资源简介

预备知识
课程标准
命题解读
1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，能够用符号语言刻画集合．2．理解集合之间包含与相等的含义．3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能求两个集合的并集、交集及补集．4．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．5．理解全称量词与存在量词的意义．6．理解等式和不等式的概念与性质，能用均值不等式解决简单的求最大值或最小值的问题．7．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.
考查形式：一般为一个选择题或两个选择题．考查内容：集合的概念及集合的运算、充分必要条件的判定、一元二次不等式的解法．备考策略：(1)熟练掌握集合的基本运算，以及相关不等式的解法．(2)重视基础知识的复习，熟悉在不同知识背景下对充分必要条件的判定．(3)注意对利用均值不等式求最值方法的总结和归纳．核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
第1节　集合
一、教材概念·结论·性质重现
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、维恩图法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
维恩图
子集
集合A中的任意一个元素都是集合B的元素
A?B(或B?A)
真子集　
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
A?B(或B?A)
集合相等
组成集合A与组成集合B的元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B
与子集有关的性质
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
(2)子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?.
3．集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
维恩图
交集
给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集
给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
补集
如果集合A是全集U的一个子集，则由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
集合的运算性质
(1)并集的性质：A∪?＝?∪A＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
(2)交集的性质：A∩?＝?∩A＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(
×
)
(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0或1.(
×
)
(3)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．(
×
)
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集．(
√
)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(
×
)
(6)若a属于集合A，则可用符号表示为a?A.(
×
)
2．(2020·潍坊市高三上期中)已知U＝{2,4,6,8,10}，A＝{4,6,8}，B＝{6,10}，则下列结论正确的是(　　)
A．B?A
B．A∪B＝{6}
C．A∩B＝{4,8,10}
D．?UA＝{2,10}
D　解析：由于A，B没有包含关系，故A错；A∪B＝{4,6,8,10}，A∩B＝{6}，故B，C错；?UA＝{2,10}，故D正确．
3．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A．{a}?A
B．a?A
C．{a}∈A
D．a?A
D　解析：因为2不是自然数，所以a?A.
4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1,4]
B．(0,3]
C．(－1,0]∪(1,4]
D．[－1,0]∪[1,4]
A　解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}．
5．若{x|ax＋1＝0}?{x|x2－1＝0}，则实数a的值为________．
0或－1或1　解析：{x|x2－1＝0}＝{－1,1}．
当a＝0时，{x|ax＋1＝0}＝?，
满足{x|ax＋1＝0}?{x|x2－1＝0}．
当a≠0时，{x|ax＋1＝0}＝.
由题意知，－＝1或－1，此时a＝－1或1.
综上所述，a的值为0或－1或1.
考点1　集合的概念——基础性
1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．
B．
C．0
D．0或
D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故选D.
2．(2020·长沙市长郡中学高三)集合中含有的元素个数为
(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
B　解析：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，所以集合中的元素为1,2,3,4,6,12.故选B.
3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
C　解析：因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故选C.
4．已知P＝{x|2(5,6]　解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．
与集合中的元素有关问题的求解思路
(1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性．
考点2　集合的基本关系——综合性
(1)设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为
(　　)
(2)已知集合A＝{x|－1(1)A　解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A.
(2)(－∞，1]　解析：当m≤0时，B＝?，显然B?A.
当m>0时，A＝{x|－1若B?A，在数轴上标出两集合，如图，
所以所以0综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
1．若本例(1)中M不变，则满足N?M的集合N的个数为(　　)
A．2　　　
B．3　　　
C．7　　　
D．8
C　解析：因为M＝{0,1,2}，N?M，所以N＝{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，?，共7个．
2．若本例(2)中，把条件“B?A”变为“A?B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．
[3，＋∞)　解析：若A?B，由得m≥3，所以m的取值范围为
[3，＋∞)．
1．判断两集合关系的方法
(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，再寻求两个集合间的关系．
2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．
1．(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，且?RM?N，则M∪(?RN)＝
(　　)
A．?
B．M
C．N
D．R
B　解析：因为?RM?N，所以M??RN，据此可得M∪(?RN)＝M.
2．(2020·哈尔滨市高三调研)已知集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
A　解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4种情况．故选A.
