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课程标准 命题解读
1．学会用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象． 2．学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验．
3．会用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理．
4．体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性．
5．学会通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式．
6．会用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式．
7．理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性. 考查形式：一般为一个选择题或两个选择题．
考查内容：集合的概念及集合的运算、充分必要条件的判定、一元二次不等式的解法．
备考策略：(1)熟练掌握集合的基本运算，以及相关不等式的解法．
(2)重视基础知识的复习，熟悉在不同知识背景下对充分必要条件的判定．
(3)注意对利用基本不等式求最值方法的总结和归纳．
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
第一节　集合
一、教材概念·结论·性质重现
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) A?B
(或B?A)
真子 集　 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA)
集合 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
与子集有关的性质
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
(2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ?UA＝{x|x∈U，且xA}
1．交集和补集的性质
(1)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A．
(2)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)；(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．
2．用集合运算表示区域
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (×)
(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或1． (×)
(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立． (√)
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集． (×)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C． (×)
(6)若a属于集合A，则可用符号表示为a?A． (×)
2．(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B＝(　　)
A．{1,3,5,7} B．{2,3}
C．{2,3,5} D．{1,2,3,5,7,8}
C　解析：A∩B＝{2,3,5,7}∩{1,2,3,5,8}＝{2,3,5}．故选C.
3．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A．{a}?A B．a?A
C．{a}∈A D．aA
D　解析：因为2不是自然数，所以aA．
4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1,4] B．(0,3]
C．(－1,0]∪(1,4] D．(－1,0]∪(1,4]
A　解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．
5．若{x|ax＋1＝0}?{x|x2－1＝0}，则实数a的值为________．
0或－1或1　解析：{x|x2－1＝0}＝{－1,1}．
当a＝0时，{x|ax＋1＝0}＝?，
满足{x|ax＋1＝0}?{x|x2－1＝0}．
当a≠0时，{x|ax＋1＝0}＝.
由题意知，－＝1或－1，此时a＝－1或1.
综上所述，a的值为0或－1或1.
考点1　集合的概念——基础性
1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A． B．
C．0 D．0或
D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故选D.
2．(2020·长沙市长郡中学高三)集合中含有的元素个数为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
B　解析：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12.故选B．
3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
C　解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.
4．已知P＝{x|2(5,6]　解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．
与集合中的元素有关问题的求解思路
(1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性．
考点2　集合的基本关系——综合性
(1)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　)
A　解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A．
(2)已知集合A＝{x|－1(－∞，1]　解析：当m≤0时，B＝?，显然B?A．
当m>0时，A＝{x|－1若B?A，在数轴上标出两集合，如图，
所以所以0综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
1．若本例(1)中M不变，则满足NM的集合N的个数为(　　)
A．2　　　B．3　　　C．7　　　D．8
C　解析：因为M＝{0,1,2}，NM，所以N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，?，共7个．
2．若本例(2)中，把条件“B?A”变为“A?B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
[3，＋∞)　解析：若A?B，由得m≥3，所以m的取值范围为[3，＋∞)．
1．判断两集合关系的方法
(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系．
2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．
1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则(　　)
A．P?Q B．Q?P
C．?RP?Q D．Q??RP
C　解析：因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以?RP＝{y|y>1}，所以?RP?Q.故选C.
2．(2020·哈尔滨市高三调研)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
A　解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况．故选A．
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}．若B?A，则实数m的取值范围为________．
[－2,2)　解析：若B＝?，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2.
若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意．
若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不符合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
考点3　集合的运算——应用性
考向1　集合的运算
(1)(2020·泰安一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3A．[－1,1]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
D．(－3，－1)
D　解析：阴影部分表示M∩?UN.由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得?UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3(2)若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(?RA)∪B＝________.
　[0，＋∞)　解析：因为A＝{x＝，所以?RA＝.又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝，(?RA)∪B＝[0，＋∞)．
已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为(　　)
A．{3} 　　B．{7} 　　C．{3,7} 　　D．{1,3,5}
B　解析：由题图可知，阴影区域为?U(A∪B)．由并集的概念知，A∪B＝{1,3,5}．又U＝{1,3,5,7}，于是?U(A∪B)＝{7}．故选B．
集合基本运算的方法技巧
考向2　集合运算的应用
(1)(2021·岳阳市高三质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不可以为(　　)
A．2 　　B．1 　　C．0 　　D．－2
A　解析：因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}且A∪B＝R，所以a≤1, 所以a的值不可以为2.故选A．
(2)(2020·南昌适应性测试)已知集合M＝{x|0A．9 　　B．8 C．7 　　D．6
B　解析：因为M∩N＝{x|0根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
1．设集合A＝{x∈N|5－x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则?AB＝(　　)
A．{0,3,4} B．{0,3,4,5} C．{3,4} D．{3,4,5}
B　解析：因为集合A＝{x∈N|5－x≥0}＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以?AB＝{0,3,4,5}．故选B．
2．已知集合A＝{x|－11}，则A∪B＝(　　)
A．(－1,1) B．(1,2) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
C　解析：因为A＝{x|－11}，所以A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.
3．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
C　解析：由题意，A∩B中的元素满足
且x，y∈N*.由x＋y＝8≥2x，得x≤4，
所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，
故A∩B中元素的个数为4.
4．(多选题)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则(　　)
A．M∩N＝N B．M∩(?UN)≠?
C．M∪N＝U D．M??UN
AB　解析：由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又?UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(?UN)＝{x|x≤0}≠?，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M(?UN)．故选AB．
全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，则集合A＝________，B＝________.
[四字程序]
读 想 算 思
求集合A，B 解有限集问题常用什么方法 集合间的运算 转化与化归
集合A，B为有限集，且与已知全集U及集合间的运算关系 有限集问题可利用Venn图法或集合运算含义求解 1.利用Venn图表示集合；
2.利用集合的运算求解 1.Venn图；
2.集合的交、并、补运算
思路参考：将集合用Venn图表示出来，进行观察，写出集合A，B．
{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：根据题意作出Venn图，如图所示，
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
思路参考：直接根据集合运算的含义分析求解．
{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：因为(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，所以?UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
所以B＝{2,3,5,8}．
因为(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
所以A＝{1,3,9}．
1．有限集的混合运算涉及交、并、补及其关系问题常用Venn图法处理．
2．涉及有交叉集合的元素个数问题往往用Venn图法处理较为方便．
3．基于新课程标准，对于集合问题的解决，要熟练掌握基本概念，数学阅读技能、推理能力和表达能力，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学素养．
某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17 B．18 C．19 D．20
B　解析：记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩?UB(如图)，有18人．

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