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导数利器——30个导数与三角混合问题
1．已知函数false．
（1）当false时，判断false在false，false上的单调性并加以证明；
（2）若false，false，求false的取值范围．
解析：（1）当false时，false在在false，false上的单调增，证明如下：
false，
设false，则false，
当false时，false，false，
false，
故false在false，false上单调递增，false，
即false，所以false在false，false上单调递增；
（2）由题意得false，
令false，则false，
令false，则false，
当false时，false，故false在false，false上单调递增，
所以false在false，false上单调递增，false，
①当false即false时，false恒成立，false单调递增，即false单调递增，且false
所以false，false在false，false上单调递增，
②当false时，false，令false，false，
则false恒成立，
所以false在false上单调递增，false即false，
false，
又false在false上单调递增，结合零点判定定理可得，存在唯一的实数false，使得false，
当false，false
false，false单调递减即false单调递减，false，
此时false在false上递减，false，不合题意，舍去．
综上，false的范围false
2．已知函数false（其中false为自然对数的底数）
（1）证明：对任意的false都有false；
（2）设false，false
false若存在false，false，使得不等式false成立，求实数false的取值范围；
false求函数false的零点个数．
解析（1）证明：false，
当false时，false，函数单调递减，当false时，false，函数单调递增，
故当false时，函数取得最小值false，
所以false恒成立；
（2）解：false存在false，false，使得不等式false成立等价于false，
因为false，false，
false，
false，false，且false恒成立，
所以false，false，
所以false即false在false上单调递减，false，
false，
false，false，
①当false时，由false知，false单调递减，且false，
所以false在false时没有零点，
②当false时，由（1）false，false，
所以false即false，没有零点；
③当false时，false，即false单调递减，
又false，false，
所以false有一个零点，
综上false的零点个数为1．
3．已知函数false．
（1）求函数false的最小值；
（2）若函数false在false上有两个零点false，false，且false，求证：false．
解析：（1）由于函数false为偶函数，要求函数false的最小值，只需求false，false时false的最小值即可．
因为false，
所以，当false时，设false，false，显然false单调递增，而false，false，由零点存在定理，存在唯一的false，使得false，false分
当false，false，false单减，当false，false，false，false单增，而false，
false，false，false，即false，false，false单减，false分
又当false，false，false，false，false单增，所以false；false分
（2）只需证false，其中false，false，false，
构造函数false，false，
false，即false单增，
所以，false，即当false时，
false，
而false，
所以，false，又false，即false，
此时false，false，false，由第（1）问可知，false在false，false上单增，所以，false，false，即证
4．已知函数false．
（1）若false，false，false恒成立，求正数false的取值范围；
（2）求证false在false上有且仅有两个极值点．
解析：（1）令false，则false，false在false上恒成立，
所以false在false，false上单调递增，且false，
①当false时，false，即false单调递增，且false，
所以false，满足题意；
②当false时，false，所以存在false使得false，
当false时，false，false单调递减，此时false，不符合，
综上可得，false，
证明：（2）令false，false，
①false时，false，故此时false单调递增，false，
从而此时没有极值点，
②false时，false，故此时false单调递增，false，false，
所以存在false使得false，此时false有一个极值点；
③false时，false，此时false单调递增，且false，false，
所以存在false使得false即false，
故false在false上单调递减，在false，false上单调递增，
又false，false，
false，
所以存在false使得false，故false在false上有一个极大值．
综上，false在false上有且仅有两个极值点．
5．已知函数false，函数false，false，false．
（1）讨论false的单调性；
（2）证明：当false时，false．
（3）证明：false．
解析：（1）函数false的定义域false，false，
当false，false时，false，则false在false上单调递增；
当false，false时，由false可得false，此时函数单调递增，令false可得false，此时函数单调递减，
当false，false时，false，函数在false单调递减，
当false，false时，由false可得false，此时函数单调递增，令false可得false，此时函数单调递减，
（2）当false时，false，
由（1）知，false（1）false，
所以false，
（3）因为false，所以false，
