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第四讲 向心力及水平面内的圆周运动
知识讲解
一、向心加速度与向心力
1、向心加速度
（1）表达式
an= vω==rω2= =4π2n2r =4π2f2r
（2）向心加速度的物理意义
因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量.
2、向心力
（1）定义
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，这个合力叫向心力
（2）作用效果
只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
产生向心加速度
（3）向心力的大小
（4）理解
①向心力由物体已有受力来提供，它可以是某一个力、某一个力的分力或者物体所受合力
②向心力是根据作用效果命名的，它不是具有确定性质的某种力
③物体做匀速圆周运动时，向心力由合外力提供
④向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力
3、经典模型
运动模型 图示 向心力大小
飞机水平转弯
火车转弯
汽车在水平路面转弯
圆锥摆
飞车走壁
水平转台
随堂练习
1.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104
N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是（ ）
汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
【答案】D
2.如图所示，当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．列车转弯时的向心加速度大小为gtan
B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用
C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力
D．水杯内水面与桌面不平行
【答案】AB
3.如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个完全相同的小球A、B在圆锥内壁不同高度处分别做匀速圆周运动．两小球运动的线速度 vA、vB，角速度ωA、ωB，加速度 aA、aB和合外力FA、FB，下列结论正确的是（ ）
A．vA>vB B．ωA＝ωB
C．aA>aB D．FA【答案】A
4.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内匀速圆周运动，A的运动半径较大，则( )
A．球A的线速度小于球B的线速度 B．球A的角速度小于球B的角速度
C．球A的运动周期小于球B的运动周期 D．球A与球B对筒壁的压力相等
【答案】BD
5.如图所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点．设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　)
A．细线L1和细线L2所受的拉力之比为∶1
B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
【答案】AC
6.质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴质量为M和m的小球悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图所示，则(　　)
A．cos α＝ B．cos α＝2cos β
C．tan α＝ D．tan α＝tan β
【答案】A
二、水平面内圆周运动的临界问题
1、五种典型临界条件
(1)物体离开接触面的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．
(5)物块与弹簧脱离的临界条件：弹力FN＝0，速度相等，加速度相等
2、处理临界问题的解题步骤
（1）判断临界状态
有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态．
（2）确定临界条件
判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
（3）选择物理规律
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解．
随堂练习
7.如图所示，两根相同的轻绳一端分别系在竖直杆上的A点与B点，另一端系在质量为m的小球C上。当小球随竖直杆一起以某一角速度ω匀速转动时，两根绳子都伸直，AC绳与竖直方向夹角为θ，BC绳水平，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球的向心加速度可能等于gtanθ B．AC绳的拉力一定等于
C．ω如果缓慢减小，则θ也一定同步减小 D．ω如果缓慢增加，BC绳一定先断
【答案】　ABD
8.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的在水平面内的圆周运动．如图，设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)
A.　　　 B. C. D.
【答案】B
9.如图，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0 N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m可看成质点)(　　)
A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
【答案】　BCD
【解析】　木块所受摩擦力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据向心力公式得：T＋f＝Mω2r，又T＝mg，解得：r＝；当f＝Fmax＝6.0 N时，r最大，rmax＝ m＝0.32 m，当f＝－6 N时，r最小，则rmin＝ m＝0.08 m，B、C、D正确，A错误。
10.如图所示，用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的甲、乙两物块(均可视为质点)，放置在水平圆盘上，甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲、乙两物块的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是(　　)
A．圆盘转动的角速度最大为 B．圆盘转动的角速度最大为
C．轻绳最大弹力为μmg D．轻绳最大弹力为μmg
【答案】　BC
11.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．物块A、B的运动属于匀变速曲线运动
B．B的向心力是A的向心力的2倍
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B先滑动，则B与A之间的动摩擦因数μA小于盘与B之间的动摩擦因数μB
【答案】C
课后巩固
1.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如右图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【答案】AC
2.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。如果增大高度h，则下列关于摩托车说法正确的是(　　)
A.对侧壁的压力FN增大
B.做圆周运动的周期T不变
C.做圆周运动的向心力F增大
D.做圆周运动的线速度增大
【答案】D
3.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是(　　)
A．小物块所受合外力指向O点
B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
C．当转动角速度ω> 时，小物块受摩擦力沿AO方向
D．当转动角速度ω< 时，小物块受摩擦力沿AO方向
【答案】BC
4.如图所示为一种叫做“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当“魔盘”转动到
一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会滑下．若魔盘半径为r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数
为μ，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程中，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列
说法正确的是 (　　)
A．人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力作用
B．如果转速变大，人与器壁之间的摩擦力不变
C．如果转速变大，人与器壁之间的弹力不变
D．“魔盘”的转速一定不小于
【答案】BD
5.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则(　　)
A．两物体均沿切线方向滑动
B．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
【答案】BD
6.如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上．M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M（ ）
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．M的角速度变为原来的
【答案】B第四讲 向心力及水平面内的圆周运动
知识讲解
一、向心加速度与向心力
1、向心加速度
（1）表达式
an= vω==rω2= =4π2n2r =4π2f2r
（2）向心加速度的物理意义
因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量.
