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导数利器——25个参变分离问题
1．已知函数falsefalse，且false，当false时，false恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【解析】
由题意，false，解得false，则false，
则当false时，false，即false恒成立，
令false，则false，
当false时，false，false时，false，
所以false在false上是减函数，在false是增函数，false，
又因为当false时，false取得最大值1，
所以当false时，false取得最大值false，
所以false.
【小结】
本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为false，进而求出false的最大值，令其小于false即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．若函数false没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【解析】
由题意可得，false没有零点，或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即false没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令false，false，
则false，令false则false在false上单调递减且false，
所以当false时，false，false，false单调递增，
当false时，false，false，false单调递减，故当false时，false取得最大值false，
又false时，false，false时，false，结合图象可知，false即false.
故选：C.
【小结】
已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若函数false在false上是减函数，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【分析】
false在false上是减函数等价于false在false上恒成立，利用分离参数求解即可.
【解析】
∵false在false上是减函数，所以false在false上恒成立，即false，即false，
∵false，∴false，
故选：A.
【小结】
本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间false上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式false或false恒成立问题求参数范围.
4．已知函数false（false为自然对数的底数），false．若存在实数false，false，使得false，且false，则实数false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．1
【答案】C
【分析】
根据false可求得false，利用false得到false，将问题转化为false，false的最大值的求解问题，利用导数求得false，从而求得结果.
【解析】
false，false，
又false且false，false，
由false，即false，整理得：false，
令false，false，则false，
false和false在false上均为减函数，
false在false上单调递减，false，
即false在false上恒成立，false在false上单调递减，
false，即实数false的最大值为false.
故选：C.
【小结】
本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
5．设函数false在false上有两个零点，则实数a的取值范围（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【分析】
令false，进行参变分离得false，设false，将问题等价于y = a与false在false有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数false的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.
【解析】
令false，即false，解得false，设false，
所以false在false有两个零点等价于y = a与false在false有两个交点.
因为false，得false，所以false在(0，e)上单调递增，在false上单调递减，所以false.
如图所示，画出false的大致图象。
结合图象可知，当false时， y = a与false在false有两个交点，即此时false在false有两个零点.
故选：D.
【小结】
本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题.
6．已知关于x的方程false在false上有两解，则实数k的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【分析】
利用参变量分离法可将问题转化为false在false上有两解，进而可将问题转化为函数false与false在false上有两个交点，利用导数研究函数false的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围.
【解析】
由已知可得false在false上有两解，
令false，false，则问题转化为函数false与false在false上有两个交点，
false，
令false，则false，
因为false，所以false恒成立，所以false在false上单调递增，又false，
所以当false时，false，则false；当false时，false，则false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，又false，
所以，实数k的取值范围为false.
故选：B
【小结】
本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象的交点个数使问题得以解决，属于难题.
7．若函数false在false上单调递增，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】A
【分析】
求导false，由题意可得false恒成立，即为false，设false，即false，分false，false，false三种情况，分别求得范围，可得实数false的取值范围.
【解析】
由函数false得false，由题意可得false恒成立，即为false，
设false，即false，
当false时，不等式显然成立；
当false时，false，由false在false上单调递减，可得false时，false取得最小值1，可得false，
当false时，false，由false在false上单调递减，可得false时，false取得最小值false，可得false，
综上可得实数false的取值范围是false，
故选：A.
【小结】
本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.
8．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[false，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（ ）
A．﹣1 B．false C．false D．false
【答案】D
【分析】
先对false化简，false，用导数判断false在falsefalse的符号为正，可转化为false，在falsefalse有解，设false false，利用导数求函数false的最大值false，则falsefalse，即实数false的最大值为false.
【解析】
由false，得false，令false false，falsefalse，
则false，则false在false递减，在false递增，则false，
即由false，得false，falsefalse有解，
设false false，falsefalse，
则falsefalsefalse，
令false，falsefalse，则false，
故false在false递减，在false递增，故false，
故false在false递减，在false递增，又falsefalse，falsefalse，
故false，故falsefalse，
即实数false的最大值为false.
