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5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点)2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)3．掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)
1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养．2．借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养.
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
(1)　　　　　　　　　(2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin
x有什么关系呢？
知识点　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
由y＝sin
ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
[提示]　∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin
ω，∴由y＝sin
ωx的图象向左(右)平移个单位．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝sin
3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.(　　)
(2)y＝sin
x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin
2x.(　　)
(3)y＝sin
x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin
x．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2.把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(　　)
A．y＝sin
x－　　　
B．y＝sin
x＋
C．y＝sin
D．y＝sin
D　[根据图象变换的方法，y＝sin
x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．]
类型1　匀速圆周运动的数学模型
【例1】　如图，点P是半径为20
cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度ω
rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．
[解]　由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋ωt，
根据三角函数的定义，得P点纵坐标
y＝|OP|sin∠POx＝20sin，
即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sin，
∵函数的周期T为＝π，
∴由T＝，可得ω＝2，
∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)．
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．
1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)
A．y＝sin　　　
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
C　[∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos
φ＝，sin
φ＝.解得φ＝.故选C.]
类型2　平移变换
【例2】　(1)将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin＋2
B．y＝sin－2
C．y＝sin－2
D．y＝sin＋2
(2)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
(1)D　(2)B　[(1)向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D.
(2)由y＝sin＝sin4得，只需将y＝sin
4x的图象向右平移个单位即可，故选B.]
在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数．
(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚．
(3)左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是
.
2．为了得到y＝sin的图象，只需将函数y＝cos
x的图象向右平移__________个单位长度．
　[y＝sin＝cos＝cos＝cos，只需把y＝cos
x的图象向右平移个单位长度即得到y＝sin.]
类型3　伸缩变换
【例3】　已知函数y＝sin＋，该函数的图象可由y＝sin
x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)
先由y＝sin
x平移得到y＝sin，再伸缩得到y＝sin与先伸缩得到y＝sin
2x，再平移得到y＝sin，两次平移的量是否相同？
[解]　法一(先平移后伸缩)：
①把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
法二(先伸缩后平移)：
①把函数y＝sin
x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数y＝sin
2x的图象；
②把函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数y＝sin的图象；
④再把得到的函数y＝sin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数y＝sin＋的图象．
三角函数图象伸缩变换的方法
3．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝3cos
x
B．f(x)＝3sin
x
C．f(x)＝3cos
x＋3
D．f(x)＝sin
3x
A　[y＝2siny＝3sin
y＝3sin
eq
\o(――――――――→,\s\up15(向左平移个),\s\do10(单位))y＝3sin
＝3sin
＝3cos
x．]
1．要得到y＝tan
x的图象，只需把y＝tan的图象(　　)
A．向左平移个单位　　
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
[答案]　D
2．若函数
y＝sin
2x的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos
2x
B．f(x)＝sin
2x
C．f(x)＝－cos
2x
D．f(x)＝－sin
2x
A　[依题意得f(x)＝sin
＝sin＝cos
2x.故选A.]
3．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋1，则(　　)
A．ω＝，A＝4
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝4
A　[由题意可得T＝＝，可得ω＝，由图象可知y的最大值为5，sin(ωx＋φ)＝1时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4.]
4．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为________．
　[函数y＝cos
xy＝cosx.所以ω＝.]
5．由y＝3sin
x的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
　　[y＝3sin
xeq
\o(――――――→,\s\up15(向左平移),\s\do10(个单位))
y＝3sin
y＝3sin，
y＝3sin
xy＝3sineq
\o(――――――――→,\s\up15(向左平移个),\s\do10())
y＝3sin＝3sin.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能描述一下由y＝sin
x的图象，通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的变换途径吗？
[提示]　(1)y＝sin
xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin
xy＝sin
ωxy＝sin＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？
[提示]　若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；若先周期变换后相位变换，平移个单位．第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及性质的应用
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1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(重点)2．能够根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定其解析式．(易错点)3．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，能够利用性质解决相关问题．(重点)
1．通过“五点法”作函数的图象，培养直观想象的素养．2．借助函数图象求解析式，培养直观想象及数学运算的素养.
类型1　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例1】　已知函数y＝sin，x∈R.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y＝sin
x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
[解]　(1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y＝
sin
0
0
－
0
描点、连线，如图所示．
(2)函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象．
1．“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
f(x)
0
A
0
－A
0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
1．已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
[解]　f(x)＝cos，列表如下．
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图．
类型2　求三角函数的解析式
【例2】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
借助函数图象你能发现哪些信息？参数A、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？
[解]　法一：(逐一定参法)
由图象知A＝3,
T＝－＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，
∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝，
∴y＝3sin.
法二：(五点对应法)
由图象知A＝3.
∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
法三：(图象变换法)
由A＝3，T＝π，点在图象上，
可知函数图象由y＝3sin
2x向左平移个单位长度而得，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(2)
五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin
ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
2．(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B?A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．y＝2cos＋4
B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2
D．y＝4cos＋2
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．
(1)A　　[由函数f(x)的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f(x)的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f(x)的图象上．
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜，
所以φ＝－，所以f(x)＝2cos＋4.]
(2)[解]　由最低点M，得A＝2.
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，
即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，
∴φ＝.故f(x)＝2sin.
类型3　函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的
综合应用
【例3】　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
[解]　∵f(x)在R上是偶函数，
∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值，
即sin
φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z.
又0≤φ<π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝k－，k∈Z.
又f(x)在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴0<ω≤2，
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
综上，φ＝，ω＝或2.
将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M，0对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
[解]　因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝sin
φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0.
因为f(x)＝sin
ωx在上是增函数．
所以?，
于是，
解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为.
