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第九章 排列、组合、二项式定理及概率基础知识梳理
一、两个基本原理：
⒈分类计数原理：（又称加法原理）见书P.8421世纪教育网
⒉分步计数原理：（又称乘法原理）见书P.85
二、排列数的概念及公式：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. =n(n 1)(n 2)……(n m+1)[来源:21世纪教育网]
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式： =n！
三、组合数的概念及公式：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ==
记住：； 0！=1（这是规定）； =1（这是规定）； .
四、组合数的两个性质：⑴；⑵.
五、排列、组合应用题的两种基本解法：[来源:21世纪教育网]
⒈直接法（又称提纯法）：
从限制条件出发，把符合限制条件的排列数或组合数计算出来；
⒉间接法（又称去杂法）：
先不考虑限制条件求出排列数或组合数，再减去不符合限制条件的排列数或组合数.
六、排列、组合题的常见题型： [来源:21世纪教育网]21世纪教育网
⑴相邻问题：用“捆绑法”；
⑵不相邻问题：用“插空法”；
⑶定序问题：有n个不同元素排成一排，其中m个元素的顺序一定，则不同的排列种数是 ；
⑷分组问题（特别是均匀分组）：
例：把a1、a2、a3、a4、a5、a6六个元素分成三组，每组2个，有多少种不同的分法？
答：
⑸几何问题：
⑹排列、组合混合问题：一般先组合后排列.
七、二项式定理：21世纪教育网
⒈二项展开式(a+b) n =
⒉二项展开式的通项：Tr+1=. Tr+1表示第r+1项
⒊二项式系数为，，，…，，…，.其性质有：
⑴；⑵；⑶+++……+=2 n；
⑷如果n是偶数，则的二项式系数最大；如果n是奇数，则则与的二项式系数与最大且相等；
⑸=2n 1（奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和）.
⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：
⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r项；21世纪教育网
⑵要区分展开式中某一项与项的系数，区分某一项的系数与二项式系数；21世纪教育网
⑶注意(a b) n展开式中各项的符号；
⑷二项式定理对任何实数a、b都成立，应注意赋值法的应用.
⒌二项式定理的应用主要有：
⑴指定项问题；⑵项（或系数）的最大、最小问题；⑶余数问题；
⑷近似计算问题；⑸整除或余数问题.21世纪教育网
八、概率：
⒈几个概念：⑴必然事件；⑵不可能事件；⑶随机事件；⑷互斥事件；⑸对立事件；
⑹相互独立事件.
⒉等可能性事件的概率：
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那
么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=.
⒊互斥事件有一个发生的概率：
如果事件A，B互斥，用A+B表示A，B中有一个发生，则有 P(A+B)=P(A)+P(B).
一般地，如果事件A1，A2，…An彼此互斥，那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
事件A的对立事件通常记作,根据对立事件的意义，A+是一个必然事件,所以有P(A)+P()=P(A+)=1， 即P()=1 P(A)
⒋两个相互独立事件同时发生的概率和独立重复试验：
⑴两个相互独立事件A，B同时发生记作A·B，则有P(A·B)=P(A)·P(B).
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
⑵如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn(k)=.对此,我们也可以作这样的理解：
①每一次试验的结果只有A或之一发生，因此，n次独立重复试验中，“A发生k次”就是在n个结果中有k个A与(n k)个,而这n个独立的结果一共有种排列次序.
②对每一种排列次序,可看做一个由独立事件的积组成的事件,其概率可以用乘法定理求出：Pk·(1 P)n k.于是事件A发生k次的概率Pn(k)= .
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21世纪教育网第七章 解析几何基础知识梳理
一、直线：
㈠基本公式：
⒈两点距离公式：已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则|P1P2|= .
⒉线段的定比分点坐标公式：
已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），点P（x，y）分有向线段的比是λ，即λ，
则x = ，y= .
⒊中点坐标公式：已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），线段P1P2的中点坐标是（x，y），
则x= ，y= .
⒋三角形的重心坐标公式：已知三角形的三点坐标A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），
△ABC的重心是G（x，y），则x= ，y= .
⒌斜率
⑴直线倾斜角的定义：
⑵直线斜率的定义：
⑶公式：已知两点A（x1，y1）、B（x2，y2），（x1≠x2），则kAB= .
注：已知三点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），如何证明这三点共线？
㈡直线方程：
⒈直线方程的几种形式：
名 称 已 知 条 件 方 程 说 明
点斜式 点P（x0，y0）和斜率k 不包括与x轴垂直的直线
斜截式 斜率k和纵截距b21世纪教育网 不包括与x轴垂直的直线
两点式 两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2） x1≠x2且y1≠y2
截距式 在x轴、y轴上的截距分别是a、b 不包括平行于坐标轴及经过原点的直线
一般式 A、B不全为0
注：已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则直线P1 P2的方程总可写为（不要讨论）：
.
⒉特殊位置的直线方程：
⑴垂直于x轴的直线方程是 . y轴的方程是 .
⑵垂直于y轴的直线方程是 . x轴的方程是 .
⑶过原点的直线（除y轴）方程是 .
⑷求过点P（x0，y0）（不是原点）且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况？
㈢点P（x0，y0）与直线l：Ax+By+C=0的位置关系：
⒈P在直线l上，则有 .
⒉P在直线l外， P到直线l的距离为d，则d=
㈣两直线l1和l2的位置关系：
⒈斜率存在，直线l1：y=k1x+b1，直线l2：y=k2x+b2，则
⑴l1与l2相交 ；⑵l1∥l2 ；⑶l1与l2重合 ；
⑷l1⊥l2 .
⒉斜率不一定存在，直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则：
⑴l1与 l2相交 ；
⑵l1∥ l2 ；
⑶l1与 l2重合 ；
⑷l1⊥ l2 .
⒌两相交直线交点坐标的求法：
⒍两平行线之间的距离：
直线l1：Ax+By+C1=0，直线l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2间的距离d= .
