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　两条直线的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．两条直线相交、平行与重合的条件
(1)利用斜率关系判断
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交?k1≠k2；
②l1与l2平行?k1＝k2且b1≠b2；
③l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2；
④l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
①l1与l2相交?A1B2≠A2B1.
②l1与l2平行或重合?A1B2＝A2B1.
③l1与l2重合?存在实数λ使得
④l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(3)两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.
2．三种距离
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：
(1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.(
×
)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(
×
)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(
×
)
　　　
　　　　　
　　　　　
　　　
2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A.
B.
C.7
D.
D　解析：由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.
3．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的值为
(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
A　解析：由题意，＝，即m＝.
4．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A．1
B．2
C．
D．2
C　解析：圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)．由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.
5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
1　解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
考点1　直线的平行与垂直——基础性
1．(2020·长沙明德中学3月月考)“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：若l1∥l2，则即
解得m＝－3或2.
因此，“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件．
2．已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则a的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
A　解析：(方法一)当a＝－1时，方程分别化为x＋1＝0,2y＋1＝0，此时两条直线相互垂直，因此a＝－1满足题意．当a≠－1时，由两条直线相互垂直，可得×＝－1，解得a＝－1(舍去)．
综上a＝－1.
(方法二)由l1⊥l2得(a－1)(a＋1)＋2(a＋1)＝0，
整理得a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1.
3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和3x－y＋4＝0的交点，并且平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程是________________．
3x＋4y＋＝0　解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.
设平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为3x＋4y＋c＝0，
则3×＋4×＋c＝0，解得c＝，所以直线的方程为3x＋4y＋＝0.
4．过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为______________．
2x－4y－5＝0　解析：设点A，
过坐标系原点O作
OB⊥l于点B，连接OA，
则OB为原点O到直线l的距离．
在直角三角形AOB中，OA为斜边，
所以有OB而kOA＝＝－2，所以kl＝，所以直线l的方程为y＋1＝×，
整理得2x－4y－5＝0.
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
—
↓
—
考点2　两条直线的交点与距离问题——应用性
(1)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A．
B．
C．2
D．2
A　解析：联立
解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0.
所以m＝－5－2n.
所以点(m，n)到原点的距离
d＝＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号．所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.
(2)(2020·上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos
θ，sin
θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C　解析：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P为单位圆上一点．而直线x－my－2＝0过点A(2,0)，记坐标原点为O，
所以d的最大值为|OA|＋1＝2＋1＝3.故选C.
(3)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
2或－6　解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
又两平行线之间的距离为，
所以＝，
解得c＝2或－6.
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式的注意点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
1．已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
　解析：由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)．所以点A到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为______________．
x＋3y－5＝0或x＝－1　解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
(方法二)当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．
所以直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
考点3　对称问题——应用性
考向1　中心对称问题
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________________．
x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
中心对称问题的解法
(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则
(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．
考向2　轴对称问题
(1)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0
B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0
D．x＋2y－1＝0
A　解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．
由
得
因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
(2)已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
(2,6)　解析：设点A′的坐标为(x，y)，
由题意可知
解得所以点A′的坐标为(2,6)．
轴对称问题的解法
(1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，
则有
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
1．若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0
D．2x－3y－12＝0
B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.
令可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)．
故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选B.
2．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是(　　)
A．2
B．6
C．3
D．2
A　解析：由题意知直线AB的方程为x＋y＝4.
设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，
则解得即Q(4,2)．
又P关于y轴的对称点为T(－2,0)，
所以|QT|＝＝2.　空间向量及其运算
一、教材概念·结论·性质重现
1．空间向量的有关概念
(1)零向量：始点和终点相同的向量，记作0.
(2)单位向量：模等于1的向量．
(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量．
(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量称为相反向量．
(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行．
(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．
2．空间向量中的有关定理
语言描述
共线向量定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa
共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb
空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．
(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题．
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角
①给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
②范围：0≤〈a，b〉≤π.