由（2）可得false，
即false，
又false．
false，
即false．
6．已知函数false，false．
（1）当false时，总有false，求false的最小值．
（2）对于false，false中任意false恒有false，求false的取值范围．
解析：（1）令false，
则false，false，
false在false，false上单调递增，且false，
若false，false在false，false上单调递增，
false，
即false满足条件，
若false，false，false存在单调递减区间false，false，又false
所以存在false使得false与已知条件矛盾，所以false，false的最小值为1．
（2）由（1）知false，如果false，则必有false成立．
令false，则false，
false，则false，false，false．
若false，必有false恒成立，故当false时，false恒成立，
下面证明false时，false不恒成立．
令false，false，
当false时，false，false在区间false，false上单调递增，
故false，即false，故false．
false，
令false，false，
所以false在false，false上单调递增，false，则一定存在区间false（其中false，当false时，false，
则false，故false不恒成立．
综上所述：实数false取值范围是false，false．
7．已知函数false．false是自然对数的底数）
（1）求false的单调递减区间；
（2）若函数false，证明false在false上只有两个零点．（参考数据：false
解析：（1）false，定义域为false．
由false得false，解得false．
false的单调递减区间为false．
（2）false，false．
false，false当false时，false；当false时，false．
false在false上单调递增，在false上单调递减，
又false，false，false，
false在false上图象大致如右图．
falsefalse，false，使得false，false，
且当false或false，false时，false；当false，false时，false．
false在false和false，false上单调递减，在false，false上单调递增．
false，false．
falsefalse，false，
又false，由零点存在性定理得，false在false，false和false，false内各有一个零点，
false函数false在false上有两个零点．false（12分）
8．已知函数false．
（1）证明：当false时，false有最小值，无最大值；
（2）若在区间false上方程false恰有一个实数根，求false的取值范围，
解析：（1）false时，false，false，false，
当false，false，false，false，则false；
当false，false，false，false，则false；
即当false，false；
false在false时单调递增，
falsefalse，false，
存在false，使得false，
则当false，false，false单调递减；
当false，false，false单调递增；
故false有最小值false，无最大值；
（2）若在区间false上方程false恰有一个实数根，
则false在区间false上恰有一实根，
则函数false与false在区间false上恰有一交点，
因为false，false，
令false，解之得false，或false，
当false，false，false，false时，false；当false，false时，false；
则false在false，false上单调递增，在false，false上单调递减，在false，false上单调递增，
即极大值为false，极小值false，false，false，
因为函数false与false在区间false上恰有一交点，
false，false．
9．已知函数false．
（1）当false时，求false的单调区间；
（2）若false为false的极小值点，求false的取值范围．
解析：（1）false时，false，
false，显然false．
当false时，false，false，false．
当false时，false，因为false，false，故false，
false在false上递增，故false时，false．
所以false的增区间为false，false，减区间为false．
（2）false，false．
显然false，下面研究false附近导数的符号．
false，且false连续且可导．
①当false，即false时，false必存在区间false，false，使得false；在区间false上，false．
所以此时false是原函数的极大值点；
②当false，即false时，false必存在区间false，false，使得false，在区间false上，false，
所以此时false是原函数的极小值点；
③当false，即false时，false．false．
false，false，
false，此时false，
false存在区间false使得false；在false上false．
false在false上false递减，在false上false递增．
所以在false上false，且只在false处，false．
故在区间false上，false是增函数，故在false左侧附近false，右侧附近false．
故此时false是原函数的极小值点．
综上，若false为false的极小值点，false的取值范围为false．
10．已知函数false是自然对数的底数）．
（1）求false的单调递减区间；
（2）记false，若false，试讨论false在false上的零点个数．（参考数据false
解析：（1）false的定义域为false，false，
由false，得false，解得false，
false的单调递减区间false，false，
（2）由已知得false，false，令false，则false，
false，false时，false，false，false时，false，
false在false上单调递增，在false，false上单调递减．
false，false，
