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第四章　三角函数、解三角形
第四讲　正、余弦定理及解三角形
1.[2018全国卷Ⅱ]在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB= (　　)
A.4 B. C. D.2
2.[2017 山东高考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=
2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
3.[2019福建宁德联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形 (　　)
A.无解 B.有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
4.[多选题]下列说法正确的是(△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c) (　　)
A.在△ABC中,若A>B,则必有sin A>sin B
B.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B=45°或B=135°
C.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(,2)
D.在△ABC中,若acos B=bcos A,则△ABC是等腰三角形
5.[2017全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　.?
6.[2019全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.?
7.[2019浙江高考]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　.?
8.[2016全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　.?
9.[2019江西名校高三质检]已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S△ABC表示△ABC的面积,且有b(asin A+bsin B)= 4sin B·S△ABC+bcsin C,若c=,则△ABC的外接圆
半径为　　　.　　　　
10.[2015湖北高考]如图4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　m.?
知识回顾
考法1 利用正、余弦定理解三角形
1在△ABC中,C=,AB=2,AC=,则cos B的值为
A. B. - C.或 - D.或 -
【解题思路】
根据条件,两边和其中一边的对角→选用正弦定理求解
【解析】由题意知C=,c=AB=2,b=AC=, (条件类型:两边和其中一边的对角)
由正弦定理,得sin B=. (利用正弦定理求sin B)
因为b>c,所以B>C=, (利用“大边对大角”确定角的范围)
又0当B=时,cos B=;当B=时,cos B= - .
【答案】D
【反思】
(1)该题中,由sin B=可得角B的两个值与.由已知边之间的大小关系可得B>C=,显然与都满足题意.解该题的过程中易出现的问题是漏解.
(2)若该题是已知B=,AB=,AC=,求C,则由正弦定理可得sin C=.又AB例2已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A=csin C.
(1)求C;
(2)若a=2,b=2,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长.
【解析】(1)因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,
所以由正弦定理可得a2+b2+ab=c2. (角化边)
由余弦定理得cos C== - ,　 (边化角)
又0(2)由题意知a=2,b=2,由(1)知C=, (条件类型:两边和它们的夹角)
根据余弦定理可得c2=a2+b2 - 2abcos C=22+ - 2×2×2×( - )=20,
所以c=2. (利用余弦定理求边)
由正弦定理,得, (已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理求角)
解得sin B=,从而cos B=.
设BC的中垂线交BC于点E,
因为在Rt△BDE中,cos B=,所以BD=. (解直角三角形)
因为点D在线段BC的中垂线上,所以CD=BD=. (利用中垂线的性质求CD)
【点评】 该题中的第(1)问如果利用正弦定理把边化为角,就会得到sin2A+sin2B+sin Bsin A=sin2C,化简这个式子就比较麻烦,显然不如把角化为边简单;第(2)问中利用中垂线的性质转化所求,将问题化归到直角三角形中求解,体现数学思维的灵活性.
变式练习
1. [2020江淮十校联考]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin A - bsin B=2csin C,cos A=,则= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.3 C.2 D.1
考法2 判断三角形的形状
例3在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则△ABC一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
【解题思路】两直线平行可得到一个边角关系,即bcos B - acos A=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.
【解析】解法一 　(边化角)由两直线平行可知bcos B - acos A=0,由正弦定理可知sin Bcos B - sin Acos A=0,即sin 2B -
sin 2A=0,故2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.
若A=B,则a=b,cos A=cos B,两直线重合,不符合题意,故A+B=,即△ABC是直角三角形.
解法二　(角化边)由两直线平行可知bcos B - acos A=0,
由余弦定理,得a·=b·,
所以a2(b2+c2 - a2)=b2(a2+c2 - b2),
所以c2(a2 - b2)=(a2+b2)(a2 - b2),
所以(a2 - b2)(a2+b2 - c2)=0,所 以a=b或a2+b2=c2.
若a=b,则两直线重合,不符合题意.
故a2+b2=c2,即△ABC是直角三角形.
【答案】C
变式练习
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
考法3 与面积有关的问题
例4 [2019全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A,
因为sin A≠0,所以sin=sin B.
由A+B+C=180°,可得sin=cos,
故cos=2sincos.
因为cos≠0,
所以sin,因此B=60°.
(2)解法一　由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由正弦定理得a=.
由于△ABC为锐角三角形,故0°由(1)知A+C=120°,所以30°故因此,△ABC面积的取值范围是(,).
解法二　如图4 - 4 - 2,AB=1,过点B作射线BD使∠ABD=60°,则点C在射线BD上.要满足△ABC为锐角三角形,可找出C点的两个“临界点”C1和C2,C1,C2分别满足∠AC1B=90°,∠BAC2=90°.
易知,.
故△ABC面积的取值范围是(,).
【反思】
本题主要考查正弦定理、三角形的面积公式、数形结合思想.对于本题第(2)问,应用解法一确定a的范围时要注意对锐角三角形这个条件的挖掘,应用解法二时要准确找出“临界点”.对于有些三角函数题，构造图形可以使抽象问题具体化，解法新颖，解题更高效.
