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专题二 压轴解答题
第四关 以极值为背景的解答题
【名师综述】极值点不同于零点，极值点不仅导数值为零（中学只研究可导函数），而且在其附近导数值要变号.因此以极值为背景的解答题，不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系，这也是考查分类讨论思想的一个常见的载体.
类型一 求函数极值或单调区间或最值问题
典例1 已知函数，其中为常数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若，设函数在上的极值点为，求证： .
【答案】(1)当时， 的极大值为，无极小值；(2) ；(3)证明见解析.
【解析】







极大值
当时， 的极大值为，无极小值.
（2），由题意对恒成立.
， ，
对恒成立，
对恒成立.
令， ，则，
①若，即，则对恒成立，
在上单调递减，
则， ， 与矛盾，舍去；
②若，即，令，得，
当时， ， 单调递减，
当时， ， 单调递增，
当时， ，
.综上.
（3）当时， ， ，
令， ，
则 ，令，得，
①当时， ， 单调递减， ，
恒成立， 单调递减，且.
②当时， ， 单调递增，

又 ，
存在唯一，使得， ，
当时， ， 单调递增，
当时， ， 单调递减，且，
由①和②可知， 在单调递增，在上单调递减，
当时， 取极大值.
， ，
，
又， ， .
【名师指点】以导函数为研究对象，实质讨论研究方程的根与系数的关系.
【举一反三】已知函数．
⑴当时，求函数的极值；
⑵若存在与函数， 的图象都相切的直线，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）
【解析】
所以
所以当时， ，当时， ，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，无极大值；
（2）设函数上点与函数上点处切线相同，
则
所以
所以，代入得：

设，则
不妨设则当时， ，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
代入可得：
设，则对恒成立，
所以在区间上单调递增，又
所以当时，即当时,
又当时

因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；
即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．
又由得：
所以单调递减，因此
所以实数的取值范围是．
类型二 由极值确定参数取值范围问题
典例2 已知函数（是自然对数的底数）
（1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值；
（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围；
（3）设，若在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】
（2）设，
当单调递增时，
则在上恒成立，
∴ 在上恒成立，
又
解得．
当单调递减时，
则在上恒成立，
∴在上恒成立，
综上单调时的取值范围为．
（3），
令则，
当时， ， 单调递增，
∴，即.
1）当，即时，
∴，
则单调递增，
在上无极值点．
2）当即时，
∴
I）当，即时，
在递增，
，
在上递增，
在上无极值点．
II）当时，由
在递减， 递增，
又
使得
在上单调递减，在上单调递增，
在上有一个极小值点．
3）当时， ，
在上单调递减，在上单调递增，
又，
在上恒成立，
无极值点．
4）当时，
在递增，
使得，
当时， 当时， ，
，
，
令，
下面证明，即证，
又
，
即证，所以结论成立，即，
在递减， 递增，
为的极小值.
综上当或时， 在上有极值点．
【名师指点】由极值的情况，探讨导函数零点的情况，进而研究方程根的分布情况.
【举一反三】已知函数恰有两个极值点，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
当时， ；
当时， ，
所以在上单调递增，在上单调递减， ，
当时， ，
所以
∴
解得，
故实数的取值范围是.
（2）由（1）得， ， ，两式相加得
，
故
两式相减可得，
故
所以等价于，
所以
所以，
即，
所以，
因为，令，所以
即，令，
则在上恒成立， ，
令，
①当时， 所以在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以符合题意
②当时， 所以在上单调递增
故在上单调递减，
所以不符合题意；
③当时，
所以在上单调递增，
所以所以在上单调递减，
故不符合题意
综上所述，实数的取值范围是.
类型三 利用极值证明不等式问题
典例3 已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）令，区间， 为自然对数的底数。
（ⅰ）若函数在区间上有两个极值，求实数的取值范围；
（ⅱ）设函数在区间上的两个极值分别为和，
求证： .
【答案】（1）增区间，减区间，（2）详见解析
【解析】
（2）（ⅰ）因为 ，
所以 ， ，
若函数 在区间D上有两个极值，等价于 在 上有两个不同的零点，
令 ，得 ，
设 ，令




大于0 0 小于0
0 增 减
所以 的范围为
（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数在区间D上有两个极值分别为 和，不妨设 ，则 ，
所以
即 ，
要证 ，只需证 ，即证，
令 ，即证 ，即证 ，
令 ，因为 ，
所以 在上单调增， ，所以 ，
即 所以 ，得证。
【名师指点】由极值的情况，揭示等量条件与不等量条件，进而研究证明等式或不等式.
【举一反三】设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
（2）当时，令，解得，或.
当变化时，，的变化情况如下表：





＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，
进而.
又
，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；
【精选名校模拟】
1.已知函数f(x)= －，g(x)= ．
（1）若，函数的图像与函数的图像相切，求的值；
（2）若， ，函数满足对任意（x1x2），都有恒成立，求的取值范围；
（3）若，函数=f(x)+ g(x),且G()有两个极值点x1,x2,其中x1，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
设h(x)= F(x)+ = x2+1+2alnx+，则原不等式h(x)在(0,1]上递减
即h＇(x)=2x+-在(0,1]上恒成立.所以2a-2x2在(0,1]上恒成立.
设y=-2x2,在(0,1]上递减，所以ymin=3-2=1，所以2a1，又a>0，所以0(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x)=x+2alnx
G/(x)= ,(x>0),由题意知x1,x2是x2+2ax+1=0的两根，
∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,
G(x1)-G(x2)=G(x1)-G()=
令H(x)=2[], H＇(x)=2()lnx=
当时，H/(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为
即G(x1)-G(x2) 的最小值为
2.已知函数（， 是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数图像上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围.
【答案】（1）实数的取值范围是；（2）当时，函数在取得极大值，没有极小值；当时，函数在取得极小值，没有极大值；（3）切线在轴上的截距的取值范围是.
【解析】
经检验， 时， 是上的单调减函数，
又，所以实数的取值范围是．
（2）由，得，
①当时，有； ，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，没有极小值．
②当时，有； ，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．
（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为

