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正弦定理和余弦定理复习
一、知识梳理
１．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．
正弦定理指出了任意三角形三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．正弦定理可看作是三个方程，
,的合并,每个方程都含有四个量,知其中三个可求第四个,边与所对角的正弦的比值是一个定值,这个定值就是的外接圆半径．
正弦定理的常见变式：
（1），，（为的外接圆半径）。
（2）；
（3），，；
（4），，;
２.余弦定理
三角形中，任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即，，．
余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，余弦定理也可看作是三个方程，每个方程都涉及四个量，知其中任意三个量可求出第四个量。
　余弦定理的常见变式：
（1），，
（2），，。0
二、难点释疑
已知两边和其中一边的对角,利用正弦定理求另一边的对角,进而求出其它的边和角时，常有一解，二解或无解三种情况：
A为锐角
A为直角或钝角
例1 在中，已知，，，求和。
分析：本题是已知三角形的两边及一边的对角解三角形问题，可用正弦定理求解，但要先判定是否有解？有几解？也可用余弦定理求解。
解法１：∵，且 ，∴有两解
由正弦定理得：
∴或。
①当时，，
②当时，，
解法２：由余弦定理得：
故或。
①当时，由，即Ａ为锐角，此时，
。
②当时，由，即Ａ为钝角，此时，
。
点评：本例的特点是已知两边和其中的一边对角解三角形的问题，三角形不固定需讨
论解的个数，充分体现了分类讨论的数学思想。
３．方法点拨
应用正弦定理和余弦定理可以实现将“边角相混合”的式子化为“边或角的单一”的式子，这样就可以通过正弦定理、余弦定理来解三角形，并辅以三角函数、等式变换等知识，来化简或证明三角形中边与角的问题，判断三角形形状，求三角形的面积等。
运用用正、余弦定理解三角形分为四种类型：
①已知两角和任一边：这种类型应先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另外两边。
②已知两边和其中一边的对角：这种类型应先利用正弦定理求出另一边的对角，再利用正弦或余弦定理求出另两角。
③已知三边：这种类型应先由余弦定理求出两个角来，再由，求出第三角。
②已知两边及其夹角：这种类型应先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦或余弦定理求出另两角。
例２　在中，已知，判断三角形的形状．
分析：可利用正余弦定理或余弦定理将条件都转化为边的关系，或将条件都化为有关角的关系式进行判断．
解法１：原式可化为：
　　即．
　　由正弦定理有，　∴．
　　由余弦定理有，
　　∴．整理得：．
　　∴或．∴是等腰三角形或直角三角形．
解法２：原式可化为
　　由正弦定理，得，
　　∴．∴．
　　∵Ａ、Ｂ是三角形的内角，∴或,
　 即Ａ＝Ｂ或Ａ＋Ｂ＝．　∴是等腰三角形或直角三角形．
点拨：判断三角形状通常是根据正余弦定理或余弦定理将已知条件变换成只含边或只含角的式子．在变换时，可用正弦定理的变式，，化边为角，再用相关的三角公式加以解决；也可用正弦定理的变式和余弦定理化角为边，通过熟知的代数式加以解决．
４．思想升华
（1）将余弦定理的表达式变形为方程的形式,如,可将其视为以为未知数的一元二次方程,与一元二次方程的有关知识综合使用便可使余弦定理的应用更加灵活．
（2）将正弦定理得变式，，代入余弦定理公式整理,得,
,,它们是由三角函数表达的,叫余弦定理的三角式,应用这三个公式解决某些三角问题,可以避开繁琐的边角转化运算,简化解题过程。
５．误区警示
（1）在已知两边及其中一边对角的条件下，求其它边角问题，对于这类问题利用正弦定理和余弦定理都可解决．解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当的选用定理运用好的方法解题．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不能出现漏解或是增解的情况．　
（2）在利用正、余弦定理解与三角形有关的问题时,必须注意“三角形内角和为”、“在一个三角形中，大边对大角”等三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系对角范围的制约,以免产生错解.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｂ
EMBED Equation.DSMT4
Ａ
Ａｃ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ａ
Ｂ

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