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1055370010947400应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题
根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．
[典例]　已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
[思路点拨]
本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．
[方法演示]
法一　单调性法：利用函数的单调性求解
由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈，f′(x)<0；x∈，＋∞，f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和，＋∞上单调递增，在0，上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．
当a<0时，x∈－∞，，f′(x)<0；x∈，0，f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在－∞，和(0，＋∞)上单调递减，在，0上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x0且x0>0，只需f>0，即a2>4，解得a<－2.
法二　数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解

由ax3－3x2＋1＝0可知x≠0，可得ax＝3－，作出y＝3－的图象如图所示，转动直线y＝ax，显然a>0时不成立；当a<0，直线y＝ax与左边的曲线相切时，设切点为t,3－，其中t<0，则切线方程为y－3－＝(x－t)．又切线过原点，则有0－3－＝(0－t)，解得t＝－1(t＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a<－2符合题意．
法三　数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解
令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3的图象与h(x)＝3x2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．
当a＝0时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个的交点；
当a>0时，如图(1)所示，不合题意；
当a<0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3与h(x)＝3x2－1的图象有公切线时a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图形可知当a<－2时，满足题意．
　　　
法四　分离参数法：参变分离，演绎高效
易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝－，记g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单

调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.
法五　特例法：巧取特例求解
取a＝3，则f(x)＝3x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f(－1)<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除A、C.
取a＝－，则f(x)＝－x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除D，故选B.
[答案]　B
[解题师说]
函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．
由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”.
第一招 带参讨论
当我们无法通过等价转化的思想将原问题转化为相对容易的问题时，我们要根据题设要求直接研究函数的性质．由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类，并逐一求解．(如本题解法一)
第二招 数形结合
由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．(如本题解法二和解法三)
第三招 分离参数
通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x轴平行的直线y＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．(如本题解法四)

[应用体验]
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－ B.
C. D．1
解析：选C　法一：由函数f(x)有零点，得x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，
即(x－1)2－1＋a(ex－1＋e－x＋1)＝0有解，
令t＝x－1，则上式可化为t2－1＋a(et＋e－t)＝0，
即a＝.
令h(t)＝，易得h(t)为偶函数，
又由f(x)有唯一零点得函数h(t)的图象与直线y＝a有唯一交点，则此交点的横坐标为0，
所以a＝＝，故选C.
法二：由f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
综上所述，a＝.
2．设m∈N，若函数f(x)＝2x－m＋10存在整数零点，则符合条件的m的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　令f(x)＝0，得m＝.又m∈N，因此有解得－5≤x＜10，x∈Z，
∴0＜≤.
当2x＋10＝0，即x＝－5时，m＝0；
当2x＋10≠0时，要使m∈N，则需∈N，
当＝1，即x＝9时，m＝28；
当＝2，即x＝6时，m＝11；
当＝3，即x＝1时，m＝4，
所以符合条件的m的个数为4.
3．设函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝a有4个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则＋的取值范围是(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[－3,3) D．(－3,3]
解析：选D　在同一坐标平面内画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a∈(0,2]时，直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有4个不同的交点，即方程f(x)＝a有4个不同的解，此时有x1＋x2＝－4，|log2x3|＝|log2x4|(0＜x3＜1＜x4≤4)，即有－log2x3＝log2x4，x3x4＝1，所以＋＝x4－(1＜x4≤4)，易知函数y＝x4－在区间(1,4]上是增函数，因此其值域是(－3,3]．

4．若函数f(x)＝ex－ax2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　函数f(x)＝ex－ax2有三个不同的零点等价于函数y＝ex与y＝ax2的图象有三个不同的交点，则显然有a>0，且在(－∞，0)上两函数的图象有一个交点．当x>0时，设两函数图象在点(x0，ex0)处相切，则解得由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a>，即实数a的取值范围为.