，
令， ，考虑函数，则，
列表如下：












↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
所以．
故切线在轴上的截距的取值范围是
3. 设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．
【解析】
试题解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，
因此，． ………4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．
（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．
（ⅱ）当时，由，知．
又，所以．
综上，．　　　………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得.
当时，.
当时，，所以.
当时，，所以.
4. (Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
且仅当时，，所以在单调递增，
因此当时，
所以
（II）
由（I）知，单调递增，对任意
因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上，当时，有，的值域是
5. 设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
试题分析：（1）根据题意求出，根据，，求，的值；
（2）由题意知判断，即判断的单调性，知，即，由此求得的单调区间.
试题解析：（1）因为，所以.
依题设，即
解得；（2）由（Ⅰ）知.
由即知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.
6. 设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】（Ⅰ）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（Ⅱ）.
【解析】
，的解不易确定，因此结合（Ⅰ）的结论，缩小的范围，设=，并设=，通过研究的单调性得时，，从而，这样得出不合题意，又时，的极小值点，且，也不合题意，从而，此时考虑得，得此时单调递增，从而有，得出结论．
试题解析：（I）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（II）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（I）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时， ，即 恒成立.
综上，．
7. 已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.
【解析】
，则，即恒成立，即在上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：在恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题一样，先利用变量分离转化为对应函数最值，的最大值，再利用导数求函数的最值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性：在上单调递增，进而确定函数最值
试题解析：解（1），令，则，
当时，在上单调递增，
的最小值为； ………………………1分
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
的最小值为.
综上，当时，；当时，. …………………3分
（2）,对于任意的，不妨取，则,
则由可得，
变形得恒成立， ………………………5分
令，
则在上单调递增，
故在恒成立， ………………………7分
在恒成立.
，当且仅当时取，
. ………………………10分
（3），
.
，，使得成立.
令，则， ………………………12分
令，则由 可得或（舍）
当时，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增.
在上恒成立.
在上单调递增.
，即. ………………………15分
实数的最大值为. ………………………16分
8. 已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的单调区间；
（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；
（3）若存在不等实数，，使得，证明：．
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析
【解析】
（3）为研究方便不妨设，，则需证明，构造函数，可证在上单调增，即，因此，而在上递减，即
试题解析：解：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．
（2）不存在正实数使得成立，
事实上，由（1）知函数在上递增，
而当，有，在上递减，有，
因此，若存在正实数使得，必有．
令，
令，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，
故不存在正实数使得成立．
（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．
①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；
②若，由（2）知：当，则有，
而，所以，即，
而，，由（1）知：函数在上单调递减，
∴，即有，
由（1）知：函数在上单调递减，所以；
综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．
9. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.
【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）详见解析
【解析】
最小值.因为=()－(bx1－bx2)＋ln，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，所以bx=2x2＋1，bx1－bx2=2（）；再由x1x2＝得－－ln(2)，最后根据零点存在定理确定x2取值范围：x2∈(1，＋∞)，利用导数可得在区间(2，＋∞)单调递增，即φ(t)＞φ(2)＝－ln2，
试题解析：（1）因为a＝b＝1，所以f(x)＝x?2－x＋lnx，
从而f ′(x)＝2x?－1＋ ．
因为f(1)＝0，f ′(1)＝2，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0． …………………… 3分
（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋lnx，
从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0． ………… 5分
当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，
所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分
当0＜a＜时，
由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由f ′(x)＜0得1＜x＜，
所以f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．
当a＝时，
因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当a＞时，
由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1，
所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．
…………………… 10分
（3）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．
由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．
记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)． …………………… 12分
f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．
因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)． ……………… 14分
令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt．
因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，
所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2． …………………… 16分
方法二：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．
由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根．
记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，
所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在[x1，x2]上为减函数． …………………… 12分
所以f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)＝(－＋ln)－(1－b)＝－＋－ln2．
因为b＞3，故f(x1)－f(x2)＞－＋－ln2＞－ln2． …………………… 16分
10. 已知函数．
(1) 求函数的单调递减区间；
(2) 当时，的最小值是，求实数的值．
【答案】(1) 时，的单调递减区间为，时，的单调递减区间为．(2)
【解析】
试题解析：(1) ………………………………………2分
时，在上恒成立，
则的单调递减区间为， ………………………………………4分
时，令得：，
则的单调递减区间为． ………………………………………6分
①时，在上单调递减，
，无解 ………………………………………8分
②时， 在上单调递增，，
解得：，适合题意； ………………………………………12分
③时，在上单调递减，上单调递增，，解得：，舍去；
综上：． ………………………………………14分
11. 已知函数，，．
（1）当，时，求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数的图象在两点，处的切线分别为，，若，，且，求实数的最小值．
【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是（2）（3）
【解析】
，无零点，单调减；当，有一个零点，列表分析得在上单调递减；在上单调递增；最后综合函数图像得函数单调区间（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即，因此转化为利用导数求函数最小值：当，时，，求其定于区间上零点为1，列表分析函数单调性，确定函数极值，即最值，最后解不等式得负数的取值范围；（3）由导数几何意义得，由分段点可确定，而需分类讨论：若，则；若，则，分别代入，探求实数的解的情况：，，先求出的取值范围，再利用导数求函数最小值
试题解析：函数求导得
（1）当，时，
①若，则恒成立，所以在上单调递减；
②若，则，令，解得或（舍去），
若，则，在上单调递减；
若，则，在上单调递增；
综上，函数的单调减区间是，单调增区间是．
（2）当，时，，而，
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以函数在上的最小值为，
所以恒成立，解得或（舍去），
又由，解得，
所以实数的取值范围是．
（3）由知，，而，则，
若，则，
所以，解得，不合题意，
故，则，
整理得，
由，得，令，则，，
所以，设，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以函数的最小值为，
故实数的最小值为．
12. 已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1) (2) 详见解析(3)
【解析】
，先求导数，导函数有两个零点，再根据两个零点大小分类讨论：时，，；时，；时，
试题解析：：(1)当 时，， …………2分
…………3分
所以，函数在点处的切线方程为
即： …………4分
(Ⅱ)函数的定义域为：
…………6分
当时，恒成立，所以，在和上单调递增
当时，令，即：，
，
所以，单调递增区间为，单调减区间为． …………10分
(Ⅲ)因为在上恒成立，有
在上恒成立．
所以，令，
则．
令则
若，即时，，函数在上单调递增，又
所以，在上恒成立；
若，即时，当时，单调递增；
当时，，单调递减
所以，在上的最小值为，
因为所以不合题意．
即时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，在上的最小值为
又因为，所以恒成立
综上知，的取值范围是． …………16分
13. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上的最大值是，求的值；
（3）记,当时，若对任意，总有
成立，试求的最大值.
【答案】(1)增区间；减区间；(2)；(3).
【解析】
（2）①当时，在上是增函数; 故在上的最大值是 ,显然不合题意. ②若, 即时, ,则在上是增函数，故在上的最大值是 ,不合题意，舍去.
③ 若, 即时，在上是增函数 ，在上是减函数，故在上的最大值是 , 解得，符合. 综合①、②、③得: .
（3）, 则,当时，,故时，当在上是减函数，不妨设，则，故等价于，即，记
，从而在上为减函数，由得:
,故恒成立，，又
在上单调递减，,.故当时，的最大值为.
14. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）方程的根的个数能否达到3，若能，请求出此时的范围，若不能，请说明理由．
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，的单调递减区间是，当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；（3）不能，理由见解析．
【解析】
所以时，有极小值为，无极大值．
15. 已知函数．
（Ⅰ）若,求在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）求证：不等式对一切的恒成立．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在上单调递增 当时，当在单调递减，在单调递增；（Ⅲ）证明见解析．
【解析】
16. 已知函数．
(I)讨论的单调性；
(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】：
17. 已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若,在区间恒成立,求a的取值范围．
【解析】：
18. 已知函数 f (x) = +ax
若 f (x) 在 x =0处取极值，求a的值，
讨论 f(x) 的单调性，
证明 ，( e为自然对数的底数, )
【答案】（1）；（2）当时，f (x)在上单调递增；当时，f (x)在上单调递增，在单调递减；当时，f (x)在上单调递减；（3）证明如下.
【解析】
试题分析：（1）本小题利用极值点处的导数为零，构建关于a的方程即可；（2）本小题可得，其中，所以关键判断的符号，对a分如下几类讨论：，，，确定的符号进而得到单调区间；（3）本小题利用（2）中得到的不等式入手证明，注意利用对数的性质.

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