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第五节　基本不等式
一、教材概念·结论·性质重现
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中，称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)．
(1)＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)≤(a，b∈R)．
(3)≤≤≤.
(4)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (×)
(2)函数y＝x＋的最小值是2． (×)
(3)函数f (x)＝sin x＋的最小值为4． (×)
(4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件． (×)
2．若x>0，y>0，且 x＋y＝18，则的最大值为(　　)
A．9 B．18 C．36 D．81
A　解析：因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．
3．已知0A． B． C． D．
B　解析：因为04．若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
25　解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，
则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25 (m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
考点1　利用基本不等式求最值——综合性
考向1　拼凑法求最值
(1)函数y＝(x>1)的最小值为________．
2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0.
y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
所以函数y＝(x＞1)的最小值为2＋2.
(2)若函数f (x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
3　解析：因为x>2，所以x－2>0，所以f (x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3. 又因为x>2，所以x＝3，即a＝3时，函数f (x)在x＝3处取得最小值．
拼凑法求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
考向2　常值代换求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
4　解析：因为a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．
1．将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．
1＋　解析：因为a＋2b＝3，
所以a＋b＝1.
所以＋＝
＝＋＋＋
≥1＋2
＝1＋.
当且仅当a＝b时，取等号．
2．本例条件不变，则的最小值为________．
9　解析：
＝
＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
考向3　消元法求最值
若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A． B． C． D．
A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为.
消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．
考向4　两次应用基本不等式求最值
设实数x，y满足2x＋y＝1.若x>0，y>0，求证：＋－≥.
证明：因为x>0，y>0,2x＋y＝1，
所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号．
又－≥－＝－，当且仅当2x＝y＝时取等号，
所以＋－≥，当且仅当2x＝y＝时取等号．
两次利用基本不等式求最值的注意点
当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
1．设0　解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
2．(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________．
4　解析：因为 x>0，y>0，所以 >0.
因为 x＋2y＝5，所以 ＝＝＝2＋≥2＝4. 当且仅当2＝，即x＝3，y＝1时取等号．所以 的最小值为4.
3．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
7＋4　解析：因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋≥7＋4，当且仅当y＝x，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．
所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
4．(2020· 天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
4　解析：因为a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝4.
当且仅当＝且ab＝1，即
或时，等号成立．
故＋＋的最小值为4.
考点2　利用基本不等式解决实际问题——应用性
某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t＝5－(其中0≤x≤k，k为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意知，该产品售价为2×元/件，所以y＝2××t－10－2t－x，
代入t＝5－化简，
得y＝20－(0≤x≤k)．
(2)y＝20－＝21－
≤21－2＝17，
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当00，
故y＝21－在0≤x≤k上单调递增．
所以，在x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．
综上，当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当0基本不等式的实际应用问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室．在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物．相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8所以2x＋≥2＝240，
当且仅当x＝60时，等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．
[四字程序]
读 想 算 思
a2＋最小值 求最小值的方法？ 构造定积 转化与化归
a>b>0 1.构造定积；
2.三角换元. 1.定和求积→定积求和；
2.变形：b＋(a－b)＝a，构造定积；
3.三角代换构造定积 1.定和求积积最大，定积求和和最小；
2.三角代换条件
思路参考：消b，转化为含a的式子求最值．
4　解析：由于a2＋中有两个变量，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝. 这样就消去变量b，因此a2＋≥a2＋≥4. 当且仅当b＝a－b，a2＝时等号成立，即a＝，b＝时等号成立. 故a2＋的最小值是4.
思路参考：用b和a－b表达a后求最值．
4　解析：注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4.
当且仅当4b2(a－b)2＝1，即a＝，b＝时等号成立. 故a2＋的最小值是4.
思路参考：利用三角换元求最值．
4　解析：由b＋(a－b)＝a，联想到三角换元，令a－b＝acos2α， b＝asin2α，
于是a2＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋≥4，当且仅当a2＝，sin22α＝1，即a＝，b＝时等号成立. 故a2＋的最小值是4.
1．利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法. 其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．
2．基于新课程标准，求最值问题一般要熟练掌握对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．
已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
16　解析：(方法一：1的代换)因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x＞0，y＞0，
所以＋≥2＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
(方法二：消元法)由＋＝1，得x＝.
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10.
因为y＞9，所以y－9＞0，
所以y－9＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
(方法三：配凑法)由＋＝1，得y＋9x＝xy，
所以(x－1)(y－9)＝9.
所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)
≥10＋2＝16.
当且仅当x－1＝y－9时取等号．
又因为＋＝1，所以x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.

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