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4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1.理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(重点)2．会求简单的对数型函数的定义域．(重点)
1.通过具体实例形成对数函数的概念，提升数学抽象的核心素养．2．通过实例体会对数函数的应用，提升应用意识和数学运算的核心素养.
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足
y＝，
也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点　对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？
[提示]　不是，其不符合对数函数的形式．
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(　　)
(2)y＝log2x2是对数函数．(　　)
(3)若函数y＝logax为对数函数，则a>0且a≠1.(　　)
(4)函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
类型1　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；
④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；
⑥y＝x.其中是对数函数的为(　　)
A．③④⑤　
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.
(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f
＝_______.
(1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.
(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以
解得a＝4.
(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f(x)＝log2x，
∴f
＝log2＝－1.]
判断一个函数是对数函数的方法
1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.]
类型2　对数函数的定义域
【例2】　(对接教材P130例题)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝＋ln(x＋1)；
(2)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．
[解]　(1)函数式若有意义，需满足即解得－1(2)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝log3x2；
(2)y＝loga(4－x)(a>0，且a≠1)；
(3)y＝；
(4)y＝log7.
[解]　(1)∵x2>0，即x≠0.
∴函数y＝log3x2的定义域为{x|x≠0}．
(2)∵4－x>0，即x<4.
∴函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．
(3)∵x＞0，且lg
x≠0.
∴x＞0且x≠1.
∴函数y＝的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(4)∵>0，∴1－3x>0，即x<.
∴函数y＝log7的定义域为.
类型3　对数函数模型的应用
【例3】　(对接教材P131例题)已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位．求y与x的关系式．
结合题设信息思考如何从增长率角度分析变量x与y间存在的关系？
[解]　由题意可知
(1－20%)y＝x,0即y＝log0.8x,0y与x的关系式为y＝log0.8x,0利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax.
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
3．人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：
C(t)＝C0e－rt，
其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量．
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5
730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．
[解]　因为14C的半衰期大约是5
730年，所以由衰减规律，得＝e－5
730r.
解得r＝.因此14C的衰减规律服从指数型函数
C(t)＝C0e·t＝C0·2.
设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年．因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以＝，
于是2＝.
两边取以2为底的对数，得－＝log2.
解得t0＝5
730log2≈5
730×0.707
7≈4
055.
所以该木炭已衰减了约4
055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年.
1．下列函数是对数函数的是(　　)
A．y＝log2x
B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe
D．y＝logxx
[答案]　A
2．如果函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象经过点(4,2)，那么a的值为(　　)
A.
B．
C．2
D．4
C　[由f(4)＝loga4＝2得a2＝4，
∴a＝±2，
又a>0且a≠1，
∴a＝2，故选C.]
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C．(4,10)∪(10，＋∞)
D．[4,10)∪(10，＋∞)
D　[由得
∴x≥4且x≠10，故选D.]
4．若函数f(x)＝(a－1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
2　[∵f(x)是对数函数，∴a－1＝1，∴a＝2，
经检验a＋1＝3>0，且a＋1≠1，故a＝2.]
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
128　[由题意得5＝2log4x－2，
即7＝log2x，得x＝128.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何判断一个函数是否是对数函数？
[提示]　判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
[提示]　除了要特别注意真数和底外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．4.4.2　对数函数的图象和性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会用描点法画出对数函数的简图．2．掌握对数函数的性质，会解决简单的与性质有关的问题．(重点)
1．通过对数函数图象的绘制，提升数学抽象素养．2．借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.
分别求出对数函数y＝log2x在自变量取，，，1,2,4,8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝log2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
x
1
2
4
8
y＝log2x
知识点1　对数函数的图象和性质
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示]　底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当01.函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　
B．
C．
D．
A　[由题图可知，a>1，故选A.]
2.函数f(x)＝loga(x＋1)的图象必经过定点________．
(0,0)　[由x＋1＝1得x＝0，∴f(x)的图象必过定点(0,0)．]
知识点2　反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
3.(1)函数y＝log2x的反函数是________；
(2)函数y＝x的反函数是________．
[答案]　(1)y＝2x　(2)y＝x
类型1　对数函数的图象问题
【例1】　(1)如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝________，c＝________.
