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3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
第1课时　函数的概念(一)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(难点)2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点)
1．通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养．2．通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
(1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示．
年度
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
中国创新指数
148.2
152.6
158.2
171.5
189.5
196.3
212.0
228.3
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．
如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？
知识点　函数的概念
定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值范围
值域
与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}
1.在函数的概念中，如果y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
[提示]　确定．
2.如果y＝f(x)的定义域与值域确定，那么对应关系确定吗？
[提示]　不确定．如函数的定义域为{－1,0,1}，值域为{0,1}，则对应关系可以为f(x)＝x2，或f(x)＝|x|.
理解函数的概念应关注三点
(1)函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数．
(2)y＝f(x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也未必有解析式．
(3)除f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)
(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)
(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.下图中能表示函数关系的是_______(填序号)．
　　　
①　　　　②　　　
③　　　　④
[答案]　①②④
类型1　函数关系的判断
【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
　　　
①　　　②　　
　③　　　④
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
A．0　　
B．1　　　　
C．2　　
D．3
(2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　)
A．f：把x对应到3x＋1
B．g：把x对应到|x|＋1
C．h：把x对应到
D．r：把x对应到
(1)B　(2)AB　[(1)图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}；
图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}；
图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值．
(2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB.]
1．判断一个对应关系是否为函数的方法
2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝N
，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
[解]　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．
(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
(3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．
(4)集合A不是数集，故不是函数．
类型2　求函数值
【例2】　(对接教材P67练习T2)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求g(f(x))．
[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．
[解]　f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(t)＝t3＋2t＋3；
f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
类型3　求函数的定义域
【例3】　(对接教材P67练习T1)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
从f(x)有几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思考f(x)有意义的条件，进而进行解答．
[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
3．求函数y＝＋的定义域．
[解]　要使函数有意义，只需
即
∴x≤－或2≤x<4，
∴函数的定义域为.
1．下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)
A　　
　　B　　
　　C　
　　　D
B　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥－1}　　　
B．{x|－1≤x<0}
C．{x|x>－1}
D．{x|－1C　[由x＋1>0得x>－1，
所以函数的定义域为{x|x>－1}．]
3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　)
A．y是x的函数
B．x是y的函数
C．对于不同的x，y也不同
D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数
AD　[结合函数的定义可知AD正确．]
4．若f(x)＝，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.
－　　[∵f(x)＝，∴f(3)＝＝－.
∵f(－2)＝＝－，
∴f
＝＝.]
5．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．(填序号)
④　[结合函数的定义可知y＝|x|.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？
[提示]　(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
2．f(x)与f(a)相同吗？两者存在怎样的联系？
[提示]　f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
3．求函数y＝f(x)的定义域常注意哪些问题？
[提示]　(1)分母是否为零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0中x是否为0；(4)实际意义．
函数定义的演变过程简介
在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．
“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．
欧拉于1734年首先使用字母f表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．
1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．
1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．
后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F.这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．
可以看出，上述函数的定义越来越严格，抽象程度越来越强，数学直观则越来越弱．
在数学学习过程中，如果我们能借助直观来理解有关概念和结论，可能会有事半功倍的效果．为了形象地理解函数的概念，有人提议将函数类比成对每一个允许的输入指定唯一确定的输出的机器，所有输入的集合是函数的定义域，所有输出的集合是函数的值域，如下图所示．
你觉得这种提议有助于进一步理解函数的概念吗？如果条件容许的话，去查阅更多的有关资料吧！第2课时　函数的概念(二)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会判断两个函数是不是同一个函数．(重点)2．能正确使用区间表示数集．3．会求一些简单函数的值域．(难点)
1．通过对区间概念的理解，判断两个函数为同一个函数，提升数学抽象素养．2．通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、数学运算素养.
“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为我们这个时代的新四大发明，其中高铁更是一张靓丽的中国名片，代表着“中国速度”．之所以称为“高铁”，是因为普快和快速列车的运行速度一般控制在80～100千米/小时，特快列车的运行速度控制在120～140千米/小时，而高铁的运行速度控制在200～350千米/小时．
问题：用集合表示上述三类列车的运行速度稍显麻烦，还有其他表示方法吗？
知识点1　区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
(2)特殊区间的表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
[提示]　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．
1.用区间表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；
(2){x|x>1}用区间表示为________．
(1)[10,100]　(2)(1，＋∞)　[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]
知识点2　同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．
2.给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝x，g(x)＝；
②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；
③f(x)＝x，g(x)＝.
