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函数问题的题型与方法
一．考试内容：
映射，函数，函数的单调性以及奇偶性，周期性。
反函数。互为反函数的函数图象间的关系。
指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。
对数，对数的运算性质。对数函数。
函数的应用。
二．考试要求：
1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性以及周期性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
三．命题方式：
函数的题型在选择，填空，简答题三种题型都有，至少有四道题，一般三道客观题，两道简答题，分值在30分以上，解答题中的一道往往与导数综合。难度基本稳定在中等或则偏上，若与导数，不等式，数列结合可以出现压轴题。而起考查函数的创新题也不断涌现。
知识点考查：
基本函数：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，它们的图像与性质是函数的基石。求反函数，判断、证明与应用是函数的三大特性（单调性，奇偶性，周期性）是高考题的切入点，有单一考查，也有综合考查。而且运用函数知识解其它问题，特别是解应用题能更好的考查学生的分析问题，解决问题的能力。函数经常涉及配方法，待定系数法，数形结合法，分类讨论等。
四．知识要点：
映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成
（二）函数的性质
1. 函数单调性:
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1⑵若当x1f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数 单调 单调性
内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓
外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑
复合函数 ↑ ↑ ↓ ↓
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(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
2. 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
性质:（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：
定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：新 课标第 一网 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
3. 函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，
其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2 ；
(3)、，此时周期为2m 。
（三）指数函数与对数函数
1.指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，00时，01.
（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数
2.对数函数y=logax的图象和性质:
a>1 0图象
性质 （1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
（4）时 时 y>0 时 时
（5）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
3. 分数指数幂与根式的性质：
(1)（，且）.
（2）（，且）.
（3）.
（4）当为奇数时，；当为偶数时，.
4. 指数式与对数式的互化式: .
指数性质：
(1)1、 ； （2）、（） ； (3)、
(4)、 ； (5)、 ；
指数函数：
(1)、 在定义域内是单调递增函数；
（2）、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、 ；（2）、 ；
(3)、 ；(4)、 ； (5)、
(6)、 ； (7)、
对数函数：
(1)、 在定义域内是单调递增函数；
（2）、在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、
(4)、 或
5. 对数的换底公式 : (,且,,且, ).
对数恒等式：(,且, ).
推论 (,且, ).
6.对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则Xkb1.com
(1); (2) ;
(3); (4) 。
（四）补充
1.二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式;
(2) 顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此
式）
(3) 零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式）
2.常见函数的图像：
3.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是;两个函数与 的图象关于直线对称.
4. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
六．例题讲解
例1.已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范围．
解：(1)由0＜x＜2， 得
例2. 已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
例3. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是　　 （　　　 ）A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
例4. 若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ 　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log(2-ax)有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= logu应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
例5.（1997年全国高考试题）甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于vv＞0，v-v＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
例6．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
例8. 已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
例9. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（　　　 ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F，但未明确给出1与F的关系，当1∈F时有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C．
例10．方程lgx+x=3的解所在区间为 （　　）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D．至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)，故本题应选C．
例11. (1)一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-+1．因为|c|＜1，所以f(a)=-+1＞0．
当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
例12. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
七．方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；②判定f(x)与f(x)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x) /f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象。
八．经典作业
1.方程lgx+x=3的解所在区间为 （　　）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
2.已知集合，集合满足，则集合的个数是
A.6 B. 7 C. 8 D. 9
3．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则
A. B. C. D.
4．“”是“函数有零点”的 条件
A．充分非必要 B.充要 论0 C．必要非充分 D.非充分必要
5．已知函数，x∈R,则是
　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
　C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为( )
A．1 B． C. D．
7.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数，下面四个结论中正确的是 ( )
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象是由的图象向左平移个单位得到
D．函数是奇函数
9．已知函数的零点，其中常数a，b满足，，则n等于
A．-1 B．-2 C．1 D．2
10. 设函数是定义域为R的奇函数，且满足
HYPERLINK "http://www." 对一切恒成立，
当 HYPERLINK "http://www." 时，。则下列四个命题中正确的命题是
① HYPERLINK "http://www." 是以4为周期的周期函数；
②在 HYPERLINK "http://www." 上的解析式为；
③ HYPERLINK "http://www." 的图象的对称轴中有；
④ HYPERLINK "http://www." 在处的切线方程为 HYPERLINK "http://www." 。
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
11. 函数f（x）=sin（2 x－）－2sin2 x的最小正周期是________.
12. 请将正确选项的序号填在横线上
（1）函数的反函数为 HYPERLINK "http://www."
（2）如果函数为奇函数，则 HYPERLINK "http://www."
（3）若，则 HYPERLINK "http://www." 为极大值或极小值
（4）随机变量～ HYPERLINK "http://www." ，则等于 HYPERLINK "http://www."
________ ________
13. 已知 a是给定的实常数，设函数f(x)=(x-a2)(x+b)eX,b∈ R,x=a是f(x)的一个极大值点。
（1）求b的取值范围；
（2）设x1 ,x2 ,x3 是f(x)的3个极致点，问是否存在实数b，可找到x4∈ R ，使得 x1 ,x2 ,x3, x4的某种排列 , （其中{i1, i 2,I3, i 4}={1,2,3,4}）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的 x4；若不存在，说明理由。
14. 已知函数f(x)=x2－x＋alnx
(1)当时，恒成立，求的取值范围；
(2)讨论在定义域上的单调性；
15. 设函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．
16. 已知函数．
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
17. 已知（m为常数，且m>0）有极大值 HYPERLINK "http://www." ，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线的斜率为2的切线方程．
18. 已知二次函数，其导函数的图象如图，
（1）求函数处的切线斜率；
（2）若函数上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若的图像总在函数图象的上方，求的取值范围．

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