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高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（二）
第一节　函数及其表示
一、必记3个知识点
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
A，B是两个非空数集
A，B是两个①________
对应关系
f：A→B
按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的②________
一个数x，在集合B中有③________的数f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的④________一个元素x，在集合B中都有⑤________的元素y与之对应
名称
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的⑥________；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑦________.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素
⑧________、⑨________和⑩________.
(3)相等函数
如果两个函数的?________和?________完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：?____________、?__________、?____________.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因?____________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的?________，其值域等于各段函数的值域的?________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
二、必明3个易误点
1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．易误把分段函数理解为几种函数组成．
三、技法
1.求分段函数的函数值
(1)基本步骤
①确定要求值的自变量属于哪一区间．
②代入该区间对应的解析式求值．
(2)两种特殊情况
①当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．解分段函数与方程或不等式的综合问题的策略
求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式．应根据每一段的解析式分别求解．若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解．解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围.
3．函数问题常见方法说明
参考答案
①非空集合　②任意　③唯一确定　④任意　⑤唯一确定　⑥定义域　⑦值域　⑧定义域　⑨值域　⑩对应关系　?定义域　?对应关系　?解析法　?列表法　?图象法　?对应关系　?并集　?并集
第二节　函数的单调性与最值
一、必记2个知识点
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1图象描述
自左向右看图象是③________
自左向右看图象是④________
(2)单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是⑤________或⑥________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的⑦________.
(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当⑧________时，f(x)在区间D上为增函数；当⑨________时，f(x)在区间D上为减函数．
(4)复合函数的单调性．若构成复合函数的内、外层函数单调性相同，则复合函数为增函数，否则为减函数．简称“同增异减”．
2．函数的最值
(1)函数最值的定义
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有⑩________；
(2)存在x0∈I，使得?________.
(1)对于任意的x∈I，都有?________；
(2)存在x0∈I，使得?________.
结论
M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最小值
(2)两条结论：
①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；
②区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、必明2个易误点
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“，”“和”．
2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．
三、技法
1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法
(1)定义法：一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．
(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．
2．熟记函数单调性的三个常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.
3．求函数的最值(值域)的常用方法
(1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值．
(2)换元法：求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．
(3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．
(4)有界性法：利用代数式的有界性(如x2≥0，≥0，－1≤sin
x≤1等)确定函数的值域．
(5)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法.
4．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意：若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
参考答案
①f(x1)f(x2)　③上升的　④下降的　⑤增函数　⑥减函数　⑦单调区间　
⑧f′(x)>0　⑨f′(x)<0　⑩f(x)≤M　?f(x0)＝M　?f(x)≥M　?f(x0)＝M
第三节　函数的奇偶性与周期性
一、必记3个知识点
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果函数f(x)的定义域内①______x都有②________________，那么函数f(x)是偶函数
关于③______对称
奇函数
如果函数f(x)的定义域内④______x都有⑤________________，那么函数f(x)是奇函数
关于⑥______对称
2.奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧________(填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨________，两个奇函数的积函数是⑩________.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是?________.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是?________.
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝?________.
3．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝?________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中?__________________的正数，那么这个?________就叫做f(x)的最小正周期．
二、必明2个易误点
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
三、技法
1.判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法
　(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数奇偶性的应用
(1)求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
3.求函数周期的方法
方法
解读
适合题型
定义法
具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期
非零常数T容易确定的函数
递推法
采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期
含有f(x＋a)与f(x)的关系式
换元法
通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期
f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式
4.函数周期性的应用
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
5.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解.
参考答案
①任意一个　②f(－x)＝f(x)　③y轴　④任意一个　⑤f(－x)＝－f(x)　⑥原点　⑦相同　⑧相反　⑨奇函数　⑩偶函数　?偶函数　?奇函数　?0　?f(x)　?存在一个最小　?最小正数
第四节　二次函数与幂函数
一、必记2个知识点
1．幂函数
(1)定义：形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1.
(2)性质
(ⅰ)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(ⅱ)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
(ⅰ)一般式：f(x)＝②________________________；
(ⅱ)顶点式：f(x)＝③________________________；
(ⅲ)零点式：f(x)＝④________________________.
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在⑤____________上单调递减；
在⑥____________上单调递增
在⑦____________上单调递增；
在⑧____________上单调递减
奇偶性
当⑨________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
⑩____________________
对称性
图象关于直线x＝－成轴对称图形
二、必明2个易误点
1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f(x)为二次函数．
2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝不是幂函数．
三、技法
1.幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
2.二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
3．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
参考答案
①y＝xα(α∈R)　②ax2＋bx＋c(a≠0)　③a(x－m)2＋n(a≠0)　
④a(x－x1)(x－x2)(a≠0)　⑤　⑥　
⑦　⑧　⑨b＝0　
⑩
第五节　指数与指数函数
一、必记4个知识点
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果①________，那么x叫做a的n次方根.
n>1且
n∈N
当n为奇数时，正数的n次方根是一个②________，负数的n次方根是一个③________.
零的n次
方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有④________________，它们互为⑤________________.
±
负数没有
偶次方根
(2)一个重要公式
()n＝⑨________(注意a必须使有意义)．
2．分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂是：＝⑩____________(a>0，m，n∈N
，n>1)．
(2)正数的负分数指数幂是：＝?___________＝?___________(a>0，m，n∈N
，n>1)．
(3)0的正分数指数幂是?________，0的负分数指数幂无意义．
3．有理指数幂的运算性质
(1)ar·as＝?________(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝?________(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝?________(a>0，b>0，r∈Q)．
4．指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
?____________
值域
?____________
性质
(1)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(2)在(－∞，＋∞)上是?________
(2)在(－∞，＋∞)上是?________
二、必明2个易误点
1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1还是0三、技法
1.
　[注意]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.
2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断.
3.应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
题型
求解策略
比较幂值
的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数
不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型
函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
[提醒]　在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论.
参考答案
①xn＝a　②正数　③负数　④两个　⑤相反数　⑥a　⑦a　⑧－a　⑨a　⑩　?　?　?0　?ar＋s　?ars　?arbr　?R　?(0，＋∞)　?增函数　?减函数
第六节　对数与对数函数
一、必记4个知识点
1．对数的概念
(1)对数的定义
如果①________________________，那么数x叫做以a为底N的对数，记作②________，其中③________叫做对数的底数，④________叫做真数．
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
⑤________
常用对数
底数为⑥________
⑦________
自然对数
底数为⑧________
⑨________
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
(ⅰ)alogaN＝⑩________(a>0且a≠1)；
(ⅱ)logaaN＝?________(a>0且a≠1)．
(2)对数的重要公式
(ⅰ)换底公式：?________________(a，b均大于零且不等于1)；
(ⅱ)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝?________.
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
(ⅰ)loga(MN)＝?________________；
(ⅱ)loga＝?________________；
(ⅲ)logaMn＝?________________(n∈R)；
(ⅳ)logamMn＝logaM(m，n∈R)．
3．对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
(1)定义域：?________
(2)值域：?________
(3)过点?________，即x＝?________时，y＝________
(4)当x>1时，________
当0(4)当x>1时，________
当0(5)是(0，＋∞)上的
________
(5)是(0，＋∞)上的
________
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数________互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
二、必明2个易误点
1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M>0.
2．在解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
三、技法
1.对数运算的一般思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数的积、商、幂的运算．
(3)利用式子lg2＋lg5＝1进行化简.
2.对数型函数图象的考查类型及解题思路
(1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点及图象与坐标轴的交点等求解．
(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法.
3.比较对数值大小的方法
若底数相同，真数不同
若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论
若底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
若底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
4.求解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
形如
logax>logab
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0形如
logax>b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
5.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．(分类讨论)
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
参考答案
①ax＝N(a>0且a≠1)　②x＝logaN　③a　④N　⑤logaN　⑥10　⑦lgN　⑧e　⑨lnN　⑩N　?N　?logbN＝　?logad　?logaM＋logaN　?logaM－logaN　?nlogaM　?(0，＋∞)　?R　?(1,0)
?1　0　y>0　y<0　y<0
y>0　增函数　减函数　y＝logax
y＝x
第七节　函数的图象
一、必记2个知识点
1．列表描点法作图
其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交点)，描点，连线．
2．图象变换法作图
(1)平移变换
(2)对称变换
(ⅰ)y＝f(x)y＝①________；
(ⅱ)y＝f(x)y＝②________；
(ⅲ)y＝f(x)y＝③________；
(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)y＝④________.
(3)翻折变换
(ⅰ)y＝f(x)y＝⑤________.
(ⅱ)y＝f(x)y＝⑥________.
(4)伸缩变换
y＝⑦________.
(ⅱ)y＝f(x)
y＝⑧________.
二、必明2个易误点
1．图象变换的根本是点的变换，如函数y＝f(2x)的图象到函数y＝f(2x＋2)的平移变换，是点(x，y)到对应点(x＋1，y)，而不是到点(x＋2，y)或其他．
2．明确一个函数的图象本身关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，后者是两个不同的函数的对称关系．
三、技法
1.图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.
2.识图3种常用的方法
3.函数图象应用的常见题型与求解策略
(1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．
②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
参考答案
①－f(x)　②f(－x)　③－f(－x)　④logax　⑤|f(x)|　⑥f(|x|)　⑦f(ax)　⑧af(x)
第八节　函数与方程
一、必记4个知识点
1．函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使①________的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．
2．方程的根与函数的零点的关系
由函数的零点的概念可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与②________的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根?③________________________?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④__________的一条曲线，并且⑤________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得⑥________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间⑦______，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧__________的方法叫做二分法．
二、必明2个易误点
1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式．
2.
