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3.3　幂函数
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养．2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养.
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
价格/元
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
需求量/t
1.216
1.179
1.146
1.117
1.089
1.064
1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如何判断一个函数是幂函数？
[提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
1.(多选)下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝　
B．y＝x3
C．y＝3x
D．y＝x－1
ABD　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD.]
2.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.
　[由f(2)＝可知2α＝，即α＝－1，
∴f(4)＝4－1＝.]
知识点2　幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
4.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)
A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
B　[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
知识点3　幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数
常见的幂函数的图象与性质
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x和y＝x－1的图象都通过点(1,1)；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是偶函数；
(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x单调递增，函数y＝x－1单调递减；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
5.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×
类型1　幂函数的概念
【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解]　由题意得
解得所以m＝－3，n＝.
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　
B．1　　　　
C．2　　
D．3
B　[∵y＝＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．]
类型2　幂函数的图象及应用
【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)[解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出
它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
2．(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
(1)B　(2)B　[(1)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
(2)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移1个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
类型3　幂函数性质的综合应用
【例3】　比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.
由所给幂的特征，思考如何构造幂函数，幂函数的单调性如何？
[解]　(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
(2)0.9＝，＝1.1.
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．
3．比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1.
[解]　(1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，
所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
1．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1　　　　
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝x3
B　[设f(x)＝xα，则2α＝，
∴α＝，∴f(x)＝x.
选B.]
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)
A．－1或2
B．－2或1
C．－1
D．1
C　[因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.]
3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．
－　[因为函数y＝x－3＝在(－∞，0)上单调递减，
所以当x＝－2时，y最小值＝(－2)－3＝＝－.]
4．0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是________．
0.23－2.3>0.24－2.3　[令y＝x－2.3，由于y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减且0.23<0.24，故0.23－2.3>0.24－2.3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个函数是幂函数的关键是什么？
[提示]　关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．所有幂函数y＝xα在原点处都有意义吗？图象都过点(1,1)吗？
[提示]　当α<0时幂函数在原点处无意义，图象都过点(1,1)．
3．在第一象限内，幂函数图象随幂指数的变化存在怎样的规律？
[提示]　观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞)?y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0,1)?y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0)?y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”．3.4　函数的应用(一)
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1．通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养.
类型1　一次函数模型的应用
【例1】　城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978－2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿．假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t(限定t<50)年的城镇常住人口为f(t)亿．写出f(t)的解析式，并由此估算出我国2022年的城镇常住人口数．
[解]　因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以f(t)是一次函数，设f(t)＝kt＋b，其中k，b是常数．
注意到2013年是1978年后的第2
013－1
978＝35年，因此
即
解得k＝0.16，b＝1.7.因此
f(t)＝0.16t＋1.7，t∈N且t<50.
又因为2022年是1978年后的第2
022－1
978＝44年，而且f(44)＝0.16×44＋1.7＝8.74，
所以由此可估算出我国2022年的城镇常住人口为8.74亿．
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
1．如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
①通话2分钟，需要付电话费________元；
②通话5分钟，需要付电话费________元；
③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
①3.6　②6　③y＝1.2t(t≥3)　[①由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
②由图象可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
③易知当t≥3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，待定系数求得y＝1.2t(t≥3)．]
类型2　二次函数模型的应用
【例2】　某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满．已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？
[解]　设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为y元．
因为此时每间房单价为200＋20x元，而客房出租数将减少10x间，即为160－10x间，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)
＝200(10＋x)(16－x)
＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]
＝－200(x－3)2＋33
800.
从而可知，当x＝3时，y的最大值为33
800.
因此每间房单价提到200＋20×3＝260元时，每天客房的租金总收入最高．
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值常常结合二次函数的图象来解答．
2．A，B两城相距100
km，在两地之间距A城x
km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10
km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[解]　(1)由题意设A城的月供电费用为y1，则y1＝λ×20x2.