(3)已知f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)B　(2)－2　2　[(1)结合图象可知0x＝a，y＝b，结合图知b(2)由于函数图象恒过定点(3,2)，故
∴∴]
(3)[解]　因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，
故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
把本例(3)改为f(x)＝＋2，试作出其图象．
[解]　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
(1)　　　　　　　(2)　
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3)　　　　　　　　(4)　
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称．
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　B　
　　　C　　　　D
C　[∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]
类型2　比较对数值的大小
【例2】　(对接教材P133例题)比较下列各组值的大小：
(1)log5与log5；
(2)2与2；
(3)log23与log54.
[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，
所以log5(2)法一(单调性法)：由于2＝，2＝，
又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以2<2.
法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝x及y＝x的图象，由图易知：2<2.
(3)取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54.
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较对数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
2．比较下列各组值的大小：
(1)0.5，0.6；
(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；
(4)log3π，log20.8.
[解]　(1)因为函数y＝x是减函数，且0.5<0.6，所以0.5>0.6.
(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因为0>log70.6>log70.5，
所以<，即log0.67(4)因为log3π>log31＝0，log20.8log20.8.
类型3　解对数不等式
【例3】　已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．
结合对数函数的单调性，思考解对数不等式要注意哪些问题？
[解]　(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3.
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
常见的对数不等式的3种类型
1．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
2．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．
3．形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
3．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.7(2x)[解]　(1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是.
(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
所以由log0.7(2x)解得x>1.
即x的取值范围是(1，＋∞).
1．函数y＝loga(x－1)(0　　
　A　　　　B　　　　C　　　　D
A　[函数y＝loga(x－1)(02．函数y＝eq
\r(?2x－3?)的定义域是(　　)
A.
B．[2，＋∞)
C.
D．
D　[依题意0<2x－3≤1，解得3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
D　[a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log524．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
　[由题意可知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f()＝得loga＝，
∴a＝.]
5．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
{x|210，∴0<2x－4≤10，
即2回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示]　作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.
2．函数y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)的图象有何特点？
[提示]　两函数的图象关于直线y＝x对称．
3．如何解对数不等式logaf(x)>logag(x)(a>0，且a≠1)?
[提示]　分01两类分别求解．
当0logag(x)?0当a>1时，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0.
4．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示]　(1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．4.4.3　不同函数增长的差异
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型．2．会分析具体的实际问题，通过建模解决实际问题．(重点、难点)
1．从几类特殊函数中分析出一般性函数的增长特点，可以提高逻辑推理素养．2．通过比较几种不同类型的函数模型的增长进行决策，建立函数模型，从而提升数学建模素养.
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
现在有一套房子，价格200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能一共攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款，收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能赞够钱买这套房子？
A．5年　B．7年　C．8年　D．9年　E．永远买不起
房子的价格逐年构成什么样的函数？这个人的逐年收入构成什么函数？你能给出这道题的答案吗？为什么？
知识点　三种函数模型的增长差异
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有logax[提示]　不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．(　　)
(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax(3)函数y＝x衰减的速度越来越慢．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
类型1　几类函数模型的增长差异
【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A．y＝2
021x
B．y＝2
021
C．y＝log2
021x
D．y＝2
021x
(2)下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是(　　)
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
(1)A　(2)C　[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
(2)观察函数f(x)＝x，g(x)＝x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
(2)指数函数模型
指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A．y＝ex　
B．y＝ln
x
C．y＝2x
D．y＝e－x
A　[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]
类型2　函数增长速度的比较
【例2】　(1)(多选)如图，能使得不等式log2x(　　)
A．x>2
B．x>4
C．0D．2(2)已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
①指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数．
②借助图象，比较f(x)和g(x)的大小．
(1)BC　[结合图象可知，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，有log2x(2)[解]　①C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1，C2对应的函数为f(x)＝ln
x.