[答案]　②③
知识点3　常见函数的值域
函数
定义域
值域
f(x)＝ax＋b(a≠0)
R
R
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
R
当a>0时，值域为
当a<0时，值域为
y＝(a≠0)
{x|x≠0}
{y|y≠0}
3.函数f(x)＝x2＋1的值域为________．
[1，＋∞)　[∵f(x)＝x2＋1≥1，∴f(x)的值域为[1，＋∞)．]
类型1　区间的应用
【例1】　把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；
(3){x|－1{x|－2[解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4)
{x|－2用区间表示数集的方法
(1)区间左端点值小于右端点值．
(2)区间两端点之间用“，”隔开．
(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．
(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．
1．(1)集合{x|0(2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
(1)(0,1)∪[2,4]　(2)(－3,2)　[(1){x|0(2)由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，
解得－3所以实数a的取值范围是(－3,2)．]
类型2　同一个函数的判断
【例2】　(对接教材P66例题)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝x
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝x0与g(x)＝
D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1
CD　[对于A，f(x)＝＝－x与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一个函数．
对于B，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一个函数．
对于C，f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一个函数．
对于D，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一个函数．故选CD.]
同一个函数的判断应注意的3点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
2．下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝；
④f(x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________．(填上所有正确的序号)
③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同，
f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.
②不是同一个函数，对应关系不同，
f(x)＝，g(x)＝.
③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.
⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．]
类型3　求函数的值域
【例3】　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝＋1；
(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；
(4)y＝.
结合不同的函数类型及函数的图象特征，思考选用那种方式求最值．
[解]　(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，
∴y∈{3,5,7,9,11}．
∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．
(2)∵≥0，∴＋1≥1.∴函数的值域为[1，＋∞)．
(3)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．
(4)∵y＝＝＝3＋≠3，
∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
求函数值域的方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．
(4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
3．求下列函数的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋.
[解]　(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，
∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．
∴当x＝－5时，ymin＝－12，当x＝－2时，ymax＝3.
∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12,3]．
(2)法一：设u＝，则u≥0，∴x＝.
∴y＝＋u＝(u＋1)2.
∵u≥0，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为.
法二：∵2x－1≥0，
∴x≥.
而当x增大时y也增大，∴y≥，
∴y＝x＋的值域为.
1．区间[5,8)表示的集合是(　　)
A．{x|x≤5或x>8}　　　
B．{x|5C．{x|5≤x<8}
D．{x|5≤x≤8}
[答案]　C
2．下列函数中，与函数y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2
B．y＝
C．y＝|x|
D．y＝
D　[函数y＝x的定义域为R；y＝()2的定义域为[0，＋∞)；y＝＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝＝x，且定义域为R.故选D.]
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
A　[当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．]
4．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
(－∞，0)∪(0,1]　[由
解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]
5．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2(3){x|x>－1，且x≠2}＝________.
[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(2,4]　(3)(－1,2)∪(2，＋∞)
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．区间可以表示任何集合吗？区间[a，b]中a，b满足什么条件？
[提示]　区间不能表示所有集合；区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a2．如何判断两个函数是否是同一个函数？
[提示]　判定两个函数是否是同一个函数时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
3．求函数值域的常用方法有哪些？
[提示]　(1)观察法；
(2)配方法
；(3)分离常数法；(4)换元法．3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养数学运算素养.
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如下图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
知识点　函数的表示法
　任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？
[提示]　不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
函数三种表示法的优缺点比较
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于(　　)
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
A．1　　
B．2　　　　
C．3　　
D．不存在
C　[∵当22.二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为(　　)
A．y＝－x2＋1
B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16
D．y＝－4x2＋16
B　[把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是______．
[－2,3]　[由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．]
类型1　函数的三种表示方法
【例1】　(对接教材P67例题)某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　(1)列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3
000x，x∈{1,2,3，…，10}．
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线．
1．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
[解]　用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
x
1
2
3
4
y
－2
－3
－4
－5
类型2　图象的画法及应用
【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．
[解]　(1)列表
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}．
(2)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②实线部分．
类型3　函数解析式的求法
【例3】　(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
(1)已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)?
(2)若f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))如何运算？
(3)从f(x)－2f(－x)＝1＋2x中我们能发现f(x)的定义域有何特征？如何应用该特征解题？
(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)2x＋或－2x－8　(3)x－1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得消去f(－x)可得f(x)＝x－1.]
求函数解析式的4种常用方法
(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：对于形如f(g(x))的解析式求f(x)，设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
3．(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；
(2)若2f
＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)解析式．
[解]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1.
又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，
∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.