设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．
(2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25
000
＝2＋，
则当x＝时，y最小．
故当核电站建在距A城
km时，才能使供电总费用最小．
类型3　分段函数模型的应用
【例3】　(对接教材P93例题)为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示．
分档
户年用水量/m3
综合用水单价/(元·m－3)
第一阶梯
0—220(含)
3.45
第二阶梯
220—300(含)
4.83
第三阶梯
300以上
5.83
记户年用水量为x
m3时应缴纳的水费为f(x)元．
(1)写出f(x)的解析式；
(2)假设居住在该市的张明一家某一年共用水260
m3，则张明一家该年应缴纳水费多少元？
由每一阶梯综合用水单价不同，思考用哪类函数刻画户年用水量x与应缴纳的水费f(x)的关系．
[解]　(1)不难看出，f(x)是一个分段函数，而且：
当0当220f(x)＝220×3.45＋(x－220)×4.83
＝4.83x－303.6；
当x>300时，有
f(x)＝220×3.45＋(300－220)×4.83＋(x－300)×5.83
＝5.83x－603.6.
因此f(x)＝
(2)因为220<260≤300，所以
f(260)＝4.83×260－303.6＝952.2，
因此张明一家该年应缴纳水费952.2元．
分段函数模型的应用
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．
(2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求汽车行驶5小时与A地的距离．
[解]　(1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；当2.5x＝
(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即汽车行驶5小时离A地75千米.
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)
A．一次函数模型　　　
B．二次函数模型
C．分段函数模型
D．无法确定
C　[由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型．]
2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1
000吨，则每吨800元，购买2
000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　)
A．820元
B．840元
C．860元
D．880元
C　[设y＝kx＋b，则1
000＝800k＋b，且2
000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9
000，则y＝－10x＋9
000.当y＝400时，即400＝－10x＋9
000，得x＝860(元)．]
3．某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y1＝－5x2＋900x－16
000，y2＝300x－2
000，其中x为销售量．若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为(　　)
A．11
000元
B．22
000元
C．33
000元
D．40
000元
C　[设两个店分别销售出x与110－x辆电动车，则两店月利润L＝－5x2＋900x－16
000＋300(110－x)－2
000＝－5x2＋600x＋15
000＝－5(x－60)2＋33
000，所以当x＝60时，两店的月利润取得最大值，为33
000元．]
4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
[答案]　y＝
5．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
60　[设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能总结一下数学建模的流程吗？
[提示]　数学建模的过程图示如下：
2．应用函数解决实际问题时，应注意什么？
[提示]　所建函数模型应符合实际问题，同时要注意函数的定义域等等，即主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．微专题2　二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型1　不含参数的二次函数最值问题
【例1】　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
[解]　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立．
故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值．
(2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7.
(3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
类型2　含参数的二次函数最值问题
【例2】　求函数f(x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0,2]上的最值．
[解]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为直线x＝a.
(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
　　　　
　图①　　　　　　　　图②
(2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
　　　　　
图③　　　　　　　　　图④
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，f(x)min＝f(x)max＝
【例3】　求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1.
图①　　　　
图②　　　　　　图③
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可得，g(t)＝
类型3　与二次函数有关的恒成立、能成立问题
【例4】　已知二次函数g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4，最小值0.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)设f(x)＝，若f(x)－kx≤0在x∈时恒成立，求实数k的取值范围．
[解]　(1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n，
∴函数g(x)图象的对称轴方程为x＝1.又∵m>0，
∴依题意得即解得
∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝，∴f(x)＝x＋－4.
∵f(x)－kx≤0在x∈时恒成立，即x＋－4－kx≤0在x∈时恒成立，
∴k≥2－＋1在x∈时恒成立．
∴只需k≥max，x∈.
令t＝，由x∈，得t＝∈.
