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第三节　全称量词命题与存在量词命题
一、教材概念·结论·性质重现
1．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ?
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ?
2.全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称 形式 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x，使p(x)成立
简记 ?x∈M，p(x) ?x∈M，p(x)
否定 ?x∈M，p(x) ?x∈M，p(x)
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”． (√)
(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题． (×)
(3)?x∈R，x2＋1＝0． (×)
(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词． (√)
(5)?x∈M，p(x)与?x∈M，p(x)的真假性相反． (√)
2．(2020·烟台期末考试)命题“?x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x2－x＋1≤0
B．?x∈R，x2－x＋1＜0
C．?x∈R，x2－x＋1≤0
D．?x∈R，x2－x＋1＜0
C　解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以本题命题的否定为“?x∈R，x2－x＋1≤0”．故选C.
3．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2≥0”为真命题，则m的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－2，2)
C．[－2，2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C　解析：?x∈R，x2＋mx＋2≥0为真命题，等价于f (x)＝x2＋mx＋2的图象与x轴有一个交点或没有交点，故Δ＝m2－8≤0，解得－2≤m≤2.
考点1　全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性
1．(2021·淄博市部分学校高三检测)命题“?x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．?x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C　解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．
2．命题“?x＞0，＞0”的否定是(　　)
A．?x＜0，≤0
B．?x＞0，0≤x≤1
C．?x＞0，≤0
D．?x＜0，0≤x≤1
B　解析：因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是?x＞0，0≤x≤1.故选B．
3．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2
D　解析：“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
考点2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 ——基础性
1．下列四个命题中的真命题是(　　)
A．?n∈R，n2≥n
B．?n∈R，?m∈R，m·n＝m
C．?n∈R，?m∈R，m2D．?n∈R，n2B　解析：对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确．故选B．
2．下列四个命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，x2≥0 B．?x∈R，2x－1＞0
C．?x∈R，lg x＜1 D．?x∈R，sin x＋cos x＝2
D　解析：A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．故选D．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
考点3　全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性
(1)已知命题“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
C　解析：当原命题为真命题时，a>0且Δ＝16－4a<0，所以a>4.故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.
(2)已知f (x)＝x2，g(x)＝－m.若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
　解析：当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0；当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m．
由f (x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.
本例(2)中，若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
　解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m.由f (x)min≥g(x)max，得0≥－m，所以m≥.
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
此类问题的本质是恒成立问题或有解问题．一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1．已知函数f (x)＝2ax－a＋3.若?x0∈(－1,1)，使得f (x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(－3,1) D．(1，＋∞)
A　解析：依题意可得f (－1)·f (1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故选A．
2．已知函数f (x)＝x2－2x＋3，g(x)＝＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f (x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，0)　解析：f (x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f (x)min＝f (1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f (x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0.故实数m的取值范围是(－∞，0)．

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