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1.1　集合的概念
第1课时　集合的含义
学
习
任
务
核
心
素
养
1.通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)
1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.
在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；到目前为止，我们学的数可以分为有理数和无理数，……
你还可以举出一些数学中有关分类的实例吗？
知识点1　元素与集合的相关概念
(1)元素：
(2)集合：
(3)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
[提示]　(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．
(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合．
1.思考辨析(正确的画√，错误的打×)
(1)接近于0的数可以组成集合．(　　)
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(　　)
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
知识点2　元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A.
2.已知集合A中的元素x满足x<1，则下列各式正确的是(　　)
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1?A
C　[∵0<1，∴0是集合A中的元素，∴0∈A，故选C.]
知识点3　常见的数集及表示符号
数集
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
3.用“∈”或“?”填空：
________N；－3________Z；________Q；0________N
；________R.
[答案]　?　∈　?　?　∈
类型1　集合的基本概念
【例1】　(对接教材P2引例(1)～(6))2021年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．
(1)你所在班级中的全体同学；
(2)班级中比较高的同学；
(3)班级中身高超过178
cm的同学；
(4)班级中比较胖的同学；
(5)班级中体重超过75
kg的同学；
(6)学习成绩比较好的同学．
[解]　(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)因为“身高超过178
cm”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(5)“体重超过75
kg”是确定的，所以可以构成一个集合．
(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
一组对象能组成集合的标准是什么？
[提示]　判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
1．(多选)下列各组对象能组成集合的是(　　)
A．中国古典文学四大名著
B．中国最美乡村
C．清华大学2021年入校的全体学生
D.的近似值的全体
AC　[B选项中“最美”的标准不明确，不符合确定性，不能组成集合，D选项中“的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选AC.]
类型2　元素与集合的关系
【例2】　(1)下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R；②?Q；③0∈N
；④|－5|?N
.
A．1　　　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为(　　)
A．2
B．2或4
C．4
D．0
(1)B　(2)B　[(1)①π是实数，所以π∈R正确；
②是无理数，所以?Q正确；③0不是正整数，所以0∈N
错误；
④|－5|＝5为正整数，所以|－5|?N
错误．故选B.
(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，
所以a＝2，
或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，
所以a＝4，
综上所述，a＝2或4.故选B.]
判断元素与集合关系的2种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
0,1,2　[∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3.
又x∈N，故x＝0或1或2.
即集合A中的元素为0,1,2.]
类型3　集合中元素的特性及应用
【例3】　已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
以集合中元素的确定性和互异性为切入点，思考求解a值的方法．
[解]　由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
[解]　由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
根据集合中元素的特性求值的3个步骤
3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
[解]　(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解得x≠－1且x≠0，x≠3.
(2)∵－2∈A，
∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴x＝－2.
1．(多选)下列给出的对象中，不能构成集合的是(　　)
A．一切很大的数　　　　　
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
ABC　[“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选ABC.]
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)
A．1　　　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
C　[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　　)
A．3.14
B．－5
C．
D．
D　[由题意可知，a∈R且a?Q，所以a是无理数，故选D.]
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“?”)．
∈　[由集合相等的定义可知，1∈B.]
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的值为________．
－1或－4　[∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3.
①若a2－a＋1＝3，则a＝2或a＝－1.
当a＝2时，|a＋1|＝3，此时集合A中含有两个3，因此应舍去．
当a＝－1时，|a＋1|＝0≠3，满足题意．
②若|a＋1|＝3，则a＝－4或a＝2(舍去)．
当a＝－4时，a2－a＋1＝21≠3，满足题意．
综上可知a＝－1或a＝－4.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？
[提示]　集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．
2．元素与集合间存在哪些关系？
[提示]　元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．
3．学习了哪些常用数集？如何用字母表示？
[提示]　自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N
或N＋)、整数集(Z)，有理数集(Q)和实数集(R)．第2课时　集合的表示
学
习
任
务
核
心
素
养
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
1.通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养．2．借助描述法转化为列举法时的运算，培养数学运算的素养.