研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略
(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)熟记正弦函数y＝sin
x的图象与基本性质．
(3)充分利用整体代换思想解决问题．
(4)熟记有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．
3．(多选)已知函数f(x)＝sin，以下命题中为真命题的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f(x)在上是增函数
ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选ABD.]
1．已知函数f(x)＝Asin(A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　)
A．1　
B．2　　　
C．4　
D．8
B　[函数f(x)＝Asin(A>0)的周期T＝＝＝6.
∵函数f(x)＝Asin(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，
∴＝，∴A＝2，故选B.]
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)
A．A＝4
B．ω＝1
C．φ＝
D．B＝4
C　[由图象可知，A＝2，B＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2.因为2×＋φ＝，所以φ＝，故选C.]
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
C　[由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．]
4．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则根据表格可得出A＝__________，ω＝__________，φ＝__________.
2　3　－　[由表格得A＝2，T＝π－＝，
∴ω＝3，∴ωx＋φ＝3x＋φ.
∵当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.]
5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为__________．
－π　[由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－π.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？
[提示]　(1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求．
(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求，具体如下：利用“第一点”时，令ωx＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝；利用“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．
2．在研究函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？
[提示]　采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝Asin
z的性质求解．5.7　三角函数的应用
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1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
1．通过建立三角模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题求解，提升数学运算素养.
如图所示，将一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在水平放置的光滑杆上，不计小球与杆之间的摩擦，称小球静止时的位置为平衡位置．将小球拉离平衡位置之后释放，则小球将左右运动．从某一时刻开始，如果记t
s后小球的位移为x
cm，则由物理学知识可知x与t的关系可以写成
x＝Asin(ωt＋φ)的形式，其中A，ω，φ都是常数．
日常生活中，一般家用电器使用的电流都是交流电流，交流电流i与时间t的关系一般可以写成
i＝Imsin(ωt＋φ)的形式，其中Im，ω，φ都是常数．
显然，上述x与i都是t的函数．那么，这种类型的函数在生产生活中有哪些应用？
知识点　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，，
B．6π，，
C．3π，3，－
D．6π，3，
B　[y＝sin的周期T＝＝6π，振幅为，初相为.]
2.函数y＝3sin的频率为________，相位为________，初相为________．
　x－　－　[频率为＝，
相位为x－，初相为－.]
类型1　三角函数模型在物理学中的应用
【例1】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
[解]　列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin
＝2，所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和－4
cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数．
1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解]　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110
V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220
V，当100πt＋＝，即t＝
s时第一次取得最大值．
类型2　三角函数模型的实际应用
【例2】　(对接教材P245例题)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
如何借助表格中的数据探寻与参数A，ω，b的相关量？解三角不等式的关键是什么？
[解]　(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cost＋1＞1，cost＞0,2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3，(k∈Z)．又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t＜15.
解三角函数应用问题的基本步骤
　提醒：关注实际意义求准定义域．
2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14
℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2
℃.
(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10
℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解]　(1)由题意知
解得
易知＝14－2，
所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，
得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin
＋6<8sin
＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
类型3　数据拟合模型的应用
【例3】　下表所示的是某地2000～2019年的月平均气温(华氏度)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系．
(1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)这个函数的周期是多少？
(3)估计这个正弦曲线的振幅A；
(4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos
；②＝cos
；③＝cos
；④＝sin
.
[解]　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝7－1＝6，
∴T＝12.
(3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
∴A＝25.8.
(4)∵x＝月份－1，
∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos
，
∴①不适合．
代入②，得＝<0≠cos
，
∴②不适合，同理，④不适合，
∴③最适合．
处理数据拟合和预测问题的步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图．
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
3．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为__________．
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
y＝－4cos
t　[设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin
φ＝－4.0，得sin
φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos
t.]
1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是(　　)
A．y＝sin　　
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
D　[由题意可知，周期T＝＝，∴ω＝3.
∴y＝sin，故选D.]
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5　
B．6　　　
C．8　
D．10
C　[由题意可知－3＋k＝2，∴k＝5，从而ymax＝3＋k＝3＋5＝8.故选C.]
3．(多选)如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.8
s
B．该质点的振幅为－5
cm
C．该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D．该质点在0.3
s和0.7
s时的位移为零
AD　[由图可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5
cm，当t＝0.1
s或0.5
s时，v＝0.故选AD.]
4．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l＝________cm.
　[由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
y＝－6sinx，x∈[0,24]　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝.
当x＝9时，ymax＝6.
故×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx，x∈[0,24]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．在日常生活中哪些问题可由三角函数模型求解？
[提示]　在日常生活中呈周期变化的现象，可利用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b描述其变化规律，并结合各参数的实际意义解决相关问题．
2．在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
[提示]　→→5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)
1．通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．2．借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.
观察下表中的数据：
cos(60°－30°)
cos
60°
cos
30°
sin
60°
sin
30°
cos(120°－60°)
cos
120°
cos
60°
sin
120°
sin
60°
－
从中你能发现cos(α－β)与cos
α，cos
β，sin
α，sin
β间的内在关系吗？
知识点　两角差的余弦公式
公式：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
(1)简记符号：C(α－β)．
(2)适用条件：公式中的角α，β是任意角．
(1)公式可简记为：余余正正、符号反．
(2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，公式右端展开式为角α，β的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)?α，β∈R，cos(α－β)＝cos
α－cos
β成立．(　　)
(2)对?α，β∈R，cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β都成立．(　　)
[答案]　(1)√　(2)√
2.cos
20°＝(　　)
A．cos
30°cos
10°－sin
30°sin
10°
B．cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°
C．sin
30°cos
10°－sin
10°cos
30°
D．cos
30°cos
10°－sin
30°cos
10°
B　[cos
20°＝cos(30°－10°)＝cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°，故选B.]
