2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级(上)期中数学试卷(word解析版)

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2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.“致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.在下列标识或简图中,是轴对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
2.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是(  )
A.a=1、b=2,c=3 B.a=3、b=4,c=5
C.a=9、b=40,c=41 D.a=7、b=24,c=25
3.如果等腰三角形的一个角是70°,那么它的底角是(  )
A.55° B.70°或40° C.40°或55° D.70°或55°
4.如图,已知∠ABC=∠DCB.若再增加下列条件中的某一个,仍不能判定△ABC≌△DCB,则这个条件是(  )
A.AB=CD B.AC=BD C.∠A=∠D D.∠ACB=∠DBC
5.如图,正方形的边长为4,则图中阴影部分的面积为(  )
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
6.如图,在△ABC中,BC边上的高为(  )
A.AD B.BE C.BF D.CG
7.下列说法错误的是(  )
A.关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B.线段是轴对称图形
C.全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D.轴对称图形的对称轴至少有一条
8.如图,在△ABC中,∠B=50°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,则∠CB′C′的度数为(  )
A.50° B.60° C.80° D.100°
9.如图,由4个小正方形组成的田字格,△ABC的顶点都是小正方形的顶点,在田字格上能画出与△ABC成轴对称,且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,在△ABC中,AB=4,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为(  )
A. B. C. D.
二、填空题(每空3分,共24分)
11.等腰三角形的两边长分别是3和7,则其周长为   .
12.已知直角三角形的两条直角边为5和12,则斜边长为   .
13.如图,△ABC中,边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,AC=5,△AEC的周长为12,则AB=   .
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点,若BC=6,AD=4,则DE的长为   .
15.如图,已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,则∠BDE=   °.
16.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①以B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于D,交BC于E;
②分别以D,E为圆心,以大于DE的同样长为半径作弧,两弧交于点F;
③作射线BF交AC于G.
如果AB=9,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为   .
17.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为121,则BE=   .
18.如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM、ON于点A、B,再分别以点A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.设OA=5,DE=6,则OD=   .
三、解答题(共56分)
19.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求:A与A1,B与B1,C与C1相对应)
(2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB),则网格中满足条件的点P共有   个;
(3)在直线l上找一点Q,使QB+QC的值最小.
20.如图,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.求证:AF=DE.
21.如图,∠1=∠2,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,AE与BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠2=30°,求∠C的度数.
22.小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=6cm,AB=10cm,可求得△ACD的周长为   cm;
(2)如果∠CAD:∠BAD=1:4,可求得∠B的度数为   ;
操作二:如图2,小王拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,AB=15cm,请求出CD的长.
23.如图,△ABC中,AB=AC=3,∠B=∠C=50°.点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BAD=35°时,∠EDC=   °;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?试说明理由;
(3)△ADE能成为等腰三角形吗?若能,请直接写出此时∠BAD的度数;若不能,请说明理由.
24.如图1,点B在线段CE上,Rt△ABC≌Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,∠BAC=30°,BC=2.
(1)点F到直线CA的距离是   ;
(2)固定△ABC,将△CEF绕点C按顺时针方向旋转,如图2,在旋转过程中,线段CF与AB交于点O,设OF=x,
①用含x的代数式分别表示OE2、OB2;
②当OE=OB时,求OF的长.
2020-2021学年江苏省无锡市宜兴市八年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.“致中和,天地位焉,万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.在下列标识或简图中,是轴对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:A、是轴对称图形,故此选项符合题意;
B、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
D、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
故选:A.
2.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是(  )
A.a=1、b=2,c=3 B.a=3、b=4,c=5
C.a=9、b=40,c=41 D.a=7、b=24,c=25
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断.
【解答】解:A、12+22≠32,则不是直角三角形,
B、32+42=52,则是直角三角形,
C、92+402=412,则是直角三角形,
D、72+242=252,则是直角三角形,
故选:A.
