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　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线与圆的位置关系的判断
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断．
dr?相离．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ，
直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含．
(2)两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：0条．②内切：1条．③相交：2条．④外切：3条．⑤外离：4条．
3．常用结论
(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
(2)圆的切线方程常用结论
过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(
×
)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(
×
)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(
×
)
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(
×
)
(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(
√
)
　
　　　　　　
　　　　　
　　　　
2．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m的值为(　　)
A．±
B．±
C．±
D．±1
D　解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r＝.又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝±1.
3．若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A．(－，)
B．[－，]
C．
D．
D　解析：数形结合可知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤.
4．若直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
　解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝.又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝.由2＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝.
5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
2　解析：由
得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.
考点1　直线和圆的位置关系——基础性
1．直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
A　解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝<2，所以直线与圆相交．
2．(2020·泰安市高三三模)已知抛物线C：x2＝4y的准线恰好与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C　解析：抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圆心为(3,4)．因为准线恰好与圆M相切，所以圆心到准线的距离为r＝|4＋1|＝5.
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是
(　　)
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C　解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d＝.
由直线与圆有公共点可得≤
，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
所以实数a的取值范围是[－3,1]．
4．(2020·济宁第一中学质量检测)已知过点P(1,2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A．0
B．－
C．0或
D．
C　解析：当a＝0时，直线ax＋y－1＝0即直线y＝1，此时过点P(1,2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，并且x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立．
当a≠0时，过点P(1,2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，则直线方程为y－2＝(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0.再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得＝1，解得a＝.故选C.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考点2　圆与圆的位置关系——基础性
(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0与C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为
(　　)
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
(2)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
①求证：圆C1和圆C2相交；
②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)D　解析：圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为C1(0,1)，半径为r1＝1.
圆C2：x2＋y2－2x－6＝0的圆心为C2(，0)，半径为r2＝3，
所以|C1C2|＝＝2.
又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圆C1与C2内切．
(2)①证明：由题意得，圆C1化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆C2化为标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4.
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|②解：由①知两圆相交，将圆C1和圆C2的方程相减，
得4x＋3y－23＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．
(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
1．(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝(　　)
A．±2
B．±2
C．0
D．以上均有可能
BC　解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25的圆心为(－4，a)，半径为5.
若两圆相切，分两种情况讨论：
当两圆外切时，有(－4)2＋a2＝(1＋5)2，解得a＝±2；
当两圆内切时，有(－4)2＋a2＝(1－5)2，解得a＝0.综上可得，实数a的值为0或±2.
2．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________________．
(－2，0)∪(0,2)　解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.所以a∈(－2，0)∪(0,2)．
考点3　直线与圆的综合问题——综合性
考向1　圆的弦长问题
(1)(2020·荆州三模)已知直线l过点(2，－1)，则“直线l的斜率为”是“直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2?圆心(1，－3)到直线l的距离为1.当直线斜率不存在时，显然符合要求；
当直线斜率存在时，设斜率为k，则l：kx－y－2k－1＝0，
由＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝.
因此，直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2?k＝或斜率不存在．故选A.
(2)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，求△ABP面积的取值范围．
解：圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．
求弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
考向2　圆的切线问题
过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求AB所在直线的方程．
解：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
(1)处理圆的切线问题要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
1．(2020·洛阳市高三三模)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(　　)
A．1
B．
C．2
D．2
D　解析：圆心到直线x－y＋2－2＝0的距离d1＝.
因为圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，
所以d1＝＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4.
因为a≥2，所以a＝2.所以(x－2)2＋y2＝4.
所以圆心到直线x－y－4＝0的距离为d2＝＝，
所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为l＝2＝2.故选D.
2．(2020·长春市高三三模)已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＝0，则圆E的方程为(　　)
A．x2＋(y－)2＝2
B．x2＋(y＋)2＝2
C．x2＋(y－)2＝3
D．x2＋(y＋)2＝3
C　解析：两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0，a)．
又圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，故×＝－1，解得a＝.