由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
三、技法
1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
2.判断函数零点个数的3种方法
(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
3.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3种方法
直接法
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
分离参
数法
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
数形结
合法
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
参考答案
①f(x)＝0　②x轴　③函数y＝f(x)的图象与x轴有交点　④连续不断　⑤f(a)·f(b)<0　⑥f(c)＝0　⑦一分为二　⑧零点近似值
第九节　函数模型及其应用
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
　　函数
性质　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上
的增减性
①________
②________
③________
增长速度
④________
⑤________
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐
表现为与
⑥________平行
随x增大逐渐
表现为与
⑦________平行
随n值变化
而不同
2.函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度比较
(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度⑧________y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时有⑨________.
(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有logax＞xn，但由于y＝logax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x＞x0时，⑩________.
(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们?________不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，有?________________.
二、必明2个易误点
1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域．
2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性．
三、技法
1.一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型．
解决此类问题应注意三点：
①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
(2)以分段函数的形式考查．
解决此类问题应注意以下三点：
①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒]　(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解.
2.应用函数y＝x＋模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.
3.应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
参考答案
①增函数　②增函数　③增函数　④越来越快　⑤越来越慢　⑥y轴　⑦x轴　⑧快于　⑨ax＞xn　⑩logax＜xn　?增长速度　?ax＞xn＞logax高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（八）
第一节　空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、必记4个知识点
1．空间几何体的结构特征
(2)旋转体的结构特征：
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
⑦__________所在的直线
圆锥
直角三角形
⑧__________所在的直线
圆台
直角梯形
⑨__________所在的直线
球
半圆
⑩__________所在的直线
2.空间几何体的三视图
(1)三视图的形成与名称：
(ⅰ)形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的?________和?________是完全相同的．
(ⅱ)名称：三视图包括?______、?______、?________.
(2)三视图的画法：
(ⅰ)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成?______.
(ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的?______方、?______方、?______方观察几何体画出的轮廓线．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面：
在已知图形中取互相垂直的x轴，y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝?________，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度______，平行于y轴的线段，长度______.
(2)画几何体的高：
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
4．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱________于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是________，侧棱________于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
二、必明3个易误点
1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．
3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
三、技法
1.
空间几何体结构特征的解题策略
　
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
2.
3.
根据几何体确认三视图的技巧
由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
4．根据三视图还原几何体的技巧策略
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．
参考答案
①平行且相等　②全等　③多边形　④公共点　⑤平行于底面　⑥相似　⑦任一边　
⑧任一直角边　⑨垂直于底边的腰　⑩直径　?形状　?大小　?正视图　?侧视图　
?俯视图　?虚线　?正前　?正左　?正上　?45°(或135°)　不变　减半　
垂直　正多边形　正多边形　垂直
第二节　空间几何体的表面积和体积
一、必记4个知识点
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧＝①________
V＝②________＝③________
圆锥
S侧＝④________
V＝⑤________＝⑥________
＝πr2
圆台
S侧＝⑦________
V＝(S上＋S下＋)h
＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝⑧________
V＝⑨________
正棱锥
S侧＝⑩________
V＝?________
正棱台
S侧＝?________
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝?________
V＝?________
2.长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点．
(2)半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)．
3．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)．
(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)．
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)．
4．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)．
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)．
二、必明3个易误点
1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．
2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
3．易混侧面积与表面积的概念．
三、技法
1.
几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．
(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
2.
空间几何体体积的求法
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．
(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
3.
空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
参考答案
①2πrh　②Sh　③πr2h　④πrl　⑤Sh　⑥πr2h　⑦π(r1＋r2)l　⑧Ch　⑨Sh　⑩Ch′　
?Sh　?(C＋C′)h′　?4πR2　?
第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、必记6个知识点
1．平面的基本性质
表示
公理　　
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理2
①__________的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有②______过该点的公共直线
?
α∩β＝l，且P∈l
2.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
平行公理：平行于同一条直线的两条直线⑥________.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角⑦________.
(3)异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的⑧________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：⑨____________.
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
⑩________
1个
平行
?________
0个
在平面内
?________
无数个
平面与平面
平行
?________
0个
相交
?________
无数个
4.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
5．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
6．确定平面的三个推论
(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
(2)两条相交直线确定一个平面．
(3)两条平行直线确定一个平面．
二、必明2个易误点
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
三、技法
1.
证明空间点共线问题的方法
(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．点、线共面的常用判定方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
3.
异面直线的判定方法
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
4.
求异面直线所成的角的三步曲
[提醒]　在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
参考答案
①过不在一条直线上　②一条　③相交　④平行　⑤任何一个平面　⑥平行　
⑦相等或互补　⑧锐角(或直角)　⑨　⑩a∩α＝A　?a∥α　?a?α　
?α∥β　?α∩β＝l
第四节　直线、平面平行的判定和性质
一、必记3个知识点
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
因为①______，
______，
______，
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
因为②______，
______，
______，
所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)
因为③______，
______，
______，
______，
______，
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
因为④______，
______，
______，
所以a∥b
3.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
二、必明3个易误点
1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
三、技法
1.
判定线面平行的4种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．
2．解决直线与平面平行的3个思维趋向
(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等．
(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
3.
判定平面与平面平行的5种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.
4.
平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行．
5．这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.
参考答案
①l∥a　a?α　l?α　②l∥α　l?β　α∩β＝b　③a∥β　b∥β　a∩b＝P　a?α　b?α　④α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b
第五节　直线、平面垂直的判定和性质
一、必记6个知识点
1．直线与平面垂直
(1)定义：直线l与平面α内的①________一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④________叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的⑤________所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作⑥________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
4．平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是⑦________，就说这两个平面互相垂直．
5．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?l⊥α
6.垂直关系中的两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
二、必明3个易误点
1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．
2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．
3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．
三、技法
1.
判定线面垂直的四种方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理.
2.
面面垂直的证明方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
[提醒]　两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”.
3.
对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.
参考答案
①任意　②a∩b＝O　③a⊥α　b⊥α　④锐角　⑤两个半平面　⑥垂直于棱　
⑦直二面角　⑧l⊥α　l?β　⑨α∩β＝a
第六节　空间向量及其运算
一、必记3个知识点
1．空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量
(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相①________
共面向量
平行于②________的向量
共线向
量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使③________
共面向
量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝④________
空间向量
基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝⑤________
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2.数量积及坐标运算
(1)两个向量的数量积：
(ⅰ)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(ⅱ)a⊥b＝⑥____________(a，b为非零向量)．
(ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝.
(2)向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝⑦____________
向量差
a－b＝⑧____________
数量积
a·b＝⑨____________
共线
a∥b?⑩____________(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b??____________
夹角公式
cos〈a，b〉＝?____________________
3.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l?________或?________，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的?________向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
二、必明4个易误点
1．共线向量定理中a∥b?存在λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0.
2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的．
3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．
4．利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时一定明确判定定理的条件，否则，会犯步骤不规范的错误．
三、技法
1.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.
2.
证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，①如证明A，B，C三点共线，即证明A，A共线，亦即证明A＝λ(λ≠0)；②A，B，C三点共线，对空间内任意一点O，有O＝(1－t)O＋t.
3.
证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明P＝x＋y或对空间任一点O，有O＝O＋x＋y或O＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可.
4.
空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
5．数量积的应用
(1)求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cos
θ＝，进而可求两异面直线所成的角．
(2)求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(3)解决垂直问题：利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
6.
用空间向量证平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．
(2)线面平行：
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．
(3)面面平行：证明两平面的法向量平行(即为共线向量)．
7．用空间向量证垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．
(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
参考答案
①平行或重合　②同一平面　③a＝λb　④xa＋yb　⑤xa＋yb＋zc　⑥a·b＝0　
⑦(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　⑧(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　⑨a1b1＋a2b2＋a3b3　
⑩a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　?　
?平行
?重合　?方向
第七节　立体几何中的向量方法
一、必记4个知识点
1．异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
a与b的夹角β
l1与l2所成的角θ
范围
[0，π]
①____________
求法
cos
β＝
cos
θ＝|cos
β|＝②____________
2.直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin
φ＝|cos
θ|＝③________________.
　
3．二面角的求法
(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
①
　②
　③
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos
θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
4．空间距离的求法
(1)利用||2＝·可以求空间中有向线段的长度．
(2)点面距离的求法．
已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝||·|cos〈，n〉|＝.
二、必明3个易误点
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为.
2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．
3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝；由图形知二面角是钝角时，cos
θ＝－.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
三、技法
1.
向量法求线面角的两大途径
(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[提醒]　在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量.
2.
利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
3.
探索性问题的求解策略
空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．
4.
对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
5.
对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
参考答案
①　②　③高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（七）：不等式
第一节　不等关系与不等式
一、必记4个知识点
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b?①________.
(2)a＝b?a－b＝0.
(3)a2．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b?③________.(双向性)
(2)传递性：a>b，b>c?④________.(单向性)
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.(双向性)
(4)同向可加性：a>b，c>d?⑤________.(单向性)
(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(6)a>b>0，c>d>0?⑥________.(单向性)
(7)乘方法则：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)．(单向性)
(8)开方法则：a>b>0?>(n∈N，n≥2)．(单向性)
3．倒数性质
(1)ab>0，则a.(双向性)
(2)a<0(3)a>b>0,0.