3.如果等腰三角形的一个角是70°,那么它的底角是(  )
A.55° B.70°或40° C.40°或55° D.70°或55°
【分析】根据题意,分已知角是底角与不是底角两种情况讨论,结合三角形内角和等于180°,分析可得答案.
【解答】解:根据题意,一个等腰三角形的一个角等于70°,
①当这个角是底角时,即该等腰三角形的底角的度数是70°,
②当这个是70°是顶角,
设等腰三角形的底角是x°,
则2x+70°=180°,
解可得,x=55°,即该等腰三角形的底角的度数是55°;
故选:D.
4.如图,已知∠ABC=∠DCB.若再增加下列条件中的某一个,仍不能判定△ABC≌△DCB,则这个条件是(  )
A.AB=CD B.AC=BD C.∠A=∠D D.∠ACB=∠DBC
【分析】根据题意和图形可以得到∠ABC=∠DCB,BC=CB,再根据各个选项中的条件,即可得到哪个选项中的条件不能判定△ABC≌△DCB,本题得以解决.
【解答】解:∵∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴若AB=CD,则△ABC≌△DCB(SAS),故选项A不符合题意;
若AC=BD,则无法判断△ABC≌△DCB,故选项B符合题意;
若∠A=∠D,则△ABC≌△DCB(AAS),故选项C不符合题意;
若∠ACB=∠DBC,则△ABC≌△DCB(ASA),故选项D不符合题意;
故选:B.
5.如图,正方形的边长为4,则图中阴影部分的面积为(  )
A.2 B.4 C.8 D.无法确定
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得,阴影部分的面积等于正方形的面积的一半,然后列式进行计算即可得解.
【解答】解:S阴影=?S正方形ABCD=×4×4=8.
故选:C.
6.如图,在△ABC中,BC边上的高为(  )
A.AD B.BE C.BF D.CG
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.根据三角形的高线的定义解答.
【解答】解:由图可知,△ABC中,BC边上的高为AD,
故选:A.
7.下列说法错误的是(  )
A.关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合
B.线段是轴对称图形
C.全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称
D.轴对称图形的对称轴至少有一条
【分析】根据轴对称的概念以及性质对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合,正确,故本选项错误;
B、线段是轴对称图形,正确,故本选项错误;
C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称,但关于某直线成轴对称的两个三角形一定,故本选项正确;
D、轴对称图形的对称轴至少有一条,正确,故本选项错误.
故选:C.
8.如图,在△ABC中,∠B=50°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,则∠CB′C′的度数为(  )
A.50° B.60° C.80° D.100°
【分析】根据旋转的性质得到AB=AB′,∠C′B′A=∠B,由等腰三角形的性质得到∠AB′B=∠B,然后根据平角的定义即可得到结论.
【解答】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′,
∴AB=AB′,∠C′B′A=∠B,
∴∠AB′B=∠B,
∵∠B=50°,
∴∠C′B′A=∠AB′B=50°,
∴∠CB′C′=180°﹣∠C′B′A﹣∠AB′B=80°,
故选:C.
9.如图,由4个小正方形组成的田字格,△ABC的顶点都是小正方形的顶点,在田字格上能画出与△ABC成轴对称,且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有(  )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】因为顶点都在小正方形上,故可分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴进行寻找.
【解答】解:分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴,作轴对称图形:
则△ABM、△ANB、△EHF、△EFC都是符合题意的三角形.
故选:C.
10.如图,在△ABC中,AB=4,∠ABC=60°,∠ACB=45°,D是BC的中点,直线l经过点D,AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为(  )
A. B. C. D.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段,然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
【解答】解:如图,过点C作CK⊥l于点K,过点A作AH⊥BC于点H,
在Rt△AHB中,
∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BH=2,AH=2,
在Rt△AHC中,∠ACB=45°,
∴AH=CH=2,
∴AC===2,
∵点D为BC中点,
∴BD=CD,
在△BFD与△CKD中,

∴△BFD≌△CKD(AAS),
∴BF=CK,
延长AE,过点C作CN⊥AE于点N,得矩形ENCK,
∴CK=EN,
∴AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,
在Rt△ACN中,AN<AC,
当直线l⊥AC时,最大值为2,
综上所述,AE+BF的最大值为2.