变式练习
3.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,A=2C,则△ABC的周长为　　　　,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为　　　　.?
4.[2016全国卷Ⅰ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c.
(1)求C;
(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
考法4 平面图形中的计算问题
例5 [2019湖南衡阳第三次联考]如图4 - 4 - 3,在平面四边形ABCD中,0<∠DAB<,AD=2,AB=3,△ABD的面积为,AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)若∠BCD=,求BC的长.
【解题思路】(1)因为△ABD的面积S=AD×ABsin∠DAB=×2×3sin∠DAB=,
所以sin∠DAB=.
又0<∠DAB<,所以∠DAB=,
所以cos∠DAB=cos.
由余弦定理得BD=,
由正弦定理得sin∠ABD=.
(2)解法一　因为AB⊥BC,
所以∠ABC=,sin∠DBC=sin( - ∠ABD)=cos∠ABD=.
在△BCD中,由正弦定理知可得CD=.
由余弦定理知DC2+BC2 - 2DC·BCcos∠DCB=BD2,
可得3BC2+4BC - 5=0,解得BC=或BC= - (舍去).
故BC的长为.
解法二　因为AB⊥BC,
所以∠ABC=,sin∠DBC=sin( - ∠ABD)=cos∠ABD=.
则cos∠DBC=cos( - ∠ABD)=sin∠ABD=,
sin∠BDC=sin(π - ∠BCD - ∠DBC)=sin( - ∠DBC)=cos∠DBC - sin∠DBC=.
在△BCD中,由正弦定理知,
可得BC=.
【反思】
求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”,将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系.解决平面图形中的计算问题时,学会对条件进行分类与转化是非常重要的,一般来说,尽可能将条件转化到三角形中,这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解.如该题中,把条件转化到△BCD中后,可利用正弦定理或余弦定理求出BC的长.
变式练习
5.[2015新课标全国Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是　　　　.?
6.[2018全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
考法5 解三角形的实际应用
例6某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,则舰艇航行的方位角为　　　　,靠近渔轮所需的时间为　　　　.?
【解题思路】本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间为t h,找出等量关系,然后解三角形.
【解析】如图4 - 4 - 4所示,
图4 - 4 - 4
根据题意可知AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在△ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2 - 2AC·BC·cos 120°,
所以212t2=102+81t2+2×10×9t×,即360t2 - 90t - 100=0,解得t=或t= - (舍去).
所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.
此时AB=14,BC=6.
在△ABC中,根据正弦定理,得,
所以sin∠CAB=,即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去),即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行,需 h才能靠近渔轮.
变式练习
7.[2019济南市质量评估]我国《物权法》规定:建造建筑物,不得违反国家有关工程建设标准,妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上,且楼高均为45 m,依据规定,该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m.若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点,测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°,则该小区的住宅楼楼间距实际为　　　　 m.?
数学探究　解三角形中的最值(取值范围)问题
例7 [2019辽宁沈阳东北育才学校模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为c,则ab的最小值为　　　　.?
【解题思路】根据已知条件和余弦定理,先求得cos C,进而可得sin C,结合三角形的面积公式,可得ab=4c,代入条件式可得a,b的关系式,利用基本不等式即可求得ab的最小值.
【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2 - 2abcos C=c2,可得cos C= - ,
所以sin C=.
由三角形的面积公式,可得c=absin C,将sin C=代入化简可得c=. (由面积构建关系)
将c=代入a2+b2+ab=c2可得a2+b2= - ab, 因为a2+b2≥2ab,
所以 - ab≥2ab, (构建目标不等式)
解不等式可得ab≥48,当且仅当a=b=4时取等号.
所以ab的最小值为48.
【反思】
题中化简已知条件后得到a,b的关系式,但无法直接解出ab的最小值,所以利用基本不等式转化为关于ab的不等式求解.当然,该题也可以用以下方法求解.
由已知化简得到a2+b2= - ab,令ab=t,t>0,则b=.
代入上式可得a2+ - t.
左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得 - t=a2+≥2=2t,即≥3t,解得t≥48,当且仅当a=b=4时取等号,即ab的最小值为48.
例8在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3B,则的取值范围为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1,3]
【解析】由正弦定理可得=2cos2B+cos 2B=4cos2B - 1.
∵ A+B+C=180°,C=3B,∴0°∴1<4cos2B - 1<3,即1<<3.
【答案】B
【易错警示】
本题易错点有两处:一是没有考虑内角和定理,误认为角B的取值范围为0°数学应用　数学建模在解三角形实际问题中的应用
例9 [2019江苏省镇江市三模]江心洲有一块如图4 - 4 - 4所示的江边,OA,OB为岸边,OA,OB的夹角为,现拟在此江边用围网建一个江水养殖场,有两个方案.方案1:在岸边OB上取两点P,Q,用长度为1 km的围网依托岸边线PQ围成三角形MPQ(MP,MQ两边为围网),如图4 - 4 - 5(1)所示.方案2:在岸边OA,OB上分别取点E,F ,用长度为1 km的围网EF 依托岸边围成三角形EOF ,如图4 - 4 - 5(2)所示.请分别计算△MPQ,△EOF 面积的最大值,并比较哪个方案好.