故选：D.
【小结】
本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.
9．已知函数false，false（false，false为自然对数的底数）.若存在false，使得false，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【分析】
证明出当false时false，由题意可得出false使得false，即false，构造函数false，利用导数求得函数false的最大值，结合false可求得实数false的取值范围.
【解析】
当false时，false，则false，
所以，函数false在false上单调递增，false，
由题意可知，false使得false，即false，
令false，其中false，则false，false，令false，得false，
列表如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
单调递增
极大值
单调递减
所以，函数false的最大值为false，false，
又false，false，因此，实数false的取值范围是false.
故选：C.
【小结】
本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．已知函数false，其中false，若对于任意的false，且false，都有falsefalse成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【分析】
由已知将原不等式等价于false恒成立，构造函数false，求导false在false上恒成立，运用参变分离可得选项．
【解析】
∵对于任意的false，且false，都有false成立，
∴不等式等价为false恒成立，
令false，则不等式等价为当false时，false恒成立，即函数false在false上为增函数；
false，则false在false上恒成立；
∴false；即false恒成立，
令false，∴false；
∴false在false上为增函数；∴false；∴false；
∴false.∴false的取值范围是false.故选：C.
【小结】
本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题．
11．已知函数false有两个极值点，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【分析】
求导false，将问题转化为false有两个不同的零点，也即是关于x的方程false有两个不同的解，构造函数false，求导false，分析导函数取得正负的区间，从而得函数false的单调性和最值，从而可得选项.
【解析】
函数false的定义域为R，false，因为函数false有两个极值点，
所以false有两个不同的零点，
故关于x的方程false有两个不同的解，
令false，则false，当false时，
false，当false时，false，
所以函数false在区间false上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
又当false时，false；当false时，false，
且falsefalse，故false，
即false.
故选：B.
【小结】
本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.
12．已知函数false在false上单调递减，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【分析】
根据false在false上恒成立求解．
【解析】
∵false，∴false．
又函数false 在false上单调递减，∴false在false上恒成立，即false在false上恒成立．
∵当false时，false，∴false．
所以实数false的取值范围是false．故选：B．
【小结】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当false时，则函数false在区间false上单调递减；而当函数false在区间false上单调递减时，则有false在区间false上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
13．对于函数false，把满足false的实数false叫做函数false的不动点.设false，若false有两个不动点，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【分析】
根据定义分离出参数false，构造函数false，讨论单调性和最值，结合图象可得答案.
【解析】
由false得falsefalse，令false，则false，
false得false在false单调递增，false得false在false和false单调递减，
所以false的极小值为false，图象如图所示，由图可知，false时，false有两个不动点，
故选：B.
【小结】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，考查了分离参数法与构造函数法的应用.
14．已知函数false，false，当false时，不等式false恒成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】D
【分析】
由题意得出false，构造函数false，可知函数false在区间false上单调递增，可得出false对任意的false恒成立，利用参变量分离法可得出false，利用导数求得函数false在区间false上的最小值，由此可求得实数false的取值范围.
【解析】
函数false的定义域为false，当false时，false恒成立，
即false，构造函数false，则false，
所以，函数false在区间false上为增函数，
则false对任意的false恒成立，false，
令false，其中false，则false.
false，当false时，false，此时函数false单调递减；
当false时，false，此时函数false单调递增.
所以，函数false的最小值为false，false.
因此，实数false的取值范围是false.
故选：D.
【小结】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、多选题
15．对于函数false，下列说法正确的是（ ）
A．false在false处取得极大值false B．false有两个不同的零点
C．false D．若false在false上恒成立，则false
【答案】ACD
【分析】
A.先求函数的导数false，判断函数的单调性，判断函数的极大值；B.根据函数的解析式，直接求函数的零点；C.根据函数的单调区间，直接比较大小；D.不等式转化为false在false上恒成立，即求函数false的最大值.