过两定点P、Q分别作倾斜角相等的直线，这两条平行直线间距离的最大值是 .
㈤对称：
⒈请填以下空格，并记住结论：
点P坐标 关于什么对称 对称点P/ 的坐标 备 注
（a，b） 点（x0，y0） 可直接用
（a，b） 原点 可直接用
（a，b） x轴21世纪教育网 可直接用
（a，b） y轴 可直接用
（a，b） 直线x-y=0 可直接用
（a，b） 直线x+y=0 可直接用
（a，b） 直线x-y+c=0 只用于选择、填空题
（a，b） 直线x+y+c=0 只用于选择、填空题
注：若对称轴的斜率不是±1，没有上述结论！只可用下面的方法求：
设P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标是（x，y），则
⑴当A=0且B≠0时，则x= ，y= ；
⑵当B=0且A≠0时，则x= ，y= ；
⑶当AB≠0时，则
㈥直线系：
1、直线系的定义：
具有某种共同特征的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程.
2、常见的直线系方程：
⑴过定点P（x0，y0）的直线系方程是 .
⑵斜率是k的直线系方程是 .
⑶与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 .
⑷与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是 .
⑸在x轴和y轴上截距的和是10的直线系方程是 .
3、设直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2：A2x+B2y+C2=0相交于P点，则经过P点的直线
系方程是 .
4、如何证明直线系过定点？
㈦二元一次不等式表示的平面区域：
⒈当B＞0时，⑴点P（x1，y1）在直线l：Ax+By+C=0的上方 ；
⑵点P（x1，y1）在直线l：Ax+By+C=0的下方 .
⒉当B=0，A＞0时，⑴点P（x1，y1）在直线l：Ax+C=0的右方 ；
⑵点P（x1，y1）在直线l：Ax+C=0的左方 .
㈧简单线性规划问题最优解的解题步骤：
⒈画可行域；
⒉画斜率是k的直线系；
⒊根据直线系扫过可行域的情况，判别直线在哪一点处纵截距有最小值，在哪一点处21世纪教育网
纵截距有最大值；
⒋求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标，即最优解；[来源:21世纪教育网]
⒌根据最优解求出目标函数的最大值或最小值.
㈨基本练习题：
⒈已知直线l：(2m2-7m+3)x+(m2-9)y+3m2=0,当倾斜角α=45°时,m= ；当m=
时, l平行于y轴；当m 时, l在y轴上的截距为4.
⒉已知直线kx+2y-3=0过点(1,1),则k= ；若它与直线2x-y+5=0垂直,则k= ；
此时两直线交点坐标为 ；两直线与x轴围成的三角形的面积为 .
⒊若P＜-1,则原点到直线xcosθ+ysinθ+p=0的距离为 .
⒋已知直线l1：(a-1)x-2y+3=0、l2：x-ay+1=0，当a= 时，l1∥l2；
当a= 时，l1⊥l2；当a= 时，l1、l2所成的角等于45°.
⒌直线l过点A (-2,2)且和两坐标轴围成的三角形面积等于1,则直线l的斜率k= .
⒍不论k取何值,直线(2k-1) x-(k+3)y-(k-11)=0必过定点 .
三、圆：
㈠圆的定义； .
㈡圆的方程：
⒈标准方程： ；圆心坐标是 ，半径是 .
⒉一般方程： ；圆心坐标是 ，半径是 .
注：⑴若已知条件与圆心或半径有关，通常用标准式求圆方程；若已知条件是不共线的
三点，通常用一般式求圆的方程.
⑵以A(x1,y1),B(x2,y2)两点为直径端点的圆的方程是 .
㈢点与圆的位置关系：
已知点P(x0,y0)与圆C方程(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0),则：
点P在圆C上 或 ；
点P在圆C外 或 ；
点P在圆C内 或 .
㈣直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有 、 、 三种.判别方法如下：
判别方法（一）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：
d＜r ；d=r ；d＞r .
判别方法（二）利用一元二次方程的判别式△与0的大小关系：
△＞0 ；△=0 ；△＜0 .
㈤当直线与圆相交时，弦长公式是弦长l= .
㈥当直线与圆相切时，切线方程的求法：
⒈过圆上一点P(x0,y0)的切线方程的求法：这时切线只有一条!通常用“替换法则”：
⒉过圆外一点P(x0,y0)的切线方程的求法：这时切线总有两条!通常用点斜式，但要讨论斜率存在与否.在求斜率时，通常有两种方法：
⑴圆心到切线的距离等于半径；
⑵切线方程与圆方程联立消去一元得到另一元的二次方程后令判别式△=0.
注意：不论用哪一种，如果求出的斜率k只有一解，说明另一条切线的斜率不存在.
⒊已知圆C方程及圆的切线的斜率K，如何求切线方程？通常用斜截式方程，即设切线
方程为y=kx+b，仿照上面（⒉中的⑴⑵两点，任选其一）求出b.
㈦圆与圆的位置关系：
设⊙C1、⊙C2的半径分别是r1、r2，圆心距|C1C2|=d，则：
外 离 外 切 相 交21世纪教育网 内 切 内 含
㈧两圆相交时公共弦所在直线方程的求法： .
㈨两圆相切时过切点的公切线方程的求法： .
㈩过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,,y0)引圆的切线,
则切线长t= 或 .
(十一) 过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2 (或x2+y2+Dx+Ey+F=0)外一点P(x0,,y0)引圆的两条切线,切点
为A、B，则直线AB方程为 .[来源:21世纪教育网]
四、椭圆：
㈠椭圆的定义、方程和性质：
定 义21世纪教育网 ⒈21世纪教育网[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
⒉
标准方程
图 形
范 围
顶 点
焦 点
焦 距
中 心
长短轴长
a、b、c的关系
对 称 性
离 心 率定 义 ⒈
⒉
离 心 率公 式
准线方程
焦点到准线的距离
在椭圆第一定义中,注意“2a＞|F1F2|”这个条件,若2a=|F1F2|,这时动点轨迹是 .