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}．若B?A，则实数m的取值范围为________．
[－2,2)　解析：若B＝?，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2.
若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意．
若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不符合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
考点3　集合的运算——应用性
考向1　集合的运算
(1)(2020·泰安一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3A．[－1,1]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)
D．(－3，－1)
D　解析：阴影部分表示M∩?UN.由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得?UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3(2)若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则A∩B＝________，(?RA)∪B＝________.
　[0，＋∞)　解析：因为A＝{x＝，所以?RA＝.又B＝{y|y≥2}，所以A∩B＝，(?RA)∪B＝[0，＋∞)．
已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为(　　)
A．{3}　　　　　　　　　　
B．{7}
C．{3,7}　　　　　　　　　
D．{1,3,5}
B　解析：由题图可知，阴影区域为?U(A∪B)．由并集的概念知，A∪B＝{1,3,5}．又U＝{1,3,5,7}，于是?U(A∪B)＝{7}．故选B.
集合基本运算的方法技巧
考向2　集合运算的应用
(1)(2020·岳阳市高三质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不可以为(　　)
A．2
　　
B．1
　　
C．0
　　
D．－2
A　解析：因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}且A∪B＝R，所以a≤1,
所以a的值不可以为2.故选A.
(2)(2020·南昌适应性测试)已知集合M＝{x|0A．9
　　
B．8
　　
C．7
　　
D．6
B　解析：因为M∩N＝{x|0根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
1．设集合A＝{x∈N|5－x≥0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则?AB＝(　　)
A．{0,3,4}
B．{0,3,4,5}
C．{3,4}
D．{3,4,5}
B　解析：因为集合A＝{x∈N|5－x≥0}＝{x∈N|x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，所以?AB＝{0,3,4,5}．故选B.
2．(2021·潍坊一中月考)已知集合A＝{x|－2A．(2,4)
B．(－2,4)
C．(－2,2)
D．(－2,2]
D　解析：B＝{x|y＝lg(x－2)}＝{x|x>2}，
所以?RB＝{x|x≤2}．
所以A∩(?RB)＝{x|－2故选D.
3．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N
，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．6
C　解析：由题意，A∩B中的元素满足
且x，y∈N
.由x＋y＝8≥2x，得x≤4，
所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，
故A∩B中元素的个数为4.
4．(多选题)已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x＜0}，则(　　)
A．M∩N＝N
B．M∩(?UN)≠?
C．M∪N＝U
D．M??UN
AB　解析：由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|0＜x＜1}，所以M∩N＝N.又?UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(?UN)＝{x|x≤0}≠?，M∪N＝{x|x＜1}＝M，M?(?UN)．故选AB.
全集U＝{x|x<10，x∈N
}，A?U，B?U，(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，则集合A＝________，B＝________.
[四字程序]
读
想
算
思
求集合A，B
解有限集问题常用什么方法？
集合间的运算
转化与化归
集合A，B为有限集，且与已知全集U及集合间的运算关系
有限集问题可利用维恩图法或集合运算含义求解
1.利用维恩图表示集合；2．利用集合的运算求解
1.维恩图；2．集合的交、并、补运算
思路参考：将集合用维恩图表示出来，进行观察，写出集合A，B.
{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：根据题意作出维恩图，如图所示，
由图可知A＝{1,3,9}，B＝{2,3,5,8}．
思路参考：直接根据集合运算的含义分析求解．
{1,3,9}　{2,3,5,8}　解析：因为(?UB)∩A＝{1,9}，(?UA)∩(?UB)＝{4,6,7}，所以?UB＝{1,4,6,7,9}．
又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
所以B＝{2,3,5,8}．
因为(?UB)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，
所以A＝{1,3,9}．
1．有限集的混合运算涉及交、并、补及其关系问题，常用维恩图法处理．
2．涉及有交叉集合的元素个数问题往往用维恩图法处理较为方便．
3．基于新课程标准，对于集合问题，要熟练掌握基本概念，数学阅读技能、推理能力和表达能力，体现了数学抽象、直观想象、逻辑推理的数学素养．
某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17
B．18
C．19
D．20
B　解析：记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩?UB(如图)，有18人．第2节　充分条件与必要条件
一、教材概念·结论·性质重现
1．充分条件、必要条件与充要条件
(1)当p?q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；
当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
(2)如果p?q且q?p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p?q.