【解析】
由已知，false，令false得false，令false得false，故false
在false上单调递增，在false单调递减，所以false的极大值为false，
A正确；
又令false得false，即false，false只有1个零点，B不正确；
函数在false上单调递减，因为false，所以false，故C正确；
若false在false上恒成立，即false在false上恒成立，设false，
false，令false得false，令false得false，故false
在false上单调递增，在false单调递减，所以false，false，
故D正确.
故选：ACD
【小结】
本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
16．关于函数false，false下列说法正确的是（ ）
A．当false时，false在false处的切线方程为false
B．若函数false在false上恰有一个极值，则false
C．对任意false，false恒成立
D．当false时，false在false上恰有2个零点
【答案】ABD
【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.
【解析】
对于A，当false时，false，false，
所以false，故切点为（0，0），
则false，所以false，故切线斜率为1，
所以false在false处的切线方程为：false，即false，故A正确；
对于B，false，false，则false，
若函数false在false上恰有一个极值，即false在false上恰有一个解，
令false，即false在false上恰有一个解，
则false在false上恰有一个解，
即false与false的图象在false上恰有一个交点，
false，false，
令false，解得：false，false，
当false时，false，当false时，false，
false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增，
所以极大值为false，极小值为false，
而false，
作出false，false的大致图象，如下：
由图可知，当false时，false与false的图象在false上恰有一个交点，
即函数false在false上恰有一个极值，则false，故B正确；
对于C，要使得false恒成立，
即在false上，false恒成立，
即在false上，false恒成立，即false，
设false，false，则false，false，
令false，解得：false，false，
当false时，false，当false时，false，
false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增，
所以极大值为false，false，
所以false在false上的最大值为false，
所以false时，在false上，false恒成立，
即当false时，false才恒成立，
所以对任意false，false不恒成立，故C不正确； false
对于D，当false时，false，false，
令false，则false，即false，
作出函数false和false的图象，可知在false内，两个图象恰有两个交点，
则false在false上恰有2个零点，故D正确.
故选：ABD.
【小结】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
三、解答题
17．已知函数false，且false恒成立．
（1）求实数false的值；
（2）记false，若false，且当false时，不等式false恒成立，求false的最大值．
【答案】（1）false；（2）3．
【分析】
（1）由条件可得false是false的极大值点，从而false，可得答案.
(2)由条件false，根据条件可得false对任意的false恒成立，令false，求出false的导函数，得出false单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案
【解析】
（1）false的定义域是false，
因为false，false恒成立 ，所以false是false的极大值点，
所以false，
因为false，所以false，所以false．
（2）依题意得，false，false，
∴false，
因为false，所以false对任意的false恒成立，
令false，则false，
令false，则false，
所以函数false在false上单调递增．
因为false，false，
所以方程false在false上存在唯一的实数根false，且false，
则false，
所以false， ①
当false时，false，即false；
当false时，false，即false，
所以函数false在false上单调递减，在false上单调递增．
所以false，
把①代入得，false，false，
所以false，
故整数false的最大值是3．
【小结】
本题考查根据恒成立求参数的最大整数值，考查函数的隐零点的整体然换的应用，解答本题的关键是由函数false在false上单调递增，得出false在false上存在唯一的实数根false，且false，得出false单调性，从而得出false，然后将false代入，得出false，属于难题.
18．已知函数false的图象过点false，且在P处的切线恰好与直线false垂直．
（1）求false的解析式；
（2）若false在false上是减函数，求m的取值范围．
【答案】（1）false；（2）false.
【分析】
（1）求导得直线斜率，再利用已知条件建立方程组，求解即可函数的解析式；
（2）由题得false在false上恒成立，法一：分false和false两种情况讨论，运用二次函数的性质可得答案. 法二：进行参变分离，运用不等式恒成立的思想可得答案.
