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2020-2021学年上海市闵行区八年级（上）期中数学试卷
一．选择题
1．二次根式的一个有理化因式是（　　）
A． B． C．+ D．﹣
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x＝ B．x（x﹣2）＝x2 C．x2＝3（x+2） D．ax2+bx+c＝0
4．下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+1＝0 B．2x2+2＝x
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣（m﹣1）x＝3
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角的和还是锐角
B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　）
A．DA＝DE B．AC＝EC C．AH＝EH D．CD＝ED
二．填空题
7．化简：＝　 　．
8．化简：（y≥0）＝　 　．
9．如果＝1﹣a，那么a的取值范围是　 　．
10．不等式x﹣3＜x的解集是　 　．
11．已知最简二次根式x与3是同类二次根式，那么x＝　 　．
12．方程x2＝x的根是　 　．
13．在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣1＝　 　．
14．方程3x2+4x﹣2＝0的根的判别式的值为　 　．
15．某种商品原价800元，经过两次降价后售价为612元，其中第二次降价的百分率比第一次降价的百分率多5%，如果设第一次降价的百分率为x，那么根据题意所列出的方程为　 　．（只需列出方程，无需求解）
16．命题“同位角相等，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为　 　．
17．如图，已知AC＝DB，要使得三角形ABC≌△DCB，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　 　．（只需填写一个条件即可）
18．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝　 　度．
三．解答题
19．（+2）﹣（﹣）
20．解方程：（x+2）（x+1）＝12．
21．用配方法解方程：2x2+6x﹣1＝0．
22．先化简，再求值：[+]÷，其中x＝1，y＝2．
23．如图，已知：AB⊥BD，AC⊥CD，且∠BAD＝∠CAD．求证：AD⊥BC．
24．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+2＝0（m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围．
25．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙的长度为70米），用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，并且在平行于墙的一边开一扇宽为2米的门，如果围成的长方形临时仓库的面积为1800平方米，求长方形的两条边的长．
26．如图，已知：在△ABC中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，联结AE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）联结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：∠ABC+∠AEB＝90°．
27．如图，已知：△ABC是等边三角形，CE是△ABC的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．
（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；
（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）的结论“AD＝DE”还能成立吗？请说明理由．
（3）如果△ABC的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）
2020-2021学年上海市闵行区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
1．二次根式的一个有理化因式是（　　）
A． B． C．+ D．﹣
【分析】两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
【解答】解：因为×＝a﹣b，
所以二次根式的一个有理化因式可以是．
故选：B．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、，是最简二次根式；
B、＝3，不是最简二次根式；
C、＝|a|，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式；
故选：A．
3．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2x＝ B．x（x﹣2）＝x2 C．x2＝3（x+2） D．ax2+bx+c＝0
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A、不是整式方程，是分式方程，故本选项不合题意；
B、由原方程化简得﹣2x＝0，未知数的最高次数是1，故本选项不合题意；
C、由原方程可得x2﹣3x﹣6＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、方程二次项系数a可能为0，故本选项不合题意；
故选：C．
4．下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣6x+1＝0 B．2x2+2＝x
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣（m﹣1）x＝3
【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
【解答】解：A、△＝36﹣4＝32＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣15＜0，方程没有实数根；
C、△＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝（m﹣1）2+12＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角的和还是锐角
B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D．等腰三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】根据锐角的概念、全等三角形的性质、平行线的判定定理、轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、两个锐角的和还是锐角，是假命题，例如60°+60°＝120°；
