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第四章　三角函数、解三角形
第三讲　三角函数的图象与性质
考点测评
1.[改编题]下列说法正确的是
(　　)
A.正切函数y=tan
x在定义域上是增函数
B.已知y=ksin
x+1,x∈R,则y的最大值为k+1
C.将函数y=sin
ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx
-
φ)的图象
D.y=sin|x|是偶函数
2.[多选题]将函数y=sin
x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=f
(x)的图象,则下列说法正确的是
(　　)
A.y=f
(x)是偶函数
B.y=f
(x)的最小正周期为π
C.y=f
(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f
(x)的图象关于点(
-
,0)对称
3.[2019全国卷Ⅱ]若x1=,x2=是函数f
(x)=sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.2
B.
C.1
D.
4.[2019全国卷Ⅱ]下列函数中,以为周期且在区间(,)上单调递增的是
(　　)
A.f
(x)=|cos
2x|
B.f
(x)=|sin
2x|
C.f
(x)=cos|x|
D.f
(x)=sin|x|
5.[2020大同市高三调研]已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图4
-
3
-
1所示,则ω,φ的值分别为
(　　)
A.2,
-
B.2,
-
C.4,
-
D.4,
6.[2019天津高考]已知函数f
(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f
(x)的最小正周期为π,将y=f
(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g()=,则
f
()=
(　　)
A.
-
2
B.
-
C.
D.2
7.[2019北京高考]函数f
(x)=sin22x的最小正周期是　　　　.?
8.[2018北京高考]设函数f
(x)=cos(ωx
-
)(ω>0).若f
(x)≤f
()对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.?
知识回顾
考法1
三角函数的图象变换及其应用
例1(1)要得到函数y=sin(5x
-
)的图象,只需将函数y=cos
5x的图象　　　　　　　　　　　　　　　　
A.向左平移个单位长度
　B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
　D.向右平移个单位长度
(2)如图4
-
3
-
2所示的是函数f
(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)在区间[
-
,]上的图象,若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线x=对称,则m的最小值为
A.
B.
C.
D.
【解析】(1)函数y=cos
5x=sin(5x+)=sin
5(x+),
(将变换前后的两个函数名化为同名)
y=sin(5x
-
)=sin
5(x
-
),设平移|φ|个单位长度,则+φ=
-
,
(方程思想)
解得φ=
-
,故把函数y=cos
5x的图象向右平移个单位长度,可得函数y=sin(5x
-
)的图象.
(2)解法一　(直接法)由函数f
(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象,
可得周期T=
-
(
-
)=π,所以ω=2.
又点(
-
,0)在函数f
(x)的图象上,所以sin[2×(
-
)+φ]=0,所以φ
-
=2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z),
又0<φ<,所以k=0,φ=.
故函数f
(x)的解析式为
f
(x)=sin(2x+).
(由图定式)
把f
(x)=sin(2x+)的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)=sin(4x
-
4m+)的图象,
(依据变换规律求解析式)
因为所得图象关于直线x=对称,所以4×
-
4m++kπ(k∈Z),解得m=π
-
kπ,k∈Z,
(依据对称轴列方程求m)
所以由m>0,可得当k=1时,m取得最小值,且最小值为.
(范围定最值)
解法二　(特征值法)由函数图象可知P(
-
,0)和Q(,0)是函数f
(x)的图象的两个对称中心,得线段PQ的中点M(,0)也是函数
f
(x)的图象的对称中心.
显然,函数f
(x)的周期T=
-
(
-
)=π.
(定周期)
显然PM的中点(,0)在函数f
(x)的图象的一条对称轴上,即直线x=是该函数图象的一条对称轴.
(由相邻对称中心定对称轴)
所以该函数图象的对称轴的方程为x=+k·(k∈Z).
(结合周期性定对称轴的方程)
根据题意,将f
(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移m个单位长度后,所得函数图象的对称轴的方程为x=(+k·)+m=+m(k∈Z),
(根据图象变换规律求变换后所得函数图象的对称轴方程)
令+m=(k∈Z),解得m=(k∈Z).
(列方程求值)
因为m>0,所以当k=1时,m取得最小值,最小值为.
【答案】(1)B　
(2)C
【点评】
对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把x的系数提取出来,如由y=sin(
-
x)变为
y=sin(
-
x
-
1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是向右,正确的描述应该是向左平移一个单位长度.
变式练习
1.[2020湖北部分重点中学高三测试]将函数f
(x)=sin(2x+φ),φ∈(0,π)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,已知g(x)是偶函数,则tan(φ
-
)=
(　　)
A.
-
B.
C.
-
D.
考法2
由三角函数的图象求解析式
例2已知函数f
(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图4
-
3
-
3所示,则f
(x)的解析式为
图4
-
3
-
3
A.f
(x)=2
sin(x+)
B.f
(x)=2
sin(x+)
C.f
(x)=2
sin(x
-
)
D.f
(x)=2
sin(x
-
)
【解题思路】
【解析】由图象可得,函数的最大值为2,最小值为
-
2,故A=2.
(最值定A)
由函数图象可得,两个相邻对称中心分别为(
-
2,0),(6,0),
所以函数的周期T=2×[6
-
(
-
2)]=16,
(对称中心定周期)
所以ω=.
(周期定ω)
所以f
(x)=2sin(x+φ).
解法一　(由对称中心定φ)由点(
-
2,0)在函数图象上可得f
(
-
2)=2sin[×(
-
2)+φ]=2sin(φ
-
)=0,
(代坐标列方程)
又(
-
2,0)在函数图象的下降段上,所以φ
-
=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).　
因为|φ|<π,
所以k=
-
1,φ=
-
.
所以函数的解析式为f
(x)=2sin(x
-
).
解法二　(由最值点定φ)由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为(
-
2,0),(6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2,
-
2).
(求最低点坐标)
代入函数解析式可得f
(2)=2sin(×2+φ)=
-
2,
即sin(+φ)=
-
1,
所以+φ=2kπ
-
(k∈Z),
解得φ=2kπ
-
(k∈Z).
因为|φ|<π,
所以k=0,φ=
-
.
故函数的解析式为f
(x)=2sin(x
-
).