3.cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝________.
0　[原式＝cos(30°－120°)＝cos(－90°)＝0.]
类型1　给角求值问题
【例1】　求下列各式的值：
(1)cos(－375°)；
(2)cos(α＋45°)cos
α＋sin(α＋45°)sin
α；
(3)cos
15°＋sin
15°.
[解]　(1)cos(－375°)＝cos
375°＝cos
15°
＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝×＋×＝.
(2)cos(α＋45°)cos
α＋sin(α＋45°)sin
α
＝cos[(α＋45°)－α]＝cos
45°＝.
(3)cos
15°＋sin
15°
＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
1．求值：(1)sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°；
(2)cos(θ＋70°)cos(θ＋10°)＋sin(θ＋70°)sin(θ＋10°)．
[解]　(1)sin
46°cos
14°＋sin
44°cos
76°
＝sin(90°－44°)cos
14°＋sin
44°cos(90°－14°)
＝cos
44°cos
14°＋sin
44°sin
14°
＝cos(44°－14°)＝cos
30°＝.
(2)cos(θ＋70°)cos(θ＋10°)＋sin(θ＋70°)sin(θ＋10°)＝cos[(θ＋70°)－(θ＋10°)]＝cos
60°＝.
类型2　给值求值问题
【例2】　(对接教材P216例题)(1)已知sin
α＝，α是第二象限角；cos
β＝，β是第四象限角，求cos(α－β)的值；
(2)已知sin
α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos
β的值．
(1)同角三角函数存在哪些关系？要求cos(α－β)的值，需要求哪些三角函数值？
(2)能否将β表示成α与α＋β的线性组合？如何借助两角差的余弦公式求cos
β的值？
[解]　(1)∵sin
α＝，α是第二象限的角，
∴cos
α＝－＝－.
又cos
β＝，β是第四象限的角，
∴sin
β＝－＝－.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝－×＋×＝－＝－1.
(2)由sin
α＝和α为锐角可得cos
α＝＝.
由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.于是cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝－×＋×＝.
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
2．已知sin＝，α∈，求cos
α的值．
[解]　∵α∈，∴＋α∈，
∴cos＝－
＝－＝－.
∵α＝－，
∴cos
α＝cos
＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
类型3　给值求角问题
【例3】　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小．
[解]　因为sin(π－α)＝，
所以sin
α＝.因为0＜α＜，
所以cos
α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0＜β＜α＜，所以0＜α－β＜，
所以sin(α－β)＝＝，
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0＜β＜，所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限．
(3)求角：结合三角函数值及角的范围求角．
3．已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，求α－β的值．
[解]　∵α，β均为锐角，
∴sin
α＝，sin
β＝，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
又sin
αβ，
∴0<α<β<，∴－<α－β<0，
故α－β＝－.
1．cos(－15°)的值是(　　)
A．　
B．
C．
D．
D　[cos(－15°)＝cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×＋×＝.]
2．sin
11°cos
19°＋cos
11°cos
71°的值为(　　)
A．　　　
B．
C．
D．
B　[sin
11°cos
19°＋cos
11°cos
71°＝cos
11°·cos
71°＋sin
11°sin
71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝.故选B.]
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos
α＝，sin
β＝－，则cos(α－β)的值为(　　)
A．－　
B．－　　　
C．　
D．
A　[∵α为锐角，cos
α＝，∴sin
α＝＝，
∵β为第三象限角，sin
β＝－，∴cos
β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝－.]
4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.
　[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]
＝cos(－60°)＝cos
60°＝.]
5．已知cos＝cos
α，则tan
α＝________.
　[cos＝cos
αcos
＋sin
αsin＝cos
α＋sin
α＝cos
α，所以sin
α＝cos
α，所以＝，即tan
α＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．公式C(α－β)的结构有何特点？
[提示]　公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
2．公式C(α－β)中角α，β的适用条件是什么？
[提示]　公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.
3．通过本节课的学习，你能谈一下“活用公式”的具体体现吗？
[提示]　公式的运用要“活”，体现在正用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面．
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos
αcos
β＝sin
αsin
β.
②角的变用，也称为角的变换，如
cos
α＝cos[(α＋β)－β]，cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．(重点)2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．(重点)3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．(难点)
1．借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2．通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，它用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明．我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新．
类比于上节我们学习的两角差的余弦公式，你能得出两角和与差的正弦、余弦公式吗？
知识点1　两角和与差的余弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
α，β∈R
如何由C(α－β)推导出C(α＋β)?
[提示]　用“－β”代C(α－β)中的“β”便可，注意诱导公式“cos(－β)＝cos
β”的应用．
1.cos
57°cos
3°－sin
57°sin
3°的值为(　　)
A．0　　
B．　　　　
C．　　
D．cos
54°
B　[原式＝cos(57°＋3°)＝cos
60°＝.]
知识点2　两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦公式
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
α，β∈R
两角差的正弦公式
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
α，β∈R
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin
α－sin
β成立．(　　)
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β都不成立．(　　)
(4)sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°.(　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
3.若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sinα－＝______.
－　[∵cos
α＝－，α是第三象限的角，
∴sin
α＝－＝－，
∴sin＝sin
α－cos
α
＝×－×
＝－.]
类型1　给角求值问题
【例1】　(1)cos
70°sin
50°－cos
200°sin
40°的值为(　　)
A．－　
B．－　　　
C．　
D．
(2)若θ是第二象限角且sin
θ＝，则cos(θ＋60°)＝________.
(3)求值：(tan
10°－).
(1)D　(2)－　[(1)∵cos
200°＝cos(180°＋20°)＝－cos
20°＝－sin
70°，sin
40°＝cos
50°，
∴原式＝cos
70°sin
50°－(－sin
70°)cos
50°
＝sin(50°＋70°)＝sin
120°＝.