2、向心力
（1）定义
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，这个合力叫向心力
（2）作用效果
只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
产生向心加速度
（3）向心力的大小
（4）理解
①向心力由物体已有受力来提供，它可以是某一个力、某一个力的分力或者物体所受合力
②向心力是根据作用效果命名的，它不是具有确定性质的某种力
③物体做匀速圆周运动时，向心力由合外力提供
④向心力不是物体真实受到的一个力，不能说物体受到向心力的作用，只能说某个力或某几个力提供了向心力
3、经典模型
运动模型 图示 向心力大小
飞机水平转弯
火车转弯
汽车在水平路面转弯
圆锥摆
飞车走壁
水平转台
随堂练习
1.一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104
N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是（ ）
汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
2.如图所示，当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．列车转弯时的向心加速度大小为gtan
B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用
C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力
D．水杯内水面与桌面不平行
3.如图所示为内壁光滑的倒立圆锥，两个完全相同的小球A、B在圆锥内壁不同高度处分别做匀速圆周运动．两小球运动的线速度 vA、vB，角速度ωA、ωB，加速度 aA、aB和合外力FA、FB，下列结论正确的是（ ）
A．vA>vB B．ωA＝ωB
C．aA>aB D．FA4.一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相等的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内匀速圆周运动，A的运动半径较大，则( )
A．球A的线速度小于球B的线速度 B．球A的角速度小于球B的角速度
C．球A的运动周期小于球B的运动周期 D．球A与球B对筒壁的压力相等
5.如图所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点．设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是(　　)
A．细线L1和细线L2所受的拉力之比为∶1
B．小球m1和m2的角速度大小之比为∶1
C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1
D．小球m1和m2的线速度大小之比为3∶1
6.质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴质量为M和m的小球悬线与竖直方向夹角分别为α和β，如图所示，则(　　)
A．cos α＝ B．cos α＝2cos β
C．tan α＝ D．tan α＝tan β
二、水平面内圆周运动的临界问题
1、五种典型临界条件
(1)物体离开接触面的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．
(5)物块与弹簧脱离的临界条件：弹力FN＝0，速度相等，加速度相等
2、处理临界问题的解题步骤
（1）判断临界状态
有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态．
（2）确定临界条件
判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来．
（3）选择物理规律
当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解．
随堂练习
7.如图所示，两根相同的轻绳一端分别系在竖直杆上的A点与B点，另一端系在质量为m的小球C上。当小球随竖直杆一起以某一角速度ω匀速转动时，两根绳子都伸直，AC绳与竖直方向夹角为θ，BC绳水平，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球的向心加速度可能等于gtanθ B．AC绳的拉力一定等于
C．ω如果缓慢减小，则θ也一定同步减小 D．ω如果缓慢增加，BC绳一定先断
8.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R的在水平面内的圆周运动．如图，设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)
A.　　　 B. C. D.
9.如图，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间的最大静摩擦力Fmax＝6.0 N，绳的一端系挂木块，通过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m可看成质点)(　　)
A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
10.如图所示，用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的甲、乙两物块(均可视为质点)，放置在水平圆盘上，甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲、乙两物块的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是(　　)
A．圆盘转动的角速度最大为 B．圆盘转动的角速度最大为
C．轻绳最大弹力为μmg D．轻绳最大弹力为μmg
11.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 (　　)
A．物块A、B的运动属于匀变速曲线运动
B．B的向心力是A的向心力的2倍
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B先滑动，则B与A之间的动摩擦因数μA小于盘与B之间的动摩擦因数μB
课后巩固
1.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如右图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
2.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿光滑圆台形表演台的侧壁高速行驶，在水平面内做匀速圆周运动。图中粗线圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。如果增大高度h，则下列关于摩托车说法正确的是(　　)
A.对侧壁的压力FN增大
B.做圆周运动的周期T不变
C.做圆周运动的向心力F增大
D.做圆周运动的线速度增大
3.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是(　　)
A．小物块所受合外力指向O点
B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
C．当转动角速度ω> 时，小物块受摩擦力沿AO方向
D．当转动角速度ω< 时，小物块受摩擦力沿AO方向
4.如图所示为一种叫做“魔盘”的娱乐设施，当转盘转动很慢时，人会随着“魔盘”一起转动，当“魔盘”转动到
一定速度时，人会“贴”在“魔盘”竖直壁上，而不会滑下．若魔盘半径为r，人与魔盘竖直壁间的动摩擦因数
为μ，在人“贴”在“魔盘”竖直壁上，随“魔盘”一起运动过程中，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列
说法正确的是 (　　)
A．人随“魔盘”转动过程中受重力、弹力、摩擦力和向心力作用
B．如果转速变大，人与器壁之间的摩擦力不变
C．如果转速变大，人与器壁之间的弹力不变
D．“魔盘”的转速一定不小于
5.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则(　　)
A．两物体均沿切线方向滑动
B．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
6.如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上．M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M（ ）
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．M的角速度变为原来的

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