由2ax＋a＋b＝2x，得
解得a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)＋2f
＝x，令x＝，
得f
＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)与f
的方程组
解得f(x)＝－(x≠0).
1．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于(　　)
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A．1　　
B．2　　　　
C．4　　
D．5
B　[由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]
2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
D　[结合题意可知，该学生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D.]
3．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x＋2
D．f(x)＝3x＋4
A　[令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]
4．f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
[－2,4]∪[5,8]　[－4,3]　[由函数的图象可知，f(x)的定义域为[－2,4]∪[5,8]，f(x)的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]
5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________．
f(x)＝－(x＋2)2＋3　[由题意可设f(x)＝a(x＋2)2＋3，又f(－3)＝2，
∴a(－3＋2)2＋3＝2，∴a＝－1.
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的常用表示方法有哪三种？
[提示]　列表法、解析法和图象法．
2．函数的图象一定是一条光滑的曲线吗？
[提示]　不一定，函数的图象有可能是一些离散的点．
3．求函数解析式的常用方法有哪些？
[提示]　①对于形如f(g(x))的解析式求f(x)，常用换元法或配凑法；
②对于已知函数类型的求f(x)常用待定系数法；
③对于同时含有f(x)，f(－x)的表达式求f(x)，常用解方程组法．第2课时　分段函数
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)
1．通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.
设x为任意实数，y是不超过x的最大整数，填写下表．
x
6.35
5
π
－
－1.5
－2
y
6
(1)y是关于x的函数吗？
(2)当－1≤x≤1时，y与x的关系如何表示？
知识点　分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数．
分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
2.下列给出的式子是分段函数的是(　　)
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①②　
B．①④　　　
C．②④　
D．③④
B　[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]
类型1　分段函数的求值问题
【例1】　已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f
＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
∴f
＝f
＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
1．分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间段．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
1．函数f(x)＝则f(7)＝________.
8　[∵函数f(x)＝
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]
类型2　分段函数的图象及应用
【例2】　(对接教材P68例题)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
[解]　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
①　　　　　　　②
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝
(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．
分段函数图象的画法
(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
2．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
类型3　分段函数的实际应用
【例3】　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
当直线l从B点向右移动时左边部分分别是什么图形，相应图形的面积能否直接套用公式求解．
[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2
cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm，
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为
y＝
图象如图所示．
分段函数的建模
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．
3．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解]　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图象如图所示：
1．已知函数f(x)＝则f(3)的值是(　　)
A．1　　　
B．2　　
　　
C．8　　
D．9
A　[f(3)＝3－2＝1.]
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　
　　　D
B　[f(x)＝|x－1|＝故选B.]
3．函数y＝的值域是________．
[答案]　[0，＋∞)
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝　[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上f(x)＝]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何求分段函数的定义域和值域？
[提示]　分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．画分段函数的图象应注意哪些问题？
[提示]　分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．
3．分段函数求值的关键是什么？
[提示]　分段函数求值的关键是找准自变量所在的区间．3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)
1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养．2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养.
德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？
知识点1　增函数与减函数的定义
函数
增函数
减函数
图示
条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：如果?x1，x2∈D，当x1都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明．
[提示]　不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．
增减函数定义中x1，x2的三个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有的函数在定义域上都具有单调性．(　　)
(2)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)(3)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
知识点2　函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
对函数单调性的理解
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大．
2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
C　[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]
3.函数y＝的单调递减区间是________．
(－∞，0)和(0，＋∞)　[结合y＝的图象可知，y＝的递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
]
类型1　函数单调性的判定与证明
【例1】　(对接教材P79例题)证明函数f(x)＝x＋在区间(0,1)上是单调递减．
[证明]　设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1∵0∴x1－x2<0,0∴>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)＝x＋在区间(0,1)上是单调递减．
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
1．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．
[证明]　f(x)＝2＋，
设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1>x2>1，
所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
类型2　求函数的单调区间
【例2】　求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在区间(－∞，1)上是单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，
函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．
f(x)在区间(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在区间(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减．
求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象，如本例(3)．
提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．
2．(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数的单调性；
(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解]　(1)函数在[－1,0]，[2,4]上单调递减，在[0,2]，[4,5]上单调递增．
(2)先画出
f(x)＝的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的减区间为(－∞，－1]，[1,3]；增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
类型3　函数单调性的应用
【例3】　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(1)决定二次函数单调性的因素有哪些？由此思考该因素与区间(－∞，3]存在怎样的数量关系？
(2)若f(x)是定义域上的单调函数，且f(a)>f(b)，由此我们能得出变量a，b的大小关系吗，同样思考如何得出该例(2)中变量2x－3与5x－6的大小关系？
(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在区间(－∞，3]上单调递增，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
若本例(2)的函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，求x的取值范围．
[解]　由题意可知，
解得x>.
∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
3．(1)若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(　　)
A．f(－1)≥f(a2＋1)　
B．f(－1)>f(a2＋1)
C．f(－1)≤f(a2＋1)
D．f(－1)(2)若f(x)是在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x)(1)B　(2)　[(1)∵a2＋1>－1，且f(x)为R上的减函数，
∴f(a2＋1)(2)∵f(x)是定义在区间[0，＋∞)上单调递增，且f(x)∴解得即0≤x<，所以不等式的解集为.]
1．(多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
ABD　[由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故C错误，其余选项均正确．]
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
D　[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其余函数在(0，＋∞)上单调递增，故选D.]
3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3　　
B．b≥3
C．b≤3
D．b≠3
C　[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，
若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上单调递增，则b≤3，故选C.]
4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则实数k的取值范围为________．
　[由2k－1<0得k<.]
5．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)(－2,1)　[∵f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)∴x2－2<－x，
即x2＋x－2<0，
解得－2∴x的取值范围是(－2,1)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若x1，x2是区间D上任意实数，且(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，能否判定f(x)在D上的单调性？
[提示]　能，增函数．
2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？
[提示]　定义法、图象法和基本初等函数法．
3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？
[提示]　一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．
4．在应用函数单调性解题时应注意什么？
[提示]　已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，
如f(x)在D上递增，则f(x1)学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(重点)2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．(重点)
1．借助函数最值的求法，培养直观想象和数学运算素养．2．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养.
科考队对罗布泊“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况．
问题：(1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？
(2)设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？
(3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？
知识点　函数最大值与最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：?x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
?x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
[提示]　不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)?(存在)
M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)?(任意)
最大(小)值定义中的?(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，既对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值．(　　)
(2)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　)
(3)函数的最大值一定比最小值大．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
D．，2
C　[由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.]
类型1　图象法求函数的最值(值域)
【例1】　已知函数f(x)＝
(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
[解]　(1)图象如图所示：
(2)由图可知f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]，单调递减区间为(0,2)，值域为[－1,3]．
图象法求最值的基本步骤
1．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为(　　)
A．2　
B．1　　　
C．－1　
D．无最大值
B　[如图所示，f(x)的最大值是1，故选B.
]
类型2　单调性法求函数的最值(值域)
【例2】　已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值f(4)＝＝.
函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
2．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．
[解]　设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上单调递减．
同理f(x)在[2,4]上单调递增．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；
当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
类型3　函数最值的实际应用
【例3】　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N
)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
由年销售总收入随x的不同而有不同的对应关系，思考选择什么模型构建y与x的函数关系式．
[解]　(1)当020时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N
)．
(2)当020时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
解实际应用题的4个步骤
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解]　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，销量为500－10(x－50)＝(1
000－10x)个，则y＝(x－40)(1
000－10x)＝－10(x－70)2＋9
000≤9
000.
故当x＝70时，y最大值＝9
000.
即售价为70元时，利润最大值为9
000元．
1．函数y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1，
B．2,1　　
C．，
D．2，
A　[因为函数y＝在区间[2,4]上单调递减，所以其最大值、最小值分别是＝1，＝.故选A.]
2．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既无最大值又无最小值
D　[∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)3．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为(　　)
A．[0,3]
B．[－1,0]
C．[－1，＋∞)
D．[－1,3]
D　[∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.]
4．函数f(x)＝则f(x)的最大值为________，最小值为________．
10　6　[当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
∴f(x)最小值＝f(－1)＝6，f(x)最大值＝f(2)＝10.]
5．用长度为24
m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________m.
3　[设隔墙长为x(0m2，
则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时ymax＝18.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何理解最值定义中的“任意”和“存在”两个字眼？
[提示]　函数的最大(小)值，包含两层意义：一是存在，二是在给定区间上所有函数值中最大(小)的，反映在函数图象上，函数的图象有最高点或最低点．
2．求函数最值的常用方法有哪些？
[提示]　(1)图象法，即画出函数的图象，根据图象的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
(3)对于二次函数还可以用配方法研究，同时灵活利用数形结合思想和分类讨论思想解题．
3．如何求分段函数的最值？
[提示]　可先分段求出每段的最值，再采用“大中取大，小中取小”的原则求出最值．3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解奇函数、偶函数的定义．(重点)2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(重点)3．掌握判断函数奇偶性的方法．(难点)
1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．2．借助判断函数奇、偶性的方法，培养逻辑推理素养.