(2)∵θ是第二象限角且sin
θ＝，
∴cos
θ＝－＝－，
∴cos(θ＋60°)＝cos
θ－sin
θ
＝×－×
＝－.]
(3)[解]　原式＝(tan
10°－tan
60°)
＝
＝·
＝－2.
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变形后注意进行约分，解题时要逆用或变用公式．
提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
1．化简求值：
(1)；
(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
[解]　(1)原式＝
＝
＝＝sin
30°＝.
(2)设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos
α
＝＋－cos
α＝0.
类型2　给值求值问题
【例2】　(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos∠POQ＝________.
(2)已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈，求cos(2α－β)的值．
(1)　[由题意可得，cos∠xOP＝，
所以sin∠xOP＝.
再根据cos∠xOQ＝，
可得sin∠xOQ＝－，
所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝×－×＝.]
(2)[解]　因为α，β∈，
所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，
所以sin
α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)－sin
αsin(α－β)
＝×－×＝.
给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
2．已知锐角α，β满足cos
α＝，sin(α－β)＝－，求sin
β的值．
[解]　因为α，β是锐角，即0＜α＜，0＜β＜，
所以－＜α－β＜，
因为sin(α－β)＝－＜0，
所以cos(α－β)＝，
因为cos
α＝，所以sin
α＝，
所以sin
β＝sin[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)＝×＋×＝.
类型3　给值求角问题
【例3】　已知sin
α＝，sin
β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
能否求得α＋β的取值范围？依据α＋β的范围如何选择公式求三角函数值？
[解]　因为α和β均为钝角，
所以cos
α＝－＝－，
cos
β＝－＝－.
由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，
所以cos(α＋β)＝cosαcos
β－sinαsin
β＝×－×＝.
所以α＋β＝.
已知三角函数值求角的方法
已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好．
3．若sin
α＝－，cos
β＝，且α∈，β∈，求α＋β的值．
[解]　因为α∈，β∈，且sin
α＝－，cos
β＝，所以cos
α＝，sin
β＝，因此sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝－×＋×＝，
又因为α∈，β∈，
所以α＋β∈，故α＋β＝.
1．化简：sin
21°cos
81°－cos
21°sin
81°等于(　　)
A．　
B．－　　　
C．　
D．－
D　[原式＝sin(21°－81°)＝－sin
60°＝－，故选D.]
2．sin
105°的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[sin
105°＝sin(45°＋60°)＝sin
45°cos
60°＋cos
45°sin
60°
＝×＋×
＝.故选D.]
3．化简cos
x－sin
x等于(　　)
A．2sin
B．2cos
C．2sin
D．2cos
D　[cos
x－sin
x＝2
＝2
＝2cos.]
4．若cos
α＝－，α∈，则cos＝________.
－　[因为cos
α＝－，α∈，
所以sin
α＝＝＝，
所以cos＝cos
αcos
－sin
αsin
＝－×－×＝－.]
5．cos
βcos(α－β)－sin
βsin(α－β)＝________.
cos
α　[cos
βcos(α－β)－sin
βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos
α.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)间存在怎样的联系？
[提示]　
2．根据三角函数值求角时，一般的步骤是什么？
[提示]　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若θ∈(0，π)，则通常求cos
θ，若θ∈，则通常求sin
θ，否则容易导致增解．第3课时　两角和与差的正切公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
1．通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养．2．借助公式进行求值，提升数学运算素养.
根据同角三角函数的商数关系tan
θ＝，怎样由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式将tan(α＋β)用tan
α，tan
β来表示？如何将tan(α－β)用tan
α，tan
β来表示？
知识点　两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan
α·tan
β≠－1
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立．(　　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β)．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2.＝(　　)
A．　
B．　　　
C．　
D．
C　[原式＝tan(56°－26°)＝tan
30°＝.]
类型1　两角和与差的正切公式的正用
【例1】　已知tan
α＝，tan(α－β)＝－，求tan(β－2α)的值．
[解]　∵tan
α＝，tan(α－β)＝－，∴tan(β－α)＝，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
＝
＝－.
给值求值问题的2种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
1．(1)已知tan＝，则tan
α＝________.
(2)已知角α，β均为锐角，且cos
α＝，tan(α－β)＝－，则tan
β＝________.
(1)　(2)3　[(1)因为tan＝，
所以tan
α＝tan
＝＝＝.
(2)因为cos
α＝，α为锐角，所以sin
α＝，tan
α＝，
所以tan
β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]
类型2　两角和与差的正切公式的逆用
【例2】　(1)＝________；
(2)＝________.
(1)　(2)－1　[(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝.
(2)原式＝
＝
＝tan(30°－75°)＝－tan
45°＝－1.]
公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
如tan＝1，tan＝，tan＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
2．计算：(1)＝________.
(2)＝________.
(1)1　(2)　[(1)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan
45°＝1.
(2)＝＝tan(45°－15°)＝tan
30°＝.]
类型3　两角和与差的正切公式的变形应用
【例3】　(1)tan
67°－tan
22°－tan
67°tan
22°＝________.
(2)已知△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＝tan
Atan
B－1，试判断△ABC的形状．
当代数式中同时出现“tan
α＋tan
β”及“tan
αtan
β”时可以考虑哪一些公式的应用？当同时出现“tan
α－tan
β”及“tan
αtan
β”呢？
(1)1　[∵tan
67°－tan
22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan
67°tan
22°)
＝tan
45°(1＋tan
67°tan
22°)
＝1＋tan
67°tan
22°，
∴tan
67°－tan
22°－tan
67°tan
22°
＝1＋tan
67°tan
22°－tan
67°tan
22°＝1.]