【答案】D
考法3
三角函数的单调性
例3
[2018全国卷Ⅱ]若f
(x)=cos
x
-
sin
x在[
-
a,a]上是减函数,则a的最大值是
A.
B.
C.
D.π
【解析】解法一　(一角一函数——模型解法)f
(x)=cos(x+),
由2kπ≤x+≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ
-
≤x≤2kπ+(k∈Z).
即f
(x)的单调递减区间为[
-
+2kπ,+2kπ](k∈Z),
又函数f
(x)在[
-
a,a]上是减函数,则[
-
a,a]?[2kπ
-
,2kπ+](k∈Z),
显然当k=0时,上述关系才能成立.则易得a的最大值是.
解法二　(导数法——转化为不等式恒成立模型)由已知得,
f
'
(x)=
-
sin
x
-
cos
x=
-
(sin
x+cos
x)=
-
sin(x+).
由题意知,在[
-
a,a]上f
'
(x)≤0,即
-
sin(x+)≤0在区间[
-
a,a]上恒成立.
也就是sin(x+)≥0在区间[
-
a,a]上恒成立.
由sin(x+)≥0得,2kπ≤x+≤2kπ+π(k∈Z),
解得2kπ
-
≤x≤2kπ+(k∈Z).
所以[
-
a,a]?[2kπ
-
,2kπ+](k∈Z),
显然当k=0时,上述关系才能成立,即[
-
a,a]?[
-
,],
此时解得a≤.
所以a的最大值为.
【答案】A
变式练习
2.[2019山东师大附中二模]若将函数f
(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为
(　　)
A.[kπ+,kπ+](k∈Z)
　B.[kπ
-
,kπ+](k∈Z)
C.[kπ
-
,kπ
-
](k∈Z)
　D.[kπ
-
,kπ+](k∈Z)
考法4
求三角函数的最值(值域)
例4
(1)[2019山东济南模拟]已知函数f
(x)=sin(ωx
-
)(ω>0),x∈[0,π],f
(x)的值域为[
-
,1],则ω的最小值为
A.
B.
C.
D.
(2)[2019全国卷Ⅰ]函数f
(x)=sin(2x+)
-
3cos
x的最小值为　　　　.?
【解析】(1)因为0≤x≤π,所以
-
≤ωx
-
≤ωπ
-
.
而f
(x)的值域为[
-
,1],且f
(0)=sin(
-
)=
-
,sin
=
-
,
结合函数y=sin
t的图象(如图4
-
3
-
4所示)可得≤ωπ
-
≤,解得≤ω≤.
则ω的最小值为.故选A.
(2)f
(x)=sin(2x+)
-
3cos
x=
-
cos
2x
-
3cos
x=1
-
2cos2x
-
3cos
x=
-
2(cos
x+)2+,因为cos
x∈[
-
1,1],所以当cos
x=1时,f
(x)取得最小值,f
(x)min=
-
4.
变式练习
3.(1)[2017全国卷Ⅱ]函数f
(x)=sin2x+cos
x
-
(x∈[0,])的最大值是　　　.?
(2)[2018全国卷Ⅰ]已知函数f
(x)=2sin
x+sin
2x,则f
(x)的最小值是　　　　.?
考法5
三角函数的奇偶性、周期性、图象的对称性
命题角度1　三角函数的周期性
例5求下列函数的周期:
(1)y=2|sin(4x
-
)|;
(2)y=|tan
x|;
(3)y=2cos
xsin(x+)
-
sin2x+sin
xcos
x.
【解析】(1)(公式法)y=2|sin(4x
-
)|的最小正周期是y=2sin(4x
-
)的最小正周期的一半,即T=×.
(2)(图象法)画出y=|tan
x|的图象,如图4
-
3
-
5所示.
图4
-
3
-
5
由图象易知T=π.
(3)(转化法)y=2cos
x(sin
x+cos
x)
-
sin2x+sin
xcos
x
=sin
x
cos
x+cos2x
-
sin2x+sin
xcos
x
=sin
2x+cos
2x
=2sin(2x+),
故该函数的最小正周期T==π.
命题角度2　三角函数的奇偶性
例6函数f
(x)=3sin(2x
-
+φ),φ∈(0,π)满足f
(|x|)=f
(x),则φ的值为　　　　.?
【例】由题意知f
(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,
∴f
(0)=3sin(φ
-
)=±3,∴φ
-
=kπ+,k∈Z.
又0<φ<π,∴φ=.
命题角度3　三角函数图象的对称性
例7
[2019湖北部分重点中学高三测试]已知函数f
(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),其图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数y=f
(x)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f
(x)的图象　　　　　　　　
A.关于点(
-
,0)对称
B.关于点(,0)对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=
-
对称
【解析】因为函数y=f
(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以函数的周期T=,
(相邻两条对称轴之间的距离是个最小正周期)
所以ω==4,所以f
(x)=sin(4x+φ).
将函数y=f
(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=sin[4(x+)+φ]的图象,
因为所得图象关于y轴对称,
所以4×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ
-
,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=
-
,
所以f
(x)=sin(4x
-
).
令4x
-
=kπ,k∈Z,
(根据y=sin
t的性质求对称中心)
解得x=,k∈Z,令k=0,得f
(x)的图象关于点(,0)对称,故B正确,易得A不正确.
令4x
-
+kπ,k∈Z,
(根据y=sin
t的性质求对称轴)
解得x=,k∈Z,
所以函数f
(x)的图象的对称轴方程为x=,k∈Z,易得C,D均不正确.
【答案】B
考法6
三角函数的综合问题
例8
[2016天津高考]
已知函数f
(x)=4tan
x·sin(
-
x)cos(x
-
)
-
.
(1)求f
(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f
(x)在区间[
-
,]上的单调性.
【解析】(1)f
(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}.
(由正切函数定义域得f
(x)的定义域)
f
(x)=4tan
xcos
xcos(x
-
)
-
=4sin
xcos(x
-
)
-
=4sin
x(cos
x+sin
x)
-
=2sin
xcos
x+2sin2x
-
=sin
2x+(1
-
cos
2x)
-
=sin
2x
-
cos
2x
=2sin(2x
-
).