(4)04．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)
(2)>；<(b－m>0)
二、必明2个易误点
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b?ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．
三、技法
1.
用作差法比较两个实数大小的四步曲
2.
不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
3.
利用不等式性质求范围
(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．
(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.
参考答案
①a－b>0　②a－b<0　③bc　⑤a＋c>b＋d　⑥ac>bd
第二节　一元二次不等式及其解法
一、必记2个知识点
1．一元二次不等式的特征
一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0.
2．一元二次不等式的解法
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两不等实根
x1，x2，(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实根
ax2＋bx＋c
＞0(a＞0)
的解集
①____________
②____________
③____________
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
④____________
⑤____________
⑥____________
二、必明2个易误点
1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．
2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是?.
三、技法
1.
解一元二次不等式的4个步骤
2.
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.
3.
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
4.
形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路
(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；
(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.
5.
已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法．把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解.
参考答案
①{x|x＜x1或x＞x2}　②{x|x≠x1}　③R　④{x|x1＜x＜x2}　⑤?　⑥?
第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、必记6个知识点
1．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：
(1)满足Ax＋By＋C＝0的点．
(2)满足Ax＋By＋C>0的点．
(3)满足Ax＋By＋C<0的点．
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法
直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．
3．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
4.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
5．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．
(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
6．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
二、必明2个易误点
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
三、技法
1.
平面区域面积问题的解题思路
(1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.
2.
求目标函数的最值3步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．
3．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
[提醒]　注意转化的等价性及几何意义.
4.
解线性规划应用题3步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题．
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
5．求解线性规划应用题的3个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.
第四节　基本不等式
一、必记3个知识点
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：①________.
(2)等号成立的条件：当且仅当②________时取等号．
(3)两个平均数：称为正数a，b的③________，称为正数a，b的④________.
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤________(a，b∈R)．
(2)ab≤⑥________(a，b∈R)．
(3)2≤⑦________(a，b∈R)．
(4)＋≥⑧________(a·b＞0)．
(5)≤≤≤(a＞0，b＞0)．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当⑨________时，x＋y有最小值是⑩________(简记：“积定和最小”)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当?________时，xy有最大值是?________(简记：“和定积最大”)．
二、必明2个易误点
1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
三、技法
1.
配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；变形的目的是配凑出和或积为定值．
2.
常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，再把其变形为1，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
3.
消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.
4.
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.
5.
利用基本不等式求解含参数的不等式的策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.
参考答案
①a＞0，b＞0　②a＝b　③算术平均数　④几何平均数　⑤2ab　⑥2　⑦　⑧2　⑨x＝y　⑩2　?x＝y　?
第五节　合情推理与演绎推理
必记知识点
二、必明1个易误点
演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
技法
在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.
归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
运用三段论时的注意事项
用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
参考答案
①归纳推理　②全部对象　③部分　④个别
⑤类比推理　⑥这些特征　⑦由特殊到特殊
⑧一般原理　⑨对象　⑩特殊问题　?一般
?特殊
第六节　直接证明与间接证明
一、必记3个知识点
1．综合法
一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
―→―→―→…―→
2．分析法
一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
―→―→―→…―→
3．反证法
一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
二、必明2个易误点
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
三、技法
1.
利用分析法证明问题的思路
分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
2．分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.
4.
反证法证明问题的一般步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
参考答案
①已知条件和某些数学定义、公理、定理等　②推理论证　③证明的结论　④充分条件　
⑤原命题不成立　⑥矛盾　⑦假设错误
第七节　数学归纳法
一、必记3个知识点
1．归纳法
由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为②________归纳法和③________归纳法．
2．数学归纳法
数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：(1)当n取第1个值n0时命题成立；(2)假设当n＝k，(k∈N＋，且k≥n0)时，命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立．
3．数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值④________时，命题成立．
(2)(归纳递推)假设⑤________(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当⑥________时命题也成立．
只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
二、必明2个易误点
应用数学归纳法时应注意两点：
1．数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.
2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．
三、技法
1.
用数学归纳法证明恒等式应注意
　(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且必须用上假设.
2.
数学归纳法证明与n有关的不等式两种常见形式
一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
[注意]　用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有：(1)放缩法；(2)利用基本不等式；(3)作差比较法等.
3.“归纳—猜想—证明”的一般环节
参考答案
①一般结论　②完全　③不完全　④n＝n0　⑤n＝k　⑥n＝k＋1高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（一）
第一节　集合
一、必记3个知识点
1．元素与集合
(1)集合中元素的特性：①________、②________、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作③________，若b不属于A，记作④________.
(3)集合的表示方法：⑤________、⑥________、图示法．
(4)常见数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
⑦____
⑧____
⑨____
⑩____
?____
2.集合间的基本关系
(1)集合相等：若集合A与集合B中的所有元素?________，则称A与B相等．
(2)子集：若集合A中?________________________均为集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B或B?A，?________是任何集合的子集．
(3)真子集：若集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中?__________不是集合A中的元素，则称A是B的真子集.
(4)空集是任何集合的子集，是任何?________集合的真子集．
(5)含有n个元素的集合的子集个数为?________，真子集个数为?________，非空真子集个数为?________.
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形
表示
意义
?{x|______}
{x|______}
{x|________}
二、必明5个易误点
1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
2．要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含关系．
3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合元素的互异性，否则很可能会因为不满足互异性而导致解题错误．
三、技法
1.解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特性(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
(1)判断两集合关系的3种常用方法
(2)根据两集合的关系求参数的方法
2.思路
参考答案
①确定性　
②互异性　③a∈A　
④b?A　
⑤列举法
　⑥描述法　
⑦N　
⑧N
(或N＋)　⑨Z　⑩Q　?R　?都相同　?每一个元素　?空集　?至少有一个元素　?非空　?2n　?2n－1　?2n－2　?x∈A或x∈B　x∈A且x∈B
x∈U且x?A
第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
一、必记3个知识点
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中________的语句叫做真命题，________的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.
二、必明2个易误点
1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2．注意区别A是B的充分不必要条件(A?B且BA)与A的充分不必要条件是B(B?A且AB)两者的不同．
三、技法
1.求一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．
3．当不易直接判断一个命题的真假时，根据互为逆否命题的两个命题同真同假，可转化为判断其等价命题的真假.
4.
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断．
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
5.
根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意事项
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
参考答案
判断真假　②判断为真　③判断为假　④若q，则p　
⑤若非p，则非q　⑥若非q，则非p　⑦相同　⑧没有关系　
第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的____、____、____叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
____
____
假
真
假
____
真
____
假
真
假
____
____
假
假
假
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“?”表示；含有全称量词的命题叫做________.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“?”表示；含有存在量词的命题叫做________.
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
?x∈M，p(x)
________________________
?x0∈M，p(x0)
________________________
二、必明1个易误点
对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
三、技法
1．全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
命题
名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称
命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称
命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
3.
判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤
(1)判断复合命题的结构；
(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假；
(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可.
4.
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.
参考答案
①且　②或　③非　④真　⑤真　⑥假　⑦假　⑧真　⑨真　⑩假　?全称命题　?特称命题　??x0∈M，p(x0)　??x∈M，p(x)高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十四）
第一节　算法初步
一、必记6个知识点
1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的①______和②________的步骤．
2．程序框图又称③________，是一种用④________、⑤________及⑥________来表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤：⑦________带方向箭头，按照算法步骤的执行顺序将⑧________连接起来．
3．三种基本逻辑结构
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体
程序
框图
4．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
语句
一般模式
功能
输入语句
INPUT“提示内容”；变量
输入信息
输出语句
PRINT“提示内容”；表达式
输出常量、变量的值和系统信息
赋值语句
变量＝表达式
将表达式所代表的值赋给变量
5.条件语句
(1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应．
(2)条件语句的格式．
①IF－THEN模式
6．循环语句
(1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应．
(2)循环语句的格式．
二、必明6个易误点
1．注意起止框与输入框、输出框、判断框与处理框的区别．
2．注意条件结构与循环结构的联系．
3．要弄清楚三种基本逻辑结构的构成方式及功能，以免使用时造成混乱或错误．
4．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．
5．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．
6．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．
三、技法
1.
应用顺序结构与条件结构的注意点
(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.
2.
利用循环结构表示算法应注意的问题
(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．
(2)注意准确选择表示累计的变量．
(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．
3.
循环结构的考查类型及解题思路
(1)确定循环次数：分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．
(2)完善程序框图：结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)辨析循环结构的功能：执行程序若干次，即可判断.
4.
使用算法语句的注意点
(1)输入、输出语句
在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．
(2)赋值语句
左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．
(3)条件语句
条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．
(4)循环语句
分清WHILE—WEND和DO—LOOP
UNTIL的格式不能混用.
5.
解决算法的交汇性问题的方法
循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．
6.