(2)[解]　∵tan
A＋tan
B＝tan
Atan
B－1，
∴(tan
A＋tan
B)＝tan
Atan
B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.
∵tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，tan
C＝，
∴tan
B＋＋tan
B＝，tan
B＝，
∴B＝，∴A＝，
∴△ABC为等腰钝角三角形．
1．将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？
[解]　∵tan
45°＝tan(68°－23°)
＝，
∴1＋tan
68°tan
23°＝tan
68°－tan
23°，
即tan
68°－tan
23°－tan
68°tan
23°＝1.
2．能否为例3(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明．
[解]　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，
则tan
α－tan
β－tan
αtan
β＝1.
证明：∵tan
45°＝tan(α－β)＝，
∴1＋tan
αtan
β＝tan
α－tan
β，
即tan
α－tan
β－tan
αtan
β＝1.
两角和的正切公式的常见4种变形
(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)．
(2)1－tan
αtan
β＝.
(3)tan
α＋tan
β＋tan
α·tan
β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．
(4)tan
α·tan
β＝1－.
1．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α－β)等于(　　)
A．3　　　　　
B．－3
C．
D．－
C　[tan(α－β)＝＝＝.]
2．若tan
β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan
α＝(　　)
A．　　
B．－　　
　
C．1　　
D．－1
A　[tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.]
3．已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan
αtan
β等于(　　)
A．2　　
B．1　　　　
C．　　
D．4
C　[∵tan(α＋β)＝＝4，且tan
α＋tan
β＝2，
∴＝4，解得tan
αtan
β＝.]
4．若tan＝3，则tan
α的值为________．
　[tan
α＝tan
＝
＝
＝
＝
＝.]
5．计算tan
72°－tan
42°－tan
72°tan
42°＝________.
　[∵tan(72°－42°)＝＝，
∴tan
72°－tan
42°＝(1＋tan
72°tan
42°)，
∴tan
72°－tan
42°－tan
72°tan
42°＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能分析一下T(α±β)公式的特征吗？
[提示]　公式的右边为分式形式，其中分子为tan
α，tan
β的和或差，分母为1与tan
αtan
β的差或和．
公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反．
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．两角和与差的正切公式揭示了tan
αtan
β与哪些式子的关系？当式子中同时出现这些关系中的几个时常怎么处理？
[提示]　揭示了tan
αtan
β与tan
α＋tan
β，tan
αtan
β与tan
α－tan
β之间的关系．
若化简的式子中出现了“tan
α±tan
β”及“tan
α·tan
β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
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1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)
1．通过公式的推导，培养逻辑推理素养．2．借助运算求值，提升数学运算素养.
在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，则上述公式会有什么变化？
对于cos
2α的等式能否可以变成只含有sin
α或cos
α的式子？
知识点　倍角公式
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin
2α＝2sin_αcos_α
C2α
cos
2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan
2α＝
(2)余弦的二倍角公式的变形
cos
2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1.
倍角公式中的“倍角”只指α与2α吗？
[提示]　不是．“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍．“α＋β”是“”的二倍等等．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(2)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立．(　　)
(3)对于任意的角α，cos
2α＝2cos
α都不成立．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
2.若sin
α＝，cos
α＝，则sin
2α＝________，cos
2α＝________，tan
2α＝________.
　　　　[∵sin
α＝，cos
α＝，∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝，cos
2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
tan
2α＝＝＝.]
类型1　给角求值问题
【例1】　求下列各式的值：
(1)cos415°－sin415°＝________；
(2)1－2sin275°＝________；
(3)＝________；
(4)－＝________；
(5)cos
cos
cos
＝________.
(1)　(2)－　(3)－2　(4)4　(5)－　[(1)cos415°－sin415°＝(cos215°－sin215°)·(cos215°＋sin215°)＝cos215°－sin215°＝cos
30°＝.
(2)1－2sin275°＝cos
150°＝－cos
30°＝－.
(3)＝2×
＝2×＝－2.
(4)－＝
＝
＝
＝＝4.
(5)∵cos＝－cos，cos＝－cos，
∴coscoscos＝coscoscos＝＝
＝＝＝－.]
对于给角求值问题，一般有2类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角的正弦公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
1．求下列各式的值
(1)cos
72°cos
36°；
(2)＋.
[解]　(1)cos
36°cos
72°＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝4.
类型2　给值求值问题
【例2】　已知sin＝，0所给的角“－x”与待求角“＋x”是什么关系？如何借助诱导公式实现“2x”与“±x”之间的三角转换？
[解]　原式＝
＝
＝2sin.
∵sin＝cos＝，
且0∴＋x∈，
∴sin＝＝，
∴原式＝2×＝.
解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)当遇到“±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
cos
2x＝sin＝2sincos.
类似的变换还有：
cos
2x＝sin＝2sincos，
sin
2x＝cos＝2cos2－1，
sin
2x＝－cos＝1－2cos2等．
2．(1)已知sin＝，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．　　
C．－
D．
(2)已知sin＝，那么cos等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
(1)C　(2)A　[(1)sin
2α＝－cos＝2sin2－1
＝2×－1＝－.故选C.
(2)cos＝－cos＝－cos
＝2sin2－1
＝2×－1＝－.故选A.]
类型3　化简与证明
【例3】　(1)化简：＋＝________.
(2)证明：＝－4.
(1)－tan
2θ　[原式＝＝＝－＝－tan
2θ.]
(2)[证明]　左边＝
＝
＝
＝
＝－4＝右边，
所以原等式成立．
1．证明三角恒等式的原则
观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次幂降幂，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
2．证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
2．求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos
2Acos
2B；
(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos
2θ.