【解析】设MQ=x km,MP=y km.
由已知“用长度为1 km的围网”和“MP,MQ两边为围网”得x,y∈(0,1)且x+y=1,
∴S△MPQ=xysin∠PMQ≤()2×sin∠PMQ≤()2×sin ×()2×1=,
当且仅当x=y=且∠PMQ=时,等号成立.
∴△MPQ面积的最大值为 km2.
设OE=a km,OF =b km.
在△EOF 中,由余弦定理得EF 2=OE2+OF 2 - 2OE·OF ·cos∠EOF ,即12=a2+b2 - 2abcos ,
∴1=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab,∴ab≤(当且仅当a=b=时等号成立).
∴S△EOF =absin≤××(当且仅当a=b=时等号成立).
∴△EOF 面积的最大值为 km2.
∵ ,∴方案2好.
【素养探源】　
核心素养 考查途径 素养水平
数学建模 根据不同的方案,确定参数,选择适当的面积公式. 二
数学运算 求面积、求最值、比较大小. 二
【试题评析】　
本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题,体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生的数学应用意识.本题中求△MPQ面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想到利用基本不等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正弦值的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可以;求△EOF 面积的最值比较常规,利用基本不等式求最值,结合面积公式得面积最值.
变式练习
8.如图4 - 4 - 6,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记∠AMN=θ.
(1)将AN,AM用含θ的关系式表示出来;
(2)如何设计(即AN,AM为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?
2
素养提升2　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略
例1[2019全国卷Ⅰ,12分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B - sin C)2=sin2A - sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若a+b=2c,求sin C.
【解题思路】(1)先利用正弦定理将角的关系化为边的关系,再利用余弦定理求出A的大小.(2)先运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,再结合同角三角函数的基本关系式及第(1)问的结论求解sin C的值.
【解析】(1)(sin B - sin C)2=sin2B - 2sin Bsin C+sin2C=sin2A - sin Bsin C,即sin2B+sin2C - sin2A=sin Bsin C. ①
由正弦定理可得b2+c2 - a2=bc, ②
所以cos A=, ③
因为A∈(0,π),
所以A=. ④
(2)因为a+b=2c,由正弦定理得sin A+sin B=2sin C, ⑤
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,
所以×cos C+sin C=2sin C,
整理可得3sin C - cos C. ⑥
因为sin2C+cos2C=1, ⑦
所以(3sin C - )2=3(1 - sin2C), ⑧
解得sin C=或sin C=. ⑨
因为sin B=2sin C - sin A=2sin C - >0,
所以sin C>,
故sin C=. ⑩
【感悟升华】
阅 卷
现
场
得分点
第(1)问
采点得
分说明 ①已知条件展开化简得2分;
②利用正弦定理进行边角互化得1分;
③利用余弦定理求值得1分;
④给定范围内求出角A得1分. 5分
第(2)问
采点得
分说明 ⑤利用正弦定理进行边角互化得1分;
⑥利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简得1分;
⑦想到同角三角函数的基本关系式得1分;
⑧建立关于sin C的方程得1分;
⑨解方程得1分;
⑩得到最终结果得2分. 7分
满 分
策
略 1.求解解三角形问题的关键
准确把握正、余弦定理的内容,根据已知条件灵活地选用公式是解三角形的关键.
2.边角互化
运用正弦定理可实现边角互化,如本例第(1)问.
3.求解解三角形问题的技巧
解三角形时常会用到同角三角函数的基本关系式及三角恒等变换,所以熟练掌握三角公式也是不可缺少的环节.
4.角的变换的运用
在解三角形的过程中,角的变换尤其关键,如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及利用三角形内角和定理的变换.
一 题
多
解 第(2)问也可用如下两种解法.
解法一　因为a+b=2c,由正弦定理得sin A+sin B=2sin C,
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=,所以×cos C+sin C=2sin C,整理可得3sin C - cos C,
即3sin C - cos C=2sin(C - )=,
所以sin(C - )=.由C∈(0,),得C - ∈( - ,),所以C - ,C=,sin C=sin()=.
解法二　由(1)知B= - C,由题设及正弦定理得sin A+sin( - C)=2sin C,即cos C+
sin C=2sin C,可得cos(C+)= - .由于0sin(C+)=sin(C+)cos - cos(C+)sin .
