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第二节　函数的单调性与最值
一、教材概念·结论·性质重现
1．单调递增、单调递减
一般的，设函数f (x)的定义域为I，区间D?I：
(1)如果?x1，x2∈D，当x1(2)如果?x1，x2∈D，当x1f (x2)，那么就称函数f (x)在区间D上单调递减．
2．增函数、减函数
(1)当函数f (x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数；
(2)当函数f (x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．
1．单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．增、减函数定义的等价形式
对于?x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0(<0)或>0(<0)，则函数f (x)在D上单调递增(减)．
3．单调区间
如果函数y＝f (x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．
(2)有多个单调区间时，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．
4．函数的最值
一般的，设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)?x∈I，都有f (x)≤M(或f (x)≥M)．
(2)?x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f (x)的最大值(或最小值)．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0, ＋∞)． (×)
(2)若函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f (x)的单调递增区间是[1，＋∞)． (×)
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (×)
(4)所有的单调函数都有最值． (×)
2．函数y＝x2－5x－6在区间[2,4]上(　　)
A．递减 B．递增
C．先递减再递增 D．先递增再递减
C　解析：作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，所以函数在区间[2,4]上先减后增．故选C．
3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
B　解析：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B．
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2 B． C． D．－
B　解析：因为y＝在[2,3]上单调递减，所以ymin＝＝.故选B．
5．若函数f (x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
－6　解析：由图象(图略)易知函数f (x)＝|2x＋a|的单调递增区间是.令－＝3，得a＝－6.
考点1　函数的单调性(单调区间)——基础性
1．函数f (x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A． B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和 D．和[2，＋∞)
B　解析：y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，
函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．
2．函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1.由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
3．(多选题)下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0”的是(　　)
A．f (x)＝2x B．f (x)＝|x－1|
C．f (x)＝－x D．f (x)＝ln(x＋1)
AD　解析：由(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)] >0可知，f (x)在(0，＋∞)上是增函数，A，D选项中，f (x)为增函数；B中，f (x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x)在(0，＋∞)上是减函数．故选AD．
4．试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：(方法一：定义法)
设－1则f (x1)－f (x2)＝a－a＝.
因为－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0.
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)(方法二：导数法)
f ′(x)＝＝
＝－.
当a>0时，f ′(x)<0，函数f (x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f ′(x)>0，函数f (x)在(－1，1)上单调递增．
判断函数的单调性和求单调区间的方法
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f (x)是以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f (g(x))分解成f (t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
考点2　函数的最值(值域)——综合性
(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
3　解析：(方法一)函数y＝作出函数的图象如图所示．
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.
(方法二)利用绝对值不等式的性质．y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.故函数的最小值为3.
(2)函数f (x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
3　解析：由于y＝在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x)在[－1,1]上单调递减，故f (x)在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.
(3)函数f (x)＝的最大值为________．
4　解析：当x≤0时，f (x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x)在x＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x>0时，f (x)＝sin x，此时f (x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x)的最大值为4.
求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
1．函数y＝的值域为________．
[－1,1)　解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1.故所求函数的值域为[－1,1)．
2．函数y＝x＋的最大值为________．
　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，
所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
3．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
　解析：由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3.
所以所求函数的最小值为.
考点3　函数单调性的应用——应用性
考向1　比较函数值的大小
设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　)
A．f (π)>f (－3)>f (－2)
B．f (π)>f (－2)>f (－3)
C．f (π)D．f (π)A　解析：因为f (x)是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x)在[0，＋∞)单调递增．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
考向2　解不等式
已知函数f (x)＝ln x＋2x，若f (x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．
(－， －2)∪(2, )　解析：因为函数f (x)＝ln x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2.
由f (x2－4)<2得f (x2－4)所以0求解含“f ”的不等式的思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))>f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)考向3　利用函数的单调性求参数(范围)
函数f (x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为________．
[4,8)　解析：由题意，函数f (x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上分别单调递增，且f (x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得4≤a<8.
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．
1．定义在R上的偶函数f (x)满足f (x)＝f (x＋2)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f ()，b＝f (2)，c＝f (3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bC　解析：因为偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为2，则a＝f ()＝f (－2)，b＝f (2)＝f (0)，c＝f (3)＝f (－1)．因为－1<－2<0，且函数f (x)在[－1,0]上单调递减，所以b2．定义在[－2,2]上的函数f (x)满足(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，x1≠x2，且f (a2－a)>f (2a－2)，则实数a的取值范围为________．
[0,1)　解析：因为函数f (x)满足(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，x1≠x2，所以函数f (x)在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－23．设函数f (x)＝若函数f (x)在区间(a, a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1]∪[4，＋∞)　解析：作出函数f (x)的图象如图所示．
由图象可知，若f (x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

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