一、选择题
1．(2018·贵阳检测)已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4)　　　　　　 B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：选D　依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此对方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)．
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象有两个不同的公共点，则实数a的值是(　　)
A．n(n∈Z) B．2n(n∈Z)
3983990349250C．2n或2n－(n∈Z) D．n或n－(n∈Z)
解析：选C　依题意得，函数y＝f(x)是周期为2的偶函数，画出函数的大致图象如图所示．在[0,2)上，由图象易得，当a＝0或－时，直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象有两个不同的公共点，∵函数f(x)的周期为2，∴a的值为2n或2n－(n∈Z)．
3．(2018·洛阳第一次统考)若函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(0,1)
C. D.
解析：选B　依题意，关于x的方程ax－1＝有两个不等的正根．记g(x)＝，则g′(x)＝，当00，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递减，且g(e)＝，当0 4．若f(x)＝ln x＋ax－1有且仅有一个零点，则实数a的最小值为(　　)
A．0 B．－
C．－1 D．1
400050095250解析：选B　由f(x)＝0，得ln x＝－ax＋1，
在同一坐标系中画出y＝ln x和y＝－ax＋1的图象如图所示，
直线y＝－ax＋1的斜率k＝－a，
且恒过(0,1)点．
当k≤0，即a≥0时，只有一个交点，从而f(x)只有一个零点，
当k>0，且直线y＝－ax＋1与y＝ln x相切于点P(x0，ln x0)时，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，
将x＝0，y＝1代入得ln x0＝2，即x0＝e2，k＝＝，
所以a＝－，
所以当a≥－时，直线y＝－ax＋1与y＝ln x的图象只有一个交点，即f(x)只有一个零点，故a的最小值为－.
5．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝－kx(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0,2) B.
C．(0，e) D．(0，＋∞)
解析：选B　由题意，知x≠0，函数f(x)有且只有一个零点等价于方程－kx＝0只有一个根，即方程＝k只有一个根，设g(x)＝，则函数g(x)＝的图象与直线y＝k只有一个交点．
因为g′(x)＝，由g′(x)>0，得x>2或x<0；
由g′(x)<0，得0 所以函数g(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g(x)的极小值为g(2)＝，且x→0时，g(x)→＋∞；x→－∞时，g(x)→0；x→＋∞时，g(x)→＋∞，则g(x)的图象如图所示，由图易知0
6．(2018·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选C　因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，
所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝－f(λ－x)?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，
所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，
所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，
解得λ＝－.
7．(2018·长沙模拟)对于满足0 A．1， B．(1,2]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D　依题意对方程ax2＋bx＋c＝0，
有Δ＝b2－4ac>0，于是c<，
从而>＝1＋－2，
对满足0 令t＝，因为0 因为－t2＋t＋1∈(1,2]，所以>2.
8．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x1 A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D　由题意，得f′(x)＝－x2＋2ax＋b.因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的两个实数根，所以由[f(x)]2－2af(x)－b＝0，可得f(x)＝x1或f(x)＝x2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又x1
9．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝e2x－ax2＋bx－1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．若f(1)＝0，f′(x)是f(x)的导函数，函数f′(x)在区间(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(e2－3，e2＋1) B．(e2－3，＋∞)
C．(－∞，2e2＋2) D．(2e2－6,2e2＋2)
解析：选A　由f(1)＝0，得e2－a＋b－1＝0，所以b＝a－e2＋1，又f′(x)＝2e2x－2ax＋b，令g(x)＝2e2x－2ax＋b，则g′(x)＝4e2x－2a，因为x∈(0,1)，所以4<4e2x<4e2.当a≥2e2时，g′(x)<0，函数g(x)在(0,1)内单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a≤2时，g′(x)>0，函数g(x)在(0,1)内单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当20，所以函数g(x)在内单调递减，在内单调递增，所以g(x)min＝gln＝a－aln＋b＝2a－aln－e2＋1.令h(x)＝2x－xln－e2＋1＝2x－xln x＋xln 2－e2＋1(20，h(x)为增函数，当x∈(2e,2e2)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，所以h(x)max＝h(2e)＝2e－e2＋1<0，即g(x)min<0恒成立，
所以函数g(x)在(0,1)内有两个零点，
则解得e2－3 综上所述，a的取值范围为(e2－3，e2＋1)．
10．(2017·太原一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f(x)＝([x])2－2[x]，若函数F(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．－，－1∪[2,5) B．－，－1∪[5,10)
C．－1，－∪[5,10) D．－，－1∪[5,10)
解析：选C　由题意知，
f(x)＝([x])2－2[x]＝


令F(x)＝0，得f(x)＝k(x－2)－2，作出函数y＝f(x)和y＝k(x－2)－2的图象如图所示．
若函数F(x)＝f(x)－k(x－2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数y＝f(x)和y＝k(x－2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，结合图象可得，kPA＝5，kPB＝10，kPO＝－1，kPC＝－，所以实数k的取值范围是－1，－∪[5,10)．
11．已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0(b≠0)有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是(　　)
A．[6,11] B．[3,11]
C．(6,11) D．(3,11)
解析：选D　作出函数f(x)的图象如图所示，

