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4.1　指数
第1课时　根式
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1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)
1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养．2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了．
问题：若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫做3的什么？如何表示？
知识点1　根式及相关概念
(1)a的n次方根定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？
[提示]　当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±.
1.(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2
021，则x＝________；
(3)若有意义，则实数x的取值范围为________．
(1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)　[(1)27的立方根是3.
(2)因为x6＝2
021，所以x＝±.
(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.
所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．]
知识点2　根式的性质(n>1，且n∈N
)
(1)n为奇数时，＝a.
(2)n为偶数时，＝|a|＝
(3)＝0.
(4)负数没有偶次方根．
2.()n中实数a的取值范围是任意实数吗？
[提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；
当n为大于1的偶数时，a≥0.
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实数a的奇次方根只有一个．(　　)
(2)当n∈N
时，()n＝－2.(　　)
(3)＝π－4.(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
3.(1)＝________；(2)＝________.
(1)－8　(2)π－3　[(1)＝－8；(2)＝|3－π|＝π－3.]
类型1　由根式的意义求取值范围
【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围．
(1)＝；
(2)＝(5－x).
[解]　(1)∵x－3≠0，∴x≠3.
即实数x的取值范围为{x|x≠3}．
(2)由题意可知∴－5≤x≤5，
∴实数x的取值范围为{x|－5≤x≤5}．
对于，当n为偶数时应注意两点
(1)只有a≥0才有意义．
(2)只要有意义，则必有≥0.
1．若＝，则实数a的取值范围是________．
　[因为＝＝＝，
∴1－3a≥0，∴a≤.]
类型2　利用根式的性质化简求值
【例2】　(对接教材P105例题)化简下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3).
[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.
(3)原式＝|x＋2|＝
正确区分与()n
(1)()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围．
(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．
2．化简下列各式：
(1)(a≤1)；
(2)＋.
[解]　(1)∵a≤1，∴3a－3≤0，
∴＝|3a－3|＝3－3a.
(2)＋＝a＋|1－a|＝
类型3　有限制条件的根式的化简
【例3】　(1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.
(2)若－3(1)－1　[∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]
(2)[解]　－
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
当－3当1综上，原式＝
将本例(2)的条件“－3[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
有条件根式的化简
(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
3．已知－1[解]　∵－10，
∴－＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x.
1．(多选)已知a∈R，n∈N
，给出下列4个式子，其中有意义的是(　　)
A.
B．
C.
D．
BCD　[结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD.]
2．已知m10＝2，则m等于(　　)
A.
B．－
C.
D．±
D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，
∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.]
3．()4运算的结果是(　　)
A．2　
B．－2　　　
C．±2　
D．不确定
[答案]　A
4．若x3＝－5，则x＝________.
－　[若x3＝－5，则x＝＝－.]
5.＋＝________.
1　[＋＝4－π＋π－3＝1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若xn＝a，则x的值有几个，如何表示？
[提示]　当n为奇数时，若xn＝a，则x＝.
当n为偶数时，若xn＝a，则x＝±
(其中a≥0)．
2.
与()n相同吗？
[提示]　与()n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.第2课时　指数幂及其运算
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1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
1．通过分数指数幂的运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%.你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长率，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？
知识点1　分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
负分数指数幂
规定：a＝＝(a>0，m，n∈N
，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?
[提示]　①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)0的任何指数幂都等于0.(　　)
(2)5＝.(　　)
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.(　　)
(4)a可以理解为个a相乘．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.将下列根式化为分数指数幂：
①＝________；
②＝________；
③＝________(m≥0)．
[答案]　①16　②x　③m
知识点2　有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3.下列运算结果中，正确的是(　　)
A．a2a3＝a5　　
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
A　[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
知识点3　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)5是一个确定的实数．(　　)
(2)指数幂aα的指数α只能取无理数．(　　)
(3)＝8.(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
类型1　根式与分数指数幂的互化
【例1】　(对接教材P106例题)将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；
(3)
(b>0)．
[解]　(1)原式＝
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化：
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
[解]　
类型2　利用分数指数幂的运算性质化简求值
【例2】　计算下列各式(式中字母均是正数)：
[解]　
＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0
＝4a.