设h(t)＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3，
则函数h(t)图象的对称轴方程为t＝2，
∴当t＝8时，函数h(t)取得最大值33，
∴k≥h(t)max＝h(8)＝33，
∴实数k的取值范围为[33，＋∞)．微专题3　函数性质的综合问题
函数的性质(包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等)是高中数学的核心内容，也是日常考试的核心命题点之一，命题时常将多种性质结合在一起进行考查，或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用.
类型1　函数性质的判断
【例1】　(1)对于函数f(x)＝的性质，下列描述：
①函数f(x)在定义域内是减函数；
②函数f(x)是非奇非偶函数；
③函数f(x)的图象关于点(1,1)对称．
其中正确的有几项(　　)
A．0　
B．1　　　
C．2　
D．3
(2)设f(x)是定义在R上的增函数，F(x)＝f(x)－f(－x)，那么F(x)必为(　　)
A．增函数且是奇函数
B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数
D．减函数且是偶函数
(1)C　(2)A　[(1)∵f(x)＝＝1＋的定义域{x|x≠1}，在(－∞，1)，(1，＋∞)单调递减，但是在定义域内不是递减，故①错误；由于f(x)的定义域关于原点不对称，即f(x)为非奇非偶函数，②正确；
根据函数图象的平移可知，f(x)＝1＋的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位，故函数的图象的对称中心(1,1)，③正确．故选C.
(2)∵F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，
∴F(x)为定义在R上的奇函数，
设x2>x1，则F(x2)－F(x1)＝f(x2)－f(－x2)－f(x1)＋f(－x1)，
∵x2>x1，∴－x2<－x1，
∵f(x)为定义在R的增函数，
∴f(x2)>f(x1)，f(－x1)>f(－x2)，
∴F(x2)－F(x1)＝[f(x2)－f(x1)]＋[f(－x1)－f(－x2)]>0，
∴F(x)为定义在R上的增函数．
综上所述，F(x)必为增函数且为奇函数．故选A.]
类型2　函数的奇偶性、单调性与最值
【例2】　设函数f(x)＝在区间[－2,2]上的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2
021的值为__________．
1　[f(x)＝＝＋1，
设g(x)＝，则g(－x)＝＝－g(x)，可知函数g(x)为奇函数，
g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，
故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2
021＝(2－1)2
021＝1
.]
类型3　函数的奇偶性、单调性与比较大小
【例3】　(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立为(　　)
A．f(b)－f(－a)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)
C．f(a)＋f(－b)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)
AC　[函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，
偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)对于A，f(b)－f(－a)(因为在a>0上f(a)＝g(a))，所以A正确；
对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)?f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b)<0矛盾，所以B错误；
对于C，f(a)＋f(－b)对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)?f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)类型4　函数的奇偶性、单调性与解不等式
【例4】　(1)设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f(2)＝0，则不等式≥0的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪(0,2]
B．[－2,0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2,0)∪(0,2]
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
①若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
②若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
(1)C　[由题意可得，函数的图象关于原点对称，
对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
都有<0，
故函数在(0，＋∞)上单调递减，
故函数在(－∞，0)上也单调递减．
由不等式≥0可得≤0.
再由f(2)＝0可得f(－2)＝0，故有不等式结合图象可得x≥2，或x≤－2，故选C.
]
(2)[解]　①因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
②由①知f(x)为R上的增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．
类型5　抽象函数的性质应用
【例5】　设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
(1)求f(1)，f
的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(3)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．
[解]　(1)因为对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝－1，
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，f(1)＝0，
令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，
令x＝，y＝9，则有f(1)＝f
＋f(9)＝0，f
＝－f(9)＝2.
(2)证明：令x1所以>1，f
<0，
f(x2)＝f
＝f(x1)＋f
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)由已知不等式f(x)＋f(2－x)<2化为f(2x－x2)，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴
解得1－不等式解集为.
类型6　根据函数的奇偶性、单调性求参数
【例6】　已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1故实数a的取值范围是(1,3]．第3章
函数的概念与性质
类型1　求函数的定义域
求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集．
【例1】　(1)求函数y＝＋－的定义域；
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
[解]　(1)解不等式组得
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.