例2[2017全国卷Ⅰ,12分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
【解题思路】
(1)三角形的面积公式,已知条件→等量关系→sin Bsin C的值
【解析】(1)因为△ABC的面积为,且S△ABC=absin C,
所以absin C,…1分(得分点1,应用三角形面积公式时选择好两边及夹角很关键)
由正弦定理,
得sin Asin Bsin C,… 3分(得分点2,利用正弦定理将边化角,是转化与化归思想的应用)
所以sin Bsin C=.…4分(得分点3,化简得出结论)
(2)由题设及(1)得cos Bcos C - sin Bsin C= - ,
即cos(B+C)= - ,…6分(得分点4,巧妙地逆用两角和的余弦公式是解答的关键)
又A+B+C=π,所以B+C=,A=.…7分(得分点5,求出角A,为后续应用余弦定理做准备)
由题设得bcsin A=,
故bc=8.…9分(得分点6,利用三角形面积公式求得bc)
由余弦定理得b2+c2 - bc=9,
即(b+c)2 - 3bc=9,得b+c=.…11分(得分点7,利用余弦定理构造以b+c为未知数的方程求解,是整体思想的应用)
故△ABC的周长为3+.…12分(得分点8,下结论得满分)
【感悟升华】
素养 探源 素养 考查途径
数学运算 三角恒等变换.
逻辑推理 由三角形ABC的面积想到公式S=absin C=bcsin A;欲求周长,只需要整体求出b+c的值.
得分 要点 (1)得步骤分:抓住得分点的解题步骤,“步步为赢”.
(2)得关键分:①面积公式,②恒等变换,③正弦定理,④余弦定理,这些都是不可漏写的得分点,有则给分,无则没分.
(3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证,如得分点5,7,8.
答题 模板 利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤
第一步:找条件.寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向.
第二步:定工具.根据已知条件和转化方向,选择使用的定理和公式,进行边角之间的转化.
第三步:求结果.根据前两步的分析,代入求值得出结果.
第四步:反思.转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.
第四讲　《正、余弦定理及解三角形》测试
基础篇
1.[2020广东七校联考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=+1，b=2，A=，则B= (　　)
A. B. C. D.或
2.[2020湖北部分重点中学高三测试]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若b2+c2 - a2=bc，则tan B的值为 (　　)
A.- B. C.-3 D.3
3.[2019湖北部分重点中学高三测试]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，若a+b=4，则c的取值范围为 (　　)
A.(0，4) B.[2，4) C.[1，4) D.(2，4]
4.[2020大同市高三调研]在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sin∠BAC=　　　　.?
5.[2019安徽示范高中高三测试]在△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到D，使得CD=AB=1，若∠CBD=30°，则AC=　　　　.?
6.[2020长春市第一次质量监测]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btan A，a>b.
(1)求证:△ABC是直角三角形；
(2)若c=10，求△ABC的周长的取值范围.
7.[2020惠州市一调]已知△ABC的内角A，B，C满足 .
(1)求角A；
(2)若△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积S的最大值.
8.[2019辽宁五校联考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A+C)=2sin Acos(A+B)，且sin2A+sin2B - sin2C+sin Asin B=0.
(1)求证:a，b，2a成等比数列；
(2)若△ABC的面积是2，求c.
提升篇
9.[2020合肥市调研检测]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且≥，则 (　　)
A.A的最大值为 B.A的最小值为
C.A的最大值为 D.A的最小值为
10.[2020四川五校联考]在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD=2CD=2，则△ABC面积的最大值为 (　　)
A.3 B.2 C.3 D.4
11.[2019广东百校联考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C=，a=4，S△ABC=2，则= (　　)
A. B.2 C.2 D.2
12.[2020长春市第一次质量监测][双空题]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m=(b - c，a - b)，n=(sin C，sin A+
sin B)，且m⊥n，则A=　　　　；若△ABC的面积为，则△ABC的周长的最小值为　　　　.?
13.[2019河北六校联考]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2 - bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为　　　　.?
14.[2019福建宁德质检]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4 - 4 - 1所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD=80 m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则图4 - 4 - 1中海洋蓝洞的口径为　　　　m.?
图4 - 4 - 1
15.[2020大同市高三调研]△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且cos B=.
(1)求的值；
(2)设·，求a+c的值.
16.[2020山东省统考]在△ABC中，A=90°，点D在BC边上.在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF=AC.
(1)若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
(2)若∠ABC=45°，且BD=3CD，求cos∠CFB.
17.[多选题]在△ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD，cos∠CDB= - ，则 (　　)
A.sin∠BCD=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
18.[2020陕西省百校第一次联考][双空题]在△ABC中，D为AC的中点，若AB=，BC=2，BD=，则cos∠ABC=　　　　，
sin C=　　　　.?
19.[2020洛阳市第一次联考]已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且满足(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)设a=，S为△ABC的面积，求S+cos Bcos C的最大值.
素养提升2　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略
1.[2020四省八校联考，12分]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A=，tan B=，a=5.
(1)求tan C；
(2)求△ABC的最长边.
2.[2020湖北八校第一次联考，12分]在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若△ABC的面积S=，△ABC的外接圆的直径为1，求△ABC的周长L.
3.[12分]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a2+λbc=b2+c2.