四大名著是指中国古典文学名著《三国演义》(作者
罗贯中)、《水浒传》(作者
施耐庵)、《西游记》(作者
吴承恩)、《红楼梦》(作者
曹雪芹、高鹗)．四大名著是中国古典文学的精品，承载着中国文化的精髓．中国古典四大名著能组成集合吗？如何表示该集合？
知识点1　列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
1.方程x2＝4的解集用列举法表示为(　　)
A．{(－2,2)}
B．{－2,2}
C．{－2}
D．{2}
B　[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]
以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？
(1)满足x<1的所有实数组成的集合A；
(2)所有有理数组成的集合Q.
知识点2　描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
[提示]　(1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2){x|x<5，x∈R}．
用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集，区分的关键是代表元素．如{x|x>3，x∈R}是数集，{(x，y)|y＝x＋1}是点集．
2.(1)用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　)
A．{x|y＝3x＋1}
B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1}
D．{y＝3x＋1}
(2)用描述法表示不等式4x－5<7的解集为________．
(1)C　(2){x|x<3}　[(1)该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.
(2)用描述法可表示为{x|x<3}．]
类型1　用列举法表示集合
【例1】　(对接教材P3例题)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解]　(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，
所以C＝.
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，
所以D＝{(1,4)}．
用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
(3)用花括号括起来．
提醒：花括号“{　}”含有“所有”“全体”的含义，因此实数集R不能表示成{R}．
1．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
[解]　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1,0,1,2，故A＝{－2，
－1,0,1,2}．
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，
∴M＝{2,3}．
(3)解得∴B＝{(3,2)}．
(4)15的正约数有1,3,5,15，故N＝{1,3,5,15}．
类型2　用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解]　(1){x∈R|1(2)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
描述法表示集合的2个步骤
提醒：用描述法表示集合时，不能出现未被说明的字母．
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－4上的点组成的集合；
(3)使函数y＝有意义的实数x组成的集合．
[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．
(2){(x，y)|y＝x2－4}．
(3){x|x≠1}．
类型3　集合表示方法的综合应用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
明确集合A的含义，由此转化成代数问题，即方程解的个数问题．
[解]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值集合．
[解]　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k≤1}．
1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．
2．本题因kx2－8x＋16＝0是否为一元二次方程，而分为k＝0和k≠0两种情况进行讨论，从而做到不重不漏．
3．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果．需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．(用集合表示)
　[当a＝0时，方程有实数解x＝－1，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥.
故实数a的取值范围为.]
1．集合{x∈N|x－3<2}的另一种表示法是(　　)
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
A　[{x∈N|x－3<2}＝{x∈N|x<5}＝{0,1,2,3,4}．故选A.]
2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3D　[由题意可知，满足题设条件的只有选项D，故选D.]
3．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是(　　)
A．{1，－2}
B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)}
D．{(1，－2)}
D　[由得∴两函数图象的交点组成的集合是{(1，－2)}．]
4．大于－2小于3的整数用列举法表示为________；用描述法表示为________．
{－1,0,1,2}　{x|－25．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．
{－1,4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．本节课学习的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列举法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含义有什么不同？
[提示]　(1)前两个集合为数集，后一个集合为点集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自变量x的取值组成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因变量y的取值组成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函数y＝x＋1上的点(x，y)组成的集合．1.2　集合间的基本关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.
一所学校中，所有同学组成的集合记为A，而高一年级同学组成的集合为B，你觉得集合A和B之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？
知识点1　子集、真子集、集合的相等
(1)Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(2)两个集合之间的关系
①子集．
②集合相等．
③真子集．
(3)子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
②对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
1.(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
[提示]　(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
1.已知集合P＝{－1,0,1,2}，Q＝{－1,0,1}，则(　　)
A．P∈Q
B．P?Q
C．QP
D．Q∈P
C　[∵－1,0,1均在集合P、Q中，而2∈P且2?Q，∴Q
P，结合选项可知C正确．]
2.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
(1)＝　(2)　(3)　(4)∈　[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.]
(1)方程x2＋1＝0的实数根组成的集合如何表示？
(2)你认为可以规定?是任意一个集合的子集吗？
知识点2　空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?.
(2)规定：空集是任何集合的子集．
2.?与0，{0}，{?}有何区别？
[提示]　
?与0
?与{0}
?与{?}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
?是集合；0是实数
?不含任何元素；{0}含一个元素0
?不含任何元素；{?}含一个元素，该元素是?
关系
0??
