资源简介

①、了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念
②、掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念
③、理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
1.向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.　
(3)向量的表示
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
1.
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、
．若
，
，且点M满足
．
（1）求角
；
（2）求
的长．
【答案】
（1）解：
，由正弦定理可得
，
，
，可得
，
，
，
；
（2）解：
，则
，
，则
，
，
由余弦定理可得
，
整理得
，
，解得
，
.
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】(1)由正弦定理整理已知条件即可得出从而求出
，
进而即可求出角C的大小。
(2)根据题意由向量加减法的运算性质结合已知条件即可得出
，
再结合余弦定理代入数值得到求解出a的值，借助向量模以及数量积的运算性质计算出结果即可。
2.已知向量
与
的夹角为
，且
，
.
（1）若
与
共线，求k；
（2）求
，
；
（3）?
求
与
的夹角的余弦值
【答案】
（1）解：若
与
共线，
则存在
，使得
即
，
又因为向量
与
不共线，
所以
，解得
，所以
.
（2）解：
，
（3）解：
.
【考点】向量的模，向量的共线定理，平面向量数量积的运算
【解析】【分析】(1)根据题意由向量共线的性质即可得到即结合已知条件即可得到关于K和的方程组求解k的值即可。
(2)利用数量积的公式代入数值计算出结果即可。
(3)由已知条件结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。
3.（1）已知向量
的夹角为
，
，
，求
；
（2）已知
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
，求
的最大值.
【答案】
（1）
?
（2）
?
?
?
?
【考点】向量的模，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】（1）本题主要考查向量的模，由求解即可；
（2）本题主要考查向量的模，由题意得
，
从而得
，
即求解即可。
?4.已知向量
，
．
（1）若
时，求
的值；
（2）若向量
与向量
的夹角为锐角，求
的取值范围．
【答案】
（1）解：因为向量
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
解得
或
，
（2）解：因为向量
与向量
的夹角为锐角，所以
，且向量
与向量
不共线，
所以
，解得
且
，
所以
的取值范围为
且
【考点】平行向量与共线向量，平面向量的坐标运算，数量积的坐标表达式，数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先求出
，
的坐标，再由
得
，列方程可求出
的值；（2）由向量
与向量
的夹角为锐角，可得
，且向量
与向量
不共线，从而可求出
的取值范围
1.已知向量
满足
，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
2.
A.?8?????????????????????????????????????????B.?6?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
3.已知向量
，
，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.下列说法中正确的是（???
）
A.?若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
?B.?模相等的两个平行向量是相等向量
C.?若
和
都是单位向量，则
????D.?零向量与其它向量都共线
参考答案
1.【答案】
A
【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义
【解析】解：因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
2.【答案】
D
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】
，
整理可得：
，解得：
或
（舍）.
3.【答案】
C
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，数量积的坐标表达式
【解析】∵
，
，
∴
，解得
.
∴
，∴
，
∴
，
4.【答案】
D
【考点】零向量，单位向量，相等向量与相反向量
【解析】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，
和
都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故
和
不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.

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