①当false，即false时，false，false，
false，false，使得false，
false当false，false，
当false，false时，false，
false在false上单调递增，在false，false单调递减；
false，false，
又false，false由零点存在定理得，此时false在false上仅有一个零点，
②若false时，false，
又false，false上单调递增，在false，false上单调递减，又false，
false，false，false，使得false，false，
且当false、false，false时，false，当false，false时，false，
false在false和false，false上单调递减，在false，false单调递增．
false，false，false，false，又false，
由零点存在定理可得，false在false，false和false，false内各有一个零点，
即此时false在false上有两个零点，
综上所述，当false时，false在false上仅有一个零点，
当false时，false在false上有两个零点．
11．设函数false，false是函数false的导数．
（1）若false，证明false在区间false上没有零点；
（2）在false上false恒成立，求false的取值范围．
解析：（1）证明：若false，则false，则false，
设false，则false，false，
且false，故函数false为奇函数，
当false时，false，false，这时false，
又函数false为奇函数，
false当false时，false，
综上，当false时，false单调递增，当false时，false单调递减，
又false，故false在false上恒成立，
false在false上没有零点；
（2）false，由false，false可知，false恒成立，
若false，则false恒成立，
记false，
则false，
故当false时，false，false单调递增，又false，
false当false时，false，符合题意；
当false时，有false，与题设矛盾；
当false时，令false，则false，
又false，故false在false上有无穷多个零点，设最小的零点为false，则当false时，false，因此false在false上单调递增，
故当false时，false，故false，
于是，当false时，false，得false，与题设矛盾．
综上，实数false的取值范围为false．
12．已知函数false，false，
（1）判断函数false在区间false上的零点的个数；
（2）记函数false在区间false上的两个极值点分别为false，false，求证：false．
解析：（1）false，false，
当false时，false，函数单调递增，当false时，false，函数单调递减，
当false时，false，函数单调递增，且false，false，false，false，false，
故函数false在false，false上不存在零点，
存在false，使得false，同理false使得false
综上，false在区间false上的零点有2个，
（2）false，
由（1）可得，false在区间false，false上存在零点，
所以false在false，false上存在极值点false，false，false，
又因为false在false上单调递减，则false，
false即false，
又因为false，即false，
false，
又false，
falsefalse即false，
false，
false，false，false，
由false在false上单调递增可得false．
false
再由false在false上单调递减，得false，
false，
所以false．
13．已知函数false．
（1）当false时，求false的最小值；
（2）若false，false时，false，求实数false的取值范围．
解析：（1）false，
false当false时，false，当false时，false，
false当false，false时，false的极小值为false，
当false时，false，
false当false时，false的最小值为false；
（2）问题可转化为false，false，false，设false，则false，
令false，则false，
当false时，false，false单调递增，当false时，false，false单调递减，
false在false，false先增后减，
又false，
①当false，即false时，false，false，false，
false单调递减，又false，则false，不合题意；
②当false，即false时，
false若false，false，则一定存在false，使得false，
false在false单调递增，在false单调递减，
则false，解得false，而false，故false；
false若false，false，则false在false，false上单调递增，且false，则false在false，false上恒成立，
此时false，解得false；
false若false，则false，
false存在false，使得false，
false在false 上单调递减，又false，
false时，false，不合题意．
综上，实数false的取值范围为false，false．
14．已知函数false．
（1）判断函数false在false上的单调性；
（2）若false，求证：当false时，false．
解析：（1）依题意，false，
令false，则false，
故当false时，false，当false时，false．
故false，故false在false上恒成立，
故false，
即函数false在false上单调递减．
（2）证明：依题意，false．
下面证明：①当false时，false；②当false时，false；
事实上，false，则false，所以false在false上单调递增，
故false，则false，
又false，false，则false①；
令false，则false．
由false，得false的极小值点为false，
若false，则false，
则false，故false，