[证明]　(1)左边＝－
＝
＝(cos
2Acos
2B－sin
2Asin
2B＋cos
2Acos
2B＋sin
2Asin
2B)
＝cos
2Acos
2B＝右边，
∴等式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ
＝cos2θ－sin2θ＝cos
2θ＝右边．
∴等式成立．
法二：右边＝cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)
＝左边．
∴等式成立.
1．已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为(　　)
A．2　　
B．－2　　　　
C．　　
D．－
D　[因为sin
α＝3cos
α，所以tan
α＝3，所以tan
2α＝＝＝－.]
2．下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin
15°cos
15°
B．cos2
15°－sin2
15°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
B　[cos215°－sin215°＝cos
30°＝.故选B.]
3．若sin
＝，则cos
α等于(　　)
A．－
B．－
C．
D．
C　[cos
α＝1－2sin2＝1－2×＝.故选C.]
4．已知sin
＋cos
＝，那么sin
θ＝________，cos
2θ＝________.
　　[因为sin
＋cos
＝，
所以2＝，
即1＋2sin
cos
＝，
所以sin
θ＝，
所以cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－2×2＝.]
5．设sin
2α＝－sin
α，α∈，则tan
2α的值是________．
　[∵sin
2α＝－sin
α，∴2sin
αcos
α＝－sin
α.
由α∈知sin
α≠0，
∴cos
α＝－，∴α＝，
∴tan
2α＝tan＝tan＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何理解二倍角中的“倍角”含义？
[提示]　对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；是(n∈N
)的二倍．
2．二倍角公式的常见变形有哪些？
[提示]　(1)sin
αcos
α＝sin
2α；
(2)1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2；
(3)cos2α＝，sin2α＝等等．5.5.2　简单的三角恒等变换
学
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1．能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，并能够进行简单的应用．(重点)2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)
1．通过公式的推导，培养逻辑推理素养．2．借助三角恒等变换的简单应用，提升数学运算素养.
前面我们已经学习了二倍角公式，你能用cos
α表示sin2
，cos2
及tan2
吗？
知识点1　半角公式
(1)sin＝±
，
(2)cos＝±
，
(3)tan＝±
，
(4)tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
半角公式中的符号由谁决定？
[提示]　半角公式中的符号由所在象限决定．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos
＝.(　　)
(2)存在α∈R，使得cos
＝cos
α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin
＝sin
α都不成立．(　　)
(4)若α是第一象限角，则tan
＝.(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.已知cos
α＝，α∈，则sin
＝________，tan
＝________.
　－　[∵α∈，∴∈，∴sin
＝＝，
又cos
α＝，∴sin
α＝－，
∴tan
＝＝＝－.]
知识点2　常见的三角恒等变换
　(1)辅助角公式：asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)(ab≠0)，其中tan
φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定．
(2)降幂公式：sin2x＝，cos2x＝，sin
xcos
x＝sin
2x.
3.(多选)cos
α－sin
α的化简结果是(　　)
A.sin　　　
B．cos
C.sin
D．cos
AD　[cos
α－sin
α＝＝cos＝sin.故选AD.]
4.－cos2
＝________.
－　[－cos2
＝－＝－－×＝－.]
类型1　化简求值问题
【例1】　已知π<α<，化简：
＋.
[解]　原式＝
＋.
∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
∴原式＝＋
＝－＋＝－cos.
1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos
α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
1．已知cos
θ＝－，且180°<θ<270°，求tan
.
[解]　法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan
<0，
∴tan
＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin
θ＝－＝－＝－，
∴tan
＝＝＝－2.
类型2　三角恒等式的证明
【例2】　求证：＝sin
2α.
[解]　法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
＝
＝
＝＝sincoscos
α
＝sin
αcos
α＝sin
2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan
α＝cos
αsin
α＝sin
2α＝右边，
∴原式成立．
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
＝.
[证明]　左边＝
＝
＝＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
类型3　恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】　(对接教材P227例题)已知函数f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)求f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
对于表达式中的正(余)弦函数是如何组合的？要分别借助哪些公式才能将f(x)统一化成f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＋k的形式，然后再怎么化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式？
[解]　(1)f(x)＝2sin
xcos
x－2cos2x＋＝sin
2x－cos
2x＝2sin，
∴f(x)的最小正周期为＝π.
由2x－＝kπ(k∈Z)，可得x＝＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
(2)由2x－∈(k∈Z)，
可得x∈(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－∈，
∴2x－＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为.
应用公式解决三角函数综合问题的步骤
(1)降幂将解析式化为f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＋k的形式：如将sin
xcos
x运用二倍角公式化为sin
2x，利用降幂公式sin2x＝，cos2x＝将解析式化为一次式．
(2)利用辅助角公式asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)化f(x)成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．
(3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质．
3．已知函数f(x)＝4cos
ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
[解]　(1)f(x)＝4cos
ωx·sin
＝2sin
ωx·cos
ωx＋2cos2ωx
＝(sin
2ωx＋cos
2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，
即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
类型4　三角函数在实际问题中的应用
【例4】　(对接教材P227例题)在扇形OPQ中，OP＝R，圆心角∠POQ＝，若将此木料截成如图所示的矩形，试求此矩形面积的最大值．
[解]　如图，作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接OE，
设∠MOE＝α，α∈，在
Rt△MOE中，ME＝Rsin
α，OM＝Rcos
α，
在Rt△ONH中，＝tan，
得ON＝NH＝Rsin
α，
则MN＝OM－ON
＝R(cos
α－sin
α)．
设矩形EFGH的面积为S，
则S＝2ME·MN＝2R2sin
α(cos
α－sin
α)
＝R2(sin
2α＋cos
2α－)
＝2R2sin－R2，
由α∈，则＜2α＋＜，
所以当2α＋＝，
即α＝时，Smax＝(2－)R2.