＝m2n－3
＝.
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
2．化简求值：
(1)0.027－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)2÷4×3.
[解]　(1)原式＝＋
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
类型3　条件求值问题
【例3】　已知a＋a＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
代数式“a＋a”与“a＋a－1、a2＋a－2”间存在怎样的关系，可以借助哪些公式实现他们间的转化与化归？
[解]　(1)将a＋a＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解]　令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解]　由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
3．已知a－a＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．
[解]　∵a－a＝m，
∴(a－a)2＝a＋a－1－2＝m2，
即a＋a－1＝m2＋2.
∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2.
1．(多选)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)
BC　[A不符合题意，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1；
B符合题意，＝3；
C符合题意，4＝＝2；
D不符合题意，4和－3均符合分数指数幂的定义，但4＝＝，
－3＝23＝8.]
2．把根式a化成分数指数幂是(　　)
A．(－a)　　　
B．－(－a)
C．－a
D．a
D　[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知x＋x＝5，则的值为(　　)
A．5　　
B．23
C．25　　
D．27
B　[∵x＋x＝5，∴x＋x－1＝23，即＝23.]
4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
　[∵10x＝3，∴102x＝9，
又10y＝4，∴102x－y＝＝.]
5．计算：0＋2－2×－(0.01)0.5＝________.
　[原式＝1＋×－＝1＋－＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1.用分数指数幂如何表示？
[提示]　
＝a.
2．分数指数幂有哪些性质？
[提示]　(1)as·ar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr.
3．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
[提示]　设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.4.2　指数函数
第1课时　指数函数的概念、图象和性质
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1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点)2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点)
1．通过指数函数图象的绘制，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.
将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
折叠次数　对应层数　对折后的面积S
x＝1
y＝2＝21
S＝
x＝2
y＝4＝22
S＝＝2
x＝3
y＝8＝23
S＝＝3
……　　　……　　　……
知识点1　指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.
1.为什么指数函数的底数a>0，且a≠1.
[提示]　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．(　　)
(2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×
分别求出指数函数y＝2x在自变量取－2，－1，－，0，，1,2时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测指数函数y＝2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x
－2
－1
－
0
1
2
y＝2x
知识点2　指数函数的图象和性质
a的范围
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
(0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称
2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
[提示]　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有02.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)指数函数y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函数．(　　)
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函数，也不是偶函数．(　　)
(3)所有的指数函数图象过定点(0,1)．(　　)
(4)函数y＝a|x|与函数y＝|ax|的图象是相同的．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
3.函数y＝3－x的图象是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
B　[∵y＝3－x＝x，∴B选项正确．]
类型1　指数函数的概念
【例1】　(1)下列函数中，指数函数的个数是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x.
A．1　　
B．2　　　　
C．3　　
D．0
(2)(对接教材P114例题)已知函数f(x)为指数函数，且f
＝，则f(－2)＝________.
(1)D　(2)　[(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量x，所以不是指数函数；
③中，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；
④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f
＝得a＝，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝.]
判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点
(1)底数是大于0且不等于1的常数；
(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；
(3)ax的系数必须为1.
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
∪(1，＋∞)　[由题意可知
解得a>，且a≠1，
所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]
类型2　指数函数的实际应用
【例2】　(对接教材P114例题)某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
[解]　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N
.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图所示．
x
0
1
2
3
…
y
200
210
220.5
231.5
…
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．
2．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝(0.957
6)
B．y＝(0.957
6)100x
C．y＝x
D．y＝1－(0.042
4)
A　[由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957
6).]
类型3　指数函数的图象的应用
【例3】　
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
(1)D　(2)(3,4)　[(1)由于f(x)的图象单调递减，所以0又00，所以b<0，故选D.