1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．∪
D　[由得x<1且x≠，故选D.]
类型2　求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．
(3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f
，使用解方程组法．
(4)已知一个区间的解析式，求其对称区间的解析式，可用奇偶性转移法．
【例2】　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为______．
(2)已知f
＝＋，则f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　[(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f
＝＋，得f(t)＝＋
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．
(1)x＋　[因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋.]
(2)[解]　因为f(x)的对称轴为x＝－1，
所以－＝－1即b＝2a，
又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，
由条件③知：a>0，且＝0，
即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝，
所以f(x)＝x2＋x＋.
类型3　函数的性质及应用
函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响．
【例3】　已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．
(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式f(x2)(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)f(x)是[－1,1]上的增函数．
证明：任取x1，x2∈[－1,1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)．
∵>0，∴>0，∵x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x)是[－1,1]上的增函数．
(2)由(1)可得f(x)在[－1,1]上递增，
可得不等式f(x2)(3)要使f(x)≤m2－2am＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，只需f(x)max≤m2－2am＋1对所有的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，又f(x)max＝f(1)＝1，
∴1≤m2－2am＋1对任意的a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对任意的a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝－2ma＋m2，只需
解得m≤－2或m≥2或m＝0，
故实数m的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数m和n的值；
(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．
[解]　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－＝.
比较得n＝－n，n＝0.
又f(2)＝，∴＝，解得m＝2.
∴实数m和n的值分别是2和0.
(2)由(1)知f(x)＝＝＋.
任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
∵－2≤x11，x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增．
∴f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.
类型4　函数图象的画法及应用
利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．
【例4】　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；
(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
[解]　(1)当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，
函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
即f(x)＝的图象如图所示，单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3)．
(2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0故集合M＝{m|04．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是(　　)
C　[根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．]
类型5　函数的应用
本章主要学习了分段函数的建模问题，分段函数主要是每一段的变化规律不全相同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段要“不重不漏”．
【例5】　在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3
600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：
①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2
000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解]　设该店月利润余额为L，则由题设得
L＝Q(P－14)×100－3
600－2
000，①
由销售图易得：
Q＝
代入①式得
L＝
(1)当14≤P≤20时，L最大值＝450元，这时P＝19.5元，
当20故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．
(2)设可在n年内脱贫，
依题意有
12n×450－50
000－58
000≥0.
解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．
5．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式
f(x)＝
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
[解]　(1)当0由f(x)的图象(图略)可知，当0＜x≤10时递增，f(x)最大值＝f(10)＝59；
当10当16因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5，
∴开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强．
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数?(x)在(－∞，0)单调递减，且?(2)＝0，则满足x?(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞)　　
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
D　[法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D.
法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.]
2．(2020·江苏高考)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是__________．
－4　[y＝f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，
当x≥0时，f(x)＝x，可得f(8)＝8＝4，
则f(－8)＝－f(8)＝－4.]
3．(2020·上海高考)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段上一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v＝，x为道路密度，q为车辆密度．
v＝f(x)＝.
(1)若交通流量v>95，求道路密度x的取值范围；
(2)若道路密度x＝80，测得交通流量v＝50，求车辆密度q的最大值．
[解]　(1)∵v＝，∴v越大，x越小，
∴v＝f(x)是单调递减函数，k>0，
当40≤x≤80时，v最大为85，
于是只需令100－135·>95，解得x<，
又0故道路密度x的取值范围为.
(2)把x＝80，v＝50代入
v＝f(x)＝－k(x－40)＋85中，
得50＝－k·40＋85，解得k＝.
∴q＝vx＝
①当0q＝vx<100×40＝4
000.
②当40≤x≤80时，q是关于x的二次函数，
q＝－x2＋120x，对称轴为x＝，此时q有最大值，为－×2＋120×＝>4
000.
综上所述，车辆密度q的最大值为.

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