(2)两个非零向量a，b的数量积：
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起点；②向量的方向．
(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．空间向量的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．
5．常用结论
(1)证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
①＝λ(λ∈R)；
②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；
③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
(2)证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：
①＝x＋y；
②对空间任一点O，＝＋x＋y；
③∥(或∥或∥)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(
√
)
(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．(
×
)
(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(
×
)
(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(
×
)
(5)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(
×
)
2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C　解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5.
3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C．－a－b＋c
D.a－b＋c
A　解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)．若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2
B．－
C．
D．2
D　解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得
λ＝2.
5．下列说法：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若a，b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．
其中不正确的为________．(填序号)
②③④　解析：①中四点恰好围成一个封闭图形，正确；
②中当a，b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；
③中a，b所在直线可能重合；
④中需满足x＋y＋z＝1，才有P，A，B，C四点共面．
考点1　空间向量的线性运算——基础性
1．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)
A.a－b＋c
B.－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
B　解析：＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.
2．在空间四边形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
B　解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，
所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．
所以＝(＋)－(＋)＝(＋)
＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
3.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
　解析：连接ON，设＝a，＝b，＝c，
则＝－＝(＋)－＝b＋c－a，
＝＋＝＋
＝a＋
＝a＋b＋c.
又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝，
因此x＋y＋z＝＋＋＝.
用已知向量表示未知向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考点2　共线向量定理、共面向量定理及其应用——综合性
(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若向量a，b，c共面，则实数λ等于(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：因为向量a，b，c共面，所以，由共面的向量基本定理，存在唯一实数x，y，使得xa＋yb＝c，所以
解方程组得λ＝.
(2)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
①求证：A，E，C1，F四点共面；
②已知＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
①证明：＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)＝＋.
又，，有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面．
②解：因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋.所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.
证明点共线、点共面的方法
(1)证明点共线的方法
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，即证明＝λ(λ≠0)．
(2)证明点共面的方法
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．
1．已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　)
A．
B．－2
C．0
D．或－2
B　解析：当m＝0时，a＝(1,3，－1)，b＝(2,0,0)，a与b不平行，所以m≠0.
当m≠0时，因为a∥b，所以＝＝，解得m＝－2.
2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D.
证明：设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝＋＝a＋c，
＝＋＝＋＝－a＋b，
＝＋＝－＋＝b－a＋c，
所以＝－2.
因为A1B?平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.
考点3　空间向量的数量积及其应用——应用性
考向1　空间向量数量积的运算
(1)在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．不确定
B　解析：如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.
(2)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．
　解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，
则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.
当λ＝时，·取得最小值－.
此时＝.
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
考向2　空间向量数量积的应用
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
解：记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
|1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
所以|AC1|＝，即AC1的长为.
(2)证明：因为1＝a＋b＋c，＝b－a，
所以1·＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c
＝|b||c|cos
60°－|a||c|cos
60°
＝0.
所以1⊥，所以AC1⊥BD.
(3)解：因为1＝b＋c－a，＝a＋b，
所以|1|＝，||＝，
1·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b·a＋b2＋c·a＋c·b－a2－a·b＝1.
所以cos〈1，〉＝＝.
所以AC与BD1夹角的余弦值为.
空间向量数量积的应用
求夹角
设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．建立空间直角坐标系解决下列问题：
(1)求·；
(2)求cos〈，C1G〉；
(3)求FH的长．
解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则有E，F，C(0，1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G.
(1)＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，
所以·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0.
(2)因为＝－(0,1,1)＝，
所以||＝.
又因为·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝.
(3)因为F，H，
所以＝，
所以||＝
＝，
故FH的长为.　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．平面的基本性质
基本事实1：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内；基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．
②范围：.
互为异面直线的两条直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
3．空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
(1)空间中直线与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线在平面内
a?α
无数个
直线不在平面内
直线与平面平行
a∥α
0个
直线与平面相交
直线与平面斜交
a∩α＝A
1个
直线与平面垂直
a⊥α
1个
(2)空间中平面与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个
4．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
研究直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(
×
)
(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面．(
×
)
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(
×
)
(4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(
×
)
(5)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(
×
)
(6)空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等．(
×
)
2．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
C　解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c可能相交，平行或异面．若a，b相交，b，c可能相交，则a，c相交、平行或异面．若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确，故选C.