(2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]
指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点．
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．
3．已知f(x)＝2x，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；
(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
[解]　(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到．
(2)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到．
(3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到．
(4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象．
(5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象.
1．下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝2x＋1
B．y＝x3
C．y＝3·2x
D．y＝3－x
D　[结合指函数的定义可知D正确，故选D.]
2．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3　　　
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝x
D．f(x)＝x
B　[设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]
3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B　[作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知b4．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为________．
　[设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为，即年衰变量为.]
5．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．
　[由题意可知故a<且a≠1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数f(x)＝ax是指数函数吗？
[提示]　不一定，当a>0且a≠1时，f(x)＝ax是指数函数．
2．指数型函数的形式是什么样的？
[提示]　形如y＝kax(a>0，且a≠1)
3．指数函数的图象主要由谁决定？
[提示]　指数函数的底数决定图象的变化趋势．第2课时　指数函数的性质的应用
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1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)
借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
类型1　利用指数函数的单调性比较大小
【例1】　(对接教材P117例题)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)．
[解]　(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，
所以0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，
所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；
当0比较幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断．
(4)当底数含参数时，要按底数a>1和01．比较下列各值的大小：，2，3，.
[解]　先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.
(2)中，<2<2
(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝x，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)，
故有3<<<2.
类型2　利用指数函数的单调性解不等式
【例2】　(1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知ax2－3x＋10，a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)∵2＝－1，∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，
∴x2－4x－5>0，
根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1∴x2－4x－5<0，
根据相应二次函数的图象可得－1综上所述，当05；当a>1时，－1指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
当a>1时，f(x)>g(x)；
当0(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝x(a>0，且a≠1)等．
2．求解下列不等式：
(1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
[解]　(1)因为－0.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0ax＋7可得－5x－.
②当a>1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x>ax＋7可得－5x>x＋7，解得x<－.
综上，当0－；当a>1时，x<－.
类型3　指数型函数的单调性及应用
【例3】　判断f(x)＝x2－2x的单调性．
如果令u＝x2－2x，试分别写出y＝u及u＝x2－2x的单调区间，并思考y＝x2－2x的单调性同y＝u及u＝x2－2x单调性存在怎样的关系．
[解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝
u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
1．把本例的函数改为“f(x)＝2－x2＋2x”，求其单调区间．
[解]　函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．
综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
2．本例函数不变，求f(x)的值域．
[解]　法一：∵f(x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减，
∴f(x)max＝f(1)＝1－2＝3.
又f(x)>0，
∴f(x)的值域为(0,3]．
法二：∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0∴原函数的值域为(0,3]．
函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数是a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.
[解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，
∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．
故函数y＝a－x2＋3x＋2(a＞1)增区间为，减区间为.
(2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，
∴y＝2x－1在[1，＋∞)上为增函数；
当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.
而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，
∴y＝21－x为减函数．
故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.]
2．下列判断正确的是(　　)
A．1.72.5＞1.73
B．0.82＜0.83
C．π2＜π
D．0.90.3＞0.90.5
D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]
3．函数y＝x(x≥8)的值域是(　　)
A．R
B．
C．
D．
B　[因为y＝x在[8，＋∞)上单调递减，所以04．函数y＝1－x的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
A　[由已知得，y＝f(x)的定义域为R.
设u＝1－x，
则y＝u.
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
所以y＝1－x在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以选A.]
5．函数y＝的定义域是________．
[0，＋∞)　[由1－x≥0得x≤1＝0，
∴x≥0，
∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何比较两个指数式值的大小？
[提示]　比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．函数y＝af(x)的单调性同y＝f(x)的单调性存在怎样的对应关系？
[提示]　当a>1时，y＝af(x)与f(x)单调性相同；
当0即“同增异减”．
3．如何求函数y＝af(x)的值域？
[提示]　函数y＝af(x)的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)；
(2)求t＝f(x)的定义域x∈D；
(3)求t＝f(x)的值域t∈M；
(4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．4.3　对数
4.3.1　对数的概念
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1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(重点)2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(难点)
1．通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象的素养．2．通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算的素养.
