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素养培优课(一)　动量和能量的综合问题
[培优目标]
1.会利用动量守恒定律和能量守恒定律分析常见典型问题。
2.培养应用动量观点和能量观点分析综合问题的能力。
考点1　“滑块—木板”模型
1．把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。
2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。
3．注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多。
【典例1】　如图所示，AB是半径R＝0.80 m的光滑圆弧轨道，半径OB竖直，光滑水平地面上紧靠B点静置一质量M＝3.0 kg的小车，其上表面与B点等高。现将一质量m＝1.0 kg的小滑块从A点由静止释放，经B点滑上小车，最后与小车达到共同速度。已知滑块与小车之间的动摩擦因数μ＝0.40。重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)滑块刚滑至B点时，圆弧轨道对滑块的支持力大小；
(2)滑块与小车最后的共同速度大小；
(3)为使滑块不从小车上滑下，小车至少为多长。
[解析]　(1)滑块由A至B，由机械能守恒定律得
mgR＝mv
在B点时，由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得支持力FN＝30 N，vB＝4 m/s。
(2)滑块滑上小车后，对滑块与小车组成的系统，由动量守恒定律得
mvB＝(m＋M)v′
解得共同速度大小v′＝1 m/s。
(3)滑块滑上小车后，对滑块与小车组成的系统，由能量守恒定律得
μmgl＝mv－(m＋M)v′2
解得l＝1.5 m，即小车的长度至少为1.5 m。
[答案]　(1)30 N　(2)1 m/s　(3)1.5 m
求解此类问题的三点技巧
(1)正确分析作用过程中各物体运动状态的变化情况，建立运动模型。
(2)明确作用过程中的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量。
(3)合理选取研究对象，既要符合动量守恒的条件，又要方便解题。
(4)动量守恒方程和能量守恒方程中各物体的速度是相对同一参考系的。
1．(多选)如图甲所示，光滑平台上，物体A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小车上，车与水平面间的摩擦不计；图乙为物体A与小车B的v?t图像，由此可计算出(　　)
甲　　　　　　　　乙
A．小车上表面长度
B．物体A与小车B的质量之比
C．物体A与小车B上表面之间的动摩擦因数
D．小车B获得的动能
BC　[由图像可知，物体A与小车B最终以共同速度v1匀速运动，但由于题给条件不足，不能确定小车上表面的长度，故A错误；由动量守恒定律得mAv0＝(mA＋mB)v1，解得＝，可以确定物体A与小车B的质量之比，故B正确；由图像可以知道，物体A相对于小车B的位移Δx＝v0t1，根据能量守恒定律得μmAgΔx＝mAv－(mA＋mB)v，根据求得的物体A与小车B的质量关系，可以解出物体A与小车B上表面之间的动摩擦因数，故C正确；由于小车B的质量未知，故不能确定小车B获得的动能，故D错误。]
考点2　“子弹打木块”模型
1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒。
2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化。
3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多。
【典例2】　如图所示，质量为M的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m、速度为v0的子弹水平射入木块且未穿出，设木块对子弹的阻力恒为F，求：
(1)子弹与木块相对静止时二者共同速度为多大；
(2)射入过程中产生的内能和子弹对木块所做的功分别为多少；
(3)木块至少为多长时子弹不会穿出。
[解析]　(1)子弹与木块组成的系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv0＝(m＋M)v
解得：v＝。
(2)由能量守恒定律可知：
mv＝Q＋(m＋M)v2
得产生的热量为：Q＝
由动能定理，子弹对木块所做的功为：
W＝Mv2＝。
(3)设木块最小长度为L，由能量守恒定律：FL＝Q
得木块的最小长度为：L＝。
[答案]　(1)　(2)　　(3)
处理此类模型的两点技巧
(1)子弹打木块模型是通过系统内的滑动摩擦力相互作用，系统所受的外力为零(或内力远大于外力)，动量守恒。
(2)当子弹不穿出木块或滑块不滑离木板时，两物体最后有共同速度，相当于完全非弹性碰撞，机械能损失最多。
2.(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块。若射击下层，子弹刚好不射出；若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度；如图所示，上述两种情况相比较(　　)
甲　　　　　乙
A．子弹对滑块做功一样多
B．子弹对滑块做的功不一样多
C．系统产生的热量一样多
D．系统产生的热量不一样多
AC　[两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v共，由动量守恒定律可得mv＝(M＋m)v共，得v共＝v；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A正确；系统损失的机械能转化为热能，故选项C正确。]
考点3　“含弹簧类”模型
1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。
2．整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。
3．注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大。
【典例3】　如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C。B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相同时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中。
(1)整个系统损失的机械能；
(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
[解析]　(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得
mv0＝2mv1 ①
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv1＝2mv2 ②
mv＝ΔE＋(2m)v ③
联立①②③式得
ΔE＝mv。 ④
(2)由②式可知v2＜v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep。
由动量守恒定律和能量守恒定律得
mv0＝3mv3 ⑤
mv－ΔE＝(3m)v＋Ep ⑥
联立④⑤⑥式得
Ep＝mv。 ⑦
[答案]　(1)mv　(2)mv
弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧蓄积弹性势能最大。
3.两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
[解析]　(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共同速度为vABC，取向右为正方向。由A、B、C三者组成的系统动量守恒，(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC，解得vABC＝m/s＝3 m/s。
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，则mBv＝(mB＋mC)vBC，vBC＝m/s＝2 m/s，设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒Ep＝(mB＋mC)v＋mAv2－(mA＋mB＋mC)v＝×(2＋4)×22J＋×2×62J－×(2＋2＋4)×32J＝12 J。
[答案]　(1)3 m/s　(2)12 J
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