【解析】
（1）false，由题意可得false，解得false.
所以false．
（2）因为false，所以false.
因为false在false上是减函数，所以false在false上恒成立，
当false时，false在false上恒成立；
当false时，设false，由函数false的图象的对称轴为false可得false，即false，得false.
故m的取值范围是false.
法二：false对false成立，
当false时；false恒成立，
当false时；false，
false
【小结】
不等式的恒成立问题，常常利用函数的最值得以解决，参数与函数的最值的大小关系．
19．已知函数false（）.
（1）讨论函数false的单调性；false
（2）若关于false的不等式false在false上恒成立，求实数false的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）false.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（2原不等式化为：false在false上恒成立，设false，false，
求出函数的导数，再令false，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解析】
（1）false
false，false，
令false，则false或false，
当false时，函数false在区间false和false上单调递增，在区间false上单调递减，
当false时，函数false在false上单调递增，
当false时，函数false在区间false和false上单调递增，在区间false上单调递减；
（2）原不等式化为：false在false上恒成立，
设false，false，
false，令false，则false，
所以false在false上单调递增，false，所以false，
则函数false在false上单调递增，且false，false.
【小结】
本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为false在false上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.
20．已知函数false，false.
（1）若曲线false在false处的切线与直线false垂直，求实数false的值；
（2）设false，若对任意两个不等的正数false，false，都有false恒成立，求实数false的取值范围；
（3）若false上存在一点false，使得false成立，求实数false的取值范围.
【答案】（1）false；（2）false；（3）false.
【分析】
（1）先根据导数的几何意义得false，即可得false的值；
（2）设false，构造函数false，则转化为false在false上为增函数，即false在false上恒成立，参变分离得：false，最后根据二次函数最值求实数false的取值范围；
（3）先化简不等式，并构造函数false，求导数，按导数零点与定义区间的大小关系讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最小值，根据最小值小于false即可得实数false的取值范围.
【解析】
（1）由false，得false.
由题意，false，所以false.
（2）false.
因为对任意两个不等的正数false，false，都有false恒成立，设false，则falsefalse即false恒成立.
问题等价于函数false，
即false在false上为增函数，
所以false在false上恒成立.即false在false上恒成立.
所以false，即实数false的取值范围是false.
（3）不等式false等价于false，
整理得false.构造函数false，
由题意知，在false上存在一点false，使得false.
false.
因为false，所以false，令false，得false.
①当false，即false时，false在false上单调递增.只需false，解得false.
②当false即false时，false在false处取最小值.
令false即false，可得false.
令false，即false，不等式false可化为false.
因为false，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③当false，即false时，false在false上单调递减，只需false，解得false.
综上所述，实数false的取值范围是false.
【小结】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，属于中档题.
21．已知函数false，false．
（1）求函数false在false处的切线方程；
（2）若实数false为整数，且对任意的false时，都有false恒成立，求实数false的最小值．
【答案】（1）false；（2）1.
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出函数false在false处的切线方程；
（2）等价于false在false上恒成立，设false，利用二次求导求出函数的最大值false，即得解.
【解析】
（1）false，
false，
false，false，
false在false处的切线方程为false
即false．
（2）false，即false在false上恒成立，
false在false上恒成立，
设false，
则false，
显然false，false，
设false，则false，
故false在false上单调递减，
由false，false，
由零点定理得false，使得false，
即false，
且false时，false，则false，
false时，false，则false．
false在false上单调递增，在false上单调递减，
false，
又由false，false，
则false，
false由false恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1．
【小结】
解答本题的关键是二次求导，在一次求导之后，如果函数的单调区间不易求出，此时一般要进行二次求导，求出新函数的单调区间，求出新函数在什么范围内大于零，什么范围内小于零，再结合已知分析得解.
22．设函数false.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的false，不等式false恒成立，求false的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为false，单调递减区间为false；（2）false.