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….
问题　依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？
知识点1　对数的概念
(1)对数的定义：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
对数运算是指数运算的逆运算
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)
(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)
(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)
(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a
B．logaM＝2
C．log22＝M
D．log2a＝M
B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]
知识点2　对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga
1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
为什么零和负数没有对数？
[提示]　由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
3.填空：(1)ln
e＝________；(2)lg
10＝________；
(3)ln
1＝________；(4)lg
1＝________.
[答案]　(1)1　(2)1　(3)0　(4)0
类型1　指数式与对数式的互化
【例1】　(对接教材P122例题)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
(1)2－7＝；(2)
32＝－5；
(3)lg
1
000＝3；(4)ln
x＝2.
[解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7.
(2)由
32＝－5，可得－5＝32.
(3)由lg
1
000＝3，可得103＝1
000.
(4)由ln
x＝2，可得e2＝x.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；
(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；　　　(2)－2＝16；
(3)27＝－3;
(4)log64＝－6.
[解]　(1)log3＝－2；(2)6＝－2；
(3)－3＝27；(4)()－6＝64.
类型2　利用指数式与对数式的关系求值
【例2】　(对接教材P123例题)求下列各式中的x的值：
(1)log64x＝－；
(2)logx
8＝6；
(3)lg
100＝x;
(4)－ln
e2＝x.
[解]　(1)x＝64＝(43)＝4－2＝.
(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln
e2＝x，得－x＝ln
e2，即e－x＝e2，
所以x＝－2.
求对数式logaN(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤
(1)设logaN＝m.
(2)将logaN＝m写成指数式am＝N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.
2．计算：
[解]　(1)设x＝log9
27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
类型3　应用对数的基本性质求值
【例3】　(1)设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　)
A．10　　
B．13
C．100
D．±100
(2)若log3(lg
x)＝0，则x的值等于________．
等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)成立吗？
(1)B　(2)10　[(1)法一：由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.
法二：由5log5(2x－1)＝52得log5(2x－1)＝2，即2x－1＝52＝25，∴x＝13，故选B.
(2)由log3(lg
x)＝0得lg
x＝1，∴x＝10.]
若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．
3e　[由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用
(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．
(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．
3．求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg
x)＝1；(3)x＝71－log75.
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.
(2)∵log3(lg
x)＝1，∴lg
x＝3，∴x＝103.
(3)x＝71－log75＝＝.
1．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．只有正数有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以5为底25的对数等于2
D．3log3a＝a(a>0)成立
ACD　[ACD均正确．(－2)3＝－8不能化成对数式．]
2．2－3＝化为对数式为(　　)
A．2＝－3　　　
B．(－3)＝2
C．log2＝－3
D．log2(－3)＝
[答案]　C
3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<0
B．0C．0D．1B　[由对数的定义可知
解得04．计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln
1＝________.
0　[原式＝3＋0－3＋0＝0.]
5．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．指数式与对数式存在怎样的关系？
[提示]　(1)若ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)
[提示]　若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.
3．下列等式成立吗？
(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N，(其中a>0且a≠1，N>0)．
[提示]　均成立．
素数个数与对数
我们已经知道，像2,3,5,7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数(也称为质数)．例如，100以内的所有素数为
2,3,5,7,11,13,17，
19,23,29,31,37,41，
43,47,53,59,61,67，
71,73,79,83,89,97.
探索素数出现的规律，是有些数学家们非常关心的问题．特别地，设x是正整数，用π(x)表示不超过x的素数个数，寻找π(x)的近似表达式，历史上曾引起了很多数学家的注意．当然，我们可以取x为一些常数，然后求出π(x)的值来进行观察和归纳．
可能会让你感到惊讶的是，π(x)的近似表达式与自然对数有关．事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，
π(x)≈.