椭圆的两个标准方程 、，
这两个标准方程可以合并为一个：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，且A≠B）.
㈦椭圆上任一点到一焦点的最大距离是 ；最小距离是 .
㈧椭圆的焦点弦长最大值是 ；最小值是 .
㈩两个重要结论：
⒈椭圆长轴的两个端点为A1、A2,短轴的一个端点是B,
P是椭圆上任一点,则∠A1PA2≤∠A1BA2；
⒉椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点是B,
P是椭圆上任一点,则∠F1PF2≤∠F1BF2.
五、双曲线：
㈠双曲线的定义及性质：
定 义 ⒈
⒉
标准方程
图 形
范 围
顶 点
焦 点
焦 距
中 心
实轴虚轴长
a、b、c的关系
对 称 性
离 心 率定 义 ⒈
⒉
离 心 率公 式
准线方程
焦点到准线的距离
渐 近 线方 程
⒈在双曲线的第一定义中，应注意“差的绝对值”及“2a＜|F1F2|”.
⑴若仅仅是“差是定值“，则动点轨迹是双曲线的一支；
⑵若2a=|F1F2|（其中a≠0），则动点轨迹是两条射线.
⒉双曲线的两个标准方程、，
这两个标准方程可合并为一个：Ax2 By2=1 （A·B＞0）
㈡在双曲线的性质中要记住：
㈢等轴双曲线的标准方程可设为 ，它的离心率e= .
㈤共渐近线问题：
⒈以直线y=±x为渐近线的双曲线方程为
⒉与双曲线共渐近线的双曲线方程为 .
六、抛物线：
㈠抛物线的定义、标准方程、性质：
定 义
图 形
标准方程
范 围
焦点坐标
准线方程
对称轴方程
顶点坐标
离 心 率
抛物线的标准方程有四个，y2=±2px(p>0), x2=±2py(p>0),其中p是焦点到准线的距离.
焦点在x轴上的两个方程y2=±2px(p>0),可合并为：y2=ax(a≠0),焦点F(),准线x= ；
焦点在y轴上的两个方程x2=±2py(p>0),可合并为：x2=ay(a≠0), 焦点F(),准线y= .
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y
y
B1
B2
B2
A2
B1
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A1
l2
l1
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·
F2
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o
x
F2
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·
o
x
y
A1
x
o
P
A2
B
y
F1
x
o
P
F2
B
·
·
·
·
A2
A1
F1
F2
l1
l2
A2
A1
F2
l2
l1
F1
o第八章 直线与平面基础知识梳理
一．平面的性质
公理一：
公理二：
公理三： 21世纪教育网
推论1
推论2
推论3
二．异面直线
公理四：
（注：平行公理 ）
等角定理
异面直线的定义
空间两条直线的位置关系有
异面直线的判定定理
异面直线所成角的定义
异面直线的公垂线及距离的定义 21世纪教育网
三．若干问题的证明方法
㈠．共面（点、线）及异面问题
1．如何证明若干条直线共面？
⑴
⑵
（注：如何证明两个平面重合？）
2．如何证明若干条直线共点或若干点共线？
3．如何证明两条直线是异面直线？
⑴直接证明，即用
⑵间接证明：①
②
㈡．平行问题：
1．如何证明线线平行？[来源:21世纪教育网]
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸
2．如何证明线面平行？
⑴ ⑵ [来源:21世纪教育网]
⑶
3．如何证明面面平行？21世纪教育网
⑴ ⑵
⑶ ⑷
㈢．垂直问题：
1．如何证明线线垂直？
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2．如何证明线面垂直？21世纪教育网
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
3．如何证明面面垂直？
⑴ ⑵
四．线面、面面平行或垂直的性质
㈠．线面平行的性质：
⒈ ⒉
⒊ ⒋
㈡．线面垂直的性质：
⒈ ⒉
㈢．面面平行的性质：
⒈ ⒉
⒊ ⒋
⒌ ⒍ [来源:21世纪教育网]
㈣．面面垂直的性质：
⒈ ⒉ 21世纪教育网
⒊ ⒋
五．几个唯一性定理
㈠．线面垂直的唯一性定理 ⒈
2．
㈡．面面平行的唯一性定理
六．角
㈠．异面直线所成角
1．定义（见前） ⒉范围
3．求法 ⑴平移法；⑵中点法；⑶补形法；⑷利用异面直线上任意两点间的距离公式
㈡．直线与平面所成的角
1．斜线与平面所成的角的定义
2．最小角定理
3．范围⑴斜线与平面所成的角的范围
⑵直线与平面所成的角的范围
七．距离
㈠．两点间的距离
㈡．点到直线的距离
㈢．两平行线间的距离
㈣．异面直线间的距离的常见求法
㈤．异面直线上任意两点间的距离公式
㈥．点到平面的距离21世纪教育网
㈦．线面平行时，直线与平面的距离
㈧．两平行平面间的距离
八．几个重要结论
㈠．正方体中体对角线与面对角线若异面，则它们必
㈡．经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是
㈢．斜线AB在平面α上的射影是AD，ACα，设∠BAD=θ1，∠CAD=θ2，∠BAC=θ，则有 。
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21世纪教育网第十章 统计与导数基础知识梳理
一. 初中统计初步复习：
⒈平均数：
如果有n个数：x1，x2，…，xn，那么
⑴=叫做这n个数的平均数.读作“x拔”.
⑵平均数的另一种求法
=，其中a是接近于这组数的平均数的较“整”的一个数，
=，，，…，.
⑶加权平均数：
如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，这里f1+f2+…+fk=n，
则这n个平均数可表示为=，这个平均数叫做加权平均数，
其中f1，f2，…，fk叫做权.