?{0}
?{?}
空集是任何非空集合的真子集．
3.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)?和{?}都表示空集．(　　)
(2)任何集合都有子集和真子集．(　　)
(3)集合{x|x2＋1＝0，x∈R}＝?.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
4.下列四个集合中，是空集的为(　　)
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x>4}
B　[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝?.]
类型1　子集、真子集的个数问题
【例1】　(对接教材P8例题)填写下表，并回答问题：
集合
集合的子集
子集的个数
?
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
[解]　
集合
集合的子集
子集的个数
?
?
1
{a}
?，{a}
2
{a，b}
?，{a}，{b}，{a，b}
4
{a，b，c}
?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
8
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
1．已知集合M满足：{1,2}M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．
[解]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
类型2　集合间关系的判断
【例2】　判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1[解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2?A，故AB.
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
提醒：若A?B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系．
2．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．]
类型3　由集合间的关系求参数
【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围．
判断B是否是空集，由此借助数轴分类求解实数m的取值范围．
[解]　(1)当B＝?时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示．
∴或
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2[解]　(1)当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠?时，如图所示，
∴解得即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含参数的问题时，要注意讨论A＝?和A≠?两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．
[解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝?.
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝.
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，得m＝－.
当B＝?时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.
1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(　　)
A．1　
B．3　　　
C．4　
D．6
C　[①②⑤⑥正确，③④错误，故选C.]
2．集合{1,2}的子集有(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A　[集合{1,2}的子集有?，{1}，{2}，{1,2}，共4个．]
3．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，则A与B的关系是(　　)
A．AB
B．A＝B
C．BA
D．B?A
A　[∵A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x≥1}，
∴AB.故选A.]
4．已知集合A＝{3，m}，B＝{3,4}，若A＝B，则实数m＝________.
4　[由A＝B可知，m＝4.]
5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，则a的取值范围为________；
(2)若B?A，则a的取值范围为________．
(1){a|a>2}　(2){a|1≤a<2}　[(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.
(2)若B?A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.
因为a≥1，所以1≤a≤2.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两个集合间的基本关系有哪些，如何判断两个集合间的关系？
[提示]　两个集合间的基本关系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及数轴法分析两个集合间的关系．
2．空集同任意集合A之间存在怎样的关系？
[提示]　(1)??A，(2)?A(A≠?)．
3．包含关系与属于关系的使用条件分别是什么？
[提示]　包含关系是集合与集合间的关系，而属于关系是元素与集合的关系，两者不可混用．1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)
1．借助Venn图培养直观想象素养．2．通过集合并集、交集的运算提升数学运算素养.
某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语成绩低于70分的同学参加．如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？
知识点1　并集
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
[提示]　不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
对并集中“或”的理解
“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x?B；x∈B，但x?A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．
1.(1)设集合M＝{4,5,6,8}，N＝{3,5,7,8}，则M∪N＝________.
(2)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x>0}，则A∪B＝________.
(1){3,4,5,6,7,8}　(2){x|x>0}　[(1)M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)A∪B＝{x|x>0}．]
学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：
(1)中考的物理成绩不低于80分；
(2)中考的数学成绩不低于90分．
如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？
知识点2　交集
　
2.已知表示集合M＝{－1,0,1}和P＝{0,1,2,3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．
{0,1}　[由题图可知M∩P＝{0,1}．]
类型1　并集概念及其应用
【例1】　(对接教材P10例题)(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　　
B．{0,2}
C．{－2,0}
D．{－2,0,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
(1)D　(2)A　[(1)M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.
(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
]
求集合并集的2种基本方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解．
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．
1．已知集合A＝{－1,3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1,3,2,9}，则实数a的值为(　　)
A．±1
B．±3　　
C．－1
D．3
B　[∵集合A＝{－1,3}，B＝{2，a2}，A∪B＝{－1,3,2,9}，∴a2＝9，解得a＝±3，故选B.]
类型2　交集概念及其应用
【例2】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
(1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，
故A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.]
求两个集合的交集的方法
(1)直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)定义法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝(　　)
A.?
B.
C.
D.
D　[∵S＝{x|2x＋1>0}＝，T＝{x|3x－5<0}＝，在数轴上表示出集合S，T，如图所示，∴S∩T＝，故选D.
]
类型3　集合交、并集运算的性质及综合应用
【例3】　已知集合A＝{x|－3由A∪B＝A思考集合A与集合B存在怎样的关系，并由此结合数轴求解．
[解]　(1)当B＝?，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k≤.