故选:B.
二.填空题
11.等腰三角形的两边长分别是3和7,则其周长为 17 .
【分析】因为边为3和7,没明确是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.
【解答】解:分两种情况:
当3为底时,其它两边都为7,3、7、7可以构成三角形,周长为17;
当3为腰时,其它两边为3和7,3+3=6<7,所以不能构成三角形,故舍去,
所以等腰三角形的周长为17.
故答案为:17.
12.已知直角三角形的两条直角边为5和12,则斜边长为 13 .
【分析】根据直角三角形的两条直角边的长为5和12,利用勾股定理即可求出其斜边的长.
【解答】解;∵直角三角形的两条直角边的长为5和12,
∴它的斜边长==13.
故选答案为:13.
13.如图,△ABC中,边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D,AC=5,△AEC的周长为12,则AB= 7 .
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC,根据三角形的周长公式计算,得到答案.
【解答】解:∵DE是线段BC的垂直平分线,
∴EB=EC,
∵△AEC的周长为12,
∴AC+AE+EC=12,
∴AC+AE+EB=AC+AB=12,
∴AB=12﹣5=7,
故答案为:7.
14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点,若BC=6,AD=4,则DE的长为  .
【分析】利用勾股定理求出AB,再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可.
【解答】解:∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=CD=3,
∴∠ADB=90°,
∴AB===5,
∵AE=EB,
∴DE=AB=,
故答案为.
15.如图,已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,则∠BDE= 120 °.
【分析】由△ABC为等边三角形,可求出∠BDC=90°,由△DCE是等腰三角形求出∠CDE=∠CED=30°,即可求出∠BDE的度数.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,BD为中线,
∴∠BDC=90°,∠ACB=60°
∴∠ACE=180°﹣∠ACB=180°﹣60°=120°,
∵CE=CD,
∴∠CDE=∠CED=30°,
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°,
故答案为:120.
16.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①以B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于D,交BC于E;
②分别以D,E为圆心,以大于DE的同样长为半径作弧,两弧交于点F;
③作射线BF交AC于G.
如果AB=9,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为 24 .
【分析】如图,过点G作GM⊥AB于M,GN⊥BC于N.证明GM=GN,求出GM,即可解决问题.
【解答】解:如图,过点G作GM⊥AB于M,GN⊥BC于N.
由作图可知,GB平分∠ABC,
∵GM⊥AB,GN⊥BC,
∴GM=GN,
∵S△ABG=×AB×GM=18,
∴GM=4,
∴GN=GM=4,
∴S△CBG=?BC?GN=×12×4=24,
故答案为24.
17.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为121,则BE= 11 .
【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形,求出BE的长.
【解答】解:过B点作BF⊥CD,与DC的延长线交于F点,
∵∠FBC+∠CBE=90°,∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠FBC=∠ABE,
在△BCF和△BEA中

∴△BCF≌△BEA(AAS),
则BE=BF,
∵∠BED=∠F=∠D=90°,
∴四边形BEDF是矩形,
∵BE=BF,
∴四边形BEDF是正方形,
∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=121,
∴BE=11,
故答案为11.
18.如图,已知∠MON是一个锐角,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM、ON于点A、B,再分别以点A、B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于点E.设OA=5,DE=6,则OD= 8 .
【分析】连接AB,首先证明AB⊥OD,推出AB∥DE,推出四边形ABED是平行四边形,再证明OA=AD=OB=BE=5,利用勾股定理求解即可.
【解答】解:连接AB.