【分析】
（1）求出导函数，分别令导函数大于零、小于零可得答案；
（2）由已知得到false，然后令false，false利用导数求false的最小值可得答案.
【解析】
（1）false，
令false，得false，令false，得false，
所以false的单调递增区间为false，单调递减区间为false.
（2）若对于任意的false，不等式false恒成立，
即false对于任意的false恒成立，
令false，false，
false，令false，false，
false，所以false在false单调递增，即false，
false在false上恒有false恒成立，
所以false在false单调递增，所以false，所以false.
【小结】
本题第二问考查的是常量分离求参数的取值范围问题，解决的关键是构造函数，利用导数求最值，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试再求一次求导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.
23．已知函数false的图象在点false处的切线方程为false.(本题可能用的数据：false，false是自然对数的底数)
（1）求函数false的解析式；
（2）若对任意false，不等式false恒成立，求整数t的最大值.
【答案】（1）false；（2）最大值为8.
【分析】
（1）求出导函数，然后求在false处的切线方程与已知作比较可得答案；
（2）令false(false，转化为false，然后求false可得答案.
【解析】
（1）函数false的定义域为false，false，
所以有false，解之得false，
故函数的解析式为：false；
（2）当false时，则false，
令false(false)，则由题意知对任意的false，false，
而false，false，
再令false(false)，则false，
所以false在false上为增函数，
又false，false，
所以存在唯一的false，使得false，即false，
当false时，false，false，所以false在false上单调递减，
当false时，false，false，所以false在false上单调递增，
所以false，
所以false，
又false，所以false，
因为t为整数，所以t的最大值为8.
【小结】
本题考查的是常量分离求参数的最大值问题，解决本题的关键是构造函数，利用该函数的单调性求得最值.
24．已知函数false．
（1）当false时，求false的极值；
（2）设false，若false对false恒成立，求实数false的取值范围．
【答案】（1）极大值0，无极小值；（2）false.
【分析】
（1）求false，令false，研究函数的单调性，从而求出false的极值；
（2）由false，利用参数分离法把问题转化为false，从而转化为求函数false的最大值，进而解不等式求出参数false的取值范围.
【解析】
（1）函数的定义域为false，
当false时，false，false，
当false，false，false在false上为增函数；当false时，false，false在false上为减函数，故当false时，false取极大值false，无极小值．
（2）false，由false可得false
则原问题等价于false在false上恒成立，
令false，求导得false
令false，求导得false
false在false是减函数，false，
据此可得false成立，
false在false是减函数，false，
false，即false,
false参数false的取值范围是false
【小结】
（1）求函数的极值一般步骤：（1）求false；（2）令false，求出其极值点；（3）利用导数的正负，判断函数的单调性；（4）求出false的极值．
（2）求参数范围问题的常用方法：参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.
25．已知函数false．
（1）讨论函数false的单调性；
（2）设false，当false时，false，实数false的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）false．
【分析】
(1)求导后，求得函数的导函数的零点，根据二次函数的性质，对实数a进行分类讨论，判定导数的正负值区间，从而得到函数的单调性和单调区间；（2）利用分离参数法，并构造函数，利用导数研究其单调性，求得最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到false的取值范围.
【解析】
（1）false，
令false，得false，false．
当false时，false恒成立，且仅在false时取等号，故false在false上单调递减；
当false时，在区间false和false上false，在区间false上false，
所以false的单调递减区间为false，false，false的单调递增区间为false；
当false时，在区间 false，false上false，在区间false上false．
所以false的单调递减区间为false，false，单调递增区间为false．
（2）当false时，由题意可知，false在false上恒成立，
即false在false上恒成立，
设false，则false，
设false，则false，false
当false时，false，当false时，false，
∴false在，false上单调递减，在false上单调递增，
∴false，
∴false在false上单调递增，false，
∴实数false的取值范围是false．
【小结】
本题考查利用导数研究函数的单调性，和导数的不等式恒成立求参数取值范围问题，属中档题，难度一般.

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