(化为一角一函数)
所以f
(x)的最小正周期T==π.
(利用公式法求周期)
(2)令z=2x
-
,函数y=2sin
z的单调递增区间是[
-
+2kπ,+2kπ],k∈Z.
由
-
+2kπ≤2x
-
≤+2kπ,
(利用整体代换法求解f
(x)的单调递增区间)
得
-
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=[
-
,],B={x|
-
+kπ≤x≤+kπ,k∈Z},易知A∩B=[
-
,].
所以,当x∈[
-
,]时,
f
(x)在区间[
-
,]上单调递增,在区间[
-
,
-
]上单调递减.
变式练习4.[2019全国卷Ⅰ]关于函数f
(x)=sin|x|+|sin
x|有下述四个结论:
①f
(x)是偶函数;②f
(x)在区间(,π)上单调递增;
③f
(x)在[
-
π,π]上有4个零点;④f
(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是
(　　)
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
考法7
三角函数模型的应用
例9
[湖北高考]某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f
(t)=10
-
cost
-
sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11
℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【解析】(1)因为f
(t)=10
-
2(cos
t+sin
t)=10
-
2sin(t+),又0≤t<24,所以≤t+,所以
-
1≤sin(t+)≤1.
当t=2时,sin(t+)=1;
当t=14时,sin(t+)=
-
1.
于是f
(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12
℃,最低温度为8
℃,最大温差为4
℃.
(2)依题意,当f
(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f
(t)=10
-
2sin(t+),
故有10
-
2sin(t+)>11,
即sin(t+)<
-
.
又0≤t<24,因此t+,所以10故在10时至18时实验室需要降温.
变式练习
5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f
(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为　　　　元.?
考法8
三角函数与其他知识的交汇
例10
[2019安徽淮南二模]已知函数y=A'
sin(ωx+φ)(|φ|<,ω>0)图象的一部分如图4
-
3
-
6所示.
A,B,D是此函数图象与x轴的三个相邻交点,C是图象的最高点,点D的坐标是(,0),则数量积
·=
A.
B.
C.
D.
【解题思路】先根据函数图象确定函数解析式中各个参数的值,从而确定点A,B,C的坐标,然后求出两个向量的坐标,代入公式求解即可.
【解析】由函数图象可知A'
=2,且f
(0)=1,故sin
φ=.
又|φ|<,故φ=.
观察图象知x=在函数的单调递增区间内,
所以ω×=2kπ,k∈Z,
解得ω=,k∈Z.
由函数图象可知,
故0<ω<,故ω=2,
所以f
(x)=2sin(2x+).
(求函数解析式)
故A(
-
,0),B(,0),C(,2),
(求点的坐标)
因此
=(,0),=(,2),
故
·.
【答案】D
【反思】　
该题中点D的坐标的应用是解题的关键,该点的坐标说明两个问题:一是函数最小正周期的取值范围,显然T>;二是根据x=在函数的单调递增区间内,可知ω×=2kπ(k∈Z).这样便可以得到ω的值.若x=在函数的单调递减区间内,则ω×=2kπ+π(k∈Z).
变式练习
6.已知函数f
(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤),
其图象与直线y=
-
1相邻两个交点的距离为π,若f
(x)>1对任意的x∈(
-
,)恒成立,则φ的取值范围是
(　　)
A.(,)
B.[,]
C.[,]
D.[,]
数学探究　三角函数中有关ω的求解
1.三角函数的单调性与ω的关系
例11
[2019湖南师大附中模拟]若函数f
(x)=2sin
ωxcos
ωx+2sin2ωx+cos
2ωx在区间[
-
,]上单调递增,则正数ω的最大值为
A.
B.
C.
D.
【解析】解法一　因为f
(x)=2sin
ωxcos
ωx+2sin2ωx+cos
2ωx=sin
2ωx+1在区间[
-
,]上单调递增,
所以
(由端点值大小构建不等关系)
解得ω≤,所以正数ω的最大值是.
解法二　易知f
(x)=sin
2ωx+1,可得f
(x)的最小正周期T=,所以
解得ω≤,所以正数ω的最大值是.
【答案】B
【素养探源】
　
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
子集关系的判定,不等关系的建立.
二
数学运算
三角恒等变换,不等式的解法.
二
【反思】　
本题中因为指定区间含有0,所以可以直接利用
-
3ωπ与
-
的大小关系及3ωπ与
的大小关系建立参数所满足的不等关系.若指定区间不含0,则需要先求出函数的单调递增区间,再利用子集关系建立参数所满足的不等关系.
2.三角函数的最值、图象的对称性与ω的关系
例12
[2016全国卷Ⅰ]已知函数f
(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=
-
为f
(x)的零点,直线x=为y=f
(x)图象的对称轴,且f
(x)在(,)上单调,则ω的最大值为
A.11
B.9
C.7
D.5
【解题思路】由条件中的“零点”和“对称轴”列等式→根据“f
(x)在(,)上单调”推导→验证
【解析】解法一　因为x=
-
为函数f
(x)的零点,直线x=为y=f
(x)图象的对称轴,
所以
-
(
-
)=(k∈Z,T为最小正周期),
(根据函数的零点,图象的对称轴与函数的周期的关系得)
化简得T=(k∈Z),即ω==2k+1(k∈Z).
又f
(x)在(,)上单调,所以≥,
(单调区间的长度不大于半个最小正周期)
结合T=(k∈Z)可得,k≤且k∈Z.
当k=5时,ω=11,φ=
-
,f
(x)在(,)上不单调;当k=4时,ω=9,φ=,f
(x)在(,)上单调,满足题意,故ω的最大值为9.
解法二　依题意,有(m,n∈Z),
解得
(根据正弦函数的零点和图象的对称轴分别列式子,联立求解)
又|φ|≤,所以m+n=0或m+n=
-
1.
由f
(x)在(,)上单调,得≥,所以0<ω≤12.
当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,
取n=2,得ω=9,f
(x)=sin(9x+),符合题意.
当m+n=
-
1时,φ=
-
,ω=4n+3,
取n=2,得ω=11,f
(x)=sin(11x
-
),此时,当x∈(,)时,11x
-
∈(π,π),f
(x)不单调,不合题意.