B、全等三角形的对应边相等，是真命题；
C、同旁内角合并，两直线平行，本选项说法是假命题；
D、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项说法是假命题；
故选：B．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，那么下列结论中一定正确的是（　　）
A．DA＝DE B．AC＝EC C．AH＝EH D．CD＝ED
【分析】延长ED交AC于F，先由平行线的性质得∠AFD＝∠ACB＝90°，∠DEH＝∠B，再由角平分线的性质得DF＝DH，∠DHE＝90°，然后证明△CDF≌△EDH（ASA），得出CD＝ED即可．
【解答】解：一定正确的是CD＝ED，理由如下：
延长ED交AC于F，如图所示：
∵DE∥BC，
∴∠AFD＝∠ACB＝90°，∠DEH＝∠B，
∴DF⊥AC，∠DFC＝90°，
∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，
∴DF＝DH，∠DHE＝90°，
在△CDF和△EDH中，
，
∴△CDF≌△EDH（ASA），
∴CD＝ED，
故选：D．
二．填空题
7．化简：＝　　．
【分析】根据最简二次根式的方法求解即可．
【解答】解：＝＝，故填．
8．化简：（y≥0）＝　xy　．
【分析】依据二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由x3y2≥0，可得x≥0，
当y≥0时，＝＝×＝|xy|＝xy，
故答案为：xy．
9．如果＝1﹣a，那么a的取值范围是　a≤1　．
【分析】先将被开方数化完全平方式，然后根据化简的结果来判断a的取值范围．
【解答】解：由题意，知：＝1﹣a；
故a﹣1≤0，即a≤1．
10．不等式x﹣3＜x的解集是　x＞﹣3﹣3　．
【分析】利用不等式的基本性质，将不等式未知项和常数项各移到一边，解得x的解集．
【解答】解：由x﹣3＜x，得
x﹣x＜3，
（﹣）x＜3，
x＞，即x＞﹣3﹣3．
故答案是：x＞﹣3﹣3．
11．已知最简二次根式x与3是同类二次根式，那么x＝　﹣2　．
【分析】根据二次根式的意义，得到关于x的方程，求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式x与3是同类二次根式，
∴x+5＝3．
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
12．方程x2＝x的根是　x1＝0，x2＝2　．
【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
13．在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣1＝　2（x﹣）（x﹣）　．
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
【解答】解：令2x2﹣3x﹣1＝0，
解得：x＝，
则原式＝2（x﹣）（x﹣）．
故答案为：2（x﹣）（x﹣）．
14．方程3x2+4x﹣2＝0的根的判别式的值为　40　．
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝﹣2，
∴△＝b2﹣4ac＝16+24＝40．
故答案为：40．
15．某种商品原价800元，经过两次降价后售价为612元，其中第二次降价的百分率比第一次降价的百分率多5%，如果设第一次降价的百分率为x，那么根据题意所列出的方程为　800（1﹣x）（1﹣x﹣5%）＝612　．（只需列出方程，无需求解）
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设第一次降价百分率为x，根据题意可得：
800（1﹣x）（1﹣x﹣5%）＝612，
故答案是：800（1﹣x）（1﹣x﹣5%）＝612．
16．命题“同位角相等，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为　如果同位角相等，那么两直线平行　．
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解答】解：“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”，
所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”．
17．如图，已知AC＝DB，要使得三角形ABC≌△DCB，还需添加一个条件，那么这个条件可以是　AB＝DC或∠ACB＝∠DBC　．（只需填写一个条件即可）
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）判断即可．
【解答】解：添加AB＝DC，利用SSS可得△ABC≌△DCB；
添加∠ACB＝∠DBC，利用SAS可得△ABC≌△DCB；
故答案为：AB＝DC或∠ACB＝∠DBC．
18．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，如果∠1＝32°，那么∠2＝　34　度．
【分析】如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．首先证明∠1+∠2＝2∠AC′B，求出∠AC′B即可解决问题．
【解答】解：如图延长AE、BF交于点C′，连接CC′．
在△ABC′中，∠AC′B＝180°﹣72°﹣75°＝33°，
∵∠ECF＝∠AC′B＝40°，∠1＝∠ECC′+∠EC′C，∠2＝∠FCC′+∠FC′C，
∴∠1+∠2＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝2∠AC′B＝66°，
∵∠1＝32°，
∴∠2＝34°，
故答案为：34．
三．解答题
19．（+2）﹣（﹣）
【分析】根据二次根式的加减运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式＝+﹣3+3
＝﹣+．
20．解方程：（x+2）（x+1）＝12．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：∵（x+2）（x+1）＝12，
∴x2+3x﹣10＝0，
∴（x+5）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣5或x＝2．
21．用配方法解方程：2x2+6x﹣1＝0．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵2x2+6x＝1，
∴x2+3x＝，
则x2+3x+＝+，即（x+）2＝，
∴x+＝±，
∴x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．
22．先化简，再求值：[+]÷，其中x＝1，y＝2．
【分析】先依据二次根式的运算法则化简，再把x，y的值代入计算即可．
【解答】解：[+]÷
＝[﹣]÷
＝×
＝×
＝
＝，
当x＝1，y＝2时，原式＝＝．
23．如图，已知：AB⊥BD，AC⊥CD，且∠BAD＝∠CAD．求证：AD⊥BC．