把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解]　由A∩B＝A可知A?B.
所以即所以k∈?.
所以k的取值范围为?.
利用集合交集、并集的性质解题的方法
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等，解答时应灵活处理．
(2)当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝?的情况，切不可漏掉．
3．已知集合A＝{x|20)}．
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|3[解]　(1)因为A∪B＝B，所以A?B，
观察数轴可知，所以≤a≤2.
(2)A∩B＝?有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图．
观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a>0，
所以0(3)画出数轴如图，
观察图形可知即a＝3.
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B中元素的个数为(　　)
A．3　
B．4　　　
C．5　
D．6
C　[由于A∪B表示所有属于A或属于B的元素组成的集合，故A∪B＝{1,2,3,4,6}，共有5个元素．故选C.]
2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{0,1}
B．{0}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,2,3}
D　[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．{1}
B．{2}
C．{－1,2}
D．{1,2,3}
B　[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}∴A∩B＝{2}．]
4．若集合A＝{x|－1R　{x|－1A∪B＝R，A∩B＝{x|－1]
5．已知集合A＝{x|x－a>0}，B＝{x|2－x<0}，且A∪B＝B，则实数a满足的条件是________．
{a|a≥2}　[∵A＝{x|x>a}，B＝{x|x>2}，
又A∪B＝B，∴A?B.
∴a≥2.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．集合A，B的交集和并集的定义分别是什么？
[提示]　A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
2．集合A∪B＝A可以得出A与B存在怎样的关系？A∩B＝A呢？
[提示]　A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B.
3．A∩?＝?吗？A∪?呢？
[提示]　A∩?＝?，A∪?＝A.第2课时　补集
学
习
任
务
核
心
素
养
1.了解全集的含义及其符号表示．(易混点)2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1.通过补集的运算，培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养.
如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
(1)这三个集合之间有什么联系？
(2)如果x∈S且x?M，你能得到什么结论？
知识点　全集与补集
(1)全集
①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
全集一定是实数集R吗？
[提示]　全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
(2)补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
符号?UA有三层意思：
(1)A是U的子集，即A?U；
(2)?UA表示一个集合，且(?UA)?U；
(3)?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)集合?BC与?AC相等．(　　)
(2)A∩(?UA)＝?.(　　)
(3)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2.(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则?UA＝(　　)
A．{1,3,5,6}
B．{2,3,7}
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
(2)已知全集U为R，集合A＝{x|x<1，或x≥5}，则?UA＝________.
(1)C　(2){x|1≤x<5}　[(1)由A＝{1,3,5,6}，U＝{1,2,3,4,5,6,7}，得?UA＝{2,4,7}．故选C.
(2)集合A＝{x|x<1，或x≥5}的补集是?UA＝{x|1≤x<5}．]
类型1　补集的运算
【例1】　(对接教材P13例题)(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________；
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.
(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，
所以B＝{2,3,5,7}．
法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]
求集合的补集的方法
(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
1．(1)设集合A＝{x∈N
|x≤6}，B＝{2,4}，则?AB等于(　　)
A．{2,4}　　
B．{0,1,3,5}
C．{1,3,5,6}
D．{x∈N
|x≤6}
(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则?UA＝______.
(1)C　(2){x|0|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4}，所以?AB＝{1,3,5,6}．故选C.
(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，?UA＝{x|0类型2　集合交、并、补集的综合运算
【例2】　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2[解]　把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2因为?RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以(?RA)∩(?RB)＝{x|x≤2，或x≥10}．
?R(A∪B)与(?RA)∩(?RB)及?R(A∩B)与(?RA)∪(?RB)的关系：
(1)?R(A∪B)＝(?RA)∩(?RB)；
(2)?R(A∩B)＝(?RA)∪(?RB)．
2．全集U＝{x|x<10，x∈N
}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，求集合A，B.
[解]　法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
法二(定义法)：(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，∴?UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴B＝{2,3,5,8}．
∵(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
∴A＝{1,3,9}．
类型3　与补集有关的参数值的求解
【例3】　已知全集U＝R，设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2(1)若(?UA)∩B＝?，求实数m的取值范围；
(2)若(?UA)∩B≠?，求实数m的取值范围．
由(?UA)∩B＝?或(?UA)∩B≠?为切入点，借助数轴分析?UA与B的关系，从而得出m的取值范围．
[解]　(1)由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2在数轴上表示，如图，
所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以?UA＝{x|x<－m}，
又(?UA)∩B≠?，所以－m>－2，解得m<2.所以m的取值范围是{m|m<2}．
由集合的补集求解参数的方法
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
3．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，求实数a的值．
[解]　由已知，得－1∈U，且－1?P，
因此
解得a＝2.