(1)求实数λ的值；
(2)若a=，求△ABC的面积.
4.[交汇题，12分]△ABC中，角A，B，C所对应的边分别记为a，b，c，m=(cos B，2a - b)，n=(cos C，c)，且m∥n.
(1)求角C的大小；
(2)若c=1，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC内切圆的半径r.
5.[2019南昌三模，12分]如图2 - 1所示，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的半径为2，圆心角为，点M是弧上异于A，B的点.
图2 - 1
(1)若点C(1，0)，且CM=，求点M的横坐标；
(2)求△MAB面积的最大值.
6.[新角度题，12分]在△ABC中，AB=2，AC=，AD为△ABC的内角平分线，点D在BC边上，AD=2.
(1)求的值；
(2)求∠BAC的大小.
7.[开放题，10分]在①(2a+b)sin A+(2b+a)sin B=2csin C，②，③三角形的面积这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，作为问题的条件，再解答这个问题.
在三角形中，角的对边分别是，若c=，且　　　　　　　，探究三角形的周长是否存在最大值.若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.?
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案与解析
正、余弦定理及解三角形
考点测评
1.A　因为cos C=2cos2 - 1=2 - 1= - ，所以由余弦定理，得AB2=AC2+BC2 - 2AC×BCcos C=25+1 - 2×5×1×( - )=32，所以AB=4，故选A.
2.A　由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C)，即2sin Bcos C=sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B=sin A，由正弦定理可知a=2b.故选A.
3.C　∵bsin A=124.ACD　对于A，在△ABC中，若A>B，则a>b，(R为△ABC的外接圆的半径)，即sin A>sin B，A正确；
对于B，由得sin B=sin A=，因为a>b，所以B对于C，由条件可得BCsin C对于D，由acos B=bcos A得sin Acos B=sin Bcos A，即sin(A - B)=0，又A，B为三角形的内角，所以A=B，故△ABC是等腰三角形，D正确.故选ACD.
5.75°　由正弦定理，得sin B=，所以B=45°或135°，因为b6.6　因为a=2c，b=6，B=，所以由余弦定理b2=a2+c2 - 2accos B，得62=(2c)2+c2 - 2×2c×ccos，得c=2 ，所以a=4，所以△ABC的面积S=acsin B=4 2sin=6.
7.　 　在Rt△ABC中，易得AC=5，sin C=.在△BCD中，由正弦定理得BD=sin∠BCD=，sin∠DBC=sin[180° - (∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC=.又∠ABD+∠DBC=90°，所以cos∠ABD=sin∠DBC=.
8.　解法一　因为cos A=，cos C=，所以sin A=，sin C=，从而sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.由正弦定理，得b=.
解法二　因为cos A=，cos C=，所以sin A=，sin C=，从而cos B= - cos(A+C)= - cos Acos C+sin Asin C= - .由正弦定理，得c=.
由余弦定理b2=a2+c2 - 2accos B，得b=.
解法三　因为cos A=，cos C=，所以sin A=，sin C=，
由正弦定理，得c=.
从而b=acos C+ccos A=.
9.　因为b(asin A+bsin B)=4sin B·S△ABC+bcsin C，
故absin A+b2sin B=4sin B·S△ABC+bcsin C，
即a2sin B+b2sin B=4sin B·S△ABC+c2sin B，即a2+b2 - c2=4S△ABC，故abcos C=absin C，故C=，
则△ABC的外接圆半径为.
10.100　由题意，得∠BAC=30°，∠ABC=105°.在△ABC中，因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠ACB=45°.
因为AB=600 m，由正弦定理可得，即BC=300 m.在Rt△BCD中，因为∠CBD=30°，BC=300 m，所以tan 30°=，所以CD=100 m.
变式练习
1.D　因为△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asin A - bsin B=2csin C，利用正弦定理将角化为边可得2a2 - b2=2c2　①，
由①及余弦定理可得cos A=，化简得=1，即=1，故选D.
2.A　已知0，于是有cos B<0，即B为钝角，所以△ABC是钝角三角形.故选A.
3.15　　由4sin B=5sin C，得4sin(π - A - C)=5sin C，即4sin(A+C)=5sin C，即4(sin Acos C+cos Asin C)=5sin C.
又A=2C，所以4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C，即4[2sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C]=5sin C.
因为A=2C，所以0所以sin A=sin 2C=2sin Ccos C=.
由正弦定理，得c==4.由4sin B=5sin C得4b=5c，所以b=c=5，所以△ABC的周长为a+b+c=15.
解法一　设△ABC内切圆的半径为r，则有absin C=(a+b+c)·r，即6×5(6+5+4)r，解得r=，所以S△AOB=cr=.
解法二　设p=(a+b+c)，则p=，设△ABC内切圆的半径为r，根据海伦公式S=得(4+5+6)×r，解得r=，故S△AOB=cr=.
4.(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C，
2cos Csin(A+B)=sin C，故2sin Ccos C=sin C.
可得cos C=，所以C=.
(2)由已知得，absin C=.