由作图可知,OA=OB,OD平分∠AOB,
∴OD⊥AB,
∵DE⊥OD,
∴AB∥DE,
∵AD∥BE,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴AD=BE,
∵AD∥OE,
∴∠ADO=∠DOE,
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOD=∠DOE=∠ADO,
∴AD=OA=OB=BE=5,
∴OE=10,
∵∠ODE=90°,
∴OD===8.
故答案为8.
三.解答题(共6小题)
19.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求:A与A1,B与B1,C与C1相对应)
(2)若有一格点P到点A、B的距离相等(PA=PB),则网格中满足条件的点P共有 4 个;
(3)在直线l上找一点Q,使QB+QC的值最小.
【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点A1,B1,C1即可.
(2)在线段AB的垂直平分线性质格点即可.
(3)连接BC′交直线l于点Q,连接CQ,此时BQ+CQ的值最小.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,满足条件的点P有4个,
故答案为4.
(3)如图点Q即为所求.
20.如图,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.求证:AF=DE.
【分析】由“ASA”可证△ABF≌△DCE,可AF=DE.
【解答】证明:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C,
在△ABF和△DCE中,

∴△ABF≌△DCE(ASA),
∴AF=DE.
21.如图,∠1=∠2,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,AE与BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠2=30°,求∠C的度数.
【分析】(1)由“ASA”可证△AEC≌△BED;
(2)由全等三角形的性质可得DE=EC,由等腰三角形的性质可求解.
【解答】证明:(1)∵∠1=∠2
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED,
即∠AEC=∠BED,
在△AEC和△BED中,

∴△AEC≌△BED(ASA);
(2)∵△AEC≌△BED,
∴DE=EC,
∴∠EDC=∠C,
∵∠1=∠2=30°,
∴∠C=75°.
22.小王剪了两张直角三角形纸片,进行了如下的操作:
操作一:如图1,将Rt△ABC沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE.
(1)如果AC=6cm,AB=10cm,可求得△ACD的周长为 14 cm;
(2)如果∠CAD:∠BAD=1:4,可求得∠B的度数为 40° ;
操作二:如图2,小王拿出另一张Rt△ABC纸片,将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,若AC=9cm,AB=15cm,请求出CD的长.
【分析】操作一:(1)先根据勾股定理求出BC=8cm,再由折叠的性质得AD=BD,即可得出结论;
(2)设∠CAD=x,则∠BAD=4x,进而判断出∠B=∠BAD=4x,最后用直角三角形的两锐角互余建立方程,求解即可得出结论;
操作二:先由折叠得出AE=AC=9cm,设出CD=xcm,进而得出BD=(12﹣x)cm,DE=xcm,最后用勾股定理建立方程求解,即可得出结论.
【解答】解:操作一:
(1)在Rt△ABC中,AC=6cm,AB=10cm,
根据勾股定理得出,BC=(cm),
由折叠的性质得,AD=BD,
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14(cm);
故答案为:14cm;
(2)设∠CAD=x,则∠BAD=4x,
由折叠的性质得,AD=BD,
∴∠B=∠BAD=4x,
∵∠C=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∴4x+4x+x=90°,
∴x=10°,
∴∠B=40°;
故答案为:40°;
操作二:
在Rt△ABC中,AC=9cm,AB=15cm,
根据勾股定理得,BC=(cm),
根据折叠性质得,AE=AC=9(cm),
∵AB=15cm,
∴BE=AB﹣AE=6(cm),
设CD=xcm,则BD=(12﹣x)cm,
由折叠知,DE=CD=xcm,
在Rt△BDE中,根据勾股定理得,DE2+BE2=BD2,
∴x2+62=(12﹣x)2,
∴x=4.5,
∴CD=4.5cm.
23.如图,△ABC中,AB=AC=3,∠B=∠C=50°.点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BAD=35°时,∠EDC= 35 °;
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE?试说明理由;
(3)△ADE能成为等腰三角形吗?若能,请直接写出此时∠BAD的度数;若不能,请说明理由.