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)＝x2
g(x)＝
知识点　函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示]　定义域关于原点对称．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　)
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)
A．－1　　　　
B．0
C．1
D．无法确定
C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]
类型1　函数奇偶性的判断
【例1】　(对接教材P84例题)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解]　(1)函数的定义域为R，因为?x∈R，都有－x∈R.
且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1,1}，因为?x∈{－1,1}，都有－x∈{－1,1}，且f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，因为?x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
－x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不成立，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为?x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}．
f(－x)＝
即f(－x)＝
于是有f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x6＋1；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
[解]　(1)函数f(x)＝x6＋1的定义域为R，
因为?x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)6＋1＝x6＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x6＋1为偶函数．
(2)f(x)的定义域是R.因为?x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，因为?x∈[－1,0)∪(0,1]，都有－x∈[－1,0)∪(0,1]，且
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝为奇函数．
(4)f(x)的定义域为R，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＝－x3，而f(x)＝x2，所以当x<0时不满足f(－x)＝f(x)，也不满足f(－x)＝－f(x)．故此函数是非奇非偶函数．
类型2　奇偶函数的图象问题
【例2】　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]　(1)如图所示：
(2)由(1)可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．
2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
类型3　利用函数的奇偶性求值
【例3】　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
(1)从偶函数的图象特征思考如何求解参数a，b的值？
(2)函数g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx是奇函数还是偶函数，能否借助g(x)的奇偶性对该问题作出解答？
(1)　0　(2)7　　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
所以f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
所以g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用特定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．
(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4　[法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.
法三：由函数f(x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f(x)是偶函数，
∴4－a＝0，∴a＝4.]
1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于(　　)
A．－1　　
B．1　　　　
C．0　　
D．2
A　[由题意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1，故选A.]
2．下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
D．y＝x2，x∈[0,1]
B　[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.]
3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
　　
A　　
　B　　　　C　　　　D
B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．]
4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________.
3　[由题意可知f(－2)＝f(2)＝3.]
5．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.
0　[∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0，
∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，
所以a＝0.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数奇偶性的定义域、图象和解析式各有什么特点？
[提示]　(1)定义域特点：关于原点对称；
(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；
(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.
2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？
[提示]　定义法和图象法．第2课时　奇偶性的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(重点)2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(难点)
1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养.
类型1　用奇偶性求解析式
【例1】　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式．
[解]　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中．
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
1．(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则函数f(x)的解析式为__________．
(1)x(x＋1)　(2)　[(1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1)．
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝.]
类型2　利用函数的单调性与奇偶性比较
大小
【例2】　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是单调递增的，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A　[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是单调递增的，则x∈(－∞，0)时，f(x)是单调递减的，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]
(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
[解]　(1)因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f(2)>f(3)>f(π)．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)>f(－3)>f(π)．
(2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，
因为－3<－2<π，所以f(－3)比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上：
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
2．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)
A．f(1)　
B．f
C．f
D．f
B　[∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f
＝f
，f
＝f
，又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f
，即f
.]
类型3　利用函数的单调性与奇偶性解
不等式
【例3】　已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)判断f(x)在[－2,2]上的单调性，由此思考如何解不等式f(1－m)[解]　因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
又f(1－m)即解得－1≤m<.
故实数m的取值范围是－1≤m<.
抽象不等式的求解策略
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
3．(1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(a)A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则<0的解集为________．
(1)C　(2)(－3,0)∪(3，＋∞)　[(1)∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴由f(a)(2)结合题意，画出草图如图所示，
由<0可知：当x<0时，f(x)>0，此时x∈(－3,0)，当x>0时，f(x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3,0)∪(3，＋∞)．]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3　
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－
B　[对于函数y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－不是偶函数．故选B.]
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f(3)A．a>1　
B．a<－2
C．a>1或a<－2
D．－1C　[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.]
3．若f(x)满足f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　)
A．f
B．f(－1)C．f(2)D．f(2)D　[∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
又f(x)在(－∞，－1]上递增，且－2<－<－1，
∴f(－2)∴f(2)4．若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________．
－2　[∵奇函数图象关于原点对称，∴f(x)在区间[2,4]上的最小值为－2.]
5．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解]　当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，
故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
故f(x)＝
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)为定值吗？若f(x)为偶函数呢？
[提示]　若f(x)为奇函数，且在原点处有定义，则f(0)＝0；
若f(x)为偶函数，则无法判断该值的大小．
2．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
[提示]　如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
3．若奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(a)>f(b)，则a，b的大小关系如何？若f(x)为偶函数呢？
[提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|.

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