又C=，所以ab=6.
由已知及余弦定理得，a2+b2 - 2abcos C=7，
故a2+b2=13，从而(a+b)2=25.
所以△ABC的周长为5+.
5.(，)　如图D 4 - 4 - 1，作△PBC，使∠B=∠C=75°，BC=2，作直线AD分别交线段PB，PC于A，D两点(不与端点重合)，且使∠BAD=75°，
图D 4 - 4 - 1
则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q，在△PBC中，可求得BP=，在△QBC中，可求得BQ=，所以AB的取值范围是(，).
6.(1)在△ABD中，由正弦定理得.由题设知，，
所以sin∠ADB=.
由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB=.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2=BD2+DC2 - 2×BD×DC×cos∠BDC
=25+8 - 2×5×2
=25，
所以BC=5.
7.54　设住宅楼楼间距实际为x m.如图D 4 - 4 - 2，
图D 4 - 4 - 2
根据题意可得，tan∠DCA=，tan∠DCB=，又∠DCA+∠DCB=45°，所以tan(∠DCA+∠DCB)==1，整理得x2 - 45x - 27×18=0，解得x=54或x= - 9(舍去).
所以该小区的住宅楼楼间距实际为54 m.
8.(1)由题意知∠AMN=θ，∠MAN=60°，在△AMN中，由正弦定理得，
所以AN=sin θ，AM=sin(120° - θ).
(2)在△AMP中，AM=sin(120° - θ)=sin(θ+60°)，
AP2=AM2+MP2 - 2AM·MP·cos∠AMP
=sin2(θ+60°)+4 - sin(θ+60°)cos(θ+60°)
=[1 - cos(2θ+120°)] - sin(2θ+120°)+4
= - [sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+
=sin(2θ+150°)，0°<θ<120°，
当且仅当2θ+150°=270°，即θ=60°时，AP取得最大值，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN=AM=2.
基础篇
1.C　∵c=+1，b=2，A=，∴由余弦定理得a=，则由正弦定理得sin B=，∵B∈(0，)，∴B=.故选C.
2.C　因为，所以=1，
即=1，又b2+c2 - a2=bc，所以由余弦定理得cos A=，则sin A=，tan A=，所以=1，解得tan B= - 3，故选C.
3.B　在△ABC中，由三角函数的定义知acos B+bcos A=c，结合正弦定理和已知条件，得，即a2+b2 - c2=ab，所以由余弦定理，得cos C=，又C∈(0，π)，则C=，所以c2=a2+b2 - ab=(a+b)2 - 3ab≥(a+b)2 - 3×()2==4(当且仅当a=b=2时取等号)，所以c≥2.又c4.　解法一　记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC交BC于点D，则AD=a，△ABC的面积S=aa=acsin B，可得a=c.由余弦定理b2=a2+c2 - 2accos B，得b=c.由正弦定理得，所以sin∠BAC=.
解法二　作AD⊥BC交BC于点D，则AD=BC，设BC=3，则AD=1.由B=，可知BD=1，则DC=2，AC=.由正弦定理得，所以sin∠BAC=.
5.　设AC=x(x>0)，在△BCD中，由正弦定理得，所以BD=2sin∠BCD.
又sin∠BCD=sin∠ACB=，所以BD=.
在△ABD中，(x+1)2=1+()2 - 2··cos(90°+30°)，
化简得x2+2x=，即x3=2，故x=，即AC=.
6.(1)由题可知sin A=sin B·，因为sin A≠0，所以sin B=cos A.
所以cos( - B)=cos A，由a>b，知A>B，则0(2)△ABC的周长L=10+10sin A+10cos A=10+10sin(A+)，由a>b可知，故△ABC的周长的取值范围为(20，10+10).
7.(1)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由正弦定理和已知条件，得，
化简得b2+c2 - a2=bc，
由余弦定理得cos A=，
∵0(2)解法一　记△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得=2R，得a=2Rsin A=2sin，
由余弦定理得a2=3=b2+c2 - bc≥2bc - bc=bc，
即bc≤3(当且仅当b=c时取等号)，
故S=bcsin A≤3(当且仅当b=c时取等号).
即△ABC的面积S的最大值为.
解法二　记△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得=2R=2，则b=2sin B，c=2sin C，
∴S=bcsin A=(2sin B)×(2sin C)×sinsin Bsin C.
∵A+B+C=π，∴sin B=sin(A+C)=sin(C+)=sin C+cos C，
∴S=sin Ccos C+sin2C
=sin 2C+(1 - cos 2C)
=(sin 2C - cos 2C)+
=sin(2C - )+.
∵0∴△ABC的面积S的最大值为.
8.(1)∵ A+B+C=π，sin(A+C)=2sin Acos(A+B)，
∴sin B= - 2sin Acos C，
在△ABC中，由正弦定理得b= - 2acos C，
∵sin2A+sin2B - sin2C+sin Asin B=0，
∴由正弦定理可得a2+b2 - c2+ab=0，
由余弦定理得cos C== - ，∴C=，
∴b=a，则b2=2a2=a·2a，∴a，b，2a成等比数列.