所以矩形面积的最大值为(2－)R2.
应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．
4．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解]　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin
α，
OB＝Rcos
α，∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin
α＋Rcos
α
＝R(sin
α＋cos
α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝.
所以当∠AOB＝时，△OAB的周长最大.
1．设5π<θ<6π，cos
＝a，则sin
等于(　　)
A．　　　
B．
C．－
D．－
D　[若5π<θ<6π，则<<，则sin
＝－＝－.]
2．化简的结果是(　　)
A．－cos
1
B．cos
1
C.cos
1
D．－cos
1
C　[原式＝＝＝＝＝cos
1.]
3．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
D　[原式＝
＝(1－sin
2x)
＝－sin
2x，
此函数既不是奇函数也不是偶函数．]
4．函数f(x)＝sin2x的最小正周期为________．
π　[因为f(x)＝sin2x＝，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.]
5．已知sin
x＋3cos
x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则sin
2φ＝________.
　[sin
x＋3cos
x＝2
＝2sin.
∵－π<φ<π，∴φ＝或－π.∴sin
2φ＝sin
＝或sin
2φ＝sin＝.∴sin
2φ＝.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．三角函数式的化简常从哪些角度切入？
[提示]　一般从“角”、“名”、“形”三个角度切入，即“统一角”、“统一函数名”、“统一次数(降幂)”．
2．试总结解决三角函数综合问题的步骤．
[提示]　应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
↓
↓
3．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
[提示]　通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．
正弦型函数与信号处理
两个周期相同的正弦型函数相加，利用三角恒等变换，一定可以把结果化为同一个周期的正弦型函数．而且，不难看出，这一结果可以推广到有限多个同周期的正弦型函数．
那么，不同周期的正弦型函数相加，结果会怎样呢？图1是函数f(x)＝sin
x＋sin
2x＋sin
3x的图象，由此你能发现什么？
图1
可以看出，f(x)的图象呈现的还是周期性变化(事实上，f(x)仍是一个周期函数)．不过，相对于正弦曲线来说，f(x)的图象变化更加丰富．
那么，这是不是意味着所有的周期函数都可以借助正弦型函数相加来表示或者近似表示呢？答案是肯定的！例如，如图2所示是函数f(x)＝的图象，如图3所示是某种信号的波形，两者相似吗？
图2
图3
事实上，在现代社会中，信号处理是非常关键的技术．这只要想想我们几乎每天都在使用的电话或互联网就可以感受到！而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数！感兴趣的同学可以查找有关资料了解更多信息．微专题5　三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，在日常考题中经常出现，其形式或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决．题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型．掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决．
类型1　y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
【例1】　(1)函数y＝5sin
x－12cos
x在x＝θ处取得最值，则tan
θ＝(　　)
A.
　
B．
±　　　
C.
－　
D．
±
(2)
已知函数f(x)＝2sin2－cos
2x，则f(x)在x∈的最小值是________，若不等式f(x)－m<2在x∈上恒成立，则实数m的取值范围是________．
(1)C　(2)2　(1，＋∞)　[(1)y＝5sin
x－12cos
x＝13＝13sin(x－φ)，其中cos
φ＝，sin
φ＝，依题意可得13sin(θ－φ)＝±13，即sin(θ－φ)＝±1，所以θ－φ＝＋kπ，k∈Z，θ＝φ＋＋kπ，k∈Z，所以tan
θ＝tan＝tan＝＝＝－.
(2)∵f(x)＝2sin2－cos
2x
＝1－cos－cos
2x
＝sin
2x－cos
2x＋1＝2sin＋1.
又∵x∈，∴≤2x－≤，
即2≤1＋2sin≤3，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
∵f(x)－m<2?f(x)－2∵x∈，且f(x)max＝3，
∴m>f(x)max－2＝1，
∴m>1，即m的取值范围是(1，＋∞)．]
类型2　可化为y＝f(sin
x)型的值域问题
【例2】　已知函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx的最小正周期为π，g(x)＝2sin2－4λf(x)－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若x∈时，函数g(x)的最小值为－，求实数λ的值．
[解]　(1)f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝sin，
因为f(x)最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin.
(2)由题知g(x)＝2sin2－4λsin－1＝22－1－2λ2，
因为x∈，
所以0≤2x－≤，0≤sin≤1.
①当λ<0时，当且仅当sin＝0时，g(x)取得最小值为－1，与已知不符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin＝λ时，g(x)取得最小值为－1－2λ2，由－1－2λ2＝－，解得λ＝－(舍)，λ＝；
③当λ>1时，当且仅当sin＝1时，g(x)取得最小值为1－4λ，由1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝.
类型3　含sin
x±cos
x，sin
xcos
x的最值问题
【例3】　求函数y＝sin
x＋cos
x＋sin
xcos
x的值域．
[解]　令t＝sin
x＋cos
x，则有
t2＝1＋2sin
xcos
x，即sin
xcos
x＝.
∴y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.
又t＝sin
x＋cos
x＝sin，
∴－≤t≤.
故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－≤t≤)．
从而知f(－1)≤y≤f()，即－1≤y≤＋.
故函数的值域为.
类型4　实际问题中的最值
【例4】　
如图，OAB是一块半径为1，圆心角为的扇形空地．现决定在此空地上修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧上，记∠COA＝θ，求矩形CDEF的面积最大值．
[解]　∵OF＝cos
θ，CF＝sin
θ，
∴OE＝＝＝，EF＝OF－OE＝cos
θ－，
∴S＝EF·CF＝sin
θ＝sin
θ·cos
θ－sin2θ
＝sin
2θ＋cos
2θ－＝－
＝sin－，
∵θ∈，∴2θ＋∈，
∴当2θ＋＝，即θ＝时，矩形CDEF的面积S取得最大值.
