=sin(2x1 - )=，
得cos(2x1 - )=，所以sin(x1 - x2)= - .
故选A.
12.A　解法一　因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以由sin 2α(1+sin β)=cos β(1 - cos 2α)，得，所以，所以，所以，所以tan( - α)=tan().又 - α∈(0，)，∈(0，)，函数y=tan x在区间(0，)上单调递增，所以 - α=，即2α - β=，故选A.
解法二　tan α=，tan()=，由sin 2α(1+sin β)=cos β(1 - cos 2α)，得，则tan α=tan().又α∈(0，)，∈(，)，函数y=tan x在区间(0，)上单调递增，所以α=，即2α - β=，故选A.
13.C　f (x)=sin x - sin 3x=sin(2x - x) - sin(2x+x)= - 2cos 2xsin x，令f (x)=0，可得cos 2x=0或sin x=0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x=0可得2x=或2x=或2x=或2x=，∴x=或x=或x=或x=，由sin x=0可得x=0或x=π或x=2π，∵+0+π+2π=7π，∴f (x)的所有零点之和等于7π，故选C.
14. - 　易知tan(2α - β)=tan[2(α - β)+β].
因为tan(α - β)=，所以tan 2(α - β)=，
故tan(2α - β)==1.
由tan β= - ∈( - ，0)，知<β<π，由tan α=tan[(α - β)+β]=∈(0，)， 知0<α<，
所以2α - β∈( - π， - )，故2α - β= - .
15.　因为0<α<，所以<α+，又cos(α+)=，所以sin(α+)=，sin 2(α+)=2sin(α+)cos(α+)=，cos 2(α+)=2cos2(α+) - 1= - .
因为 - <β<0，所以0<，又sin()=，所以cos()=，sin 2()=2sin()cos()=，cos 2()=1 - 2sin2()=.所以cos(2α+β)= - cos[2(α+)+2()]= - cos 2(α+)·cos 2()+sin 2(α+)sin 2()=.
【解后反思】　三角恒等变换的核心是化异为同，一般从角、函数名、次数、运算结构四个角度考虑，利用相关的三角函数公式达到已知与所求的转化.本题主要是从角的配凑出发，即2α+β=2(α+)+2() - π.
16.[ - ，]　f ' (x)=2cos 2x - 2sin x= - 2(2sin2x+sin x - 1)= - 2(2sin x - 1)(sin x+1)，当x∈(0，)∪(，π)时， f ' (x)>0；当x∈(，)时， f ' (x)<0.
又f ()=，f ()= - ， f (0)=2， f (π)= - 2，∴f (x)∈[ - ，].
17. - 　因为f (x)=2(cos x - sin x)(cos x+sin x)+sin x=2(cos2x - sin2x)+sin x=1 - 2sin2x+sin x= - 2(sin x - )2+，且f (x)对任意实数x恒有f (α1)≤f (x)≤f (α2)，所以sin α1= - 1，sin α2=.不妨取α1= - ，则cos(α1 - α2)=cos( - - α2)= - sin α2= - .
18.D　因为sin 78°=m，所以cos 12°=m，则sin26°=，又sin 6°>0，所以sin 6°=，故选D.
19.　若a∥b，则sin 2α - cos α=0，即2sin αcos α=cos α.又0<α<，∴cos α≠0，∴sin α=，∴α=.
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