故所求圆心为(0，)．
直线x－y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦长为2＝，
圆心(0，)到直线x－y＝0的距离为，
所以直线x－y＝0截圆所得弦长为2＝，解得r＝.
故圆心坐标为(0，)，半径为.故选C.
3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.
－2　解析：因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2,2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线方程的斜率为－，所以切线方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.
4．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
2　解析：设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意，知最短的弦过点P(3,1)，且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，求圆C的方程．
[四字程序]
读
想
算
思
求圆C的标准方程或一般方程
如何求圆的方程？
1.圆的标准方程是什么？2.圆的一般方程是什么？
数形结合的思想方法
1.圆心在直线上；2.圆C与直线相切；3.圆C截直线弦长为
根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解
1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2；2.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
借助于圆的几何性质求解
思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心．由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程．
解：因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(a，－a)．
又因为所求圆与直线x－y＝0相切，
所以半径r＝＝|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2.解得a＝1.
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
思路参考：设出圆的标准方程．利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以r2＝＋2，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
因为所求圆与直线x－y＝0相切，
所以(a－b)2＝2r2.②
又因为圆心在直线x＋y＝0上，所以a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为，半径r＝.
因为圆心在直线x＋y＝0上，
所以－－＝0，即D＋E＝0.①
又因为圆C与直线x－y＝0相切，
所以＝.
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
所以D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，
由已知得d2＋2＝r2，
所以(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)．③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
1．本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，用待定系数法求解．
2．基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式，体现了数学运算、直观想象的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性．
已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C的方程为________．
(x－1)2＋(y＋4)2＝8　解析：(方法一)如图，设圆心(x0，－4x0)．依题意得＝1，
解得x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(方法二)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2.
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.直线与圆锥曲线的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C的交点个数
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
0
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)
1
a≠0
Δ＞0
两个不相等的解
2
Δ＝0
两个相等的解
1
Δ＜0
无实数解
0
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图像和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切．而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝.
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律：“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘．”
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．(
√
)
(2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．(
×
)
(3)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共点”．(
×
)
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.(
√
)
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(
×
)
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有
(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
C　解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的两条直线．
3．直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点．若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为(　　)
A．3
B．2
C．
D．
D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得
两式相减得－＝0.
又所以＝.
所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2.
又e>1，所以e＝.
4．(2021·温州模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点M(－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F2，则该双曲线的标准方程为___________．
－＝1　解析：由题设知点M(－3,4)与右焦点F2(c,0)关于直线y＝x对称，
所以·＝－1，
即4b＝a(c＋3)，①
且线段MF2的中点在直线y＝x上，
即2＝·，得b(c－3)＝4a.②
由①÷②得＝，解得c＝5，代入①可得b＝2a.
又c2＝a2＋b2，所以25＝a2＋(2a)2，所以a2＝5，从而b2＝4a2＝20.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
5．已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
16　解析：直线l的方程为y＝x＋1.
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
考点1　直线和圆锥曲线的位置关系——基础性
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1
B．2
C．1
D．0
B　解析：由题意知＞2，即＜2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部．故所求交点个数是2.
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．
　解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得－研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．
考点2　弦长问题——综合性
(2020·钟祥市高三三模)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，Q是y轴的正半轴上一点，QF2交椭圆于P，且PF1⊥PF2，△PQF1的内切圆⊙M的半径为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AB：y＝2x＋m和圆M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的值．
解：(1)如图，设△PQF1的内切圆⊙M切PF1，QF1，PQ于点E，F，G，|EF1|＝|FF1|＝x，|QF|＝|QG|＝y(x>0，y>0)．
由PF1⊥PF2，且|PE|＝|PG|＝1，有|GF2|＝|FF1|＝x，则|PF2|＝x－1，|PF1|＝x＋1.
由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得(x－1)2＋(x＋1)2＝(2)2(x>0)，解得x＝3.