【分析】由“AAS”可证△ABD≌△ACD，可得AB＝AC，由等腰三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠ABD＝∠ACD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC．
24．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣3x+2＝0（m为常数）．
（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值；
（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围．
【分析】（1）根据根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，m+1≠0来求m的取值范围；
（2）方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝0，则可求出答案；
（3）方程没有实数根，则△＝b2﹣4ac＜0，可求出答案．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（m+1）＝﹣8m+1＞0，且m+1≠0，
∴m＜且m≠﹣1，
∴m的取值范围是m＜且m≠﹣1，
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣8m+1＝0，
∴m＝．
（3）∵方程没有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣8m+1＜0，
∴m＞．
∴m的取值范围是m＞．
25．某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙的长度为70米），用120米长的铁栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，并且在平行于墙的一边开一扇宽为2米的门，如果围成的长方形临时仓库的面积为1800平方米，求长方形的两条边的长．
【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（120+2﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合临时仓库的面积为1800平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（120+2﹣2x）米，
依题意，得：x（120+2﹣2x）＝1800，
整理，得：x2﹣61x+900＝0，
解得：x1＝25，x2＝36，
当x＝25时，120+2﹣2x＝72＞70，不合题意，舍去；
当x＝36时，120+2﹣2x＝50＜70，符合题意．
答：长方形的长为50米，宽为36米．
26．如图，已知：在△ABC中，点D是边AC的中点，点E是边BC的延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线相交于点F，联结AE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）联结CF，交边AB于点G，如果CF⊥AB，求证：∠ABC+∠AEB＝90°．
【分析】（1）先根据线段中点的定义得AD＝CD，再根据平行线的性质得到，∠AFE＝∠CED，∠DAF＝∠DCE，最后根据全等三角形的判定定理和性质定理即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定与性质得到CF∥AE，再根据平行线的性质得到AE⊥AB，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得证．
【解答】证明：（1）∵点D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∵AF∥BE，
∴∠AFE＝∠CED，∠DAF＝∠DCE，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE．
（2）∵AF＝CE，AF∥BE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF∥AE，
∵CF⊥AB，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠AEB＝90°．
27．如图，已知：△ABC是等边三角形，CE是△ABC的外角∠ACM的平分线，点D为射线BC上一点，且∠ADE＝∠ABC，DE与CE相交于点E．
（1）如图1，如果点D在边BC上，求证：AD＝DE；
（2）如图2，如果点D在边BC的延长线上，那么（1）的结论“AD＝DE”还能成立吗？请说明理由．
（3）如果△ABC的边长为4，且∠DAC＝30°，请直接写出线段BD的长度．（无需写出解题过程）
【分析】（1）首先在AC上截取CN＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDN是等边三角形，继而可证得△ADN≌△EDC，即可得AD＝DE；
（2）首先在AC延长线上截取CN＝CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDN是等边三角形，继而可证得△ADN≌△EDC，即可得AD＝DE；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）在AC上截取CN＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴ND＝CD＝CN，∠CND＝∠CDN＝60°，
∴∠AND＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠NDC，
∴∠ADN＝∠EDC，
∵CE平分∠ACM，
∴∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝120°＝∠AND，
在△ADN和△EDC中，
，
∴△ADN≌△EDC（ASA），
∴AD＝ED；
（2）在AC的延长线上截取CN＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DCN＝60°，
∴△CDN是等边三角形，
∴ND＝CD＝CN，∠CND＝∠CDN＝60°，
∵CE平分∠ACM，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠ECD＝∠AND，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠CDN，
∴∠ADN＝∠EDC，
在△ADN和△EDC中，
，
∴△ADN≌△EDC（ASA），
∴AD＝DE；
（3）当点D在线段BC上时，
∵△ABC是等边三角形，∠DAC＝30°＝∠BAC，
∴BD＝BC＝2，
当点D在射线CM上时，
∵∠DAC＝30°，∠ACB＝60°＝∠DAC+∠ADC，
∴∠DAC＝∠ADC＝30°，
∴AC＝DC＝4，
∴BD＝8，
综上所述：BD的值2或8．

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