①p是q的充分不必要条件是指：p?q且qp；
②p的充分不必要条件是q是指：q?p且pq.在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
2．充要关系与集合子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(
√
)
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(
√
)
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(
√
)
(4)若q不是p的必要条件，则pq.(
√
)
(5)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的子集．(
×
)
2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，所以“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a>b＋1　　　　　　
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
A　解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．
4．已知p：x>a是q：2(－∞，2]　解析：由已知，可得{x|2a}，所以a≤2.
5．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
充分不必要　充要　解析：由题意知p?q，q?s，s?t，又t?r，r?q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件.
考点1　充分条件与必要条件的判断——基础性
1．(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：因为a2>a?a＜0或a>1，所以a>1?a2>a，反之不成立．故“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．
2．(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：当a>0，b>0，a＋b≤4时，有2≤
a＋b≤4.所以
ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
3．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：由x2－5x<0可得0判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．
考点2　充分条件与必要条件的探究与证明——综合性
(1)命题“?x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
(　　)
A．a≥9
B．a≤9
C．a≥10
D．a≤10
C　解析：?x∈[1,3]，x2－a≤0??x∈[1,3]，x2≤a?9≤a.所以a≥10是命题“?x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．
(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.
①充分性(p?q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；
当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．
综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性(q?p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.
所以|xy|＝xy，所以xy≥0.
由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
1．区分两种易混说法
“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是“p?q，且qp”，后者是“pq，q?p”，这种推导关系极易混淆．
2．充要条件的证明策略
(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．
(2)证明前必须分清楚充分性和必要性，即清楚由哪个条件推证到哪个结论．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像关于y轴对称的充要条件是(　　)
A．b＝c＝0
B．b＝0且c≠0
C．b＝0
D．b≥0
C　解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像关于y轴对称?－＝0?b＝0.
2．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x?B”成立的充要条件是(　　)
A．－1＜x≤1
B．x≤1
C．x＞－1
D．－1＜x＜1
D　解析：由题意可知，x∈A?x＞－1，x?B?－1＜x＜1，所以“x∈A且x?B”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D.
3．设n∈N
，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
3或4　解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根?(－4)2－4n≥0?n≤4.又n∈N
，则n＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0有整数根1,3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0无整数根．所以n＝3或n＝4.
考点3　充分条件、必要条件的应用——应用性
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．
[0,3]　解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
所以P＝{x|－2≤x≤10}．
因为“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
所以S?P.
所以解得0≤m≤3.
故0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件．
若本例条件不变，是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？请说明理由．
解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，
所以得
这样的m不存在．
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
1．若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
D　解析：因为“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，
所以(－1,4)?(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.故选D.
2．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－3)∪(5，＋∞)　
解析：因为A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，所以?RB＝{x|xm＋2}．因为p是q的充分条件，所以A??RB，所以m－2>3或m＋2<－1，所以m>5或m<－3.
已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[四字程序]
读
想
算
思
判断充分必要条件
1.充分必要条件的概念；2．判断充分、必要条件的方法
解不等式
转化与化归
不等式5x－6>x2
1.定义法；2．集合法；3．等价转化法
1.一元二次不等式的解法；2．集合间的包含关系
充分必要条件与集合包含关系
思路参考：解不等式＋求p，q.
A　解析：由5x－6>x2，得2思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．
A　解析：由5x－6>x2，得2思路参考：原命题与逆否命题等价性＋转化．
A　解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2判断充分、必要、充要条件关系的三种方法：
(1)定义法是最基本、最常用的方法．
(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的问题．
(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此方法．
若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠?”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：A＝{x|01，则B＝{x|－10.故选A.第3节　全称量词命题与存在量词命题
一、教材概念·结论·性质重现
1．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
?
存在量词
存在、有、至少有一个、有些、某些等
?
2．全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称
形式
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x，使p(x)成立
简记
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
否定
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”．(
√
)
(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(
×
)
(3)“?x∈R，x2＋1＝0”为真命题．(
×
)
(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．(
√
)
(5)?x∈M，p(x)与?x∈M，p(x)的真假性相反．(
√
)
2．(2021·烟台模拟)已知命题p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0，则(　　)
A．p是假命题；p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；p：?x∈R，log2(3x＋1)＞0
C．p是真命题；p：?x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；p：?x∈R，log2(3x＋1)＞0
B　解析：因为3x＞0，所以3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，所以p是假命题；p：?x∈R，log2(3x＋1)＞0.故选B.