(2)△ABC的面积S=absin C=ab=2，则ab=4，
由(1)知，b=a，联立两式解得a=2，b=2，
由余弦定理得c2=a2+b2 - 2abcos C=4+8 - 2×2×2( - )=20，∴c=2.
提升篇
9.D　由≥及正弦定理，得≥，整理得b2+c2 - a2≤bc，由余弦定理，得cos A=≤，因为010.C　如图D 4 - 4 - 3，由BD=2CD=2，知BC=3，由角平分线定理，得=2，设AC=x，∠BAC=2α，α∈(0，)，则AB=2x，由余弦定理，得32=4x2+x2 - 2·2x·x·cos 2α，即x2=.
图D 4 - 4 - 3
S△ABC=·2x·x·sin 2α=x2·sin 2α=≤=3，当且仅当=9tan α，即tan α=时取等号.故△ABC面积的最大值为3.
11.B　由C=，a=4，S△ABC=absin C=4×b=2，得b=，根据余弦定理得c2=a2+b2 - 2abcos C=10，则c=，所以=2R==2(R为△ABC外接圆的半径).
12.　6　由m⊥n，可得(b - c)sin C+(a - b)(sin A+sin B)=0，所以(b - c)c+(a - b)(a+b)=0，整理得b2+c2 - a2=bc，所以由余弦定理得cos A=，又013.　由a2=b2+c2 - bc可得，故cos A=，所以sin A=，又S△ABC=bc，所以bc=3.由a2=b2+c2 - bc可得a2+3=b2+c2≥2bc=6(当且仅当b=c=时等号成立)，故a2≥3，所以a≥，即a的最小值为.
14.80　由已知得，在△ACD中，∠ACD=15°，∠ADC=150°，
所以∠DAC=15°，
由正弦定理得AC==40()(m).
在△BCD中，∠BDC=15°，∠BCD=135°，所以∠DBC=30°，
由正弦定理，得BC==160sin 15°=40()(m).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8 - 4)+2×1 600×()×()=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000，
解得AB=80 m.
故题图4 - 4 - 1中海洋蓝洞的口径为80 m.
15.(1)由cos B=，得sin B=，
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sin A·sin C，
于是.
(2)由·得cacos B=，又cos B=，∴ac=2，即b2=2.
由余弦定理b2=a2+c2 - 2accos B，得a2+c2=b2+2accos B=5，
∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9，
∴a+c=3.
16.(1)由题意知，如图D 4 - 4 - 4(1)，∵D为BC的中点，∴BD=DC，
S△ABC=AC·AB，S△CDF=DC·DF.
由AC=DF，S△ABC=S△CDF，得AB=DC=BC.
在Rt△ABC中，A=90°，cos∠ABC=，
∵∠ABC是三角形的内角，∴∠ABC=.
(2)如图D 4 - 4 - 4(2)，
图D 4 - 4 - 4
设CD=a，则BD=3CD=3a，BC=4a，在Rt△ABC中，A=90°，∠ABC=45°，∴DF=AC=2a，
在Rt△DFC中，FC==3a，
在Rt△FDB中，FB=a，
在△FBC中，由余弦定理得cos∠CFB=.
17.BCD　设CD=x(x>0)，则CB=2x，cos∠CDB== - ，得x=(负值已舍去).所以CD=，CB=2.因为cos∠CDB= - ，所以sin∠CDB=，由正弦定理得sin∠BCD=，故A错误；由余弦定理，得cos∠CBD=，所以sin∠CBD=，故S△ABC=CB·BA·sin∠CBD=8，故B正确；在△ABC中，由余弦定理得AC==2，所以△ABC的周长为8+4，故C正确；在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB== - ，所以∠ACB为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确.
18.　　
解法一　依题意得，
cos∠ADB= - cos∠BDC，所以= - ，
又AD=DC=AC，所以BD2+AD2 - AB2= - (BD2+DC2 - BC2)，
所以2BD=，
即2，
解得AC=.由余弦定理得cos∠ABC=，
所以sin∠ABC=，由正弦定理，
得sin C=.
解法二　依题意得()，
所以()2，
即+2·=4，
即()2+22+22cos∠ABC=4×()2，
解得cos∠ABC=，所以sin∠ABC=.
因为()2+()2=2()，
所以4×()2+||2=2[()2+22]，
解得||=.由正弦定理，
得sin C=.
19.(1)∵(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C，
∴由正弦定理，得(a+b+c)(b+c - a)=bc，即b2+c2 - a2= - bc.
由余弦定理，得cos A== - .又A∈(0，π)，∴A=π.
(2)根据a=，A=π及正弦定理可得=2，
∴b=2sin B，c=2sin C，
∴S=bcsin A=2sin B×2sin Csin Bsin C，
∴S+cos Bcos C=sin Bsin C+cos Bcos C=cos(B - C).