⒉总体、个体、样本、样本的容量：
在统计里，我们把所要考察对象的全体叫做总体,其中的每一个考察对象叫做个体,
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中个体的数目叫做样本的容量.
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.
通常我们用样本平均数取估计总体平均数.[来源:21世纪教育网]
⒊众数与中位数：
在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按大小依次排列,
把处在最中间的一个数据（或最中间的两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
众数与中位数从不同的角度反映了这组数据的集中趋势.
⒋方差与标准差：
设在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，21世纪教育网
,…,,那么我们把s2=叫做这组数据的方差.方差的算术平方根s=叫做这组数据的标准差.
方差公式的另一种表达式：s2=
方差与标准差用来衡量这组数据波动的大小,方差或标准差越大,说明这组数据的波动越大.
⒌频数与频率：
各个小组内的数据个数叫频数，每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率.
二、抽样方法
⒈简单随机抽样：
设一个总体的个数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
⑴可以证明，如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量n的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于 .
⑵简单随机抽样的两种常用方法是：① ；② .
⒉系统抽样：
当总体中的个数较多时，采用简单随机抽样显得较为费事，这时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样.
系统抽样步骤：
⑴编号：⑵分段；⑶在第1段任定一个起始号；⑷按预定规则在其它各段取号.
⒊分层抽样：
当已知总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
三种抽样方法的比较
类别 共同点 各自特点 相互联系21世纪教育网 适用范围
简单随机抽样 抽样过程中每个21世纪教育网个体被抽取的概率相等21世纪教育网[来源:21世纪教育网] 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
系 统抽 样[来源:21世纪教育网] 将总体均分成几部 分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多
分 层抽 样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
三、频率分布直方图：
当给出一批数据后画频率分布直方图的步骤：
⒈计算最大值与最小值的差；
⒉决定组距与组数；（当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组）
⒊决定分点；（分点要比已知数据多一位小数）
⒋列出频率分布表；
⒌画出频率分布直方图.
四、导数：
⒈导数及导函数的定义
⒊导数公式：
⑴若C为常数，则（C）/=0；
⑵（xn）/=nxn-1 （n∈N*）
⒋求导法则：
⑴[f(x)±g(x)]/=f /(x)±g /(x)；
⑵[C·f(x)]/=C·f /(x) （其中C为常数）
⒌导数的应用：
⑴判别函数的单调性，求函数的单调区间；
求函数单调区间的一般步骤：
①确定函数的定义域； ②求导数f /(x)；
③令f /(x)＞0f (x)的增区间，令f /(x)＜0f (x)的减区间.
⑵求可导函数的极值（在某点x0附近的最值）；
求可导函数f (x)的极值的一般步骤：
①求导数f /(x)； ②令f /(x)=0，求出它的根；
③检查f /(x)在f /(x)=0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正、右侧附近为负，
则函数f (x)在这个根处取极大值；如果在根的左侧附近为负、右侧附近为正，则函
数f (x)在这个根处取极小值.
说明：解这类问题时通常要列表.
⑶求可导函数在闭区间上的最值.
求可导函数f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤：
①求函数y=f(x)在开区间（a，b）内的极值（极大值与极小值）；
②将函数y=f(x)在开区间（a，b）内的所有极值与f (a)、 f (b)作比较，其中最大的一
个为最大值，最小的一个为最小值.
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21世纪教育网第六章 不等式基础知识梳理
一.知识结构
二、不等式的性质：
⒈a-b＞0 ；a-b=0 ；a-b<0 ；
⒉a＞b ；（可逆性）
⒊a＞b，b＞c ；（传递性）
⒋a＞b a+c＞b+c；（填或或或 ） 该性质是移项法则的依据
⒌a＞b，c＞0 ；a＞b，c<0 ；
⒍a＞b，c＞d ；（同向不等式相加法则）
a＞b，c＜d ；（※异向不等式相减法则）
⒎a＞b＞0，c＞d＞0 ；（正数同向不等式相乘法则）
⒏a＞b＞0，0＜c＜d ；（※正数异向不等式相除法则）21世纪教育网
⒐若a、b同号（即ab＞0），且a＞b，则；（同号两数的倒数法则）
⒑a＞b＞0，n∈N，且n＞1 ；（正数乘方法则）[来源:21世纪教育网]
⒒a＞b＞0，n∈N，且n＞1 ；（正数开方法则）
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三、常用的基本不等式：
⒈设a∈R，则a2≥0
⒉设a、b∈R，则a2+b2≥2ab； ；（当且仅当 时取等号）
⒊当ab＞0时，≥ ；（当且仅当 时取等号）
⒋※设a、b、c∈R，则a2+b2+c2≥ ；（当且仅当 时取等号）
※a2+b2+c2≥；（当且仅当 时取等号）.
⒌均值不等式：
⑴设a、b∈R+，则；（当且仅当 时取等号）
基本变形：a+b≥2；ab≤.这两个不等式分别用于求最小值和最大值.
即：①已知两个正变数的积是一个常数,则当且仅当这两个数相等时,它们的和取最小值；
②已知两个正变数的和是一个常数,则当且仅当这两个数相等时,它们的积取最大值.
⑵※设a、b、c∈R+，则；（当且仅当 时取等号）
基本变形：a+b+c≥3；abc≤.
这两个不等式分别用于求最小值和最大值.
⒍设0＜a≤b，则≤≤≤≤≤；
三、证明不等式的常用方法：
⒈比较法：⑴差比法：A-B≤0A≤B；A-B≥0，A≥B.
⑵商比法：≥1（B＞0）A≥B.
⒉综合法：从已知条件出发,运用不等式的性质和基本不等式推出所要证的不等式
它的核心是——由因导果.
⒊分析法：从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式的问题
转化为判断这些条件是否具备的问题,如果能肯定这些条件成立,即可得证.
它的核心是——执果索因.