基本算法语句应用中需注意的问题
(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A＝B和B＝A的含义及运行结果是不同的．
(2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值．
(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N＝N＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N的值加上1再赋给变量N，这样原来的值被“冲”掉．
参考答案
①明确　②有限　③流程图　④程序框
⑤流程线　⑥文字说明　⑦流程线　⑧程序框　⑨循环体
第二节　数系的扩充与复数的引入
一、必记7个知识点
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的①________和②________.若③________，则a＋bi为实数，若④________，则a＋bi为虚数，若⑤______________，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等：a＋bi＝c＋di?⑥____________(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?⑦________(a，b，c，d∈R)．
4．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．⑧________叫做实轴，⑨________________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；虚轴上的点都表示?________；各象限内的点都表示?________________.
复数集C和复平面内的?________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以?________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
5．复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝?
____________.
6．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝?____________.
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝?____________.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝?____________.
(4)除法：＝＝＝
?__________________(c＋di≠0)．
7．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明2个易误点
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
三、技法
1.
求解与复数概念相关问题的技巧
　复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.
2.
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
3.
复数几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.
参考答案
①实部　②虚部　③b＝0　④b≠0　⑤a＝0且b≠0　⑥a＝c且b＝d　⑦　
⑧x轴　⑨y轴除去原点　⑩实数　?纯虚数　?实部不为0的虚数　?点　?原点　
?　?(a＋c)＋(b＋d)i　?(a－c)＋(b－d)i　?(ac－bd)＋(ad＋bc)i
?高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（九）
第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
一、必记2个知识点
1．直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴①________与直线l②________之间所成的③__________α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线倾斜角α的取值范围是④____________.
(2)斜率的定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的⑤________叫做这条直线的斜率，常用k表示，即⑥________.倾斜角是90°的直线，斜率k不存在．
(3)斜率公式
当直线l经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l的斜率k＝⑦____________.
(4)直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为⑧____________，当直线的斜率k存在时，方向向量的坐标可记为⑨________.
2．直线方程的几种基本形式
名称
方程
适用范围
斜截式
⑩____________
不能表示垂直于x轴的直线
点斜式
?____________
不能表示垂直于x轴的直线
两点式
?____________
不能表示垂直于坐标轴的直线
截距式
?____________
不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线
一般式
?____________
能表示平面上任何直线
二、必明4个易误点
1．利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．
2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．
3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－.
三、技法
1.
斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率．(α≠90°)
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
2．斜率取值范围的三种求法
(1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定．
(2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求范围．
(3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.
3.
求直线方程的关注点
在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
4.
直线方程的综合应用
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
参考答案
①正向　②向上方向　③最小正角　④0°≤α＜180°　⑤正切值　⑥k＝tan
α　
⑦(其中x1≠x2)　⑧(x2－x1，y2－y1)　⑨(1，k)　⑩y＝kx＋b　?y－y0＝k(x－x0)　
?＝　?＋＝1　?Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
第二节　两条直线的位置关系与距离公式
一、必记3个知识点
1．平行与垂直
若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：
(1)直线l1∥l2的充要条件是①____________.
(2)直线l1⊥l2的充要条件是②____________.
若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．
若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.
2．两直线相交
(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
(2)相交?方程组有③________，交点坐标就是方程组的解．
(3)平行?方程组④________.
(4)重合?方程组有⑤________.
3．三种距离
(1)两点间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥
____________.
特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦________.
(2)点到直线的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧______.
(3)两条平行线的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨____________.
二、必明2个易误点
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
三、技法
1.
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
2.
处理距离问题的3种方法
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式．
(2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便．
(3)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
②利用两平行线间的距离公式．
提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等.
3.
中心对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于点对称：
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解．
(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．轴对称问题的2个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称：
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称：
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
参考答案
①k1＝k2且b1≠b2　②k1·k2＝－1
③唯一解　④无解　⑤无数个解
⑥　⑦　⑧　⑨
第三节　圆的方程
一、必记3个知识点
1．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．
2．圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．
3．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；
若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；
若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.
二、必明1个易误点
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．
三、技法
1.求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
3.
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关的代数式的最值的常见类型及解法．
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
参考答案
①(a，b)　②r　③
④
⑤　
⑥r2　⑦＞r2　⑧＜r2
第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、必记4个知识点
1．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：利用判别式
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r?④______；d＝r?⑤______；d＞r?⑥______.
2．圆的切线方程
若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为⑦____________.
3．直线与圆相交
直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝⑧____________，即l＝2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．
4．两圆位置关系的判断
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)的圆心距为d，则
(1)d＞r1＋r2?两圆⑨________；
(2)d＝r1＋r2?两圆⑩________；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)?两圆?________；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?两圆?________；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)?两圆?________.
二、必明2个易误点
1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．
2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
三、技法
1.
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
注：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
2.
求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法
几
何
法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代
数
法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
4.
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，
则|AB|＝2.
(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在).
5.
判断两圆位置关系的方程
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
6．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.
参考答案
①相交　②相切　③相离　④相交　⑤相切
⑥相离　⑦＋＝r2　⑧d2＋2　⑨外离　⑩外切　?相交　?内切　?内含高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（六）：数列
第一节　数列的概念与简单表示法
一、必记5个知识点
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照①________________排列的一列数
数列的项
数列中的②____________
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式③____________表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝④________________________叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点⑤____________画在平面直角坐标系中
公式法
通项
公式
把数列的通项使用⑥________表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
单调性
递增数列
?n∈N
，⑨____________
递减数列
?n∈N
，⑩____________
常数列
?n∈N
，an＋1＝an
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性
周期数列
?n∈N
，存在正整数常数k，an＋k＝an
5.常见数列的通项公式
①自然数列：(1,2,3,4，…)　an＝n；
②奇数列：(1,3,5,7，…)　an＝2n－1；
③偶数列：(2,4,6,8，…)　an＝2n；
④平方数列：(1,4,9,16，…)　an＝n2；
⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…)　an＝2n；
⑥倒数列：　an＝；
⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)
可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…)　an＝n(n＋1)；
⑧重复数串列：(9,99,999,9999，…)　an＝10n－1；
⑨(0.9,0.99,0.999,0.9999，…)　an＝1－10－n；
⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…)　an＝(－1)n.
二、必明2个易误点
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
三、技法
1.
由数列的前几项求数列通项公式的策略
(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等．
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.
2.
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写
3.
典型的递推数列及处理方法
递推式
方法
示例
an＋1＝an＋f(n)
累加法
a1＝1，an＋1＝an＋2n
an＋1＝anf(n)
累乘法
a1＝1，＝2n
an＋1＝Aan＋B
(A≠0,1，B≠0)
化为等
比数列
a1＝1，an＋1＝2an＋1
an＋1＝
化为等
差数列
a1＝1，an＋1＝
参考答案
①一定顺序　②每一个数　③an＝f(n)　④a1＋a2＋…＋an　⑤(n，an)　⑥公式　⑦S1　
⑧Sn－Sn－1　⑨an＋1>an　⑩an＋1第二节　等差数列及其前n项和
一、必记5个知识点
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于①____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的②________，一般用字母d表示；定义的表达式为：③______________(n∈N
)．
2．等差数列的通项公式
设等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝④________________.等差数列的通项公式是关于n的一次函数形的函数．
3．等差中项
若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝⑤________.
4．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝⑥____________，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝⑦________________.等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形的函数且无常数项．
5．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)am＝an＋(m－n)d或＝d.(m、n∈N
)
(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝⑧________，(p，q，m，n∈N
)．
(3)d＞0?{an}是递增数列，Sn有最小值；d＜0?{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0?{an}是常数数列．
(4)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为λd.
(5)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an±bn}仍为等差数列．
(6)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(7)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(8)S2n－1＝(2n－1)an.
(9)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
二、必明2个易误点
1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
三、技法
1.
等差数列的判定方法
(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，an－an－1＝d(常数)(n≥2)；第二种是利用等差中项法，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n项和公式直接判定．
(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可.
2.
应用等差数列的性质解题的三个注意点
(1)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N
)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am＋n＋am－n的值．
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，d＝，S2n－1＝(2n－1)an，Sn＝＝(n，m∈N
)等．
(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇：S偶＝n：(n－1).
3.
求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn＝a2－，求“二次函数”最值．
(2)邻项变号法
①当a1＞0，d＜0时，满足an?0，an+1?0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1＜0，d＞0时，满足an?0，an+1?0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
参考答案
同一个常数　②公差　③an＋1－an＝d　④a1＋(n－1)d　⑤　⑥　
⑦na1＋d　⑧2am
第三节　等比数列及其前n项和
一、必记6个知识点
1．等比数列及其相关概念
等比数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的①________的比都等于②____________
公比
等比数列定义中的③________叫做等比数列的公比，常用字母q(q≠0)表示
公式表示
{an}为等比数列?④____________(n∈N
，q为非零常数)
等比中项
如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时⑤________
2.等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为⑥________________(n∈N
)．
3．等比数列的前n项和公式
(1)当公比q＝1时，Sn＝⑦________.
(2)当公比q≠1时，Sn＝⑧____________＝⑨________.
4．项的性质
(1)an＝amqn－m.
(2)am－kam＋k＝a(m>k，m，k∈N
)．
(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N
)，则am·an＝⑩____________＝a.
(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
5．和的性质
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.
(2)若等比数列{an}共2k(k∈N
)项，则＝q.
(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，?____________仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，?____________不一定构成等比数列．
6．等比数列{an}的单调性
(1)满足或时，{an}是?________数列．
(2)满足或时，{an}是?________数列．
(3)当时，{an}为?________数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
二、必明2个易误点
1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.
2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
三、技法
1.
