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解斜三角形
一、正弦定理
1.公式：
(1)处理边与对角关系，已知三个条件中含边与对角可选取正弦定理的成比例计算
2.关联公式：
(1)三角形内角和：，给定两内角等价于三个内角都给定
(2)大边对大角，大角对大边：
(3)三角形多解问题判断
二、余弦定理
1.
公式：，，
(1)
边与角的转换
(2)
平方与乘积的转换
(3)
锐角、直角、钝角的判断
三、三角形面积公式
1.
2.
3.
例1.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b＝2，A＝60°，则c＝________
【难度】★★
例2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，cosB＝cosC，则b＝________
【难度】★★★
例3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2A+4cosA＝5．
（1）求角A；
（2）若2sinA，求角B，C．
【难度】★★★★
例4.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（1）求cosB的值；
（2）求的值
【难度】★★★
例5.如图，角A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，AB＝6，BC＝3，CD＝4．
（1）若B＝60°，∠DAC＝30°，求sinD；
（2）若∠BAD+∠BCD＝180°，AD＝5，求cos∠BAD．
【难度】★★★★
例6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．
【难度】★★★
例7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2sinAcosB＝sinC，则△ABC的形
状为________
【难度】★★★
例8.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sinBsinC＝0，
则的取值范围为________
【难度】★★★★
例9.已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且ccosB+bcosC＝4asinBsinC，
则c的最小值为________
【难度】★★★★
例10.已知下列各三角形的两边及一边的对角，先判断三角形是否有解？若有解，解该三角形.
（1）（2）
（3）
（4）
【难度】★★★
1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，b2，则tanB＝________
【难度】★★★
2、△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+a2﹣c2＝2ac，sinB，则C＝________
【难度】★★★
3、已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2asinC．
（1）求角A的大小；
（2）若c＝3，b＝4，求a．
【难度】★★★
4、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且BD＝3AD．
（1）若∠BCD＝2∠ACD，求角A的大小；
（2）若，求tanC的值．
【难度】★★★
5、△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知acosBsinC+bcosAsinC＝c2，则a的最
大值为________
【难度】★★★★
6、下列说法中正确的是　
　（写出所有正确的序号）
①△ABC中，若，则的值有两解；
②△ABC中，若，则的值有两解；
③△ABC中，若，则；
④△ABC中，若，则
【难度】★★★
1、已知△ABC的面积为的等边三角形，点D在线段AC的延长线上，若∠BDC＝45°，则
BD＝________
【难度】★★★★
2、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，A，c＝2，则b＝________
【难度】★★★★
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，则　________
【难度】★★
2、已知△ABC中，,则角C的取值范围是　
　．
【难度】★★★
3、在△ABC中，AB＝4，BC＝6，cosB，则△ABC的外接圆的半径等于________
【难度】★★
4、在△ABC中，若，AB＝2，，则AC＝________
【难度】★★
5、已知在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且sinA＝2sinBcosC，
则实数b的取值范围为________
【难度】★★★
6、已知△ABC中，a＝2，c，A＝45°，则b＝________
【难度】★★
7、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，且a2
＝bc，则的值为________
【难度】★★★
8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则sinC
的值为________
【难度】★★★
9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1﹣2cosC）+c（1﹣2cosA）＝
0．
（1）求证：a+c＝2b；
（2）求角B的最大值．
【难度】★★★★解斜三角形
一、正弦定理
1.公式：
(1)处理边与对角关系，已知三个条件中含边与对角可选取正弦定理的成比例计算
2.关联公式：
(1)三角形内角和：，给定两内角等价于三个内角都给定
(2)大边对大角，大角对大边：
(3)三角形多解问题判断
二、余弦定理
1.
公式：，，
(1)
边与角的转换
(2)
平方与乘积的转换
(3)
锐角、直角、钝角的判断
三、三角形面积公式
1.
2.
3.