四、不等式的解法：
⒈一元一次不等式：ax＞b（a≠0）[来源:21世纪教育网]
注意：①会解含字母系数的不等式：例 解关于x的不等式：2x-a＜ax+4.
②会解一元一次不等式组.
⒉一元二次不等式：ax2+bx+c＞0（a＞0）
①△＞0， ；②△=0， ；③△＜0， .
注意；含有字母系数的一元二次不等式同样要进行讨论.
⒋分式不等式：（可转化为一、二次不等式）
① ；② ；
；④ .
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高考资源网第二章 函数基础知识梳理
一、函数：
1.函数的近代定义：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f (x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f (x)的定义域，象集合C（CB）叫做函数y=f (x)的值域.
函数的三要素是： 、 、 .
⒊函数的表示法：解析法、列表法、图象法.
⒋关于区间的概念：21世纪教育网
⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ；
⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为 ；
⑶满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为
或 .
以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.
⒌函数解析式的求法：⑴换元法；⑵待定系数法.
⒍求函数定义域的主要依据：
⑴分式中的分母不为0；⑵偶次根式的被开方数不小于零；⑶对数的真数大于零；
⑷零指数幂的底数不等于零；⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；[来源:21世纪教育网]
⑹对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.
⒎求函数值域的方法有：⑴配方法；⑵换元法；⑶判别式法；⑷单调性法；
⑸基本不等式法；⑹数形结合法；三、函数的单调性：
⒈函数单调性的定义：
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f (x1)＜f (x2),那么就说f (x)在这个区间上是增函数. 这个区间叫增区间.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f (x1)＞f (x2),
那么就说f (x)在这个区间上是减函数. 这个区间叫减区间.
注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调
区间.
⒉函数单调性的判别方法：21世纪教育网
图象法.若函数f (x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；
定义法.其一般步骤是：
值.在所给区间上任取x1＜x2；②作差f (x1) f (x2)；③变形.分解因式或配方等；④定号.看 f (x1) f (x2)的符号；⑤下结论.
⑷利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出.
①函数f (x)与f (x)+c(c为常数)具有相同的单调性；
②当c＞0时,函数f (x)与cf (x)具有相同的单调性；当c＜0时,函数f (x)与cf (x)具有相反的单调性；
③若f (x)≠0,则函数f (x)与具有相反的单调性；
④若f (x)≥0,则函数f (x)与具有相同的单调性；
⑤若函数f (x), g(x)都是增函数,则f (x)+g(x)也是增函数； (增+增=增)
⑥若函数f (x), g(x)都是减函数,则f (x)+g(x)也是减函数； (减+减=减)
⑦若函数f (x)是增函数, g(x)是减函数,则f (x) g(x)也是增函数；(增 减=增)
⑧若函数f (x)是减函数, g(x)是增函数,则f (x) g(x)也是减函数；(减 增=减)
另外还有以下几个重要结论：（用定义可直接证出）
⒊一些特殊函数的单调性：
⑴一次函数y=kx+b,当k＞0时,在R上是 ；当k＜0时,在R上是 .
⑵二次函数y=ax2+bx+c,
当a＞0时,在( ∞,]上为 ,在[,+∞)上为 ；21世纪教育网
当a＜0时,在( ∞,]上为 ,在[,+∞)上为 .
⑶反比例函数y=,当k＞0时,在( ∞,0),(0,+∞)上都是 ；
当k＜0时,在( ∞,0),(0,+∞)上都是 .
⑷指数函数y=ax,当a＞1时,在R上是 , 当0＜a＜1时,在R上是 .
⑸对数函数y=logax,当a＞1时,在(0,+∞)是 , 当0＜a＜1时,在(0,+∞)是 .
⑹*记住重要函数y=x+的单调性,并会证明：21世纪教育网
当x＞0时，函数在(0,)上单调递减,在[,+∞]上单调递增；
当x＜0时，函数在 上单调递减,在 上单调递增.
四、函数的奇偶性：
⒈函数奇偶性的定义：
如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f ( x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数.
如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x,都有f ( x)= f (x),那么函数f (x)叫做奇函数.
注意：⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称.
⑵函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数
具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).
注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条
件是f (x)恒等于0.
例：f (x)=0,x∈( 1,1)；f (x)=0,x∈[ 2,2]；f (x)=等等.
⒉具有奇偶性函数的图象特征：
⑴奇函数图象关于 对称； ⑵偶函数图象关于 对称.
⒊判断函数奇偶性的方法：
⑴图象法；
⑵定义法.其一般步骤是：
①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性；
若对称,再进行第二步；
②判断f ( x)与f (x)的关系,并下结论.
若f ( x)= f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数；21世纪教育网
若f ( x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数；
若f ( x)= f (x)且f ( x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数；
若f ( x)≠ f (x)且f ( x)≠f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.
⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性；
⑺若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)= .
f (0)=0是f (x)是奇函数的 条件.
六、函数图象的变换：
⒈平移变换：
⑴y=f (x)的图象沿x轴向右平移a (a＞0)个单位得到y=f (x a)的图象；
⑵y=f (x)的图象沿x轴向左平移a (a＞0)个单位得到y= f (x+a)的图象；
⑶y=f (x)的图象沿y轴向上平移a (a＞0)个单位得到y= f (x)+a的图象；
⑷y=f (x)的图象沿y轴向下平移a (a＞0)个单位得到y= f (x) a的图象.
⒊对称变换：
(一)两个函数图象的对称关系：
⑴y=f (x)与y= f (x)的图象关于x轴对称；
⑵y=f (x)与y=f ( x)的图象关于y轴对称；
⑶y=f (x)与y= f ( x)的图象关于原点轴对称；
⑷y=f (x)与y= f 1(x)的图象关于直线y=x轴对称；
⑸y=f (|x|)的图象是保留y=f (x)的图象中y轴右边部分,并作其关于y轴对称的图象, 再擦掉
y=f (x) 的图象中y轴左边部分而得到；
⑹y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x轴上方的图象及x轴上的点,并将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去；
⑺*函数y=f (a+mx)与函数y=f (b mx)(a、b：m∈R,m≠0)的图象关于直线x=对称.