若false，即false，则false在false上单调递减，故false．
综上所述，当false时，false②；
由①②得：false，即false，证毕．
15．已知函数false．
（Ⅰ）求函数false的单调区间；
（Ⅱ）当false时，对任意false，false，证明：false．
【解析】：false函数的定义域false，false，false，
设false，则false，
所以false在false，false上单调递增，
所以false，
所以false，false，
所以false的单调递增区间false，false，
false由false可知false，
即false，即false，
因为false，
所以false，
falsefalse①，
false知，false，
false，false②，
由①②知，要证原不等式，知false即false，
设false，则false，
设false，则false，
false，则false，
则false在false，false上单调递增，false，
即false，
故false在false，false上单调递增，故false，
所以false，
故false．
16．已知函数false是false的导数．
（1）当false时，令false，false为false的导数，证明：false在区间false存在唯一的极小值点；
（2）已知函数false在false上单调递减，求false的取值范围．
【解析】：：（1）false时，false，false，false，
令false，则false，
当false时，false单调递增，且false（1）false，false，
故false在false上有唯一的零点，设为false，
当false时，false，false单调递减，当false时，false，false单调递增，
故false在false上有唯一的极小值点即false在false上有唯一的极小值点，
（2）设false，false，false，
所以false在false上单调递增，false，即false，从而false，
因为false在false上单调递减，
所以false在false上恒成立，
令false，则false，
所以false在false上单调递减，false，
当false时，false，false在false上单调递减，false，符合题意；
当false时，false在false上单调递减，且false，所以一定存在false，
当false时，false即false在false，false上单调递增，false与题意不符合，舍去．
故false的范围false，false．
17．已知函数false，false是false的导函数．
（1）若false，当false时，函数false在false有唯一的极大值，求false的取值范围．
（2）若false，false，试研究false的零点个数．
【解析】：：（1）当false时，false，
则false在false上是减函数，且false，
①当false时，false恒成立，false在false上是增函数，无极值；
②当false时，存在false使得false，且false，false，false单增，false单减，
故false为false唯一极大值点，符合题意；
综上，实数false的取值范围为false；
（2）依题意，false，false，false，可知，
false，false时，false，无零点；故只需研究false，false，
false时，false，可知此时false单减，又false，
故存在唯一的false，使得false；
false当false时，false是减函数，且false，
则存在false，则false在false是增函数，在false是减函数，并且false，
故存在false，false，存在false，且false在false是减函数，在false，false是增函数，在false是减函数，
又因为false，故存在false，使得false，存在false，使得false；
综上所述，false有3个零点．
18．已知函数false，其中false．
（1）求证：当false时，false无极值点；
（2）若函数false，是否存在false，使得false在false处取得极小值？并说明理由．
【解析】：（1）证明：false，显然false，false，
当false时，false，即false，
false函数false在其定义域上为增函数，故false无极值点；
（2）解：false，false，
显然false是false的极小值点的必要条件为false，即false，
此时false，
显然当false时，false，
当false时，false，故false，
令false，则false，故false是减函数，
故当false时，false，即false，
令false，则false，当false时，false，故false在false单调递增，
故当false时，false，即false，
故当false时，
false，
因此，当false时，false是false的极小值点，即充分性也成立．
综上，存在false，使得false在false处取得极小值．
19．设函数false．
（1）讨论函数false在false，false上的单调性；
（2）证明：函数false在false上有且仅有两个零点．
【解析】：（1）解：false，
false，
false为偶函数．
false，
false当false，false时，false，当false，false时，false，
false在区间false，false上单调递减，在区间false，false单调递增；
又false为偶函数．
false在区间false，false单调递减，在区间false，false上单调递增，
综上所述，当false，false，false，false，false单调递减；当false，false，false，false，false单调递增；
（2）证明：false函数false为false上的偶函数，
要证明函数false在false上有且仅有两个零点，
只需证明false在false上有且仅有1个零点，
当false，令false，即false，即false．
令false，
false，且false．
则false，
当false时，false，false，false时，false，
false在区间false上单调递增，在区间false，false单调递减，
false，false，