当a＝2时，U＝{2,0，－1}，
P＝{2,0}，?UP＝{－1}，满足题意．
因此实数a的值为2.
1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A＝(　　)
A．{0}　　　
B．{1}
C．?
D．{0,1}
D　[∵U＝{0,1,2}，?UA＝{2}，
∴A＝{0,1}，故选D.]
2．设全集为U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，则U等于(　　)
A．{0,2,4,6}
B．{0,2,4}
C．{6}
D．?
A　[∵M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，
∴U＝M∪?UM＝{0,2,4,6}，故选A.]
3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于(　　)
A．{x|－2B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
C　[因为S＝{x|x>－2}，
所以?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，
所以(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]
4．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x2　[∵?UA＝{x|x<1，或x≥2}，∴A＝{x|1≤x<2}．∴b＝2.]
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为________．
{4,6}　[题图中阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)＝{3,4,6}∩{2,4,5,6}＝{4,6}．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．集合?AB的含义是什么？
[提示]　?AB＝{x|x∈A且x?B}．
2．同一集合在不同全集下的补集相同吗？
[提示]　不同．
3．?UA、A及U间存在怎样的关系？
[提示]　(1)?UA?U，A?U；
(2)(?UA)∪A＝U；
(3)(?UA)∩A＝?.1.4　充分条件与必要条件
1.4.1　充分条件与必要条件
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核
心
素
养
1.理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点)2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(重点)3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点)
1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.
“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？
(1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”(《中国青年报》2014年1月23日)；
(2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”(《人民日报》2014年8月4日)；
(3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”(《中国青年报》2015年6月22日)；
(4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》2015年7月28日)．
知识点　充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
充分条件就是“有之必成立，无之未必成立”，必要条件就是“有之未必成立，无之必不成立．”
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　)
(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)
(3)若q不是p的必要条件，则“pq”成立．(　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分条件．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.下列表述形式与“p?q”是等价的有________．(填序号)
①p是q的充分条件；②q的充分条件是p；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q.
[答案]　①②③④
类型1　充分条件的判断
【例1】　(对接教材P18例题)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若x>1，则x>2；
(3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(4)若△ABC中，若A>B，则BC>AC.
[解]　(1)由于Q?R，所以p?q，所以p是q的充分条件．
(2)法一：由x>1x>2，所以p不是q的充分条件．
法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B?A，所以p不是q的充分条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此pq，所以p不是q的充分条件．
(4)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC.因此p?q，所以p是q的充分条件．
充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件．
1．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是(　　)
A．x>4
B．x>0
C．x>2
D．x<2
A　[只有x>4?x>3，其他选项均不可推出x>3.]
类型2　必要条件的判断
【例2】　(对接教材P19例题)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)若a是1的平方根，则a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；
(3)若a是无理数，则a是无限小数；
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．
[解]　(1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要条件．
(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以p
q，所以q不是p的必要条件．
(3)因为无理数是无限不循环小数，
所以p?q，所以q是p的必要条件．
(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p?q，所以q是p的必要条件．
必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件．
2．指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C；q：AC>AB；
(2)p：|x|>2；q：x>2.
[解]　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C?AC>AB，所以q是p的必要条件．
(2)因为当|x|>2时，x>2或x<－2，
所以pq，
所以q不是p的必要条件．
类型3　充分条件与必要条件的应用
【例3】　(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1判断p与q的推出关系，由此思考采用什么方式建立待求参数的关系式．
[解]　(1)
x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分条件，∴B?A.
当－＝2时，m＝－；
当－＝－3时，m＝.
所以m＝－或m＝.
(2)因为N是M的必要条件，所以M?N.
于是从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为－2≤a≤7.
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
3．已知p：实数x满足3a[解]　p：3aq：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p?q，所以A?B，
所以?－≤a<0，
所以a的取值范围是－≤a<0.