等比数列的基本运算方法
(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．
(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出这三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．
[注意]　等比数列求和要讨论q＝1和q≠1两种情况.
2.
等比数列的4种常用判定方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N
)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N
)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N
)，则数列{an}是等比数列
通项
公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N
)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
3.
掌握运用等比数列性质解题的2个技巧
(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：
①若{an}是等比数列，且an>0，则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．
②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
4．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶：S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q为公比).
参考答案
前一项　②同一个常数　③常数　④＝q⑤G2＝ab　⑥an＝a1qn－1　
⑦na1　⑧　⑨　⑩ap·aq　?S3n－S2n　?S3n－S2n　?递增　?递减　?常
第四节　数列求和
一、必记6个知识点
1．公式法求和
使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差等比数列的求和方法．
2．裂项相消法求和
把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．
3．错位相减法求和
(1)适用的数列：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．
(2)方法：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(
)，
则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(
)，
(
)－(
)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．
4．倒序相加法求和
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
5．分组求和法求和
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化求和法，分别求和而后相加减．例如已知an＝2n＋(2n－1)，求Sn.
6．并项求和法求和
把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解．例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
二、必明2个易误点
1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
三、技法
1.
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
[提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
2.
掌握解题“3步骤”
3．注意解题“3关键”
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
4．谨防解题“2失误”
(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和.
5.
常见的裂项方法(其中n为正整数)
数列
裂项方法
(k为非零常数)
＝
＝
＝(－)
a>0，a≠1
loga＝loga(n＋1)－logan高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十一）
第八节　曲线与方程
一、必记3个知识点
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是①____________.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是②______________.那么这个方程叫做③__________________，这条曲线叫做④______________.
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的⑤________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组⑥________，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的⑦________条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
二、必明2个易误点
1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
三、技法
1.
直接法求轨迹方程的方法
在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系.
2.
定义法求轨迹方程的解题策略
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
3.
代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将点P的坐标转移到点Q的方程中，整理可得点P的轨迹方程.
参考答案
①这个方程的解　②曲线上的点　③曲线的方程　④方程的曲线　⑤公共解　⑥无解　
⑦充要
第九节
圆锥曲线的综合问题
一、必记3个知识点
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝
·|y1－y2|
＝
·.
3．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
二、必明2个易误点
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
三、技法
1.直接与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点
(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．
(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.
3.
有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.
4.
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)用“点差法”求解．
(2)用“根与系数的关系”求解：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足.
5.
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
6.
圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②变量法：其解题流程为
7.
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.
8.
求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十三）
第一节　随机事件的概率
一、必记4个知识点
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________fn(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
3．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧____事件A(或称事件A包含于事件B)
⑨______(或A?B)
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的______(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当?____________且?______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥
A∩B＝?
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：?____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝?____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝?____________.
(4)互斥事件概率的加法公式．
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝?____________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝?____________.
二、必明3个易误点
1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．
三、技法
1.
互斥、对立事件的判别方法
(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．
(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.
2.
计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.
3.
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；
二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.
参考答案
①一定会发生　②一定不会发生　③可能发生也可能不发生　④fn(A)＝　
⑤频率　⑥常数　⑦常数　⑧包含　⑨B?A　⑩并事件
?事件A发生　
?事件B　?0≤P(A)≤1　?1　?0　?P(A)＋P(B)　?1－P(B)
第二节　古典概型
一、必记3个知识点
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是①________的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件③________.
(2)每个基本事件出现的可能性④________.
3．古典概型的概率公式
一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝⑤________.
二、必明2个易误点
1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．
2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝?时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．
三、技法
1.
基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.
2.
与平面几何有关概率的求法
(1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数．
(2)根据事件的几何特征求出其基本事件数．
(3)代入古典概型公式．
3．求较复杂事件的概率问题的方法
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.
4.
解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.
参考答案
①互斥　②基本事件　③有限　④相等　⑤
第三节　几何概型
一、必记2个知识点
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________(②________或③________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________.
2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝⑤
________________________________________________________________________.
二、必明2个易误点
1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
三、技法
1.
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
2.
与体积有关的几何概型
对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
3.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路
利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
4．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路
先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．
5．几何概型与定积分交汇问题的解题思路
先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.
参考答案
①长度　②面积　③体积　④几何概型
⑤
第四节　离散型随机变量及其分布列
一、必记3个知识点
1．离散型随机变量的分布列
如果随机试验的结果可以用一个①________来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做②____________.
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P＝(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的③________________________，简称为X的④__________.有时为了表达简单，也用等式⑤__________表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
，其中p＝⑥________称为成功概率．
(2)超几何分布列：
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝
(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝⑦____________，且⑧____________________，则称分布列为超几何分布列．
X
0
1
…
m
P
…
二、必明2个易误点
1．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
2．要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
三、技法
1.
离散型随机变量分布列
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
2.
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.
3.
随机变量是否服从超几何分布的判断
(1)若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：①该试验是不放回地抽取n个；②随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
(2)一般地，设有N件产品，其中次品和正品分别为M1件，M2件(M1，M2≤N)，从中任取n(n≤N)件产品，用X，Y分别表示取出的n件产品中次品和正品的件数，则随机变量X服从参数为N，M1，n的超几何分布，随机变量Y服从参数为N，M2，n的超几何分布．
4．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
参考答案
①变量　②离散型随机变量　③概率分布列
④分布列　⑤P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n　
⑥P(X＝1)　⑦min{M，n}　⑧n≤N，M≤N，n、M、N∈N
第五节　二项分布、正态分布及其应用
一、必记3个知识点
1．条件概率的定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝①________为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝②________＋P(C|A)．
3．相互独立事件的定义及性质
(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)＝③________，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
4．独立重复试验概率公式
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝④____________________________.
5．二项分布的定义
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝⑤____________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(N，p)，并称p为成功概率．
6．正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
7．正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b(a8．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
9．3σ原则
(1)P(μ－σ7；
(2)P(μ－2σ5；
(3)P(μ－3σ3.
二、必明2个易误点
1．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．
2．二项分布要注意确定成功概率．
三、技法
1.
条件概率的2种求法
(1)定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)．
(2)基本事件法
当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得
P(B|A)＝.
2.
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.
3.
独立重复实验与二项分布
⑴独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
⑵二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
参考答案
①　②P(B|A)　③P(A)P(B)
④P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)　⑤Cpk(1－p)n－k
第六节　离散型随机变量的均值与方差
一、必记6个知识点
1．离散型随机变量X的分布列
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
2.离散型随机变量X的均值与方差
均值(数学期望)
方差
计算
公式
E(X)＝①___________________________
D(X)＝②____________________________
作用
反映了离散型随机变量取值的③________________
刻画了随机变量X与其均值E(X)的④________
标准
差
方差的算术平方根为随机变量X的标准差
3.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝⑤____________________(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝⑥____________________(a，b为常数)．
4．两点分布的均值与方差
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝⑦________.
5．二项分布的均值与方差
若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝⑧________，D(X)＝⑨________.
6．两个常用结论
(1)均值与方差的关系
D(X)＝E(X2)－E2(X)．
(2)超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
二、必明2个易误点
1．两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必要条件．
2．在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实际问题是何种类型的分布是解题的关键．
三、技法
1.
求离散型随机变量均值的方法步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
(2)求ξ取每个值的概率；
(3)写出ξ的分布列；
(4)由均值的定义求E(ξ).
2.
解决二项分布的分布列问题一般遵循以下三个步骤
第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：①对立性：一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布．
第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少．
第三步，根据二项分布的分布列P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)列出相应的分布列.
3.
均值与方差的实际应用
利用随机变量的期望与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的期望的意义在于描述随机变量的平均水平，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关．
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的期望，当E(X1)＝E(X2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，稳定者就更好．
(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近．
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差确定哪一个更好．若E(X1)与E(X2)比较接近，且期望较大者(此时期望表示较好的方面，如利润、产量)的方差较小，显然该变量更好；若E(X1)与E(X2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定的.
参考答案
①x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
②(xi－E(X))2pi　③平均水平
④平均偏离程度　⑤aE(X)＋b　⑥a2D(X)
⑦p(1－p)　⑧np　⑨np(1－p)高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十五）
第一节　随机抽样
一、必记3个知识点
1．简单随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个①________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会②________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——③________法和④______________法．
(3)一般地，抽签法就是总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，⑤______________后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
(4)随机数表法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
(5)简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的．
2．系统抽样
(1)一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
(ⅰ)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；
(ⅱ)确定分段间隔k，对编号进行分段．当(n是样本容量)是整数时，取k＝⑥________；
(ⅲ)在第1段用⑦________确定第一个个体编号l(l≤k)；
(ⅳ)按照一定的规则抽取样本．通常是将l⑧________得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号⑨________，依次进行下去，直到获取整个样本．
(2)当总体中元素个数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中元素个数较多时，常采用⑩________.
3．分层抽样
(1)分层抽样的概念：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)当总体是由?________的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
(3)分层抽样时，每个个体被抽到的机会是?________的．
二、必明2个易误点
1．认清简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者间的区别与联系，是正确选择抽样方法的前提．
2．在系统抽样中，应先确定分段间隔，然后再确定入样个体编号间的关系．
三、技法
1.
解决简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
2.
系统抽样应注意的问题
⑴系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
⑵系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行.