false与false在false上有一个交点．
在同一坐标系中作出false与false的图象，
false
由图可知，当false为两函数的第一象限的交点的横坐标）时，false的图象恒在false图形的上方，
false在false上有且仅有1个零点，又函数false为false上的偶函数，
false函数false在false上有且仅有两个零点．
20．已知函数false．
①当false时，证明：false；
②若false在false，false有且只有一个零点，求false的范围．
【解析】：：①证明：当false时，false，
令false，则false，
当false时，false，当false时，false，
false（1）false，故false，即false，即得证．
②依题意，方程false在false上只有一个解，记false，false，则函数false与false的图象在false上有且仅有一个交点，
又false在false上恒成立，故函数false在false上单调递增，
false当false时，函数false在false单调递增，在false单调递减，且false，如图，
显然，此时满足函数false与false的图象在false上有且仅有一个交点，符合题意；
false当false时，false，显然在false上有且仅有一个零点false，符合题意；
false当false时，函数false在false单调递减，在false单调递增，且false，如图，
要使函数false与false的图象在false上有且仅有一个交点，只需false，即false，即false，又false，故false；
综上，实数false的取值范围为false．
21．已知函数false．
（Ⅰ）求false在点false，false处的切线方程；
（Ⅱ）求证：false在false上存在唯一的极大值；
（Ⅲ）直接写出函数false在false上的零点个数．
【解析】：false，false，
false，
故false在点false，false处的切线方程为false，
即：false；
false证明：false，false
false，故false在false递减，
又false，false，
由零点存在性定理，存在唯一一个零点false，false，
当false时，false递增；当false时，false递减，
故false在false只有唯一的一个极大值；
false函数false在false有3个零点．
22．已知函数false，证明：
（1）false在区间false存在唯一极大值点；
（2）false有且仅有2个零点．
【解析】：证明：（1）函数false，false，
false，
令false，false，
false，false函数false在false上单调递减，
又false当false时，false，而false，
false存在唯一false，使得false，
false当false时，false，即false，函数false单调递增；当false，false时，false，即false，函数false单调递减，
false函数false在区间false存在唯一极大值点false；
（2）由（1）可知，函数false在false上单调递增，在false，false上单调递减，
false是函数false的极大值点，且false，
false，
又false当false时，false；false，
false在区间false内存在一个零点，在区间false，false上存在一个零点，
当false时，设false，则false，
false在false上单调递减，false，
①当false时，false，false当false时，false，无零点，
②false时，false，又false，false当false时，false，无零点，
false当false时，false，false函数false在区间false内无零点，
false函数false有且仅有2个零点．
23．已知函数false．
（1）证明：false；
（2）当false时，不等式false恒成立，求实数false的最大值和false的最小值．
【解析】：：（1）当false，false时，false，false，
当false，false时，false，则false，
当false，false时，false，则false，
则当false，false时，false，false在false，false上单调递增，
false，又函数false为偶函数，
false对任意的false，false成立；
（2）false，
当false时，false，即false；false，即false．
令false，则false，
当false时，在false上，false，
false在false上为增函数，false，false；
当false，在false上，false，
false在false上为减函数，false，false；
当false时，存在唯一的false，使得false，
false当false时，false；当false时，false，
false在false上单调递增，在false上单调递减，false，
false当false时，false，
当且仅当false，falsefalse，
综上，当且仅当false时，false在false上恒成立，
当且仅当false时，false在false上恒成立，
false的最大值为false，false的最小值为1．
24．（1）证明函数false在区间false上单调递增；
（2）证明函数false在false上有且仅有一个极大值点false，且false．
【解析】：（1）求导，false，false，
因为false，false，false，故false，
函数false在定义区间递增；
（2）由false，
令false，false
当false，由（1）得false，false递减，
由false，false，
根据零点存在性定理，存在唯一零点false，false，
当false时，false，false递增；
当false，false时，false，false递减，
当false，false时，false，所以false递减，
故false在false，false为减函数，
所以false有唯一的极大值点false，
由false在false，false递减，得false，
又false，当false时，false，false，
故false，
综上，命题成立．
25．已知函数false，false，false是false的导函数．
