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浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用

在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求的零点；④列出的变化关系表；⑤根据列表解答问题。
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2010年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
例1.（全国卷Ⅰ第20题）
已知函数.
若，求的取值范围；
证明：.
原解答如下:
解（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，
，
.
令

从而当时，，
故所求的范围是[-1,+∞﹚.
证明(2)由(1)知,,则
时，；
.
综上可知，不等式成立.
对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明：
证法二:令.
因

，
显然当时，，
当时，，
在（0,1﹚递减；
当时，，
的符号仍不能判定，求二阶导数得
，
从而在时递增，
，在[ 1,+∞﹚递增，
所以当时，，
故成立，原不等式成立.
例题2（2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）
设函数．
（Ⅰ）证明：当时，；
（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．
（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.
（Ⅱ）解法二：由题设，
若，则当；
若.
令，
，
,
∵,
∴，
∴
即原不等式成立.
当
从而当
此时，
∴.
综上可知，.
由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。
针对训练：
1、（2010年新课标全国卷第（21）题）：
设函数。
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
2、（2008年湖南高考题改编）：
已知函数，求函数的单调区间。
参考答案：
1、解：（1）略.
（2）.
①当
从而
∴，
②
∴
∴
∴,不合题意.
综上可知
2、解：的定义域是.
（1）
.
设
则.
.
当
当时，
所以
函数上是减函数.
当
当.
所以，函数的单调递增区间是，递减区间是.

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