参考答案
①不放回　②都相等　③抽签　④随机数表　⑤搅拌均匀　⑥　⑦简单随机抽样　
⑧加上间隔k　⑨(l＋2k)　⑩系统抽样　?差异明显　?均等
第二节　用样本估计总体
一、必记3个知识点
1．频率分布直方图
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①________估计总体的分布．另一种是用样本的②________估计总体的数字特征．
(2)在频率分布直方图中，纵轴表示③________，数据落在各小组内的频率用各小长方形的④________表示．各小长方形的面积总和⑤________.
(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着⑥________的增加，作图时所分的⑦________增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为⑧________________，它能够更加精细地反映出总体在各个范围内取值的⑨________.
(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．
2．众数，中位数，平均数
(1)众数：在一组数据中，出现次数⑩________的数据叫做这组数据的众数．
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在?________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的?________.
(3)平均数：样本数据的算术平均数．即＝?__________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该?________.
3．样本方差，标准差
标准差
s＝
，
其中xn是样本数据的第n项，n是样本容量，是?________.标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量?________总体容量时，样本方差越接近总体方差．
二、必明1个易误点
不要把直方图错认为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，连续随机变量在某一点上是没有频率的．
三、技法
1.
众数、中位数、平均数及方差的意义及计算公式
(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数描述数据集中趋势，方差和标准差描述波动的大小．
(2)平均数、方差的公式推广．
①若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
(ⅰ)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
(ⅱ)数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
(3)方差的简化计算公式．
s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.
　
2.
茎叶图的应用
(1)茎叶图中的“茎”上的数字代表十位上的数字，“叶”上的数字代表个位上的数字(若没有则表示该数据不存在)；
(2)解题时，可把茎叶图中的数字按大小顺序转化为总体的个体数字再求解.
3.
绘制频率分布直方图时的2个注意点
(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．
(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．
4．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式
(1)×组距＝频率．
(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数.
参考答案
①频率分布　②数字特征　③　④面积
⑤等于1　⑥样本容量　⑦组数　⑧总体密度曲线　⑨百分比　⑩最多　?最中间
?中位数　?(x1＋x2＋…＋xn)　?相等
?平均数　?接近
第三节　变量间的相关关系与统计案例
一、必记4个知识点
1．两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在①__________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数．
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中②____________称为样本点的中心．
(3)相关系数
当r＞0时，表明两个变量③________________；
当r＜0时，表明两个变量④________________.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性⑤________.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于⑥________时，认为两个变量有很强的线性相关性．
4．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
二、必明4个易误点
1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
2．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
3．r的大小只说明是否相关，并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据，必须将二者区分开来．
4．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2＜2.706应判断为没有充分依据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来作出判断．
三、技法
1.
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)线性回归方程中：＞0时，正相关；＜0时，负相关.
2.
求线性回归方程的基本步骤
(1)先把数据制成表，从表中计算出、，x＋x＋…＋x、x1y1＋x2y2＋…＋xnyn的值．
(2)计算回归系数，.
(3)写出线性回归方程＝x＋.
注：回归方程一定过点(，).
3.
解独立性检验的应用问题的关注点
(1)两个明确：
①明确两类主体；
②明确研究的两个问题．
(2)两个关键：
①准确画出2×2列联表；
②准确理解K2.
提醒：准确计算K2的值是正确判断的前提.
参考答案
①一条直线　②(，)　③正相关　④负相关　⑤越强　⑥0.75考数学考前30天回归课本知识技法精细过（五）
第一节　平面向量的概念及其线性运算
一、必记3个知识点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有①________又有②________的量；向量的大小叫做向量的③________(或④________)
平面向量是自由向量
零向量
长度为⑤________的向量；其方向是任意的
记作⑥________
单位向量
长度等于⑦________的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向⑧__________或⑨________的非零向量
共线向量
________________的向量又叫做共线向量
0与任一向量
?________或共线
相等向量
长度?________且方向?________的向量
相反向量
长度?________且方向?________的向量
0的相反向量为0
2.向量的表示方法
(1)字母表示法：如a，等．
(2)几何表示法：用一条?____________表示向量．
3．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
?____________法则
?______________法则
(1)交换律：
a＋b＝?____________.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝?________________.
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
____________法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝________.
(2)当λ＞0时，λa与a的方向______；当λ＜0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________
λ(μa)＝______________；
(λ＋μ)a＝________________；
λ(a＋b)＝________________.
二、必明3个易误点
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点．
2．在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
三、技法
1.
向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0.
(5)相等向量：方向相同且长度相等.
2.
平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
3．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求.
4.
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]　证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.
参考答案
大小　②方向　③模　④长度　⑤零　⑥0　⑦1个单位长度　⑧相同　⑨相反　
⑩方向相同或相反　?平行　?相等　?相同　?相等　?相反　?有向线段　
?三角形　?平行四边形　?b＋a　?a＋(b＋c)　三角形　|λ||a|　相同　相反　0　λμa　λa＋μa　λa＋λb
第二节　平面向量基本定理及坐标表示
一、必记3个知识点
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个①____________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝②____________.
我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组③____________.
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴④____________的两个单位⑤____________i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝⑥____________，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作⑦____________，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其⑧________相同，⑨________相同的向量是相等向量．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝________________，||＝?
____________________.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝?____________，a－b＝?______________，λa＝?________________，a∥b(b≠0)的充要条件是?________________.
(3)非零向量a＝(x，y)的单位向量为?________________或?________________.
(4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b??__________.
二、必明3个易误点
1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．
2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
三、技法
1.
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.
3.
利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.
4.
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线.
参考答案
①不共线　②＋　③基底　④同向　⑤向量　⑥xi＋yj　⑦a＝(x，y)　⑧坐标　
⑨坐标　⑩(－，－)　?　?(＋，＋)　?(－，－)　?(λ，λ)　?－＝0　?±　
?±
(x，y)　?＝且＝
第三节　平面向量的数量积与应用举例
一、必记4个知识点
1．平面向量的数量积的定义
(1)已知两个①____________a、b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的②________.
很显然，当且仅当两非零向量a、b同方向时，θ＝③________，当且仅当a、b反方向时，θ＝④________，特别地，0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题．
(2)如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作⑤________.
(3)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cos
θ叫做a与b的数量积．记作a·b，即a·b＝⑥________________.
规定0·a＝0.
当a⊥b时，θ＝90°，这时⑦________＝0.
(4)a·b的几何意义
a·b等于a的长度与b在a的方向上的⑧____________.
2．向量数量积的性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝⑨____________.
(2)a⊥b?⑩________且a·b＝0??____________.(a，b为非零向量)
(3)a·a＝?________，|a|＝?
____________.
(4)cos〈a，b〉＝?________________.
(5)|a·b|?________|a||b|.
3．数量积的运算律
(1)交换律a·b＝?________.
(2)分配律(a＋b)·c＝?________________.
(3)对λ∈R，λ(a·b)＝?________________＝?________________.
4．数量积的坐标运算
设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则
(1)a·b＝?________________.
(2)a⊥b?________________.
(3)|a|＝____________.
(4)cos〈a，b〉＝____________________.
二、必明2个易误点
1．若a，b，c是实数，则ab＝ac?b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．
三、技法
1.
平面向量数量积应用的技巧
⑴．求两向量的夹角，cos
θ＝，要注意θ∈[0，π]．
⑵．两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
⑶．求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算．
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
2.
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等.
参考答案
非零向量　②夹角　③0°　④180°　⑤a⊥b　⑥|a|·|b|·cos
θ　⑦a·b　⑧投影的乘积　
⑨|a|cos〈a，e〉　⑩a·b＝0　?a⊥b　?|a|2　?　?　?≤　?b·a　?a·c＋b·c　?(λa)·b　?a·(λb)　?　＝0　
　高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（四）
第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
一、必记4个知识点
1．角的分类
(1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________.
(2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角．
(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示，即
β＝⑤________________.
2．象限角
第一象限角的集合
⑥________________________
第二象限角的集合
⑦________________________
第三象限角的集合
⑧________________________
第四象限角的集合
⑨________________________
3.角的度量
(1)弧度制：把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(2)角的度量制有：?________制，?________制．
(3)换算关系：1°＝?________rad,1
rad＝?________.
(4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为?________，扇形面积公式为?________________________.
4．任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
?________叫做α的正弦，记作sin
α
?________叫做α的余弦，记作cos
α
?________叫做α的正切，记作tan
α
各象限符号
Ⅰ
?________
________
________
Ⅱ
________
________
________
Ⅲ
________
________
________
Ⅳ
________
________
________
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函
数线
有向线段________为正弦线
有向线段________为余弦线
有向线段________为正切线
二、必明3个易误点
1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．利用180°＝π
rad进行互化时，易出现度量单位的混用．
3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
三、技法
1.终边在某直线上角的求法4步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定kα，(k∈N
)的终边位置3步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；
(2)再写出kα或的范围；
(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.
3.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
4.
三角函数定义应用策略
(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．
(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．
(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值．
(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
5．三角函数值符号的记忆口诀
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
6．三角函数线的两个主要应用
(1)三角式比较大小．
(2)解三角不等式(方程).
参考答案
①正角　②负角　③零角　④象限角　⑤k·360°＋α(k∈Z)　⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z}　⑦{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z}　⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}　
⑨{α|2kπ＋＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}　⑩半径　?角度　?弧度　?　?°　
?l＝|α|r　?S＝lr＝|α|r2　?y　?x　?　?正　正　正　正　负　负　
负　负　正　负　正　负　MP　OM　AT
第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、必记3个知识点
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：①________________.