3．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2≥0”为真命题，则m的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．(－2，2)
C．[－2，2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C　解析：?x∈R，x2＋mx＋2≥0为真命题，等价于f(x)＝x2＋mx＋2的图像与x轴有一个交点或没有交点，故Δ＝m2－8≤0，解得－2≤m≤2.
考点1　全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性
1．(2020·淄博市部分学校高三检测)命题“?x∈(0，＋∞)，ln
x＝x－1”的否定是(　　)
A．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
D．?x?(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C　解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1”．
2．命题“?x＞0，＞0”的否定是(　　)
A．?x＜0，≤0
B．?x＞0,0≤x≤1
C．?x＞0，≤0
D．?x＜0,0≤x≤1
B　解析：因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是?x＞0，0≤x≤1.故选B.
3．命题“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
B．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
C．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D．?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2
D　解析：“?x∈R，?n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“?x∈R，?n∈N
，使得n＜x2”．
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
考点2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断——基础性
1．下列四个命题中的真命题是(　　)
A．?n∈R，n2≥n
B．?n∈R，?m∈R，m·n＝m
C．?n∈R，?m∈R，m2D．?n∈R，n2B　解析：对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确．故选B.
2．下列四个命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R，x2≥0
B．?x∈R,2x－1＞0
C．?x∈R，lg
x＜1
D．?x∈R，sin
x＋cos
x＝2
D　解析：A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg
x＜1，所以C正确；因为sin
x＋cos
x＝sin，所以－≤sin
x＋cos
x≤，所以D错误．故选D.
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
考点3　全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性
(1)(2020·潍坊市高三上期中)“?x∈R，x2－2x－a<0”
为假命题，则实数a的最大值为________．
－1　解析：由“?x∈R，x2－2x－a<0”为假命题，可知，“?x∈R，x2－2x－a≥0”为真命题，
所以a≤x2－2x恒成立．
由二次函数的性质可知，x2－2x≥－1，
则实数a≤－1，即a的最大值为－1.
(2)已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m.若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．
　解析：当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0；当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m.
由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥.
本例(2)中，若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________．
　解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m.由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，所以m≥.
根据全称(存在)量词命题的真假求参数的思路
此类问题的本质是恒成立问题或有解问题．一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
1．已知函数f(x)＝2ax－a＋3.若?x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－3)
C．(－3,1)
D．(1，＋∞)
A　解析：依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故选A.
2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，0)　解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.当x∈[1,4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0.故实数m的取值范围是(－∞，0)．第4节　相等关系与不等关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
①a－b>0?a>b；
②a－b＝0?a＝b；
③a－b<0?a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0)?a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0)?a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0)?a0)．
2．等式的性质
(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
3．不等式的性质及推论
(1)性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c；
(2)性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc；
(3)性质3：如果a>b，c<0，那么ac(4)性质4：如果a>b，b>c，那么a>c；
(5)性质5：a>b?b(6)推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b；
(7)推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；
(8)推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
(9)推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)；
(10)推论5：如果a>b>0，那么>.
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0?＜；
(2)a＜0＜b?＜；
(3)a＞b＞0,0＜c＜d?＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜，＞(b－m＞0)；
(2)＞，＜(b－m＞0)．
4．均值不等式：≥
(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中，称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值．
5．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)2≥ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
6．利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)．
(1)＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)2≤(a，b∈R)．
(3)≤≤≤.
(4)连续使用均值不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．(
×
)
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(
×
)
(3)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(
×
)
(4)函数f(x)＝sin
x＋的最小值为4.(
×
)
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
A　解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.
3．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出<的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C　解析：<成立，即<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．
4．已知0A.
B.
C.
D.
B　解析：因为05．若用总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
25　解析：设矩形的一边长为x
m，矩形场地的面积为y
m2，
则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤2＝25
(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
考点1　比较大小与不等式的性质——基础性
1．(多选题)(2020·泰安市高三上期末)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
BC　解析：若a>0>b,0>c>d，则ac若ab>0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B正确；
若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；
若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．
故选BC.