②当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)．
综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
2．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f
与g，f(2
021)与g(2
021)的大小．
[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，
∴f
＜g；
当x＞2时，f(x)＞g(x)，
∴f(2
021)＞g(2
021)．
类型3　函数增长速度的应用
【例3】　某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
分别画出y＝0.2x，y＝log5x及y＝1.02x的图象，观察并思考哪个模型符合题设条件．
[解]　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，
即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．
3．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应_________；C对应________；D对应________．
A　　　　B　　　C　　　　D
(1)　　　(2)　　
(3)　　　(4)
(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝1　　　
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
C　[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
A　[随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．]
3．以下四种说法中，正确的是(　　)
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
D　[ABC均错误，只有D正确．]
4．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1
130
2
005
3
130
4
505
y2
5
90
1
620
29
160
524
880
9
447
840
170
061
120
y3
5
30
55
80
105
130
155
其中关于x呈指数增长的变量是________．
y2　[由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．]
5．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
②③　[结合图象可知②③正确，故填②③.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
如何描述三种函数模型的增长差异？
[提示]　直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b(k＞0)、指数函数y＝ax(a>1)、对数函数y＝logbx(b>1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且一次函数直线上升，其增长量固定不变．
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质．对指数运算不熟悉的人，在估计指数运算的值时，可能会出现比较大的误差．例如，你能猜出以下各指数运算的值大概是多少吗？
1.01365≈？
1.02365≈？
0.99365≈？
1.01219×0.98146≈？
0.9550≈？
有意思的是，如图所示，有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学，你觉得有道理吗？
　　4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)
1．借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.
请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
知识点1　函数的零点
(1)函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
1.函数的零点是函数与x轴的交点吗？
[提示]　不是．函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
(2)方程、函数、函数图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点?函数y＝f(x)有零点．
1.函数y＝2x－1的零点是(　　)
A．　
B．　　
C．
D．2
A　[由2x－1＝0得x＝.]
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
　
A　　　　B　　　
C　　　　D
D　[结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]
知识点2　函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
(1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可．
(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
[提示]　不能．
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　　)
(2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)
(3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
类型1　求函数的零点
【例1】　(1)求函数f(x)＝的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g(x)的零点为0和－.
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
(1)f(x)＝x2＋7x＋6；
(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；
(3)f(x)＝2x－1－3；
(4)f(x)＝.
[解]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6.
(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.
(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.
(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.
类型2　零点个数的判断
【例2】　(对接教材P143例题)判断下列函数零点的个数：
(1)f(x)＝(x2－4)log2x；
(2)f(x)＝x2－；
(3)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2.
[解]　(1)令f(x)＝0，得(x2－4)log2x＝0，因此x2－4＝0或log2x＝0，
解得x＝±2或x＝1.
又因为函数定义域为(0，＋∞)，所以x＝－2不是函数的零点，故函数有2和1两个零点．
(2)法一：令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
法二：令f(x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示．
由图象可知，两个函数图象只有一个交点，
故函数只有一个零点．
(3)法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(2)＝4＋lg
3－2＝2＋lg
3>0，
∴f(x)＝0在(0,2)上必定存在实根．
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．
法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg(x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个公共点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
判断函数零点个数的常用方法
(1)直接法：解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．
(2)图象法：直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的个数．
(3)f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系中作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，则两个图象公共点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．
2．已知0A．1　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
B　[函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0类型3　判断函数零点所在的区间
【例3】　(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(3,4)
B．(2，e)
C．(1,2)
D．(0,1)
(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是
(　　)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
结合零点存在性定理思考怎样判定函数在区间(a，b)内存在零点？
(1)C　(2)C　[(1)因为f(1)＝ln
2－<0，f(2)＝ln
3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.
(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，
f(0)＝1－3＝－2<0，
f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，
f(2)＝7.39－5＝2.39>0，
f(3)＝20.08－6＝14.08>0，
f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]
判断函数零点所在区间的3个步骤
(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，
则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
3．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)
A．－2
B．0
C．1
D．3
A　[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)
A．－，－1
B．，1
C．，－1
D．－，1
B　[方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1.]
2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)　　
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
B　[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝4－3＝1>0，
∴f(1)·f(2)<0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]
3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
D　[∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．]
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
2　[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]
5．若函数f(x)＝＋a的零点是1，则实数a＝________.
－　[由f(1)＝＋a＝0得a＝－.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的零点、相应方程的根及图象之间存在怎样的内在联系？
[提示]　函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2．函数零点存在定理满足的条件有哪些？
[提示]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.
