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　椭圆
一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a＞|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴|A1A2|＝2a；短轴|B1B2|＝2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上?m>n>0，椭圆的焦点在y轴上?0(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(03．直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(
×
)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的半长轴长，c为椭圆的半焦距)．(
√
)
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆．(
√
)
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在x轴上的椭圆．(
×
)
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦点坐标相同．(
×
)
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±3,0)
B．(0，±3)
C．(±9,0)
D．(0，±9)
B　解析：根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，所以c＝3，故焦点坐标为(0，±3)．
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
B　解析：离心率平方e2＝＝＝，即4(a2－b2)＝a2，即3a2＝4b2.
4．若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是______________．
＋＝1　解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
或　解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±.
又x＞0，所以x＝，所以点P坐标为或.
考点1　椭圆的定义及应用——基础性
(1)(2020·东莞4月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
B　解析：如图所示，因为△ABF2是边长为4的等边三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.
又因为|F1F2|＝2c＝＝2，所以c＝，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
D　解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，所以动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1.
(3)(2020·深圳高三二模)已知A，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且点N的纵坐标为b.若△FMN的周长为6，则△FAN的面积为________．
　解析：如图所示，
由题意得，A(0，－b)，F(－c,0)，直线MN的方程为y＝x－b.
把y＝b代入椭圆方程，解得x＝a，所以N.
因为N在直线MN上，所以b＝×a－b，解得＝.
又a2＝b2＋c2，所以2＝b2＋c2，解得b＝c.
令y＝x－b＝0，则M，
即M(c,0)，
所以M为椭圆的右焦点，所以|FM|＝2c.
由椭圆的定义可知，|NF|＋|NM|＝2a，因为△FMN的周长为6，所以2a＋2c＝6，
因为＝，b＝c，所以a＝2c，
所以c＝1，a＝2，b＝，
所以S△FAN＝·|FM|·＝c·b＝.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
1．(2020·北京四中高三开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
A　解析：若△AF1B的周长为4，由椭圆的定义可知，4a＝4，所以a＝.因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
2．(2020·上海高三三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，O为坐标原点，点A是椭圆在第一象限的一点，且△OAF为等边三角形，则a＝________.
　解析：如图所示，△OAF为等边三角形，由|OF|＝|OF1|＝|OA|＝1，得△AF1F是直角三角形．
所以|F1F|＝2，|AF|＝1，|AF1|＝.由椭圆的定义得2a＝|AF1|＋|AF|＝＋1，所以a＝.
考点2　椭圆的标准方程——综合性
(1)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　解析：把椭圆方程化成＋＝1.若m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0，即有m＞n＞0.故“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
＋＝1　解析：(方法一)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(方法二)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
本例(2)若改为：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，－)，则椭圆的方程为____________．
＋＝1　解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由
解得所以椭圆的方程为＋＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
(2)待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1．(2020·银川高级中学高三月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2，则椭圆方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
C　解析：由题意可得c＝，＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝，所以所求椭圆方程为＋＝1.故选C.
2．(2021·八省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A.若∠F1AF2＝，则m＝(　　)
A．1
B．
C．
D．2
C　解析：在椭圆＋＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝＝1，
如图所示．
因为椭圆的上顶点为A，焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a.
因为∠F1AF2＝，所以△F1AF2为等边三角形，则|AF1|＝|F1F2|，即＝a＝2c＝2，
因此，m＝.
考点3　椭圆的几何性质——综合性
考向1　求椭圆的离心率或取值范围
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则椭圆C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示．
设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.
因为|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝c，即点P(2c，c)．
因为点P在过点A，且斜率为的直线上，
所以＝，解得＝，所以e＝.
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2　与椭圆的性质有关的最值或范围问题
如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
4　解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.则当x0＝－2时，·取得最大值4.
椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．
1．(多选题)(2020·菏泽期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米．设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R　　　　
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
ABD　解析：由题设条件可得
所以a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；
①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)?b＝，故D正确．故选ABD.
2．(2020·临沂模拟)已知两定点A(－1,0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为.
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角
1.在焦点三角形中可利用哪些性质或结论？2．离心率的表达式有哪些？
构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e的取值范围
①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③三角形的面积公式．2．e与a，b，c的关系
1.椭圆的有界性；2．一元二次方程有实根的条件
思路参考：利用曲线的取值范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c,0)，F2(c,0)，则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知⊥，
则·＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
将这个方程与椭圆方程＋＝1联立，
消去y，可得x2＝.
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2即0≤可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2从而得e＝≥，且e＝<1，
所以e∈.
思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a?|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.
又由∠F1PF2＝90°，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．
因此，|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0?e2＝≥?e≥.所以e∈.
思路参考：利用三角函数有界性．
解：记∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，由正弦定理有＝＝，即＝|F1F2|.
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则有e＝＝＝＝.
由0≤|α－β|<90°，知0≤<45°，
所以思路参考：利用均值不等式．
解：由椭圆定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|平方后得4a2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，得≥，所以e∈.
思路参考：巧用图形的几何特性．
解：由∠F1PF2＝90°，知点P在以|F1F2|＝2c为直径的圆上．
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，
故有c≥b?c2≥b2＝a2－c2，
由此可得e∈.
思路参考：双焦点最大张角．
解：双焦点最大张角为∠F1B1F2(点B1为短轴的顶点)，
由已知∠F1B1F2≥90°，
所以∠OB1F2≥45°，
tan
∠OB1F2≥1，即≥1，c2≥b2，c2≥a2－c2，
得≥，所以有e∈.
1．本题考查椭圆离心率范围的求解，其基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．
2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．
设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个顶点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0，]∪[4，＋∞)
A　解析：(方法一)因为∠AMB＝120°，
所以∠MAB＋∠MBA＝60°.