2．设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：若(a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而当a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，例如a＝0，b＝1.所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．
3．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma，________(填“>”或“<”)．
＜　＜　解析：因为b>a>0，m<0，所以b－a>0.
因为mb－ma＝m(b－a)<0，所以mb因为－＝＝<0，所以<.
4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[5,10]　解析：(方法一：待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
(方法二：运用方程思想)由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－1)≤10.
比较大小的方法
(1)作差法，步骤：作差?变形?判断差与0的大小?得出结论．
(2)作商法，步骤：作商?变形?判断商与1的大小?得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数的单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
考点2　利用均值不等式求最值——综合性
考向1　配凑法求最值
(1)函数y＝(x>1)的最小值为________．
2＋2　解析：因为x>1，所以x－1>0.
y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．
所以函数y＝(x＞1)的最小值为2＋2.
(2)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
3　解析：因为x>2，所以x－2>0，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x－2＝，即(x－2)2＝1时等号成立，解得x＝1或3.
又因为x>2，所以x＝3，即a＝3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值．
拼凑法求最值的实质及关键点
拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用均值不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
考向2　常值代换求最值
已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
4　解析：因为a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号．
1．将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．
1＋　解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝
＝＋＋＋≥1＋2
＝1＋.
当且仅当a＝b时，取等号．
2．本例条件不变，则的最小值为________．
9　解析：
＝
＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，取等号．
　　　　　
　　　　　
　　　
考向3　消元法求最值
若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，
所以y＝.
由即解得0所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
故x＋2y的最小值为.
消元法求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用均值不等式求最值．
考向4　两次应用均值不等式求最值
设实数x，y满足2x＋y＝1.若x>0，y>0，求证：＋－≥.
证明：因为x>0，y>0,2x＋y＝1，
所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋4＝8，
当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号．
又－≥－＝－，当且仅当2x＝y＝时取等号，
所以＋－≥，当且仅当2x＝y＝时取等号．
两次利用均值不等式求最值的注意点
当多次使用均值不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
1．设0　解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为.
2．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
7＋4　解析：因为＋＝1，所以xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋≥7＋4，当且仅当y＝x，即x＝1＋，y＝2＋时取等号．
所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
3．(2020·
天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________．
4　解析：因为a>0，b>0，且ab＝1，
所以＋＋＝＋＋
＝＋≥2＝4，
当且仅当＝且ab＝1，即
或时，等号成立．
故＋＋的最小值为4.
考点3　利用均值不等式解决实际问题——应用性
某厂家拟在2021年“双十一”举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t＝5－(其中0≤x≤k，k为正常数)．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元/件．
(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意知，该产品售价为2×元/件，所以y＝2××t－10－2t－x，
代入t＝5－化简，
得y＝20－(0≤x≤k)．
(2)y＝20－＝21－
≤21－2＝17，
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．
当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当00，
故y＝21－在0≤x≤k上单调递增．
所以，在x＝k时，函数有最大值，即促销费用投入k万元时，厂家的利润最大．
综上，当k≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当0均值不等式的实际应用问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值．
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900
m2的矩形温室．在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物．相邻矩形区域之间间隔1
m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1
m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3
m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8所以2x＋≥2＝240，
当且仅当x＝60时，等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60
m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676
m2.
已知a>b>0，则a2＋的最小值是________．
[四字程序]
读
想
算
思
a2＋最小值
求最小值的方法？
构造定积
转化与化归
a>b>0
1.构造定积；2．三角换元
1.定和求积→定积求和；2．变形：b＋(a－b)＝a，构造定积；3．三角代换构造定积
1.定和求积积最大，定积求和和最小；2．三角代换条件
思路参考：消b，转化为含a的式子求最值．
由于a2＋中有两个变量，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝.
这样就消去变量b，因此a2＋≥a2＋≥4.
当且仅当b＝a－b，a2＝时等号成立，即a＝，b＝时等号成立.
故a2＋的最小值是4.
思路参考：用b和a－b表达a后求最值．
注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4.
当且仅当4b2(a－b)2＝1，即a＝，b＝时等号成立.
故a2＋的最小值是4.