3．探求函数零点个数的方式有哪些？
[提示]　直接解方程法；图象交点个数法；定理法．4.5.2　用二分法求方程的近似解
学
习
任
务
核
心
素
养
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点)
　借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10
km长的线路大约有200多根电线杆子．可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了．
问题：你知道他是如何做到的吗？
知识点1　二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
[提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
1.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
x3　[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]
知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
3.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0,0.5)　f(0.25)　[∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴x0∈(0,0.5)，故第二次应计算f(0.25)．]
类型1　二分法概念的理解
【例1】　(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　　　
B　　　　
　C　　　D
(2)已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　)
A．9　　
B．8　　　　
C．7　　
D．6
(1)ACD　(2)A　[(1)二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
(2)由题意可知Δ＝36－4c＝0，∴c＝9.故选A.]
运用二分法求函数的零点应具备的2个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
1．(多选)下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，其中正确的是(　　)
A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值
C．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
AC　[结合二方法的原理可知AC正确．]
类型2　用二分法求方程的近似解
【例2】　(对接教材P146例题)用二分法求2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解(精确度为0.2)．
参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
结合二分法的原理思考求解该问题的步骤以及如何应用精确度求得方程的近似解？
[解]　令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035<0
(1.375,1.5)
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间(1,2)内的近似解可取为1.375.
利用二分法求方程近似解的过程图示
2．用二分法求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．
[解]　令f(x)＝x2－2x－1，易知f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴f(x)在区间(2,3)上有且只有一个零点，记为x0.
取2和3的中点2.5，
∵f(2.5)＝2.52－2×2.5－1＝0.25>0，
∴x0∈(2,2.5)，
取2和2.5的中点2.25，
∵f(2.25)＝2.252－2×2.25－1＝－0.437
5<0，
∴x1∈(2.25,2.5)，
如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437
5)>0，
则x0∈(2.375,2.437
5)，
∴|2.437
5－2.375|＝0.062
5<0.1，
∴原方程的近似解可取为2.375.
1．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　
B．3,4　　　
C．5,4　
D．4,3
D　[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)
A．[－2，－1]　
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
A　[∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　)
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
(2,3)　[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．]
5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
x
1.600
0
1.587
5
1.575
0
1.562
5
1.556
2
1.550
0
f(x)的近似值
0.200
0.133
0.067
0.003
－0.029
－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．(答案不唯一)
1.56　[f(1.562
5)＝0.03>0，f(1.556
2)<0，
且|1.562
5－1.556
2|＝0.006
3<0.01，
∴区间(1.556
2,1.562
5)内的任意实数均是函数f(x)的零点，不妨取1.56.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是什么？
[提示]　在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
2．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
[提示]　当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
3．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
[提示]　精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
二分法在搜索中的应用
日常生活中，我们经常要利用计算机、网络来搜索信息．你知道吗？二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色．
下图中的15个数是按从小到大排列的．
2
5
8
11
12
16
23
27
29
35
51
53
69
75
77
如果随机给出一个不大于100的自然数x，要让计算机查找x是否在上面这列数中，设计怎样的查找方法，才能保证不管给出的是什么数，都能在指定的步骤内查到结果呢？
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较，那么在有些情况下，只要比较1次就可以了(例如x＝1)，但在有些情况下，却要比较15次才能完成任务(例如x＝80)．
如果我们用二分法的思想来查找，情况就不一样了：每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较，通过这种方式缩小其可能的位置范围．例如，x＝13时的查找过程可用下图表示．
由此不难看出，不管给出的是什么数，最多4次就能完成任务．
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的，而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用，感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧！第4章
指数函数与对数函数
4.5.3　函数模型的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点)2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点)3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点)
　通过本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养.
兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长.
知识点　常见函数模型
(1)一次函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型
y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型
y＝
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　)
(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　　)
(3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)√
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　)
A．y＝2x－1　
B．y＝x2－1
C．y＝2x－1
D．y＝1.5x2－2.5x＋2
D　[逐一检验可知D选项符合．故选D.]
类型1　利用已知函数模型解决实际问题
【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24
℃的房间中，如果咖啡降温到40
℃需要20
min，那么降温到32
℃时，需要多长时间？
[解]　先设定半衰期h，由题意知
40－24＝(88－24)×，
即＝，
解得h＝10，故原式可化简为
T－24＝(88－24)×，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝(88－24)×，
即＝＝＝3，∴t＝30.