类型5　已知最值求参数范围
【例5】　(1)已知函数f
＝2sin
ωxcos2－sin2ωx在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)
A.
B．
C.
D．
(2)
已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(其中ω>0，－π<φ<π)，若函数f(x)在区间上有最小值而无最大值，且满足f＝－f，则实数φ的取值范围是__________．
(1)B　(2)　[(1)f
＝2sin
ωxcos2－sin2ωx
＝sin
ωx－sin2ωx
＝sin
ωx＋sin2ωx－sin2ωx＝sin
ωx.
因为f
在区间上是增函数，
所以
，解得ω≤，
令ωx＝＋2kπ，k∈Z，
因为在区间上恰好取得一次最大值，
所以0≤≤π，所以ω≥，
所以ω的取值范围是≤ω≤.故选B.
(2)x∈时，函数f(x)在区间上有最小值而无最大值，
且满足f
＝－f
，
故＝－＝，
此时ω＝＝2，
解得(2x＋φ)∈，
函数f(x)在区间上有最小值而无最大值，且－π<φ<π，
由三角函数图象可知x1＝－＋φ与x2＝＋φ应分别位于相邻的单调递减区间与单调递增区间，
故，则≤φ≤.]第5章
三角函数
类型1　三角函数式的化简与求值
本章主要学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan
α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin
α±cos
α的值，可求cos
αsin
α.注意应用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.在倍角公式中特别关注cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α及其变形．
(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．
【例1】　(1)已知sinsin＝，α∈，则的值为__________．
(2)化简：(π<α<2π)．
(1)－　[(1)∵＋＝，∴sin＝cos.
∴sinsin＝sincos
＝sin＝，∴sin＝，
即cos
2α＝.
又α∈，∴2α∈(π，2π)，∴sin
2α＝－.
∴cos2α＝＝＝.
∴＝＝－.]
(2)[解]　原式＝
＝
＝＝－.
∵π<α<2π，∴<<π.
∴cos
<0.∴原式＝cos
α.
1．已知sin
α＋cos
α＝，且α∈(0，π)．
(1)求tan
2α的值；
(2)求2sin2－sin.
[解]　(1)由sin
α＋cos
α＝，得sin
αcos
α＝－，因为α∈(0，π)，所以α∈，
所以sin
α－cos
α
＝＝，
解得sin
α＝，cos
α＝－，
故tan
α＝－，
所以tan
2α＝＝.
(2)2sin2－sin
＝1－cos－sin
＝1－cos
α＋sin
α－sin
α－cos
α
＝1－cos
α
＝.
类型2　三角函数的图象与性质
(1)三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，一般先通过恒等变换将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①“五点法”作图；②图象伸缩、平移变换．
【例2】　已知函数f(x)＝4sincos
ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝－，求cos
α的值．
[解]　(1)∵f(x)＝4sincos
ωx
＝4cos
ωx
＝2sin
ωxcos
ωx－2cos2ωx
＝sin2ωx－cos
2ωx－
＝2sin－.
因为f(x)在x＝处取得最值，
∴－＝＋kπ，k∈Z，
即ω＝2k＋，k∈Z，
又ω∈(0,2)，
∴ω＝.
∴f(x)＝2sin－.
∴函数f(x)的最小正周期T＝.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin－＝2sin－的图象，
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝2sin－的图象，
即g(x)＝2sin－.
∵α为锐角，g(α)＝2sin－＝－，
∴sin＝.
∴cos＝＝.
∴cos
α＝cos
＝cos－sin
＝×－×
＝.
2．(1)已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是
(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)已知函数f(x)＝sinsin
x－cos2x.
①求f(x)的最小正周期和最大值；
②讨论f(x)在上的单调性．
(1)D　[因为y＝sin＝cos2x＋－＝cos，所以曲线C1：y＝cos
x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos
2x，再把得到的曲线y＝cos
2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos
2＝cos.
故选D.]
(2)[解]　①f(x)＝sinsin
x－cos2x
＝cos
xsin
x－(1＋cos
2x)
＝sin
2x－cos
2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
②当x∈时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
类型3　三角函数模型的应用
如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型——三角函数模型．在解题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2)数形结合的灵活运用．
【例3】　如图所示，摩天轮的半径为40
m，O点距地面的高度为50
m，摩天轮作匀速转动，每2
min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t
min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70
m.
[解]　(1)建立如图所示的平面直角坐标系．
设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角，OP在t
min内转过的角为t，即πt.∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.
(2)当50＋40cosπt≥70时，解得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.
即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70
m.
3.如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
[解]　(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin
φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，
y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750.
1．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos
2α＞0　　
B．cos
2α＜0
C．sin
2α＞0
D．sin
2α＜0
D　[法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos
2α≤0或cos
2α>0，sin
2α<0，故选D.
法二：当α＝－时，cos
2α＝0，sin
2α＝－1，排除A，B，C，故选D.]
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin
θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A．　　
B．　　　　　
C．　　
D．
B　[∵sin
θ＋sin＝sin
θ＋cos
θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B.]
3．(多选)(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin
(ωx＋φ)的部分图象，则sin
(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．
C．cos
D．cos
BC　[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin(－2x＋φ)，将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.]
4．(2020·江苏高考)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是__________．
x＝－　[因为函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度可得
g(x)＝f
＝3sin＝3sin，
则y＝g(x)的对称轴为2x－＝＋kπ，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z.
当k＝0时，x＝，当k＝－1时，x＝－.
所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝－.]
5．(2020·浙江高考)已知tan
θ＝2，则cos
2θ＝________，tan＝________.
－　　[tan
θ＝2，则
cos
2θ＝＝＝＝－.
tan＝＝＝.]

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