（1）若false，求false在false处的切线方程；
（2）若false在false上单调递增，求false的取值范围；
（3）求证：当false时false在区间false内存在唯一极大值点．
【解析】：：（1）当false，false，false，又false，
所以false在false处的切线方程为false；
（2）由false，
所以false，
令false，false，则false，
因为false，false，所以false，
false在false递减，所以false，false；
（3）因为false，
令false，false，false，
显然false单调递减，又false，
得false，
取false，则false，
故存在false，使得false，
false，false单调递增，false单调递减，
false为false的唯一极大值点，故命题成立．
26．设函数false（其中false，false，false为常数）
（1）当false时，对false有false恒成立，求实数false的取值范围；
（2）若曲线false在false处的切线方程为false，函数false的零点为false，求所有满足false，false的整数false的和．
【解析】：：（1）当false时，false，
所以false对任意的false都成立，
故false在false单调递增，
所以false，
要使得对false有false恒成立，则false即false，
（2）因为false，
所以false即false，又false，即false，
false，false，
显然false不是false的零点，所以false可化为false，
令false，则false，
所以false在false，false上单调递增，
又false（1）false，false（2）false，false，false
故false在false，false上各有1个零点，
所以false在false，false，false，false上各有1个零点，
所以false，false，false．
27．已知false．
（1）已知函数false在点false，false的切线与圆false相切，求实数false的值．
（2）当false时，false，求实数false的取值范围．
【解析】：：（1）由题知，false，false，
false在点false，false的切线斜率为false，
false在点false，false的切线方程为false，即false，
由题知，false，解得false．
（2）设false，false，
设false，false，
false当false时，false，false，false，
false即false在false，false上是增函数，false，
当false时，false，则当false时，false，
false函数false在false，false上是增函数，
false当false时，false，满足题意，
当false时，false，
false在false，false上是增函数，false趋近于正无穷大时，false趋近于正无穷大，
false存在false上，使false，
当false时，false，false函数false在false是减函数，
false当false时，false，不满足题意，
综上所述，实数false的取值范围为false，false．
28．已知函数false，其中false．
（1）试讨论函数false的单调性；
（2）若false，试证明：false．
【解析】：证明：（1）false，false，
当false时，false恒成立，故false在false上单调递增，
当false时，易得，当false时，false，函数单调递减，当false时，false，函数单调递增，
（2）当false时，要证false，只需证false，
false当false时，false，由false，故显然成立；
false当false时，令false，
false，
设false，false，
显然false在false递增，故false（1）false，
故false在false递增，可得false（1）false，
由false，false在false递增，
所以false（1）false，
综上，false成立，
故原命题成立．
29．已知函数false．
（Ⅰ）讨论false的单调性；
（Ⅱ）设false，且false，求证：false．
【解析】：：（Ⅰ）false的定义域为false，false，
当false时，false恒成立，false在false上单调递减；
当false时，由false解得false，
由false，解得false，
所以false在false上单调递增，
在false，false上单调递减．
当false时，false在false单调递减；
综上所述，当false时，false在false上单调递减；
当false时，false在false上单调递增，
在false，false上单调递减．
（Ⅱ）证明：当false时，false，false，
则false在false上单调递增．
设false，false，且false，则false，
即false，
所以false，可得false．
因为false，所以false，
所以false，
即false．
因为false，所以false，
所以false，false，false，false，
所以false．
综上可得false，且false，
即false．
30．已知false．
（1）求false；
（2）设false，求证：false在false内有且只有一个零点．
（3）求证：当false时，false．
【解析】：：（1）false，
false
false，
false
（2）false，
则false，false恒成立，
false在false上单调递增．
falsefalse，false
false使得false，
false
false
false
false，false
false
false
0
false
false
false
极小值
false
false，false
false使false
由false单调性知false是false的小于零的唯一零点
false在false内有且只有一个零点
（3）false时，false在false单调递增．
false，
false在false单调递增，
false．

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