故当即B=C=时，S+cos Bcos C取得最大值.
素养提升2 高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略
1.(1)由题意知，tan C= - tan(A+B)= - = - = - 3. (6分)
(2)由(1)知C为钝角，所以C为最大角，c为△ABC的最长边.
因为tan A=，所以sin A=，又tan C= - 3，所以sin C=. (9分)
由正弦定理得，所以c=，即△ABC的最长边为. (12分)
2.(1)∵，由正弦定理可得，
即=1，∴=1. (5分)
(2)∵△ABC的外接圆的直径为1，∴a=sin A，b=sin B，c=sin C，又由(1)得sin C=sin Asin B，∴c=ab.
∴△ABC的面积S=absin C=csin C=c2=，
∴c=sin C=. (7分)
由余弦定理得a2+b2=2abcos C+c2=2ccos C+c2=2sin Ccos C+c2=sin 2C+c2，
则a2+b2=1+c2=，或a2+b2= - 1+c2= - (舍去)，
∴(a+b)2=1+c2+2ab=1+c2+2c=(c+1)2，即a+b=c+1.
∴△ABC的周长L=a+b+c=2c+1=+1. (12分)
3.(1)依题意和正弦定理得，，
所以tan B=，tan C=，则
tan A= - tan(B+C)= - = - 1，所以A=. (5分)
由余弦定理得，λ==2cos A= - ，所以λ= - . (6分)
(2)由tan B=，tan C=，易得cos B=，cos C=，
依题意及(1)得=2，所以b=，c=， (10分)
则S△ABC=. (12分)
4.(1)由m∥n得c·cos B=(2a - b)·cos C，
根据正弦定理得sin C·cos B=2sin A·cos C - sin B·cos C，
即sin(B+C)=2sin A·cos C，
又sin(B+C)=sin A，sin A≠0，∴cos C=，
又C∈(0，π)，∴C=. (6分)
(2)由余弦定理c2=a2+b2 - 2abcos C，得1=a2+b2 - ab，
又a2+b2≥2ab，∴ab≤1，当且仅当a=b时取等号.
∴S△ABC=absin C=ab≤，当且仅当a=b=1时取等号，此时△ABC为等边三角形，a+b+c=3，
又S△ABC=(a+b+c)r，∴r，∴r=. (12分)
5.(1)连接OM，依题意可得，在△OCM中，OC=1，CM=，OM=2，
所以cos∠COM=， (3分)
所以点M的横坐标为2. (6分)
(2)设∠AOM=θ，θ∈(0，)，则∠BOM= - θ，
S△MAB=S△OAM+S△OBM - S△OAB=2×2[sin θ+sin( - θ)] - 2×2=2sin(θ+) - ，
因为θ∈(0，)，所以θ+∈(，)， (10分)
所以当θ+，即θ=时，△MAB的面积取得最大值，最大值为. (12分)
6.(1)在△ABD中，由正弦定理得， (2分)
在△ACD中，由正弦定理得. (4分)
因为sin∠ADB=sin∠ADC，AC=，AB=2，故=2. (6分)
(2)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2 - 2AB·AD·cos=16 - 8cos. (8分)
在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC2+AD2 - 2AC·ADcos=7 - 4cos. (10分)
又=4=，所以cos. (11分)
又∈(0，)，故，∠BAC=. (12分)
7.若选①，因为(2a+b)sin A+(2b+a)sin B=2csin C，
所以由正弦定理可得(2a+b)a+(2b+a)b=2c2， (2分)
即a2+b2 - c2= - ab，所以cos C== - ，
因为C∈(0，π)，所以C=. (5分)
又c=，所以由正弦定理可得=2，
所以a=2sin A，b=2sin B， (7分)
则l=a+b+c=2sin A+2sin B+=2sin A+2sin( - A)+=sin A+cos A+=2sin(A+)+， (9分)
因为0即三角形ABC的周长l存在最大值，且最大值为2+. (10分)
若选②，因为a=csin A - acos C，
所以由正弦定理可得sin A=sin Csin A - sin Acos C，因为sin A≠0，所以sin C - cos C=1，
所以sin(C - )=，又0又c=，所以由正弦定理可得=2，所以a=2sin A，b=2sin B， (7分)
则l=a+b+c=2sin A+2sin B+=2sin A+2sin( - A)+=3sin A+cos A+=2sin(A+)+， (9分)
因为0即三角形ABC的周长l存在最大值，且最大值为3.　 (10分)
若选③，因为三角形ABC的面积S△ABC=(a2+b2 - c2)，
所以absin C=(a2+b2 - c2)，所以sin C=， (2分)
由余弦定理可得sin C=cos C，即tan C=，
因为0又c=，所以由正弦定理可得=2，所以a=2sin A，b=2sin B， (7分)
则l=a+b+c=2sin A+2sin B+=2sin A+2sin( - A)+=2sin(A+)+， (9分)
因为0即三角形ABC的周长l存在最大值，且最大值为3. (10分)
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