1．若p是q的充分条件，则q是p的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．既是充分条件又是必要条件
B　[因为p是q的充分条件，所以p?q，
所以q是p的必要条件．]
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)
A．0　
B．2　　　
C．4　
D．16
B　[由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．]
3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　)
A．四边形是平行四边形且对角线相等
B．四边形两组对边相等
C．四边形的对角线互相平分
D．四边形的对角线垂直
A　[四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A.]
4．用符号“?”与“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．
(1)　(2)?　[(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1x＝1.
(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数?a＋b是偶数．]
5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
a≤1　[因为x>1?x>a，所以a≤1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若“p?q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
[提示]　p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？
[提示]　不同．若p是q的充分条件，则p?q；若p的充分条件是q，则q?p.
3．充分条件、必要条件的主要判断方法有那些？
[提示]　定义法和集合关系法.
自主招生中的充分条件与必要条件
某大学2017年自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖(含)以上者(简记为“满足竞赛条件”，下同)，都可以报名参加该校的自主招生考试．
根据这一信息，回答下列问题：
(1)已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗？
(2)已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2017年自主招生考试的资格，那么乙同学一定满足竞赛条件吗？
(3)已知丙同学不满足竞赛条件，那么丙同学一定不能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗？
第一个问题，相信大家都能得到正确答案：能．
但第二个和第三个问题的答案都是：不一定．你知道为什么吗？
这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学2017年自主招生考试的充分条件，而不是必要条件，但是充分条件可以不止一个．
事实上，全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学2017年的自主招生考试．
生活中还有很多类似的情况．请自行找出更多的例子吧！1.4.2　充要条件
学
习
任
务
核
心
素
养
1．结合具体实例，理解充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．
问题：(1)张三为什么走了？(2)李四为什么走了？
知识点　充要条件
(1)定义：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类：①充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p；
②充分不必要条件，即p?q且qp.
③必要不充分条件，即pq且q?p.
④既不充分也不必要条件，即pq且qp.
“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示]　(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
(2)“x<5”是“x<3”的________．
(1)充要条件　(2)必要不充分条件　[(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B,
即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．
(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．]
类型1　充分、必要、充要条件的判断
【例1】　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：a＞b；q：ac＞bc.
[解]　(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性．
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
[解]　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分不必要条件．
(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，
q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
故p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A?A?B??UB??UA，
∴p是q的充要条件．
类型2　充要条件的证明
【例2】　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[解]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
类型3　充要条件的应用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
联想必要不充分条件的概念，由此思考命题p与命题q对应集合间存在怎样的包含关系．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
1．“x>0”是“x≠0”的(　　
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．若“x(　　)
A．a≥3　　　　
B．a≤－1
C．－1≤a≤3
D．a≤3
B　[因为“x4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2　[函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
5．写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件：充要条件①________；充要条件②________.
[答案]　两组对边分别平行　一组对边平行且相等
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．命题“若p，则q”及其逆命题的真假与充分必要条件间存在怎样的关系？
[提示]　
条件p与结论q的关系
结　论
p?q，且qp
p是q的充分不必要条件
q?p，且pq
p是q的必要不充分条件
p?q，且q?p，即p?q
p是q的充要条件
pq，且qp
p是q的既不充分也不必要条件
2.要证明一个命题的充要条件需要证明几个方面？
[提示]　需要证明充分性和必要性两个方面．1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(重点)2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(重点)3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点)
1．借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养．2．通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养.
学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1
000名学生参加的开幕式团体操表演．这1
000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二·一班；
(3)每一个学生都有固定表演路线.
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
知识点1　全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．变量x的取值范围用M表示．那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”．
1.命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？它的量词是什么？
[提示]　是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数．
1.下列命题中是全称量词命题的有________．(填序号)
①任意一个偶数都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的内角和是180°.
[答案]　①③
2.“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“?”可表示为________．
?x∈R，x2≥0　[命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“?”符号可以表示为?x∈R，x2≥0.]
知识点2　存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2.“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．
3.命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词.
(填“全称量词”或“存在量词”)
[答案]　有些　存在量词
类型1　全称量词命题与存在量词命题的
识别
【例1】　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“?”或“?”表述下列命题．
(1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；
(4)某个四边形不是平行四边形．
[解]　(1)全称量词命题，表示为?x∈{x|x>－1},3x＋4>0.