设∠MAB＝α，∠MBA＝β，
则tan
α·tan
β＝＝t>1.
当m<3时，t＝，当m>3时，t＝.
tan(α＋β)＝＝＝，
所以tan
α＋tan
β＝(1－t)，
所以tan
α，tan
β为方程x2－(1－t)x＋t＝0的两个根，
所以Δ＝3(1－t)2－4t≥0.
得(3t－1)(t－3)≥0.
因为t>1，故t≥3，故≥3或≥3，
解得m≥9或0故选A.
(方法二)当0设M(x0，y0)，不妨y0>0，A(－，0)，B(，0)．
图1
则S△MAB＝y0＝|MA|·|MB|·sinπ＝|MA|·|MB|，得|MA|·|MB|＝4y0.
＝(x0＋，y0)，＝(x0－，y0)，
故·＝(x0＋)(x0－)＋y＝||·||cosπ，
得x－3＋y＝－2y0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
得x－3＝－y，
故－y＋y＝－2y0，解得y0＝≤，解得0当m>3时，如图2，设M(x0，y0)，不妨x0>0，
图2
则A(0，－)，B(0，)，
S△MAB＝x0＝|MA|·|MB|sinπ＝|MA|·|MB|，|MA|·|MB|＝x0，
＝(x0，y0＋)，＝(x0，y0－)，
所以·＝x＋(y0＋)(y0－)＝||·||cosπ，
解得x＋y－m＝－x0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，得y－m＝－x，
故－x＋x＝－x0，
解得x0＝≤，解得m≥9.
综上m≥9或0一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义
(1)定义：一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|.则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当a(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线．
(3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；半实轴长为a，半虚轴长为b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线．(
×
)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线．(
×
)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(
√
)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(
√
)
2．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)
B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，)
D．(0，－2)，(0,2)
B　解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A.
B．5
C.
D．2
A　解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.
4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
－＝1　解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
5．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6　解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
考点1　双曲线的定义——基础性
　
　　　　　　
　　　　　
　　　　
(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图像上的点，则|OP|＝(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－＝1(x≥1)，
将y＝3代入可得x2＝，
所以y2＝3(x2－1)＝，
所以|OP|＝＝.故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，c)(c为半焦距)．P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为______________．
x2－＝1　解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值为2a＋2c＝6.又＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故双曲线C的方程为x2－＝1.
利用双曲线的定义求方程要注意的问题
(1)实轴长为距离之差的绝对值．
(2)2a＜|F1F2|.
(3)焦点所在坐标轴的位置．
1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.x＝0
B.－＝1(x≥)
C.－＝1
D.－＝1或x＝0
D　解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0.在③的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－.故得|MC1|－|MC2|＝2.在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2.由③④得|MC1|－|MC2|＝±2.已知|C1C2|＝8，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为－＝1.故选D.
2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan
∠PF1F2＝，则双曲线C的方程为(　　)
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
A　解析：如图，因为PF1⊥PF2，tan
∠PF1F2＝，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.
根据双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－＝1.
考点2　双曲线的方程——综合性
(1)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3)
B．(－1，)
C．(0,3)
D．(0，)
A　解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.
又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1(2)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1
B.x2－＝1
C.－y2＝1
D．x2－y2＝1
D　解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D.
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
1．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点坐标为(　　)
A．(±5,0)
B．(±，0)
C．(0，±5)
D．(0，±)
C　解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．
2．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是(　　)
A．离心率为
B．双曲线过点
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
ABC　解析：双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，可得c＝5.如果离心率为，可得a＝4，则b＝3.所以双曲线C的方程为－＝1，所以A正确；
由c＝5，双曲线过点，可得解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以B正确．
由c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得＝，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以C正确．
由c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝，双曲线C的方程为－＝1，所以D不正确．
3．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．
－＝1　解析：设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
考点3　双曲线的几何性质——综合性
考向1　双曲线的渐近线
若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
A　解析：(方法一)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(方法二)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
求双曲线的渐近线的方法
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的方程时，可令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
考向2　求双曲线的离心率
(1)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
A　解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
(2)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
　解析：因为双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以a＝2，则离心率e＝＝＝.
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
考向3　与双曲线有关的最值和范围问题
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，
所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，
即3y－1<0，解得－与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．
1．(2021·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则双曲线C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by－ax＝0.又圆心坐标为(2,1)，则＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝.又e>1，故e＝.
2．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．
(0,2)　解析：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4已知A，F，P分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．2
D．1＋
[四字程序]
读
想
算
思
A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线上的动点
1.双曲线的离心率的表达式是什么？2．如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式子？
设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形结合
∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率
1.e＝＝；2．转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan∠PFA＝tan
2α＝
利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题
思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．
C　解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.
在双曲线－＝1中，令x＝c，易得P.
因为tan∠PAF＝1，所以＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2.
思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．
C　解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，
kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝＝.
设点P(x0，y0)，故－＝1，①
因为k2＝，k1＝，
所以＝，②
联立①②消去y0得：
x＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(
)
当且仅当时，(
)式恒成立，此时e＝＝2.
思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解．
C　解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，
△ACD∽△BAD，故＝，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．
　
　图1　　
　　　　图2
在双曲线中，设点P(x0，y0)，
过点P作PM⊥AF，如图2.
因为∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)·(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c.
由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝＝2.
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．
C　解析：如图，作PM⊥AF于M，
设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan
α＝，
在Rt△PFM中，tan
2α＝.
因为tan
2α＝，
所以＝，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝m2＋2am＋c2恒成立．
所以所以e＝＝2.
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．
2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A．
B．2
C．
D．2
D　解析：(方法一)由离心率e＝＝，得c＝a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2.
(方法二)离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2.

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