七、指数与指数函数：
⒈根式的定义：
⑴方根：如果一个数的n次方等于a (n＞1且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.
即：若x n=a,则x叫做a的n次方根.
⑵根式：式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. 当n是偶数时,
表示正数a的正的n次方根.21世纪教育网
⒉根式的性质：
⑴()n = a； ⑵当n为奇数时,
当n是偶数时；.
⒊分数指数幂：
当a＞0,m、n∈N*且n＞1时,规定：
； ； ； 无意义.
⒋有理指数幂的性质：
⑴ar·as=ar+s (a＞0, r、s∈Q)；
⑵(ar)s=ar s (a＞0, r、s∈Q)；
⑶(ab)r=arbr (a＞0, b＞0,r∈Q).21世纪教育网
⒌指数函数：
⑴指数函数的定义：把形如y=ax(a＞0,且a≠1)的函数叫做指数函数.
⑵指数函数的图象和性质：
y=ax(a＞0,且a≠1) a＞1 0＜a＜1
图 象 [来源:21世纪教育网]
性 质 定义域
值 域
单调性
其 它性 质 ①x＞0时,y＞1；②x＜0时,0＜y＜1；③x=0时,y=1. 即图象恒过点(0,1) ①x＞0时, 0＜y＜1；②x＜0时, y＞1；③x=0时,y=1. 即图象恒过点(0,1)
八、对数与对数函数：
⒈对数的概念：
⑴对数的定义：如果a(a＞0,a≠1)的b次幂等于N，即ab=N,那么,数b叫做以a为底
N的对数.其中,a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.
⑵常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记log10N为lgN.
⑶自然对数：把以e为底的对数叫做自然对数,并记logeN为lnN.
其中e=2.71828……,是一个无理数.
⑷对数恒等式：.
⒉对数的运算法则：
如果a＞0,a≠1,M＞0,N＞0,那么
⑴loga(MN)= logaM+logaN；⑵；⑶logaMn=n logaM.
⒊对数的三个性质：
⑴1的对数为0(即loga1=0)；⑵底的对数为1(即logaa=1)；⑶零和负数没有对数.
⒋对数函数：
⑴对数函数的定义：把形如y=logax(a＞0,且a≠1)的函数叫做对数函数.
⑵对数函数的图象和性质：
y=logax(a＞0,且a≠1) a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 定义域
值 域
单调性
其 它性 质 ①x＞1时,y＞0；②0＜x＜1时, y＜0；③x=1时,y=0. 即图象恒过点(1,0) ①x＞1时, y＜0；②0＜x＜1时, y＞0；③x=1时,y=0. 即图象恒过点(1,0)
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21世纪教育网第四章 三角函数综合复习
一、概 念
1、角 。
正角 负角 零角 。21世纪教育网
象限角 。
终边相同的角 。
2、角度制 ；弧度制 。
1弧度角的规定 。
任意圆中圆心角弧度的算法 。
3、三角函数值的定义 。
单位圆 ；有向线段 。
三角函数线 。
4、三角函数值的符号判定：
三角函数 象限 第一象限 第二象限21世纪教育网 第三象限 第四象限
sinx
cosx
tanx
5、正弦型函数中：
振幅 ；周期 ；频率 ；
相位 ；初相 。
二、公式
1、有关概念的公式：
终边相同的两角 ；任意圆中圆心角弧度大小 ；
角度与弧度的换算公式 ；
扇形的几个面积计算公式 。
2、诱导公式：
A组(函数名不变，符号看象限)
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B组(函数名要变，符号看象限)
3、同角三角函数间的关系公式
（1）平方关系 ； ； 。
（2）商数关系 ； 。
（3）倒数关系 ； ； 。
4、直角坐标系中两点间的距离公式 。
5、两角和与差的三角函数及变形公式：
（1）；；。
6、二倍角公式：
；；。
（1）降幂公式：；；。
（2）半角公式：
；；
。
第四章 三角函数基础知识梳理
二.本单元重点知识梳理
⒈角的概念与度量
限角—— ⑵轴上角——
⑶角度制与弧度制的换算：1弧度= 度；1度= 弧度.
⒉与角α终边相同的角的集合是：
{β|β=k·360°+α ，k∈Z} 或{β|β=2kπ+α ，k∈Z}
⒊三角函数的定义与符号：
sinα= cosα= tanα=
当α在第 象限时,sinα的值是正的.
当α在第 象限时,sinα的值是负的.
当α在第 象限时,cosα的值是正的.
当α在第 象限时,cosα的值是负的.
当α在第 象限时,tanα的值是正的.
当α在第 象限时,tanα的值是负的.
⒌同角三角函数关系式：
⑴平方关系：sin2α+cos2α= ；1+tan2α= ；1+cot2α= .
⑵商数关系： ； .
⒍特殊角的三角函数值：
角度α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度α
sinα 21世纪教育网
cosα [来源:21世纪教育网] 21世纪教育网
tanα
⒏三角函数图象及性质：
y=sinx y=cosx y=tanx
定义域
值 域
最 值
图 象(一个周期) [来源:21世纪教育网]
周 期 [来源:21世纪教育网]
奇偶性
单调性 [来源:21世纪教育网]
对称性
注意：⑴会用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象.
⑵y=Asin（ωx+φ）的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的？
⒐两角和与差的三角函数、两倍角的三角函数公式：
⑴sin（α±β）= ⑵cos（α±β）=
⑶tan（α±β）=
⑷sin2α= cos2α=
tan2α=
注意：
①公式的逆用，如：；
sin2－cos2=
②公式的变形，如：sinα·cosα= 1+cos2α= 1－cos2α=
降幂公式：sin2α= cos2α=
⑤会用和角公式求函数y=asinx+bcosx的最大值、最小值、周期、单调区间.