因此，需要30
min，可降温到32
℃.
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1
W/m2，能听到的最低声强为10－12
W/m2，求人听觉的声强级范围；
(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20
dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
[解]　(1)由题知10－12≤I≤1，
∴1≤≤1012，
∴0≤lg≤12，∴0≤L≤120，
故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．
(2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，
由题知L1－L2＝20，
则10lg－10lg＝20，
∴lg＝lg
100，∴I1＝100I2.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
类型2　自建确定性函数模型解决实际问题
【例2】　一种放射性元素，最初的质量为500
g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
[解]　(1)最初的质量为500
g.
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，
得lg
0.9t＝lg
0.5，即tlg
0.9＝lg
0.5，
∴t＝≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1
000只，并以平均每年8%的速度增加．
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；
(2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？(结果为整数)(参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[解]　
(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为，
1
000＋1
000×8%＝1
080(只)，
两年后这种鸟类的个数为
1
080＋1
080×8%≈1
166(只)．
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1
000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1
000×1.08x，x∈N
(3)令1
000×1.08x≥3×1
000，得：1.08x≥3两边取常用对数得：
lg
1.08x≥lg
3，即xlg
1.08≥lg
3，
考虑到lg
1.08>0，故x≥，
故x≥＝，
因为lg
108＝lg(33×22)＝3lg
3＋2lg
2，所以
x≥≈≈14.3.约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上．
类型3　拟合数据构建函数模型解决实
际问题
【例3】　某企业常年生产一种出口产品，自2016年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2016年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
(1)画出2016～2019年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
(3)2020年(即x＝5)因受新型冠状病毒的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量为多少？
借助散点图，联想常见函数模型的变化趋势，思考选用哪种函数模型解题？
[解]　(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得
∴f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2020年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2020年的年产量为7万件．
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
3．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为18
m2，经过3个月其覆盖面积为27
m2.现水葫芦的覆盖面积y(单位：m2)与经过的时间x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝px＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1
000倍．
(参考数据：lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
[解]　(1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝px＋q(p>0)的增长速度越来越慢，
∴函数模型y＝kax(k>0，a>1)更合适，
则有解得
∴y＝8×x(x∈N)．
(2)设经过x个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的1
000倍．
当x＝0时，y＝8，则有8×x＝8×1
000，
∴x＝1
000＝＝≈17.04.
∴原先投放的水葫芦的面积为8
m2，约经过17个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的1
000倍.
1．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)
　　　
　A　　　　　B　　
　　C　　　　D
[答案]　B
2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.95·m
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
A　[设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95·m.]
3．某市的房价(均价)经过6年时间从1
200元/m2增加到了4
800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是(　　)
A．600元　
B．50%
C.－1
D．＋1
C　[设6年间平均年增长率为x，则有1
200(1＋x)6＝4
800，解得x＝－1.]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg
2≈0.301
0)．
4　[设至少要洗x次，则x≤，
所以x≥≈3.322，所以至少需4次．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[提示]　利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．
这些步骤用框图表示如图：微专题4　与对数函数有关的复合函数
与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为.
①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
②当0＜a＜1时，若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
【例2】　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2＋2]．
类型2　对数型复合函数的值域
【例3】　求函数f(x)＝(1＋2x－x2)的值域．
[解]　令u＝1＋2x－x2，可得0＜u≤2，
因为y＝u在(0,2]上是递减的，
所以u∈[－1，＋∞)．
故f(x)＝log(1＋2x－x2)的值域为[－1，＋∞)．
【例4】　求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[解]　f(x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性
【例5】　已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解]　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴ln(1－x)＋ln(a＋x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)，
∴ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln(a－x)－ln(a＋x)，
∴ln＝ln，∴＝，
整理得2x(a－1)＝0，
∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
要使函数f(x)有意义，应满足，
∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
设任意x1，x2∈(－1,1)，且x1∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1)＝ln(1－x)－ln(1－x)
当－1x，1－x<1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1,0)上是增函数，
当0≤x1x1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)在[0,1)上是减函数．
综上可知，函数f(x)在(－1,0)上是增函数，在[0,1)上是减函数．第4章
指数函数与对数函数
类型1　指数与对数的运算
1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点．
2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
【例1】　计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；
(2)1.5×0＋80.25×＋(×)6－.