(2)全称量词命题，表示为?a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量词命题，表示为?x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量词命题，表示为?x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
1．下列语句中，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③　④　[①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．]
类型2　全称量词命题与存在量词命题的真假
【例2】　(对接教材P27例题)判断下列命题的真假．
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；
(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x2>0.
[解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．
(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，
所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
2．判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，x2＋1>
；
(2)?α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2；
(3)存在一个数既是偶数又是负数；
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
[解]　(1)真命题，因为x2≥0，
所以x2＋1≥1，x2＋1>恒成立．
(2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意．
(3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数．
(4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
类型3　依据含量词命题的真假求参数
的取值范围
【例3】　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围．
判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况．
[解]　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；
当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上可得a≥－1.
即实数a的取值范围是.
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
3．若命题“p：?x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥1
B．m＞1
C．m＜1
D．m≤1
B　[命题p：?x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.]
1．(多选)下列是全称量词的是(　　)
A．任意一个
B．所有的
C．每一个
D．很多
ABC　[很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC.]
2．下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．任意一个负数都比零小
C．每一个正方形都是矩形
D．一定存在没有最大值的二次函数
D　[D选项是存在量词命题．]
3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b
D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C　[B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.]
4．命题p：?x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．
存在量词命题　假　[命题p是存在量词命题，
因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0，
即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．]
5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________．
?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0　[有些是存在量词．所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”可表述为?x<0，使(1＋x)(1－9x)>0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．常见的全称量词有那些？用符号怎么表示？
[提示]　全称量词有：“所有的”“任意一个”等，并用符号“?”表示．
2．常见的存在量词有那些？用符号怎么表示？
[提示]　存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“?”表示．
3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？
[提示]　全称量词命题用符号简记为“?x∈M，p(x)”存在量词命题用符号简记为“?x∈M，p(x)”．1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．(重点)2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(难点)
　通过含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养.
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.
2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强．”
结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思．
知识点　含有一个量词的命题的否定
p
p
结论
全称量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
对全称量词命题、存在量词命题进行否定时，注意不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论的否定，要先改变量词，再否定结论．
对省略量词的命题怎样否定？
[提示]　一般地，对于省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之亦然．
1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　
)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B　[量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.]
2.已知命题p：?x>0，总有x＋1>1，则p为________．
[答案]　?x>0，使得x＋1≤1
类型1　全称量词命题的否定
【例1】　(对接教材P29例题)写出下列命题的否定．
(1)所有分数都是有理数；
(2)所有被5整除的整数都是奇数；
(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.
[解]　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．
(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．
(3)?x∈R，x2－2x＋1<0.
对全称量词命题否定的两个步骤
1．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)任何一个圆都是轴对称图形；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
[解]　(1)
p：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)p：存在一个圆不是轴对称图形．
(3)p：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
类型2　存在量词命题的否定
【例2】　(对接教材P30例题)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有的素数是偶数；
(2)?a，b∈R，a2＋b2≤0.
[解]　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：?a，b∈R，a2＋b2>0.
∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，
∴命题的否定是假命题．
对存在量词命题否定的两个步骤
2.
写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)p：存在x∈R,2x＋1≥0；
(2)q：存在x∈R，x2－x＋<0；
(3)r：有些分数不是有理数．
[解]　(1)任意x∈R,2x＋1<0，为假命题．
(2)任意x∈R，x2－x＋≥0.
因为x2－x＋＝2≥0，所以是真命题．
(3)一切分数都是有理数，是真命题．
类型3　全称量词命题与存在量词命题的
综合应用
【例3】　对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．
以“函数值恒大于实数m”为切入点，思考探求建立二次函数y＝x2＋4x－1的最大值还是最小值与实数m的不等关系．
[解]　令y＝x2＋4x－1，x∈R，
则y＝(x＋2)2－5，
因为?x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可．
所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．
[解]　令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为?x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以所求m的取值范围是{m|m<3}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)
对于全称量词命题“?x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞y最值．(或a＜
y最小值)
(2)对于存在量词命题“?x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值．(或a＜
y最大值)
3．若命题“?x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
{a|a≤4}　[∵命题?x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，
∴?x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.]
1．命题“?x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．?x?R，x2≠x　　　
B．?x∈R，x2＝x
C．?x?R，x2≠x
D．?x∈R，x2＝x
D　[此全称量词命题的否定为?x∈R，x2＝x.]