【分析】(1)先利用平角的意义求出∠CDE,再用三角形外角的性质求出∠AED,最后用三角形的内角和定理求出∠DAE;
(2)先利用等式的性质判断出∠BAD=∠CDE,再用全等三角形的性质得出CD=AB,即可得出结论;
(3)先求出∠BAC=80°,再分三种情况,利用等腰三角形的性质求出∠DAE,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵∠BAD=35°,∠B=50°,
∴∠ADC=85°,
∵∠ADE=50°,
∴∠EDC=85°﹣50°=35°,
故答案为:35;
(2)当DC=3时,△ABD≌△DCE;
理由:∵∠ADE=50°,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=50°+∠EDC.
∵∠B=50°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=50°+∠BAD,
∴∠BAD=∠EDC.
∵△ABD≌△DCE(ASA),
∴DC=AB=3;
(3)能,当∠BAD=15°或30°时,△ADE能成为等腰三角形.
理由:在△ABC中,∠B=∠C=50°,
∴∠BAC=80°,
①当DA=DE时,
∵∠ADE=50°,
∴∠CAD=(180°﹣∠ADE)=65°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=15°,
②当EA=ED时,
∴∠DAC=∠ADE=50°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=30°,
③当AD=AE时,∠AED=∠ADE=50°,
∴∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠AED=80°,此时,点D与点B重合,不符合题意,
综上所述,当∠BAD=15°或30°时,△ADE能成为等腰三角形.
24.如图1,点B在线段CE上,Rt△ABC≌Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,∠BAC=30°,BC=2.
(1)点F到直线CA的距离是 2 ;
(2)固定△ABC,将△CEF绕点C按顺时针方向旋转,如图2,在旋转过程中,线段CF与AB交于点O,设OF=x,
①用含x的代数式分别表示OE2、OB2;
②当OE=OB时,求OF的长.
【分析】(1)先用含30度角的直角三角形的性质,求出AC=2,进而得出和CF=4,再判断出∠ACF=30°,进而得出DF=CF,即可得出结论;
(2)先表示出OC=4﹣x,
①根据勾股定理得,OB2=OC2﹣BC2=x2﹣8x+12,再判断出EF=BC=2,∠FEH=30°,进而得出FH=,再根据勾股定理得,EH=,进而得出OH=x﹣1,最后用勾股定理即可得出OB2;
②当OE=OB时,则OE2=OB2,即x2﹣8x+12=x2﹣2x+4,解方程即可得出结论.
【解答】解:(1)如(图1)中,过点F作FD⊥AC于D,
∴∠CDF=90°,
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=2,
∴∠ACB=60°,AC=2BC=4,
∵Rt△ABC≌Rt△CEF,
∴CF=AC=4,∠ECF=∠BAC=∠30°,
∴∠ACF=∠ACB﹣∠ECF=30°,
在Rt△CDF中,CF=4,∠ACF=30°,
∴DF=CF=2,
故答案为2;
(2)如(图2)中,
过点E作EH⊥CF于H,
∴∠FEH=∠OHE=90°,
由(1)知,CF=4,
∵OF=x,
∴OC=4﹣x,
①在Rt△OCB中,BC=2,
根据勾股定理得,OB2=OC2﹣BC2=(4﹣x)2﹣22=x2﹣8x+12,
∵Rt△ABC≌Rt△CEF,
∴EF=BC=2,∠F=∠ACB=60°,
∴∠FEH=30°,
在Rt△FEH中,∠FEH=30°,EF=2,
∴FH=,
根据勾股定理得,EH=,
∴OH=OF﹣FH=x﹣1,
在Rt△OEH中,;
②当OE=OB时,则OE2=OB2,
即x2﹣8x+12=x2﹣2x+4,
解得x=,
即OF的长为.

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