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝2x＝6，
即a＝3，b＝＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知tan∠PF1F2＝，
所以直线PF1的方程为y＝(x＋)．
设点M(0，t)，其到直线PF1的距离为1，有＝1，
解得t＝或t＝0(舍)．
即M(0，)，故圆M的方程为x2＋(y－)2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得40x2＋36mx＋9m2－36＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝＝×.
所以|AB|＝×|x1－x2|＝×.
因为y＝2x＋m与x2＋(y－)2＝1相切，
所以＝1，解得m＝0或m＝2.
故|AB|＝3或3.
直线与圆锥曲线相交时弦长的求法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．
已知点N(－1,0)，点P是圆M：(x－1)2＋y2＝16上的动点，A为线段PN的中点，G为线段PM上一点，且·＝0.设动点G的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线PN与曲线C相交于E，F两点，与圆M相交于另一点Q，且点P，E位于点N的同侧，当△PMN面积最大时，求|PE|＋|FQ|的值．
解：(1)由题可知圆M的圆心M(1，0)，半径r＝4.
又A为线段PN的中点，G在PM上，且·＝0，
所以GA为PN的中垂线，所以|GN|＝|GP|.
又|GN|＋|GM|＝|GP|＋|GM|＝r＝4>|MN|＝2，
所以点G的轨迹为椭圆．
设曲线C的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
则2a＝4,2c＝2，所以a＝2，c＝1.
b2＝a2－c2＝3，所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)如图．假设点P在x轴上方．
设点E(x1，y1)，F(x2，y2)．当△PMN面积最大时，PM⊥x轴，所以点P(1,4)，则直线PN方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.
所以点M到直线PN的距离为d＝＝.
所以|PQ|＝2＝.
联立得19x2＋32x＋4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|EF|＝·＝，
所以|PE|＋|FQ|＝|PQ|－|EF|＝－.
考点3　中点弦问题——综合性
考向1　由中点弦确定直线方程
(2020·哈尔滨三中高三期末)已知椭圆＋＝1，则与椭圆相交且以点A(1,1)为弦中点的直线所在方程为(　　)
A．3x＋4y＋7＝0
B．2x＋5y－7＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x＋4y－7＝0
D　解析：设以点A(1,1)为弦中点的直线与椭圆交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
依题意所求直线的斜率存在，将点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标代入椭圆方程得，
＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以＝－，即所求直线的斜率为－，所求的直线方程为3x＋4y－7＝0.
考向2　由中点弦确定曲线方程或参数的值
(1)(2020·西宁市高三二模)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，M(4,2)是弦AB的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：因为倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，所以直线的斜率k＝tan
＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，①
－＝1.②
由①－②得＝，
则k＝＝·.
因为M(4,2)是弦AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
因为直线的斜率为1，所以1＝×，即＝.
所以e2＝＝1＋＝，即e＝.故选D.
(2)(2020·遂宁市高三模拟)若中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
C　解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝50.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为(x0，y0)．
因为x0＝，所以y0＝－2＝－.
由可得＝－，
所以直线AB的斜率k＝＝－·＝－·＝3.
因为＝－1，所以a2＝3b2②.
联立①②，可得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
处理中点弦问题的常用方法
(1)点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接将中点和直线的斜率联系起来，借用中点公式即可求得斜率．用点差法求直线方程后需验证直线与圆锥曲线是否相交．
(2)根与系数的关系，即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点．若线段MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
D　解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可得a2＋b2＝7.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点为.由－＝1，－＝1，得＝，即＝，所以＝.联立a2＋b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.故选D.
2．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0上，则此椭圆的离心率为________．
　解析：联立得x＝1，y＝1.
故直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为坐标为(1,1)，即线段AB的中点坐标为(1,1)．
设x＋2y－3＝0与＋＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－.
分别把A，B的坐标代入椭圆方程得
两式相减并整理，得＝－，
即＝－，所以－＝－，即a2＝2b2，
所以a＝b＝c，e＝＝.

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