对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件

画出可行域如图所示，目标函数z＝3a＋b经过的交点A(3,2)时取得最大值11，经过B(1,0)时取得最小值3.故3a＋b的取值范围为(3,11)．
12．(2018·广东五校协作体第一次诊断)已知e为自然对数的底数，若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[－1,1]，使得x1＋xex2－a＝0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，e] B．(1，e]
C. D.
解析：选C　令f(x1)＝a－x1，则f(x1)在x1∈[0,1]上单调递减，且f(0)＝a，f(1)＝a－1.令g(x2)＝xex2，则g′(x2)＝2x2ex2＋xex2＝x2ex2(x2＋2)，且g(0)＝0，g(－1)＝，g(1)＝e.若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[－1,1]，使得x1＋xex2－a＝0成立，即f(x1)＝g(x2)，则f(x1)＝a－x1的最大值不能大于g(x2)的最大值，即f(0)＝a≤e，因为g(x2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g(x2)∈时，有两个x2使得f(x1)＝g(x2)．若存在唯一的x2∈[－1,1]，使得f(x1)＝g(x2)，则f(x1)的最小值要比大，所以f(1)＝a－1>，所以a>1＋，故实数a的取值范围是.
二、填空题
13．若对任意的实数a，函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点，则实数b的取值范围是________．
411480091440解析：由f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b＝0，得(x－1)ln x＝a(x－1)－b.设g(x)＝(x－1)ln x，h(x)＝a(x－1)－b，则g′(x)＝ln x－＋1，因为g′(x)＝ln x－＋1在(0，＋∞)上是增函数，且g′(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，当x＞1时，g′(x)＞0，所以g(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，又g(1)＝0，所以函数g(x)的大致图象如图所示．易知h(x)＝a(x－1)－b的图象是恒过点(1，－b)的直线，当－b＞0，即b＜0时，易知对任意的实数a，直线h(x)＝a(x－1)－b与函数g(x)的图象始终有两个不同的交点，即函数f(x)＝(x－1)ln x－ax＋a＋b有两个不同的零点；当b＝0时，若a＝0，则h(x)＝0，其图象与函数g(x)的图象只有一个交点，不满足；当－b＜0，即b＞0时，由图易知，不满足对任意的实数a，直线h(x)＝a(x－1)－b与函数g(x)的图象始终有两个不同的交点．综上可知，b＜0.
答案：(－∞，0)
14．已知函数f(x)＝与g(x)＝a(x＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x－＝5a的解为正整数，则满足条件的实数a的个数为________．

解析：在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，结合图象可知，实数a的取值范围是.由x－＝5a，可得x2－5ax－1＝0，设h(x)＝x2－5ax－1，当x＝1时，由h(1)＝1－5a－1＝0，可得a＝0，不满足题意；当x＝2时，由h(2)＝4－10a－1＝0，可得a＝，满足题意；当x＝3时，由h(3)＝9－15a－1＝0，可得a＝，不满足题意．又函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a的个数为1.
答案：1
15．若函数f(x)＝x2＋－aln x(a>0)有唯一的零点x0，且m 解析：令y1＝x2＋，y2＝aln x(a>0)，
则y1′＝2x－，y2′＝(a>0)．
∵函数f(x)＝x2＋－aln x(a>0)有唯一的零点x0，∴函数y1＝x2＋，y2＝aln x的图象有公切点(x0，y0)，则?x＋－2ln x0＝0.
构造函数g(x)＝x2＋－2ln x(x>0)，
则g(1)＝3，g(2)＝4＋1－2×ln 2＝5－7ln 2，
欲比较5与7ln 2的大小，可比较e5与27的大小，
∵e5>27，∴g(2)>0，
又g(e)＝e2＋－2＝－e2＋<0，
∴x0∈(2，e)，∴m＝2，n＝3，∴m＋n＝5.
答案：5
16．已知函数f(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在，＋∞上有两个零点，则实数k的取值范围为________．
解析：f(x)＝x2－xln x－k(x＋2)＋2在上有两个零点，即关于x的方程x2－xln x＋2＝k(x＋2)在上有两个不相等的实数根．令g(x)＝x2－xln x＋2，所以当x∈时，直线y＝k(x＋2)与函数g(x)＝x2－xln x＋2的图象有两个不同的交点．设直线y＝k0(x＋2)与函数g(x)＝x2－xln x＋2，x∈的图象相切于点(x0，y0)，g′(x)＝2x－ln x－1，则有由此解得x0＝1，k0＝1.令h(x)＝g′(x)＝2x－ln x－1，则h′(x)＝2－，且x≥，所以h′(x)≥0，故h(x)在上单调递增，h(x)≥h＝ln 2＞0，所以g(x)在上单调递增，g＝＋ln 2，作出y＝g(x)的大致图象，如图所示，当直线y＝k(x＋2)经过点时，k＝＋.又当直线y＝k(x＋2)与g(x)的图象相切时，k＝1.结合图象可知，k的取值范围是.

答案：

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