(2)商数关系：②________________.
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
③______
④______
⑤______
⑥______
⑦______
余弦
cos
α
⑧______
⑨______
⑩______
?______
?______
正切
tan
α
?______
?______
?______
3.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的
弧度数
0
π
sin
α
?___
?____
?____
1
?____
?____
0
cos
α
___
____
____
0
____
____
－1
tan
α
___
____
1
____
____
____
0
二、必明2个易误点
1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
三、技法
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值.
3.
同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.
4.
已知角α的正切值，求由sin
α和cos
α构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式．
(1)形如的分式，可将分子、分母同时除以cos
α；形如的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．
(2)形如asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的分式求解.
5.
在同角三角函数的基本关系中，sin2α＋cos2α＝1可变换成(sin
α＋cos
α)2－2sin
αcos
α＝1，其中sin
α＋cos
α与sin
α·cos
α很容易与一元二次方程的根与系数的关系产生联系．若以sin
α，cos
α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．如本题中，易知sin
θ，cos
θ是关于x的方程x2－x－＝0的两个实数根，解方程可求出sin
θ和cos
θ.
6.
同角三角函数式化简过程中常用的方法：
(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)去根号达到化简的目的；
(2)化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的；
(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的.
参考答案
①sin2α＋cos2α＝1　②tan
α＝　③－sin
α　④－sin
α　⑤sin
α　⑥cos
α　
⑦cos
α　⑧－cos
α　⑨cos
α　⑩－cos
α　?sin
α　?－sin
α
?tan
α　
?－tan
α　?－tan
α　?0　??　?　?　1　　　
－　－　0　　
－　－
第三节　三角函数的图象与性质
一、必记2个知识点
1．周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②________________叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③________________，那么这个④________________就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图
象
定义
域
x∈R
x∈R
{x|x∈R且x≠
＋kπ，k∈Z}
值域
⑤____________
⑥____________
⑦__________
单调
性
⑧______________上递增，k∈Z；
⑨______________上递减，k∈Z
⑩______________上递增，k∈Z；
?______________上递减，k∈Z
?____________上递增，k∈Z
最
值
x＝
?__________时，ymax＝1(k∈Z)；
x＝?__________时，ymin＝－1(k∈Z)
x＝?________时，
ymax＝1(k∈Z)；
x＝?________时，ymin＝－1(k∈Z)
无最值
奇偶性
?________
?________
?________
对称
性
对称中心：
?______________
对称中心：
____________
对称中心：
__________
对称轴l：
______________
对称轴l：
____________
无
周期性
____________
____________
____________
二、必明2个易误点
1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．
三、技法
1.
求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.
2.
三角函数最值或值域的三种求法
(1)直接法：利用sin
x，cos
x的值域．
(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.
3.奇偶性与周期性的判断方法
(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asin
ωx和y＝Acos
ωx分别为奇函数和偶函数．
(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解．
4．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.
参考答案
①f(x＋T)＝f(x)　②T　③最小正数　④最小正数　⑤{y|－1≤y≤1}　⑥{y|－1≤y≤1}　⑦R　⑧
⑨　⑩[(2k－1)π，2kπ]
?[2kπ，(2k＋1)π]　?
?＋2kπ　?－＋2kπ　?2kπ　
?π＋2kπ　?奇函数　?偶函数　?奇函数　?(kπ，0)，k∈Z　，k∈Z　
，k∈Z　x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z　2π　2π　π
第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用
一、必记3个知识点
1．函数y＝sin
x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．
x
－
ωx＋φ
⑦____
⑧____
⑨____
____
?____
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表
示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝?____
f＝?______
＝?______
ωx＋φ
φ
二、必明3个易误点
1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
3．由y＝Asin
ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
三、技法
1.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变
换法
由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[提醒]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值.
2.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
3.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)具有周期性，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin
t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：
利用y＝sin
x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得对称中心坐标．
利用y＝sin
x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴方程.
参考答案
①|φ|　②　③　④　⑤A　⑥A　⑦0　⑧　⑨π　⑩　?2π　?
?　?
第五节　三角恒等变换
一、必记3个知识点
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和
的余弦
cos(α＋β)
＝①________________
C(α＋β)
α，β∈R
两角差
的余弦
cos(α－β)
＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C(α－β)
两角和
的正弦
sin(α＋β)
＝②____________
S(α＋β)
α，β∈R
两角差
的正弦
sin(α－β)
＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
S(α－β)
两角和
的正切
tan(α＋β)
＝③______________
T(α＋β)
α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z)
两角差
的正切
tan(α－β)
＝④______________
T(α－β)
α，β，α－β≠＋kπ(k∈Z)
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin
2α＝⑤____________
C2α
cos
2α＝⑥____________
T2α
tan
2α＝⑦____________
3.与二倍角有关的公式变形
(1)2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝sin
2α，cos
α＝，cos2α－sin2α＝cos
2α，＝tan
2α.
(2)1±sin
2α＝sin2α＋cos2α±2sin
αcos
α＝(sin
α±cos
α)2.
(3)降幂公式：
cos2α＝⑧________________.
sin2α＝⑨________________.
二、必明2个易误点
1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．
2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解．
三、技法
1.
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
2.
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用
3.
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角变换技巧：
α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]；
＋α＝－.
(4)特殊角的拆分：＝＋，＝＋，＝－.
4.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“考点一”第2题.
5.
三角函数求值的3类求法
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
6.
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式．
(2)利用公式T＝(ω＞0)求周期．
(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间.
特别注意：常见方法与技巧：
1．巧用公式变形：
和差角公式变形：tan
x±tan
y＝tan(x±y)·(1?tan
x·tan
y)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝，
配方变形：1±sin
α＝2，
1＋cos
α＝2cos2
，1－cos
α＝2sin2.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
失误与防范：
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．
参考答案
①cos
αcos
β－sin
αsin
β　②sin
αcos
β＋cos
αsin
β　③　④
⑤2sin
αcos
α　⑥cos2α－sin2α　⑦　⑧　⑨
第六节　正弦定理和余弦定理
一、必记3个知识点
1．正弦定理
①____________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)abc＝②______________________；(2)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，③________；(3)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝④________等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理
a2＝⑤________________，b2＝⑥____________________，c2＝⑦________________________.余弦定理可以变形为：cos
A＝⑧________________，cos
B＝⑨____________________，cos
C＝⑩________________.
3．三角形面积公式
S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
二、必明2个易误点
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
三、技法
1.解三角形
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
2.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧
技巧
解读
边化角
将表达式中的边利用公式a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C化为角的关系．
角化边
将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化．
和积互化
a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos
A)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边
3.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法
(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
4.
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.
参考答案
①＝＝＝2R　②sin
A
B
C　③c＝2Rsin
C　④　
⑤b2＋c2－2bccos
A　⑥a2＋c2－2accos
B　⑦a2＋b2－2abcos
C　
⑧　⑨
⑩
第七节　解三角形应用举例
一、必记5个知识点
1．仰角和俯角
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线①________时叫仰角，目标视线在水平视线②________时叫俯角．(如图所示)
2．方位角
一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指③__________________，即东北方向．
3．方向角
相对于某一正方向的角(如图)
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．
(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°
.
(3)其他方向角类似．
4．坡角
坡面与④________的夹角．(如图所示)
5．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan
α(i为坡比，α为坡角)．
二、必明1个易误点
　易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
三、技法
1.
测量问题中距离问题的解法
(1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题．
(2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解.
2.
求解高度问题应注意的3个问题
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
3.
求解角度问题应注意
(1)明确方位角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.
4.
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
参考答案
①上方　②下方　③北偏东45°　④水平面高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十）
第五节　椭圆
一、必记3个知识点
1．椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
椭圆
①________为椭圆的焦点
|MF1|＋|MF2|＝2a
(2a＞|F1F2|)
②________为椭圆的焦距
2.椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：③________
对称中心：④________
顶点
A1⑤_____，A2⑥_____
B1⑦_____，B2⑧_____
A1⑨_____，A2⑩_____
B1?_____，B2?_____
性
质
轴
长轴A1A2的长为?________
短轴B1B2的长为?________
焦距
|F1F2|＝?________
离心率
e＝∈?________
a，b，c
的关系
?________
3.椭圆中的4个常用结论
(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.
二、必明3个易误点
1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．
2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1(a>b>0)．
3．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
三、技法
1.
求椭圆标准方程的2种常用方法　
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系
数法　
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)
2.
求椭圆离心率的三种方法
(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3.
求解最值、取值范围问题的技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.
4.
判断直线与椭圆位置关系的四个步骤
第一步：确定直线与椭圆的方程．
第二步：联立直线方程与椭圆方程．
第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．
第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．
5．直线被椭圆截得的弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝
(k为直线斜率).
参考答案
①F1，F2　②|F1F2|　③x轴，y轴　④坐标原点　⑤(－a,0)　⑥(a,0)　⑦(0，－b)　⑧(0，b)　⑨(0，－a)　⑩(0，a)　?(－b,0)　?(b,0)　?2a　?2b　?2c　?(0,1)　?c2＝a2－b2
第六节　双曲线
一、必记3个知识点
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；
(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；
(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性
质
范围
⑦________　y∈R
⑧________　x∈R
对称性
对称轴：⑨________
对称中心：⑩________
对称轴：?________
对称中心：?________
顶点
顶点坐标：A1?______，
A2?________
顶点坐标：A1?______，
A2?________
渐近线
?____________
?____________
离心率
e＝?________，e∈(1，＋∞)其中c＝?________
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝________；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝________；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c关系
c2＝________(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.双曲线中的4个常用结论
(1)双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e＝?双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±.