故ω的最大值为9.
【答案】B
【点评】
(1)求ω的取值范围,还可采用如下思路:
因为f
(x)在(,)上单调,
所以(k∈Z),利用同向不等式相加,得0<ω≤12.
(2)当ω=11时,验证f
(x)在(,)上是否单调有以下三个思路.
思路1:直接求单调区间,f
(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,所以不满足条件.
思路2:整体换元法,当x∈(,)时,11x
-
∈(,),而正弦函数在区间(,)上不单调,所以不满足条件.
思路3:f
(x)=sin(11x
-
)的图象的对称轴方程是x=π,通过赋值发现x=在区间(,)内,则f
(x)在这个区间上不可能单调,所以ω=11不满足条件.
素养探源
　
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
函数的零点、图象的对称轴与函数的周期的关系,单调区间的长度与周期间的关系,ω的最大值的选取等.
二
数学运算
求ω,φ的值,求函数的单调区间.
二
【试题评析】　
本题以y=sin(ωx+φ)为背景设置问题,考查三角函数的图象、性质等核心知识,也考查了数形结合、转化与化归的思想方法,同时对学生的逻辑推理和数学运算素养要求较高.仔细审题,可发现解答此题的关键有三步:一是零点和对称轴的处理,二是函数在区间上单调的处理,三是验证.厘清思路后解题就简单多了.
本题的易错点是在运用转化与化归的数学思想方法时不等价:例如误认为对称中心与对称轴只能是相邻的,通过在相应区间上单调求出0<ω≤12,误选A.
变式练习
7.[2016天津高考]已知函数f
(x)=sin2sin
ωx
-
(ω>0),x∈R.若f
(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是
(　　)
A.(0,]
B.(0,]∪[,1)
C.(0,]
D.(0,]∪[,]
第三讲　《三角函数的图象与性质》测试
基础篇
1.[2020武汉市部分学校质量监测]已知曲线C1:y=sin
2x，C2:y=sin
2x+cos
2x，则下面结论正确的是
(　　)
A.把曲线C1向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把曲线C1向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把曲线C2向左平移个单位长度，得到曲线C1
D.把曲线C2向右平移个单位长度，得到曲线C1
2.[2020长春市第一次质量监测]把函数y=f
(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<)的图象(部分图象如图4
-
3
-
1所示)，则y=f
(x)的解析式为
(　　)
图4
-
3
-
1
A.f
(x)=2sin(2x+)
B.f
(x)=2sin(x+)
C.f
(x)=2sin(4x+)
D.f
(x)=2sin(x
-
)
3.[2020惠州市调考]函数f
(x)=2cos2ωx
-
sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π，则ω=
(　　)
A.
B.2
C.1
D.
4.[2020四省八校联考]图4
-
3
-
2是函数f
(x)=sin(ωx+)(ω>0)的部分图象，
图4
-
3
-
2
若|AB|=4，则f
(
-
1)=
(　　)
A.
-
1
　　　B.1
C.
-
　　　D.
5.[2020成都市高三摸底测试]将函数f
(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为
(　　)
A.7
B.6
C.5
D.4
6.[2020惠州市二调]已知直线x=是函数f
(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)图象的一条对称轴，则
(　　)
A.φ=
B.f
(x)在[0，]上单调递增
C.f
(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin
2x的图象
D.f
(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin
2x的图象
7.[2020广东四校联考]已知函数f
(x)=sin(x
-
)，若x1x2>0，且f
(x1)+f
(x2)=0，则|x1+x2|的最小值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
8.[2019江西红色七校第一次联考]函数y=sin(2x
-
)的图象与函数y=cos(x
-
)的图象
(　　)
A.有相同的对称轴但无相同的对称中心　　
B.有相同的对称中心但无相同的对称轴
C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心　
D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴
9.[多选题]已知函数f
(x)=sin
ωx+cos(π+ωx)(ω>0)的图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为，则下列说法正确的是
(　　)
A.函数f
(x)的极大值为+1
B.[，]为函数f
(x)的一个单调递减区间
C.函数f
(x)的图象关于点(
-
，0)对称
D.将函数f
(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称
10.[2020河北模拟]若函数f
(x)=3sin(x+)
-
2在区间[，a]上单调，则实数a的最大值是　　　　.?
11.[2019浙江高考]设函数f
(x)=sin
x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f
(x+θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y=[f
(x+)]2+[f
(x+)]2的值域.
提升篇
12.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f
(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)图象的一个对称中心为点(，0)，与该对称中心相邻的一条对称轴方程为x=，该对称轴处所对应的函数值为
-
1，为了得到g(x)=cos
2x的图象，则只需将f
(x)的图象(　　)
A.向右平移个单位长度　　
B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度　　
D.向右平移个单位长度
13.[2020安徽省示范高中名校联考]将函数y=sin(2x
-
)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间(
-
m，m)上无极值点，则m的最大值为
(　　)
A.
B.
C.
D.
14.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f
(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|<)，f
()=1且f
()=
-
1，当ω取最小值时，函数f
(x)的单调递减区间为
(　　)
A.[，]，k∈Z
B.[+2kπ，+2kπ]，k∈Z
C.[
-
，]，k∈Z
D.[
-
+2kπ，+2kπ]，k∈Z
15.[2020陕西省百校第一次联考]将函数f
(x)=cos
2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有的性质为
(　　)
A.最大值为1，图象关于直线x=对称
B.为奇函数，在(0，)上单调递增
C.为偶函数，在(
-
，)上单调递增
D.最小正周期为π，图象关于点(，0)对称
16.[2019安徽示范高中高三测试]已知函数f
(x)=Asin(2x+θ)(A>0，|θ|<)的部分图象如图4
-
3
-
3所示，
图4
-
3
-
3
f
(a)=f
(b)=0，f
(a+b)=，则
(　　)
A.f
(x)在(
-
，)上是减函数
B.f
(x)在(
-
，)上是增函数
C.f
(x)在(，)上是减函数
D.f
(x)在(，)上是增函数
17.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知函数f
(x)=asin
ωx+cos(ωx
-
)(a>0，ω>0)，对于任意的x1，x2∈R，都有f
(x1)+f
(x2)
-
2≤0，若f
(x)在[0，π]上的值域为[，]，则实数ω的取值范围为
(　　)
A.[，]
B.[，]
C.[，]
D.[，]
18.[2019新疆乌鲁木齐二检]若关于x的方程(sin
x+cos
x)2+cos
2x=m在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1
-
x2|≥，则实数m的取值范围是
(　　)
A.[0，2)
B.[0，2]
C.[1，+1]
D.[1，+1)
19.[2019安师大附中最后一卷]如图4
-
3
-
4，
图4
-
3
-
4
已知函数f
(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<)的图象与坐标轴交于点A，B，C，点C的坐标为(
-
，0)，直线BC交f
(x)的图象于另一点D，O是△ABD的重心.则△ACD的外接圆的半径为
(　　)
A.2
B.