⒑三角形中的三角函数：
⑴在△ABC中，0＜A，B，C＜π，且A+B+C=π，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= cosC；
⑵正弦定理：
a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC, 其中R是△ABC的外接圆的半径.
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
⑶余弦定理：
a2 =b2+c2－2bccosA；b2 =a2+c2－2accosB；c2 =a2+b2－2abcosC.
或cosA= cosB= cosC=
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x
y
o
P (x,y)
r
α
函数
性质高中数学基础知识梳理
一、集合
⒈集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；集合中的每一个对象叫集合的元素.
元素a在集合M内的表示法 ，元素a不在集合M内的表示法 .
⒉集合中的元素必须具备“三性”： 、 、 .
⒊空集的意义及记号：不含任何元素的集合叫空集，空集记作 ；
⒋常用数集及记号：
⑴非负整数集（零和正整数的全体）——N；⑵正整数集——N*或N+ ；
⑶整数集——Z； ⑷有理数集——Q； ⑸实数集——R. ⑹无理数集——CRQ[来源:21世纪教育网]
⒌集合的分类（按集合中的元素个数来分）：
⑴有限集——⑵无限集——
⒍集合的表示法：
⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内；
⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内，其基
本模式是{x| p（x）}.
⒎集合的形象表示法——韦恩图，即用一条封闭的曲线围成的图形（内部）表示集合.
⒏子集、交集、并集、补集：
Ⅰ子集
⑴子集、真子集的意义：
对于两个集合A、B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集
合A叫做集合B的子集，记作AB；如果A是B的子集，并且B中至少有一21世纪教育网
个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A B.
⑵子集的性质：（用、 填空）
①A A， A，若A≠ ，则 A；
②若AB，BC，则A C；③若A B，BC，则A C；
④若AB，B C，则A C；④若A B，B C，则A C.
⑶子集的个数：
若集合A中有n个元素，则 ①集合A的子集个数是2 n；②集合A的真子集
个数是2 n 1；③集合A的非空真子集个数是2 n 2.
⑷集合相等的意义：若集合A与B含有相同的元素，称它们相等，记作A=B；
集合相等的充要条件：A=B AB且BA.
Ⅱ交集
⑴交集的意义：
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A、B的交集，
记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∩B的阴影.21世纪教育网
⑵交集的性质：
①A∩A= ；②A∩ = ；③A∩B=B∩A；
④若A∩BA，则A∩BB；⑤若A∩BA，则AB.
Ⅲ并集
⑴并集的意义：
由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A、B的并21世纪教育网
集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}
请根据右面的韦恩图打出A∪B的阴影.
⑵并集的性质：
①A∪A= ；②A∪ = ；③A∪B=B∪A；
④A∪BA； ⑤A∪BB； ⑥A∪B=A BA
Ⅳ补集
⑴全集、补集的意义：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合叫做全集，全集通常用U表示；
设S是一个集合,A是S的一个子集（即AS）,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A的补集（或余集）,记作CSA,即CSA={x|x∈S且xA}.
请根据右面的韦恩图打出CSA的阴影.
⑵补集的性质:
①A∪CUA= ； ②A∩CUA= ； ③CUU= ；
④CU = ； ⑤CU（CUA）= ；
二、简易逻辑
⒈命题概念：可以判断真假的语句叫做命题.
⒉逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
⒌真值表：表示命题的真假的表叫真值表.
⑴非p形式复合命题的真值表（填“真”或“假”）
p 非p
真
假
⑵p且q形式复合命题的真值表（填“真”或“假”）
p q P且q
真 真
真 假
假 真
假 假
⑶p或q形式复合命题的真值表（填“真”或“假”）
p q P或q
真 真 21世纪教育网
真 假
假 真
假21世纪教育网 假
⒍四种命题：
逆命题及逆命题的概念：
⑷四种命题的一般形式：（用符号“┐”表示否定）
①原命题：若p则q； ②逆命题： ；
③否命题： ； ④逆否命题： .
⑸四种命题之间的关系：在下列双箭头符号旁填上相应的文字）
⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系：
①原命题为真，它的逆命题 ；
②原命题为真，它的否命题 ；
③原命题为真，它的逆否命题 .
⒎充分条件和必要条件：
⑴充分条件和必要条件的概念：
若p则q，即p q，我们说，p是q的 条件，q是p的 条件.
⑵充要条件的概念：
若p则q，且若q则p，即p q，我们说p是q的 条件，q是p的 条件.
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A
B
A
B
S
A
对p且q形式的复合命题，只要p和q中有一个是假即为 .
对p或q形式的复合命题，只要p和q中有一个是真即为 .
原命题
逆命题
逆否命题
否命题第五章 平面向量基础知识梳理
一、向量的概念：
⒈有向线段： 叫做有向线段.
⒉向量： 叫做向量.
向量通常用有向线段或表示.
⒊向量的模：向量的 又叫做向量的模，记作 .
⒋两个重要概念：
①零向量： 叫做零向量.记作 .
注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的.
②单位向量： 叫做单位向量.
注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.
⒌相等向量： 叫做相等向量. 向量与相等记作 .
⒍平行向量： 叫做平行向量. 向量与平行可记作 .
规定：与任一向量平行.即∥，∥，∥.
⒎共线向量： 叫做共线向量.
注意：若与是共线向量，则与的方向 ，它们所在的直线
它们的夹角是 .
⒏相反向量： 叫做相反向量.
的相反向量是 ， 的相反向量是 ，的相反向量是 .
⒐两个非零向量和的夹角： .
二、向量的运算：
⒈向量的加法：
⑴向量与的和的定义：
⑵向量加法法则：①三角形法则（请画图于右）+（首尾相连）
②平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同）
⑶向量加法运算律：①交换律：
②结合律：
⑷特例：= ，= ，= .