(3)渐近线与离心率．
－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝.
(4)若P为双曲线上一点，F为其对应焦点，则|PF|≥c－a.
二、必明4个易误点
1．双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a>|F1F2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a>0，b>0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a>b>0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b>0，则双曲线的离心率e＝；
若0.
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
三、技法
1.
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[注意]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.
2.
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：
－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
3.
求双曲线离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
4．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程为：
±＝0.
参考答案
①之差的绝对值　
②焦点　③焦距
④2a<|F1F2|　⑤2a＝|F1F2|
⑥2a>|F1F2|　
⑦x≥a或x≤－a
⑧y≥a或y≤－a　⑨x轴，y轴　⑩坐标原点
?x轴，y轴　
?坐标原点　?(－a,0)
?(a,0)　?(0，－a)　?(0，a)　?y＝±x
?y＝±x　
?　?
　2a　2b　a2＋b2
第七节　抛物线
一、必记2个知识点
1．抛物线定义、标准方程及几何性质
定义(几
何条件)
平面上，到定直线与到该定直线外一定点的距离①________的点的轨迹叫做抛物线
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
②________
________
③________
________
④________
________
图形
对称轴
x轴
⑤________
y轴
⑥________
顶点坐标
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
O(0,0)
焦点坐标
F(，0)
⑦________
⑧________
⑨________
离心率e
e＝1
e＝1
⑩________
e＝1
准线方程
?________
x＝
y＝
?________
焦半径
公式
|PF|＝
x0＋
|PF|＝
－x0＋
?|PF|＝
________
?|PF|＝
________
范围
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
?________
x∈R
?________
x∈R
2.抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.
二、必明2个易误点
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
三、技法
1.
应用抛物线定义的2个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
2.
求抛物线的标准方程的方法
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
3．确定及应用抛物线性质的技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
4.
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
参考答案
①相等　②y2＝－2px(p＞0)　③x2＝－2py(p＞0)　④x2＝2py(p＞0)　⑤x轴　⑥y轴
⑦F(－，0)　⑧F(0，－)　⑨F(0，)
⑩e＝1　?x＝－　?y＝－　?－y0＋　
?y0＋　?y≤0　?y≥0高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（十二）
第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、必记3个知识点
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝①____________________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝②____________________种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系
分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及③____________________的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与④________有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与⑤________有关，各个步骤⑥________，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
二、必明2个易误点
1．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
三、技法
1.分类加法计数原理的实质
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．使用分类加法计数原理遵循的原则
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.
3.
分步乘法计数原理的实质
分类乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事．
4．使用分步乘法计数原理的原则
(1)明确题目中的“完成这件事”
是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.
5.两个注意：
(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，在分步时可能又用到分类加法计数原理．
(2)注意对较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
6.
解决涂色问题的要点
(1)要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色.
参考答案
①m1＋m2＋…＋mn　②m1×m2×…×mn　③完成一件事情　④分类　⑤分步　⑥相互依存
第二节　排列与组合
一、必记2个知识点
1．排列与排列数
(1)排列的定义：一般地，从n个①________元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的②________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的③____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A.
(3)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝④____________.
A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝⑤__________，规定0！＝1.
2．组合与组合数
(1)组合的定义：一般地，从n个⑥________的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个⑦________元素中取出m(m≤n)个元素的⑧__________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3)组合数公式
C＝⑨____________＝⑩__________________________＝?__________________.
(4)组合数的性质
性质1：C＝?____________.
性质2：C＝?____________(m≤n，n∈N
，m∈N
)．
二、必明3个易误点
1．要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数．
2．解受条件限制的组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现遗漏或重复．
3．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
三、技法
1.
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化的方法
2.
两类含有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直解法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解.
3.
解排列组合问题要遵循两个原则：
一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
参考答案
①不同　②顺序　③所有不同排列
④　⑤n！　⑥不同　⑦不同　
⑧所有不同组合　⑨　⑩　?
?　?C＋C
第三节　二项式定理
一、必记3个知识点
1．二项式定理
(a＋b)n＝①______________________________________.
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做②________________________.式中的Can－rbr叫做二项展开式的③________，用Tr＋1表示，即展开式的第④________项；Tr＋1＝⑤____________.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为⑥________.
(3)字母a按⑦________排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按⑧________排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从⑨______________，C，一直到C，⑩____________.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端?________的两个二项式系数相等，即C＝C.
(2)增减性与最大值：二项式系数C，当?________时，二项式系数是递增的；当?________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项?________取得最大值．
当n是奇数时，中间两项?________和?________相等，且同时取得最大值．
(3)二项式系数的和：
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即?__________________________________________＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝?________.
二、必明3个易误点
1．要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来．
2．应用通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错．
3．通项公式是第r＋1项而不是第r项．
三、技法
1.
求展开式中的指定项或特定项
解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
2.
二项式系数或项系数的和问题涉及的两个方法
⑴
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
⑵若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
3.
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果.
4.
利用二项式定理解决整除问题时，基本思路：
要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理.
参考答案
①Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N
)　②二项式系数　③通项　
④r＋1　⑤Can－rbr　⑥n　⑦降幂　⑧升幂　⑨C　⑩C　?“等距离”　?k＜　
?k＞　?Cn　?Cn　?Cn
?C＋C＋C＋…＋C＋…＋C　?2n－1高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（三）
第一节　变化率与导数、导数的计算
一、必记5个知识点
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：＝①________________.
(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：
＝②________________.
2．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______________，记作或f′(x0)，即f′(x0)＝
.
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④________________.
3．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤____________________________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________.
4．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝⑦________(C为常数)．
(2)(xn)′＝⑧________(n∈Q
)．
(3)(sin
x)′＝⑨________，(cos
x)′＝⑩________.
(4)(ex)′＝?________，(ax)′＝?________.
(5)(ln
x)′＝?________，(logax)′＝?________.
5．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝?____________________.
(2)[f(x)·g(x)]′＝?____________________.
(3)′＝(g(x)≠0)．
二、必明3个易误点
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
三、技法
1.
　
[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.
2.
导数几何意义的应用及解决
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
(4)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．
[提醒]　当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点.
3.
利用导数求函数的单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间.
4.
利用导数求函数的单调区间的方法
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根．
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
5.
已知函数单调性，求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．
[提醒]　f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
6.
利用导数研究函数极值问题的一般流程
7．已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[注意]　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.
8.
求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值；可列表完成；
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
9.
10.
不等式恒成立问题的求解策略
(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法．
(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解.
11.
判断函数零点个数的3种方法
直接法
令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数
画图法
转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数
定理法
利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决
参考答案
①　②
　③瞬时变化率　④
　
⑤曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率　
⑥y－y0＝f′(x0)(x－x0)　
⑦0　⑧nxn－1　⑨cos
x　⑩－sin
x　?ex　?axln
a　?　?　?f′(x)±g′(x)　
?f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
第二节　导数在研究函数中的应用
一、必记3个知识点
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内①____________.
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内②____________.
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内③____________.
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值④________，而且在x＝a附近的左侧⑤________，右侧⑥________，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值⑦__________，左侧⑧________；右侧⑨________，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
3．函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
(ⅰ)求函数y＝f(x)在(a，b)内的?________.
(ⅱ)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、必明2个易误点
1．求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数一定为0，但是导数为0的点不一定是极值点．
2．易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
参考答案
①单调递增　②单调递减　③不具备单调性　④都小　⑤f′(x)＜0　⑥f′(x)＞0　
⑦都大　⑧f′(x)＞0　⑨f′(x)＜0　⑩连续不断　?极值
第三节　定积分与微积分基本定理
一、必记6个知识点
1．定积分的定义及相关概念
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx.
在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间①________叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做②________，③________叫做被积式．
2．定积分的几何意义
f(x)
f(x)dx的几何意义
f(x)≥0
表示由直线④________，⑤________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
f(x)＜0
表示由直线⑥________，⑦________，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]
上有正有负
表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积
3.定积分的性质
(1)kf(x)dx＝⑧________(k为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝⑨________.
(3)________＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝?________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式．
5．定积分与曲线梯形面积的关系
(1)
　　
(2)
(3)
　　
(4)
设阴影部分的面积为S.
(1)S＝f(x)dx.
(2)S＝?________.
(3)S＝?________.
(4)S＝f(x)dx－g(x)dx＝[f(x)－g(x)]dx.
6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系
(1)s＝?________；(2)W＝?________.
二、必明4个易误点
1．被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分．
2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．
3．定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．
三、技法
1.
求定积分的4大常用方法
2.
利用定积分求平面图形面积的4步骤
(1)根据题意画出图形．
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．
(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．
(4)计算定积分，写出答案.
3.
定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.
参考答案
①[a，b]　②积分变量　③f(x)dx　④x＝a
⑤x＝b　⑥x＝a　⑦x＝b　⑧kf(x)dx　
⑨f1(x)dx±f2(x)dx　⑩f(x)dx　?F(b)－F(a)　?－f(x)dx
?f(x)dx－f(x)dx　
?v(t)dt　?F(x)dx

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