C.
D.8
20.[双空题]函数f
(x)=cos(x+)的图象向右平移个单位长度，可得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为　　　　　，函数h(x)=sin2x+g(x)的值域是　　　　.?
21.[2020安徽省示范高中名校联考]已知函数f
(x)=asin
2x
-
cos
2x的图象关于直线x=
-
对称，若f
(x1)·f
(x2)=
-
4，则|x1
-
x2|的最小值为　　　　　.?
22.[2020唐山市摸底考试]已知函数f
(x)=sin(ωx+)(ω>0)，若f
(x)在[0，2π]上恰有3个极值点，则ω的取值范围是　　　　.?
23.[2019四省八校联考]若f
(x)=2sin(ωx+φ)
-
3(ω>0)对任意x∈R都有f
(x+)=f
(
-
x)成立，则f
()=　　　.?
24.[2020合肥市调研检测]已知函数f
(x)=cos
2x+sin(2x
-
).
(1)求函数f
(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f
(x)的单调递增区间.
25.[2019湖南重点高中联考]已知函数f
(x)=cos(πx+)cos(πx
-
).
(1)求f
(x)的单调递增区间；
(2)若f
(x)在区间[，a]上的值域为[
-
，
-
]，求a的取值范围.
26.[多选题]已知函数f
(x)=2sin
ωxcos
ωx+2cos2ωx(ω>0)，则下列结论正确的是
(　　)
A.f
(x)的最大值为2
B.若f
(x)的最小正周期为π，则ω=1
C.方程f
(x)=
-
2有无数个解
D.若函数f
(x)的图象在区间(，π)内不存在对称轴，则ω的最大值为
27.[2020洛阳市第一次联考][开放题]设定义在R上的函数f
(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，
-
<φ<).给出以下四个论断:①f
(x)的最小正周期为π；②f
(x)在区间(
-
，0)上是增函数；③f
(x)的图象关于点(，0)对称；④f
(x)的图象关于直线x=对称.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p?q”的形式)　　　　　　　　　　.(用到的论断都用序号表示)?
28.
[2019山东省八所重点中学联考]如图4
-
3
-
5，点A，点B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.
图4-3-5
动点A从初始位置A0(cos
，sin
)开始，按逆时针方向以角速度2
rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2
rad/s做圆周运动.记t时刻，点A，点B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t=时，A，B两点间的距离；
(2)若y=y1+y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈(0，]时，y的取值范围.
参考答案与解析
三角函数的图象与性质
考点测评
1.D　y=tan
x在(
-
+kπ，+kπ)(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数，故A错误；对于y=ksin
x+1，x∈R，因为k的正负不确定，所以y的最大值不确定，故B错误；图象左右平移是针对x本身而言的，如果系数不是1，需要先提取系数再求解，明显C是错误的.选D.
2.AD　将函数y=sin
x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=f
(x)=sin(x+)=cos
x的图象，所以y=f
(x)是偶函数，A正确；y=f
(x)的最小正周期T==2π，B错误；y=f
(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称，关于点(kπ+，0)(k∈Z)对称，C错误，D正确.故选AD.
3.A　依题意得函数f
(x)的最小正周期T==2×()=π，解得ω=2，故选A.
4.A　对于A，作出y=|cos
2x|的图象如图D
4
-
3
-
1所示，由图象知，其周期为，在区间(，)上单调递增，A正确；
图D
4
-
3
-
1
对于B，作出y=|sin
2x|的图象如图D
4
-
3
-
2所示，由图象知，其周期为，在区间(，)上单调递减，B错误；
图D
4
-
3
-
2
对于C，y=cos|x|=cos
x，周期为2π，C错误；
对于D，作出y=sin|x|的图象如图D
4
-
3
-
3所示，由图象知，其不是周期函数，D错误.
图D
4
-
3
-
3
故选A.
5.A　记y=sin(ωx+φ)的最小正周期为T，由题图可知，得T=π，由T==π，得ω=2，所以y=sin(2x+φ).由函数图象过点(，1)，得2+φ=2kπ+(k∈Z)，则φ=2kπ
-
(k∈Z)，又|φ|<，所以φ=
-
，故选A.
6.C　因为f
(x)为奇函数，所以f
(0)=Asin
φ=0，所以φ=kπ，k∈Z.
又|φ|<π，所以k=0，φ=0.
易知g(x)=Asinωx，所以g(x)的最小正周期T==2π，所以ω=2，所以g(x)=Asin
x.
又g()=，所以A=2，所以f
(x)=2sin
2x，所以f
()=.故选C.
7.　∵f
(x)=sin22x=，∴f
(x)的最小正周期T=.
8.　由于对任意的实数x都有f
(x)≤f
()成立，故当x=时，函数f
(x)有最大值，故f
()=1，∴=2kπ(k∈Z)，∴ω=8k+(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin=.
变式练习
1.D　将函数f
(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=sin(2x++φ)的图象，
因为g(x)是偶函数，所以+φ=+kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ=，所以tan(φ
-
)=tan
，故选D.
2.A　将函数f
(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，
得到函数g(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+π)=
-
sin
2x的图象，令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，可得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为[kπ+，kπ+](k∈Z)，故选A.