例1.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b＝2，A＝60°，则c＝________
【难度】★★
答案：6．
例2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，cosB＝cosC，则b＝________
【难度】★★★
答案：
例3.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2A+4cosA＝5．
（1）求角A；
（2）若2sinA，求角B，C．
【难度】★★★★
答案：（1）；（2），．
例4.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（1）求cosB的值；
（2）求的值
【难度】★★★
答案：（1）cosB．（2）以．
例5.如图，角A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角，AB＝6，BC＝3，CD＝4．
（1）若B＝60°，∠DAC＝30°，求sinD；
（2）若∠BAD+∠BCD＝180°，AD＝5，求cos∠BAD．
【难度】★★★★
答案：（1）．（2）．
例6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且ab＝c2﹣a2﹣b2．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为，，求a、b的值．
【难度】★★★
答案：（1）；（2）a＝2，b＝4或a＝4，b＝2．
例7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2sinAcosB＝sinC，则△ABC的形状为________
【难度】★★★
答案：等腰三角形．
例8.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sinBsinC＝0，则的取值范围为________
【难度】★★★★
答案：（，）．
例9.已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，已知b＝1，且ccosB+bcosC＝4asinBsinC，则c的最小值为________
【难度】★★★★
答案：．
例10.已知下列各三角形的两边及一边的对角，先判断三角形是否有解？若有解，解该三角形.
（1）（2）
（3）
（4）
【难度】★★★
答案：（1）（2）无解.（3）一解.
（4）两解.
1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，b2，则tanB＝________
【难度】★★★
答案：3．
2、△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2+a2﹣c2＝2ac，sinB，则C＝________
【难度】★★★
答案：．
3、已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2asinC．
（1）求角A的大小；
（2）若c＝3，b＝4，求a．
【难度】★★★
答案：（1）A．（2）a．
4、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且BD＝3AD．
（1）若∠BCD＝2∠ACD，求角A的大小；
（2）若，求tanC的值．
【难度】★★★
答案：（1）A．（2）tanC．
5、△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知acosBsinC+bcosAsinC＝c2，则a的最大值为________
【难度】★★★★
答案：1．
6、下列说法中正确的是　
　（写出所有正确的序号）
①△ABC中，若，则的值有两解；
②△ABC中，若，则的值有两解；
③△ABC中，若，则；
④△ABC中，若，则
【难度】★★★
答案：②③④
1、已知△ABC的面积为的等边三角形，点D在线段AC的延长线上，若∠BDC＝45°，则BD＝________
【难度】★★★★
答案：．
2、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，A，c＝2，则b＝________
【难度】★★★★
答案：2或4．
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，则　________
【难度】★★
答案：．
2、已知△ABC中，,则角C的取值范围是　
　．
【难度】★★★
答案：（0，]；
3、在△ABC中，AB＝4，BC＝6，cosB，则△ABC的外接圆的半径等于________
【难度】★★
答案：．
4、在△ABC中，若，AB＝2，，则AC＝________
【难度】★★
答案：3．
5、已知在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且sinA＝2sinBcosC，则实数b的取值范围为________
【难度】★★★
答案：（2，2）．
6、已知△ABC中，a＝2，c，A＝45°，则b＝________
【难度】★★
答案：．
7、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，且a2＝bc，则的值为________
【难度】★★★
答案：．
8、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则sinC的值为________
【难度】★★★
答案：．
9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1﹣2cosC）+c（1﹣2cosA）＝0．
（1）求证：a+c＝2b；
（2）求角B的最大值．
【难度】★★★★
答案：（1）证明：∵a（1﹣2cosC）+c（1﹣2cosA）＝0，
由正弦定理得：sinA（1﹣2cosC）+sinC（1﹣2cosA）＝0，
∴sinA+sinC＝2（sinAcosC+cosAsinC）＝2sin（A+C）＝2sinB，
∴由正弦定理得：a+c＝2b．
（2）角B的最大值为．

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