[解]　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.
(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.
1．设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)
A．6　　
B．3　　　　
C．2　　
D．1
D　[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，
∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]
类型2　指数函数、对数函数的图象及应用
函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0,1)点，后者恒过(1,0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻拆、平移等变换得出的函数图象．
【例2】　(1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是(　　)
(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
(1)C　(2)C　[(1)由题意可知f(x)＝ax与g(x)＝loga的单调性相同，故排除选项D，又g(－1)＝loga1＝0，∴排除选项AB，故选C.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
2．(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列图象对应的函数正确的是(　　)
　　　
A　　　　B　　　　C　　
　　　D
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.
①如图，画出函数f(x)的图象；
②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．
(1)B　[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝
3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.]
(2)[解]　①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．
类型3　指数函数、对数函数的性质及应用
以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围．
【例3】　(1)若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD．x(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．
(1)C　[因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，B错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．]
(2)[解]　①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．
又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.
②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.
令t＝log3x，因为1≤x≤3，
所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.
所以y＝2＋∈，
所以所求函数的值域为.
3．(1)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则(　　)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
(2)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(1)C　(2)A　[(1)∵a＝log2π>log22＝1，b＝π<1＝0，c＝π－2＝，即0c>b，故选C.
(2)由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]
类型4　函数的零点与方程的根
函数的零点就是相应方程的根，是相应函数图象与x轴交点的横坐标．因此，判断函数零点的个数问题常转化为方程根的求解或两函数图象交点个数问题．零点存在定理是判断函数是否存在零点的一种方式，注意其使用条件：(1)连续性；(2)异号性．
【例4】　已知定义在R上的函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，f(a)≠f(b)，其中a[证明]　∵f(x)在(a，b)上不间断，
∴F(x)＝f(x)－在(a，b)上连续．
又∵f(a)≠f(b)，∴f(a)－f(b)≠0.
F(a)＝f(a)－＝，
F(b)＝f(b)－＝，
∴F(a)F(b)＝·
＝－<0，即F(a)F(b)<0.
∴函数F(x)在区间(a，b)上有零点．
4．(1)方程＝x的根x0所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
(2)设[x]表示不超过实数x的最大整数，则方程2x－2[x]－1＝0的根有(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
(1)B　(2)B　[(1)令f(x)＝－x，易知f(x)在R上单调递增，f(1)＝－<0，f(2)＝2－＝>0，
∴f(1)·f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有零点，故选B.
(2)方程2x－2[x]－1＝0根的个数等价于y＝2x－1与y＝2[x]的图象交点个数，
在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示：
由图象可知，两个函数共有3个不同的交点，
∴方程2x－2[x]－1＝0有3个根．]
类型5　函数的实际应用
本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解决的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题．
【例5】　2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln
2(其中k≠0)．当燃料质量为(－1)m吨时，该火箭的最大速度为4
km/s.
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8
km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
[解]　(1)由题意得4＝k{ln[m＋(－1)m]－ln(m)}＋4ln
2，解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln
2＝8ln
.
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，
则m＝479.8－x，又y＝8，
则8＝8ln
，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8
km/s.
5．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了.
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg
2≈0.3)
[解]　(1)根据题意，得p0＝p0e－k，
∴e－k＝，∴p(t)＝p0t.
(2)由p(t)＝p0t≤p0，
得t≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg
2)≥3，∴t≥30.
因此，至少还需过滤30个小时．
1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝
3－2＝＝，故选B.
法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.]
2．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
A　[
∵23＜32，∴2＜3，∴log32＜log33＝，∴a＜c.
∵33＞52，∴3＞5，∴log53＞log55＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A.]
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)(　　)
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
B　[∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
若则e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln
2≈0.69，t2－t1≈1.8，选B.]
4．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝－0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．bC．bD．cD　[a＝30.7，b＝－0.8＝30.8，则b>a>1，log0.70.85．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b2
D．aB　[令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b，所以f(a)

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