3.(1)1　f
(x)=sin2x+cos
x
-
=
-
cos2x+cos
x+=
-
(cos
x
-
)2+1.
因为x∈[0，]，所以cos
x∈[0，1]，因此当cos
x=时，f
(x)max=1.
(2)
-
　解法一　因为f
(x)=2sin
x+sin
2x，
所以f
'
(x)=2cos
x+2cos
2x=4cos2x+2cos
x
-
2=4(cos
x
-
)·(cos
x+1).
由f
'
(x)≥0得≤cos
x≤1，即2kπ
-
≤x≤2kπ+，k∈Z，
由f
'
(x)≤0得
-
1≤cos
x≤，即2kπ
-
≤x≤2kπ
-
，k∈Z，
所以当x=2kπ
-
，k∈Z时，f
(x)取得最小值，
且f
(x)min=f
(2kπ
-
)=2sin(2kπ
-
)+sin
2(2kπ
-
)=
-
.
解法二　因为f
(x)=2sin
x+sin
2x=2sin
x(1+cos
x)=4sin·cos·2cos2=8sincos3=±，
所以[f
(x)]2=3sin2cos6≤()4=，
当且仅当3sin2=cos2，即sin2时取等号，
所以0≤[f
(x)]2≤，所以
-
≤f
(x)≤，
所以f
(x)的最小值为
-
.
解法三　因为f
(x)=2sin
x+sin
2x=2sin
x(1+cos
x)，
所以[f
(x)]2=4sin2x(1+cos
x)2=4(1
-
cos
x)(1+cos
x)3，
设cos
x=t，则y=4(1
-
t)(1+t)3(
-
1≤t≤1)，
所以y'
=4[
-
(1+t)3+3(1
-
t)(1+t)2]=4(1+t)2(2
-
4t)，
所以当
-
1>0；当<0.
所以函数y=4(1
-
t)(1+t)3(
-
1≤t≤1)在(
-
1，)上单调递增，在(，1)上单调递减，
所以当t=时，ymax=；当t=±1时，ymin=0.
所以0≤y≤，即0≤[f
(x)]2≤，所以
-
≤f
(x)≤，
所以f
(x)的最小值为
-
.
解法四　因为f
(x)=2sin
x+sin
2x=2sin
x(1+cos
x)，
所以[f
(x)]2=4sin2x(1+cos
x)2=4(1
-
cos
x)(1+cos
x)3≤·[]4=，
当且仅当3(1
-
cos
x)=1+cos
x，即cos
x=时取等号.
所以0≤[f
(x)]2≤，所以
-
≤f
(x)≤，
所以f
(x)的最小值为
-
.
4.C　因为f
(
-
x)=sin|
-
x|+|sin(
-
x)|=sin|x|+|sin
x|=f
(x)，所以f
(x)为偶函数，故①正确；当x∈(，π)时，f
(x)=sin|x|+|sin
x|=2sin
x，所以f
(x)在区间(，π)上单调递减，故②错误；当x∈(0，π)时，f
(x)=2sin
x，结合函数f
(x)为偶函数可画出f
(x)在[
-
π，π]上的大致图象(如图D
4
-
3
-
4所示)，
图D
4
-
3
-
4
由图可知f
(x)在[
-
π，π]上有3个零点，故③错误；因为y=sin|x|与y=|sin
x|的最大值都为1且可以同时取到，所以f
(x)的最大值为2，故④正确.故选C.
5.6
000　三角函数模型为y=f
(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<)，
可作出函数简图如图D
4
-
3
-
5所示.
由题意知，A=2
000，B=7
000，T=2×(9
-
3)=12，
∴ω=.
则f
(x)=2
000sin(x+φ)+7
000，
则有3+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ=0，
故f
(x)=2
000sinx+7
000(1≤x≤12，x∈N
)，
∴f
(7)=2
000×sin+7
000=6
000.
故7月份的出厂价格为6
000元.
6.D　由题意知，函数f
(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0，|φ|≤)，其图象与直线y=
-
1相邻两个交点的距离为π，故函数的最小正周期为T==π，解得ω=2.
所以f
(x)=2sin(2x+φ)+1.
由题意，f
(x)>1对任意的x∈(
-
，)恒成立，即当x∈(
-
，)时，sin(2x+φ)>0恒成立.
令t=2x+φ，因为x∈(
-
，)，所以t∈(φ
-
，φ+).
故要使sin
t>0恒成立，只需(k∈Z)，
解得2kπ+≤φ≤2kπ+(k∈Z).
显然，当k=0时，≤φ≤，故选D.
7.D　f
(x)=(1
-
cos
ωx)+sin
ωx
-
sin
ωx
-
cos
ωx=sin(ωx
-
).
当ω=时，
f
(x)=sin(x
-
)，x∈(π，2π)时，f
(x)∈(，]，无零点，排除A，B；
当ω=时，f
(x)=sin(x
-
)，x∈(π，2π)时，当x=π时，f
(x)=0，所以f
(x)有零点，排除C.选D.
基础篇
1.D　因为C1:y=sin
2x，C2:y=sin
2x+cos
2x=sin(2x+)=sin[2(x+)]，所以把曲线C2向右平移个单位长度，得到曲线C1，选D.
2.C　将(0，1)代入y=2sin(ωx+φ)中，得sin
φ=.又|φ|<，所以φ=.由“五点作图法”知点(，0)为图象上的第五点，则ω=2π，解得ω=2，所以y=2sin(2x+)，将其图象上所有点的横坐标缩短成原来的，得y=f
(x)=2sin(4x+)的图象，故选C.
3.C　∵f
(x)=2cos2ωx
-
sin2ωx+2=cos
2ωx+(ω>0)，∴f
(x)的最小正周期T==π，∴ω=1.
4.D　设f
(x)的最小正周期为T，则|AB|2=(2)2+()2，即16=12+，则T=4，所以T=4=，ω=，所以f
(x)=sin(x+)，所以f
(
-
1)=sin(
-
)=sin.
5.C　将函数f
(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，得到y=sin(ωx
-
)的图象，∵y=sin(ωx
-
)的图象关于y轴对称，∴
-
=kπ+，k∈Z，∴ω=
-
6k
-
1，k∈Z，又ω>0，∴ω的最小值为5，故选C.