3．若直线l不平行于平面α，且l?α，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
B　解析：由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
　　
　　　　　
　　　　　
　　　
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
C　解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°，即异面直线B1C与EF所成角的大小为60°.
5．在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD　
解析：(1)因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，所以AC＝BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH.
因为EF∥AC，EH∥BD，且EF＝AC，EH＝BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.
考点1　平面的基本性质——基础性
1．在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　)
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
B　解析：如图所示，因为EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.
2．(多选题)(2020·全国卷Ⅱ改编)下列选项正确的是(　　)
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
AD　解析：对于选项A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点B在平面α内，同理，l3与l2的交点A也在平面α内，所以，AB?α，即l3?α，选项A正确．对于选项B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，选项B错误．对于选项C，空间中两条直线相交、平行或异面，选项C错误．对于选项D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线．因为直线l?平面α，所以直线m⊥直线l，选项D正确．
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；二是证明两平面重合．
(2)证明共线的方法：一是先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
考点2　异面直线所成的角——综合性
(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A.
B.
C.
D.
C　解析：如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成角为∠EAB(或其补角)．
在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，
则tan∠EAB＝＝.
所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.
(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：如图，设BC的中点为D，连接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．
设三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长均为1，
则AD＝，A1D＝，A1B＝.
由余弦定理，
得cos∠A1AB＝＝＝.
本例(2)的条件改为“在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______．
　解析：把三棱柱ABC－A1B1C1补成四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示．
连接C1D，BD，则AB1与BC1所成的角为∠BC1D(或其补角)．
由题意可知BC1＝，
BD＝＝，C1D＝AB1＝.可知BC＋BD2＝C1D2，所以△BC1D为直角三角形，
所以cos∠BC1D＝＝.
用平移法求异面直线所成的角的步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
1．(2021·聊城一模)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
D　解析：如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，
连接AF，易知F为的中点．设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.
连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD.在△EAD中，cos∠EAD＝＝.故选D.
2．(多选题)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1＝3，则(　　)
A．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为
B．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为
C．A1B∥平面B1D1C
D．点B1到平面A1BD1的距离为
ACD　解析：因为A1B∥D1C，所以∠B1D1C或其补角即为异面直线A1B与B1D1所成角．
又因为B1D1＝4，D1C＝5，B1C＝5，
所以cos∠B1D1C＝＝，故A正确，B错误．
因为A1B∥D1C，A1B?平面B1D1C，D1C?平面B1D1C，
所以A1B∥平面B1D1C，故C正确．
设点B1到平面A1BD1的距离为h，
因为VB－A1B1D1＝VB1－A1BD1，即×A1B1·A1D1·B1B＝×A1B·A1D1·h，解得h＝，故D正确．故选ACD.
3．在正四面体A?BCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：画出正四面体A?BCD的直观图，如图所示．
设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．因为△ABC为等边三角形，所以CE⊥AB，易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF.因为OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝EF＝BD＝，所以cos∠FEC＝＝＝.
考点3　空间两条直线的位置关系——应用性
考向1　异面直线的判定
如图，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)
②④　解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．
本例的条件改为“下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点”，则直线PQ与RS是异面直线的图是(　　)
C　解析：易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
考向2　平行或相交直线的判定
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
D　解析：如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点．
连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
空间中两直线位置关系的判定方法
异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线．
1．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
D　解析：(方法一：反证法)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交．
(方法二：模型法)如图(1)l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交．故A，B不正确．如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D.
2．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　)
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
B　解析：过点E作EQ⊥CD于点Q，连接BD，QN，BE，易知点N在BD上．
因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EQ⊥平面ABCD，所以EQ⊥QN.同理，BC⊥CE.
设CD＝2，则EN＝＝＝2，
BE＝＝＝2.
又在正方形ABCD中，BD＝＝2＝BE，所以△EBD是等腰三角形．又M为DE的中点，所以EM＝1，所以BM＝＝＝，所以BM＝>2＝EN，即BM≠EN.
又因为点M，N，B，E均在平面BED内，所以BM，EN在平面BED内．又BM与EN不平行，所以BM，EN是相交直线．故选B.

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