思路参考：利用三角换元求最值．
由b＋(a－b)＝a，联想到三角换元，令a－b＝acos2α，
b＝asin2α，
于是a2＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋≥4，当且仅当a2＝，sin22α＝1，即a＝，b＝时等号成立.
故a2＋的最小值是4.
1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法.
其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．
2．基于新课程标准，求最值问题一般要熟练掌握对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．
已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
16　解析：(方法一：1的代换)因为＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
因为x＞0，y＞0，
所以＋≥2＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，所以x＝4，y＝12，所以x＋y≥16.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
(方法二：消元法)由＋＝1，得x＝.
因为x＞0，y＞0，所以y＞9.
x＋y＝＋y＝y＋
＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
因为y＞9，所以y－9＞0，
所以y－9＋≥2＝6.
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号，此时，x＝4，所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
(方法三：配凑法)由＋＝1，得y＋9x＝xy，
所以(x－1)(y－9)＝9.
所以x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)
≥10＋2＝16.
当且仅当x－1＝y－9时取等号．
又因为＋＝1，所以x＝4，y＝12.
所以当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.第5节　一元二次不等式及其解法
一、教材概念·结论·性质重现
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一元二次不等式
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
3．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a?
{x|b(1)解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定．
①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)不等式≤0的解集为[－1,2]．(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)
2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，－1]
B．[－1,2)
C．[－1,1]
D．[1,2)
A　解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]．故选A.
3．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[0,3]
B．(0,3)
C．(－∞，0]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
A　解析：要使函数f(x)＝有意义，
则3x－x2≥0，
即x2－3x≤0，
解得0≤x≤3.
4．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．
　解析：由题意可知mx2－(1－m)x＋m≥0对?x∈R恒成立，即解得m≥.
5．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
－14　解析：由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
则
解得(经检验知满足题意)．
所以a＋b＝－14.
考点1　一元二次不等式的解法——综合性
考向1　不含参数的一元二次不等式的解法
(1)函数y＝的定义域是________．
[－1,7]　解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1,7]．
(2)解不等式：0解：原不等式等价于
??
?
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．
解一元二次不等式的一般方法和步骤
考向2　含参数的一元二次不等式的解法
解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0.
当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；
当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．
将本例中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
因为a>0，所以a(x－1)<0.
所以，当a>1时，解得当a＝1时，解集为?；
当0综上，当01时，不等式的解集为.
解含参数一元二次不等式的分类讨论依据
　提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
　解析：3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－12．(2021·江淮十校联考)已知函数f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是________．
{x|－1≤x≤1}　解析：原不等式等价于或
即或
所以－1≤x<或≤x≤1，即解集为{x|－1≤x≤1}．
3．已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
解：因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
①当a>0时，－<，
不等式的解集为
；
②当a＝0时，x2>0，
不等式的解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
不等式的解集为.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
考点2　一元二次方程与一元二次不等式——基础性
1．(2021·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)
A．
B．
C．{x|－3D．{x|x<－3或x>2}
C　解析：由题意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的两根，所以解得所以不等式bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，即x2＋x－6<0，解得－32．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)
A．{x|2B．{x|x≤2或x≥3}
C．
D．
B　解析：因为不等式ax2－bx－1>0的解集是，
所以ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
所以
解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.所以不等式x2－bx－a≥0的解集是{x|x≤2或x≥3}．
3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,
3)
C．(－1,3)
D．(－∞，
1)∪(3，＋∞)
C　解析：由关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，可知a＝b<0，所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－13)
1.
一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．
考点3　一元二次不等式的恒成立问题——应用性
考向1　在实数集R上的恒成立问题
若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]
B．[－2,2]
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2综上，实数a的取值范围是(－2,2]．
一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
考向2　在给定区间上的恒成立问题
若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
A　解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a.则由题意，得
解得a≤－3.故选A.
(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x(x∈[－1,2])．而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故选A.
给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图像转化为等价不等式(组)求范围．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立．
则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)对于任意x∈[－2,2]，f(x)≥a恒成立，
即x2＋ax＋3－a≥0对任意x∈[－2,2]恒成立．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，
解②得a∈?，
解③得－7≤a<－6.
综上可知，实数a的取值范围为[－7,2]．

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