6.D　由题意可得2+φ=kπ+(k∈Z)，所以φ=kπ
-
(k∈Z)，又|φ|<，所以φ=
-
，故选项A错误；函数的解析式为f
(x)=2sin(2x
-
)，若x∈[0，]，则2x
-
∈[
-
，]，此时函数不具有单调性，故选项B错误；把f
(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin[2(x+)
-
]=2sin(2x+)的图象，故选项C错误；把f
(x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin[2(x+)
-
]=2sin
2x的图象，故选项D正确.
7.D　由题意可得x1，x2的符号相同，且(x1
-
)+(x2
-
)=2kπ，k∈Z，或(x2
-
)
-
(x1
-
)=kπ，k∈π+，k∈Z，故|x1+x2|的最小值为，故选D.
8.A　当x=+kπ，k∈Z时，cos(x
-
)=±1，所以函数y=cos(x
-
)的图象的对称轴是直线x=+kπ，k∈Z，又当2x
-
+kπ，k∈Z，即x=，k∈Z时，sin(2x
-
)=±1，所以y=sin(2x
-
)的图象的对称轴是直线x=，k∈Z，所以y=cos(x
-
)的图象的对称轴都是y=sin(2x
-
)的图象的对称轴；当x
-
+kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，cos(x
-
)=0，所以y=cos(x
-
)的图象的对称中心是点(+kπ，0)，k∈Z，又当2x
-
=kπ，k∈Z，即x=，k∈Z时，sin(2x
-
)=0，所以y=sin(2x
-
)的图象的对称中心是点(，0)，k∈Z，由此可得，它们的对称中心均不相同.故选A.
9.BC　f
(x)=sin
ωx
-
cos
ωx=2sin(ωx
-
)，其最小正周期T=.由已知得，得ω=2，所以f
(x)=2sin(2x
-
).
A
函数f
(x)的极大值为2.
错误
B
由2kπ+≤2x
-
≤2kπ+(k∈Z)，
解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，所以该函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+](k∈Z).令k=0，所得区间为[，].
正确
C
令2x
-
=kπ(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，所以函数f
(x)的图象的对称中心为点(，0)(k∈Z).当k=
-
1时，对称中心为点(
-
，0).
正确
D
将函数f
(x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为g(x)=f
(x
-
)=2sin[2(x
-
)
-
]=2sin(2x
-
)，显然该函数不是奇函数，其图象不关于原点对称.
错误
综上，说法正确的是BC.
10.　解法一　令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，所以函数f
(x)在区间[，]上单调递减，所以a的最大值为.
解法二　因为≤x≤a，所以≤x+≤a+，
而f
(x)在[，a]上单调，所以a+≤，即a≤，所以a的最大值为.
11.(1)因为f
(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(
-
x+θ)，
即sin
xcos
θ+cos
xsin
θ=
-
sin
xcos
θ+cos
xsin
θ，
故2sin
xcos
θ=0，
所以cos
θ=0.
又θ∈[0，2π)，因此θ=或.
(2)y=[f
(x+)]2+[f
(x+)]2
=sin2(x+)+sin2(x+)
=
=1
-
(cos
2x
-
sin
2x)
=1
-
cos(2x+).
因此，函数的值域是[1
-
，1+].
提升篇
12.B　根据函数f
(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点(，0)，(，
-
1)，可得A=1，·，解得ω=2.又由五点作图法可得2+φ=π，解得φ=，所以f
(x)=sin(2x+).因为cos
2x=sin(2x+)=sin[2(x+)+]，所以将函数f
(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位长度，可得g(x)=cos
2x的图象，故选B.
13.A　解法一　将函数y=sin(2x
-
)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数的解析式为y=sin[2(x+)
-
]=sin(2x+).又此函数在区间(
-
m，m)上无极值点，所以0<2m≤，所以0-
m-
2m+<2x+<2m+，由0-
2m+∈[
-
，)，结合图象，可得2m+≤，所以m≤.所以0解法二　将函数y=sin(2x
-
)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数的解析式为y=sin[2(x+)
-
]=sin(2x+).又此函数在区间(
-
m，m)上无极值点，所以函数在(
-
m，m)上单调，故0<2m≤，所以0-
m，m)上有极值点，故排除B，选A.
14.A　由得则①
-
②得ω=(k1
-
2k2)π
-
，则ω=12k1
-
24k2
-
18，k1，k2∈Z，ω>0.当k2=
-
1，k1=0或k1=2，k2=0时，ω取最小值6.又|φ|<，所以φ=0，f
(x)=2sin
6x+1.令2kπ+≤6x≤2kπ+π，k∈Z，则≤x≤，k∈Z，所以f
(x)的单调递减区间为[，]，k∈Z，故选A.
15.B　将函数f
(x)=cos
2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos[2(x
-
)]=sin
2x
的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x=(k∈Z)对称，故选项A不正确；易知函数g(x)为奇函数，当x∈(0，)时，2x∈(0，)，故函数g(x)在(0，)上单调递增，故选项B正确，选项C不正确；易知函数g(x)的最小正周期为π，其图象关于点(，0)(k∈Z)对称，故选项D不正确.故选B.
16.B　由题图可知A=2，则f
(x)=2sin(2x+θ).
因为f
(a)=f
(b)=0，所以f
()=2，
则sin(a+b+θ)=1，a+b+θ=+2kπ，k∈Z.由f
(a+b)=得sin[2(a+b)+θ]=，所以2(a+b)+θ=+2kπ，k∈Z，或2(a+b)+θ=+2kπ，k∈Z，所以θ=+2kπ或θ=+2kπ，k∈Z，又|θ|<，所以θ=，即f
(x)=2sin(2x+).当x∈(
-
，)时，2x+∈(
-
，)，所以f
(x)在(
-
，)上是增函数.当x∈(，)时，2x+∈(π，2π)，所以f
(x)在(，)上先减后增.故选B.