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　
)
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
C　[利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．
“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.]
3．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　　
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
D　[因为p为假命题，所以p为真命题，所以?x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.]
4．量词“至多有一个”的否定为________．
[答案]　至少有两个
5．命题“?x∈Q，x2＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．
[答案]　真
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．全称量词命题的否定是什么量词命题？存在量词命题呢？
[提示]　全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对只含有一个量词的命题否定时只否定结论吗？
[提示]　不是，需先改变量词，再否定结论，如全称量词命题：?x∈M，p(x)的否定为存在量词命题：
?x∈M，p(x)．
3．当全称量词命题为真命题时，其命题的否定为真命题还是假命题？
[提示]　假命题．第1章
集合与常用逻辑用语
类型1　集合的概念与运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
【例1】　(1)(多选)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B?A，则实数m等于(　　)
A．0　
B．1　　　
C．2　
D．3
(2)已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2①求A∪B，(?UA)∩B；
②若C?(A∪B)，求a的取值范围．
(1)ACD　[当m＝0时，B＝?，符合题意．
当m≠0时，B＝.
由B?A可知，＝2或＝3，即m＝3或2.
综上可知m＝0或2或3，故选ACD.]
(2)[解]　①A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2②若C＝?，则5－a≥a，解得a≤.
若C≠?，则2≤5－a综上所述，a≤3，即a的取值范围是{a|a≤3}．
1．已知全集U＝{x∈N|1≤x≤6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}，集合B＝{3,4,5,6}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)写出集合(?UA)∩B的所有子集．
[解]　(1)全集U＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}＝{2,4}，集合B＝{3,4,5,6}．
A∩B＝{4}，A∪B＝{2,3,4,5,6}．
(2)∵?UA＝{1,3,5,6}，∴(?UA)∩B＝{3,5,6}，它的所有子集是?，{3}，{5}，{6}，{3,5}，{3,6}，{5,6}，{3,5,6}，共8个．
类型2　充分条件与必要条件
若p?q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p?q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参范围问题．提升转化和化归能力．
【例2】　(1)(多选)对于任意实数a，b，c，下列结论正确的有(　　)
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件
B．“a＋是无理数”是“a是无理数”的必要条件
C．“a＝b”是“a2＝b2”的充分条件
D．“a>b”是“a>|b|”的必要条件
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
(1)ACD　[a＝b?ac＝bc，A正确；“a＋是无理数”与a是不是无理数没有关系，B错误；
a＝b?a2＝b2，C正确；a>b?a>|b|，D正确；故选ACD.]
(2)[解]　∵q是p的充分不必要条件，
∴BA，
∴或
解得－≤a<0或a≤－4.
∴a的取值范围为.
2．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
[证明]　必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为a2－ab＋b2＝2＋b2>0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
类型3　全称量词命题和存在量词命题
全称量词强调的是“一切”“每一个”等等，常用符号“?”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“?”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论．
【例3】　(1)命题p：“?x∈R，x2＞0”，则(　　)
A．p是假命题；p：?x∈R，x2＜0
B．p是假命题；p：?x∈R，x2≤0
C．p是真命题；p：?x∈R，x2＜0
D．p是真命题；p：?x∈R，x2≤0
(2)已知p：?x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，q：?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围．
(1)B　[由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故选B.]
(2)[解]　若p：“?x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a小于或等于x的最小值，即a≤1，∴当命题p是真命题时，命题p为假命题，从而a>1.
若q：“?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4－4(2－a)≥0，解得a≥1.
∵命题p是真命题，且命题q是真命题，
∴需满足解得a>1.
3．(1)下列命题不是存在量词命题的是(　　)
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使2－m与|m|－3异号
(2)命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．
(1)B　(2)存在一个能被7整除的数不是奇数　[(1)选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．
(2)原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B＝(　　)
A．{1,8}　　　
B．{2,5}
C．{2,3,5}
D．{1,2,3,5,7,8}
C　[因为集合A，B的公共元素为：2,3,5，故A∩B＝{2,3,5}．故选C.]
2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1C　[A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|23．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2　　　
B．3　　　　　
C．4　　　
D．6
C　[由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.]
4．(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　[a>1?a2>a，又当a＝－2时，(－2)2>－2，故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.]
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
C　[设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，
由题意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.]

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