⑸向量加法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= .
⒉向量的减法：
⑴向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+( )= .
是怎样的一个向量 答： .
⑵向量减法法则：设=，=，
则 =-= .（请画图于右）.21世纪教育网
重要结论：设，是两个不共线向量，则以AB、AD为邻边的平行
四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.
⑶特例：= ，= ，= .
⑷向量减法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= .
⒊实数与向量的积：
⑴定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
①|λ|= ；21世纪教育网
②当λ＞0时，λ的方向与的方向 ，当λ＜0时，λ的方向与的
方向 ；当λ=0时，λ= .
⑵运算律：①λ（μ）= ；②（λ+μ）= ；③λ（）= .
⑶实数与向量的积的坐标运算：
⑷特例：若λ∈R，则λ= .
⒋向量的数量积（或内积）：
⑴定义：已知非零向量和，它们的夹角为θ，则= .
⑶运算律：①= ；②（λ）·= = ；③（+）·= .
注意：向量的数量积没有结合律！
特别地，= ，或||= .
⑸向量的数量积的坐标运算：
设=（x1，y1），=（x2，y2），则= .[来源:21世纪教育网]
⑹特例：= ，= .
三、重要定理、公式及方法：
⒈平面向量基本定理：21世纪教育网
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.21世纪教育网
⒉向量模的计算公式：设=（x，y），则||= .
⒋如何证明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点共线？
⒌两个向量平行、垂直的充要条件：
[来源:21世纪教育网] 大 前 提21世纪教育网 充 要 条 件[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
向 量 表 示 坐 标 表 示
平 行 =(x1，y1), =(x2，y2),且≠ ∥ ∥
垂 直 =(x1，y1), =(x2，y2),且≠、≠ ⊥ ⊥
注意：若不考虑上面的大前提，则
⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要条件是x1y2-x2y1=0.
⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分条件是x1x2+y1y2=0.
⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ= .
⒐线段的中点坐标公式：
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标是 .
⒑三角形的重心坐标公式：
设△ABC三顶点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标是 .
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O
A
B
A
B
D第三章 数列基础知识梳理
一、数列
⒈定义：按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依21世纪教育网
次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,…,第n项,….
⒉数列中的数有两个特性：⑴有序性；⑵可重复性.
⒊数列与函数：数列是定义在N*(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函数当自变量从小到
大依次取值时对应的一列函数值.21世纪教育网
⒋数列的表示：
⑴数列的一般形式：a1,a2,…,a n,……简记为{a n}.
⑵解析法：若an与n的函数关系可用一个解析式an=f (n)表示,这个公式叫做数列的通
项公式.
⑶图象法：数列的图象是一群孤立的点(n,a n)(n∈N*)所组成的图形(在纵轴的右边).
⒌数列的分类：
⑴数列按项数n的取值范围分：①有穷数列；②无穷数列.
⑵数列按相邻项的大小关系分：
①递减数列(an+1＞an,n∈N*)； ②递增数列(an+1＜an,n∈N*＝；
③摆动数列(an+1与an的大小不定n∈N*)； ④常数列(an+1=an,n∈N*).
⒍由递推关系给定的数列：
已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关
系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法.
⒎an与Sn的关系：设Sn=a1+a2+…+an,则an=
二、等差数列
⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数
列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.21世纪教育网
等差数列定义的数学表达式：an+1 an=d (n∈N*).
⒉表示方法：⑴定义法：a2 a1= a3 a2=…=an+1 an=d；
⑵递推法： (n≥2)；
⑶通项法：a1,a1+d, a1+2d, …,a1+(n 1)d.,….
⒊通项公式：⑴已知首项a1和公差d,则an=a1+(n 1)d. (一般公式为：an=dn+q).
⑵已知非首项am(m≥2)和公差d,则an=am+(n m)d.
⒋等差中项：如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.显然2A=a+b.
⒌前n项和公式：Sn=；或Sn=na1+.要求会推导!
前n项和的一般公式：Sn=An2+Bn (A、B为常数).
⒍性质：⑴在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和.
即a1+an= a2+an 1 = a3+an 2 =…= ak+an k+1；
⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q∈N*),则am+an= ap+aq；
⑶等差数列中除首项外的每一项an(n≥2)都是到它距离相等的两项的等差中项,21世纪教育网
即2an=an k+an+ k (n＞k)；21世纪教育网
⑸数列(an}为等差数列的充要条件是an是关于n的一次函数(d≠0)或常数(d=0).
⑹数列(an}为等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn (A、B为常数).
注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题：
有穷等差数列均匀分段后,各段的和也成等差数列,
即Sn,S2n Sn, S3n S2n,…Skn S(k 1)n (k≥2) 成等差数列.21世纪教育网
三、等比数列21世纪教育网
⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示.
等比数列定义的数学表达式： (n∈N*). 由定义知,在等比数列中,an≠0,且公比q≠0.
⒉表示方法：⑴定义法：；
⑵递推法： ；
⑶通项法：a1,a1q, a1q2, …,a1q(n 1)….
⒊通项公式：⑴已知首项a1和公差d,则an=a1q(n 1).
⑵已知非首项am(m≥2)和公比q,则an=amq(n m).
⒋等比中项：如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. G2=ab或G=±.
⒌前n项和公式：Sn= 或Sn=.要求会推导!
⒍性质：⑴在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积.
即a1an= a2an 1 = a3an 2 =…= akan k+1；
⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q∈N*),则aman= apaq；
⑶等比数列中除首项外的每一项an(n≥2)都是到它距离相等的两项的等比中项,
即an2=an kan+ k (n＞k),或an=±；
注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题：
有穷等比数列均匀分段后,各段的和也成等比数列,
即Sn,S2n Sn, S3n S2n,…Skn S(k 1)n (k≥2) 成等比数列.
四、特殊数列求和的方法：
倒序法、通项分解法、错位相减法、裂项法等.
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