这一结果可以从下表中直观感受到．
x
π(x)
相对误差
1
000
168
145
13.69%
5
000
669
587
12.26%
10
000
1
229
1
086
11.64%
50
000
5
133
4
621
9.97%
100
000
9
592
8
686
9.45%
500
000
41
538
38
103
8.27%
1
000
000
78
498
72
382
7.79%
5
000
000
348
513
324
150
6.99%
注：如果A的近似值为a，那么相对误差指的是×100%.4.3.2　对数的运算
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1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.
(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg
10，lg
100，lg
1
000及lg
104的值，你能发现什么规律？
知识点1　对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
[提示]　不一定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)log2x2＝2log2x.(　　)
(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　　)
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2.计算log84＋log82等于(　　)
A．log86
B．8
C．6
D．1
D　[log84＋log82＝log88＝1.]
3.计算log510－log52等于(　　)
A．log58
B．lg
5
C．1
D．2
C　[log510－log52＝log55＝1.]
知识点2　对数的换底公式
　若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝.
几个常用推论：
(1)loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
4.(多选)下列等式正确的有(　　)
A．log34＝
B．log34＝
C．log34＝
D．log34＝
[答案]　ABC
类型1　对数运算性质的应用
【例1】　(对接教材P124例题)计算下列各式的值：
(1)lg
－lg
＋lg
；
(2)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2；
(3).
[解]　(1)原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5
＝(lg
2＋lg
5)
＝lg
10
＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2
＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2
＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg
2·lg
50；
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25.
[解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg
5)(1＋lg
5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg
8＋lg25＋lg
2·lg
50＋lg
25
＝2lg
2＋lg25＋lg
2(1＋lg
5)＋2lg
5
＝2(lg
2＋lg
5)＋lg2
5＋lg
2＋lg
2·lg
5
＝2＋lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2＝2＋lg
5＋lg
2＝3.
类型2　对数的换底公式
【例2】　(1)计算：
(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
[解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
(2)∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝＝＝＝.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解]　∵log189＝a，∴log183＝.又log185＝b，
∴log915＝＝＝＝.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝·
＝.
类型3　对数运算性质的综合应用
【例3】　(1)若3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知3x＝4y＝6z，求证：＋＝.
以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题．
[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436.
∴＝＝＝2log363＝log369，＝＝
＝log364.∴＋＝log369＋log364＝log3636＝1.
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m.
所以＝＝logm3，＝＝logm4，＝＝logm6.
故＋＝logm3＋logm4＝logm3＋logm4＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝.
条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便
利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．
3．已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
[解]　∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
1．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　
B．1　　　　
C．2　　
D．4
C　[∵2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.∴选C.]
2．计算log92·log43＝(　　)
A．4
B．2
C．
D．
D　[log92·log43＝·＝·＝.]
3．设10a＝2，lg
3＝b，则log26＝(　　)
A．
B．
C．ab
D．a＋b
B　[∵10a＝2，∴lg
2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N
，则下列各式：
(1)(logax)n＝nlogax；
(2)(logax)n＝logaxn；
(3)logax＝－loga；
(4)＝logax；
(5)＝loga.
其中正确的有________．(填序号)
(3)(5)　[根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]
5．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.
1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＝log102＝lg
2，＝lg
5，
∴＋＝lg
2＋lg
5＝lg
10＝1.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．对数函数有哪些运算性质？
[提示]　(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logabm＝mlogab.其中(a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)
2．你能用对数的换底公式证明logNnMm＝logNM吗？
[提示]　能．logNnMm＝＝＝logNM.
3．常见的换底公式变形有哪些？
[提示]　(1)logab＝＝＝(其中a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1)．
(2)logab·logba＝1(其中a>0，且a≠1，b>0,
且b≠1)．

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