17.B
　f
(x)=asin
ωx+cos(ωx
-
)=asin
ωx+cos
ωxcos
+sin
ωxsin
=(+a)sin
ωx+cos
ωx=·sin(ωx+?)，其中tan
?=.对于任意的x1，x2∈R，都有f
(x1)+f
(x2)
-
2≤0，即f
(x1)+f
(x2)≤2，当且仅当f
(x1)=f
(x2)=f
(x)max时取等号，故2=2，解得a=1或a=
-
2(舍去)，故f
(x)=sin
ωx+cos
ωx=sin(ωx+).因为0≤x≤π，所以0≤ωx≤ωπ，≤ωx+≤ωπ+.又f
(x)在[0，π]上的值域为[，]，所以≤ωπ+≤，解得≤ω≤，选B.
18.A　关于x的方程(sin
x+cos
x)2+cos
2x=m可化为sin
2x+cos
2x=m
-
1，即sin(2x+)=.易知sin(2x+)=在区间(0，π]上有两个不同的实数根x1，x2，且|x1
-
x2|≥.令2x+=t，即sin
t=在区间(，]上有两个不同的实数根t1，t2.
作出y=sin
t(4
-
3
-
6所示，由|x1
-
x2|≥得|t1
-
t2|≥，
图D
4
-
3
-
6
所以
-
≤，故0≤m<2.故选A.
19.B　因为O是△ABD的重心，所以OA=2OC=2=1，即A(1，0)，故函数f
(x)的最小正周期T=2×(1+)=3，即=3，则ω=，即f
(x)=sin(x+φ).由五点作图法知1+φ=π，解得φ=，故f
(x)=sin(x+)，从而f
(0)=sin，故B(0，).易知C是线段BD的中点，所以D(
-
1，
-
)，AD=
.易知在△BOC中，∠BCO=60°，则∠ACD=120°.设△ACD的外接圆半径为R，则由正弦定理得2R=，即R=，即△ACD的外接圆的半径为，故选B.
20.g(x)=cos
x　[
-
，]　因为f
(x)=cos(x+)的图象向右平移个单位长度，可得到函数g(x)的图象，所以g(x)=cos
x，所以h(x)=sin2x+cos
x=1
-
cos2x+cos
x=
-
(cos
x
-
)2+，因为cos
x∈[
-
1，1]，所以
-
≤h(x)≤，所以函数h(x)的值域是[
-
，].
21.　因为f
(x)=asin
2x
-
cos
2x的图象关于直线x=
-
对称，所以f
(0)=f
(
-
)，可得a=1，所以f
(x)=sin
2x
-
cos
2x=2sin(2x
-
).
又f
(x1)·f
(x2)=
-
4，所以f
(x1)，f
(x2)有一个是最大值，另一个是最小值，所以|x1
-
x2|的最小值为半个最小正周期，即.
22.(，]　令t=ωx+，∵x∈[0，2π]，ω>0，∴t∈[，2ωπ+]，结合y=sin
t的图象得<2ωπ+≤，解得<ω≤.
【易错警示】　本题容易出现的错误解答:结合正弦函数y=sin
t的图象得≤2ωπ+，解得≤ω<，错误的原因是未注意到极值点不能在区间的端点处.
23.
-
5或
-
1　由题意知，函数f
(x)=2sin(ωx+φ)
-
3的图象的一条对称轴为直线x=.当x=时，函数f
(x)=2sin(ωx+φ)
-
3取得最值，所以f
()=
-
5或
-
1.
24.(1)f
(x)=cos
2x+sin
2x
-
cos
2x=sin
2x+cos
2x=sin(2x+).
∴函数f
(x)的最小正周期T=π.
(2)由2kπ
-
≤2x+≤2kπ+(k∈Z)，解得kπ
-
≤x≤kπ+(k∈Z)，
∴函数f
(x)的单调递增区间为[kπ
-
，kπ+](k∈Z).
∵x∈[0，π]，∴所求单调递增区间为[0，]和[，π].
25.(1)f
(x)=(cos
πx
-
sin
πx)(cos
πx+sin
πx)=cos2πx
-
sin2πx=cos
2πx
-
，令π+2kπ≤2πx≤2π+2kπ，k∈Z，解得+k≤x≤1+k，k∈Z，∴f
(x)的单调递增区间为[k+，k+1]，k∈Z.
(2)∵f
(x)的值域为[
-
，
-
]，∴
-
1≤cos
2πx≤
-
.∵x∈[，a]，∴≤2πx≤2πa，结合余弦函数图象可知π≤2πa≤，解得≤a≤，∴a的取值范围是[，].
26.BD　因为f
(x)=2sin
ωxcos
ωx+2cos2ωx=sin
2ωx+cos
2ωx+1=2sin(2ωx+)+1，所以
-
1≤f
(x)≤3，故选项A，C不正确.若f
(x)的最小正周期为π，则2ω==2，ω=1，故选项B正确.由2ωx+=kπ+(k∈Z)，得x=(k∈Z)，根据题意知，若函数f
(x)的图象在区间(，π)内不存在对称轴，只需≤且≥π，即ω≥k+且ω≤，若有解，必须k+≤，即k≤，又ω>0，所以>0，即k>
-
，所以
-
-
1或k=0，即0<ω≤或≤ω≤，所以ω的最大值为，故选项D正确.
27.①④?②③或①③?②④(写出一个即可)　根据①f
(x)的最小正周期为π，可得ω=2，函数f
(x)=sin(2x+φ).再由④函数f
(x)的图象关于直线x=对称，可得sin(2+φ)为f
(x)的最值，又
-
<φ<，所以2+φ=，解得φ=，此时f
(x)=sin(2x+)，可推得②③成立.故由①④可以推出②③成立.同样，易由①③推出②④成立.
28.(1)连接OA，OB，AB，当t=时，∠xOA=，∠xOB=，所以在△AOB中，∠AOB=.
又OA=1，OB=2，所以AB2=12+22
-
2×1×2cos
=7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1=sin(2t+)，y2=
-
2sin
2t，
所以y=sin(2t+)
-
2sin
2t=cos
2t
-
sin
2t=cos(2t+)，
即函数关系式为y=cos(2t+)(t>0)，
当t∈(0，]时，2t+∈(，]，所以cos(2t+)∈[
-
1，)，故当t∈(0，]时，y∈[
-
，).
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