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第2章
函数的概念与性质
课程标准
命题解读
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能够选择恰当的方法表示函数，理解函数图像的作用．2．借助函数图像，理解函数的单调性、最大值、最小值、奇偶性、周期性的概念与意义．3．通过具体实例，结合具体幂函数的图像，理解幂函数的变化规律，掌握指数幂的运算性质．4．了解指数函数、对数函数的实际意义，理解指数函数、对数函数的概念，理解指数函数的单调性与特殊点．5．借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
考查形式：高考对本章的考查一般为1～3道小题．考查内容：主要涉及函数的图像，多为给出具体函数解析式判断函数的图像；函数的性质及函数性质的综合问题；指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数函数、对数函数、零点相结合．备考策略：(1)熟练掌握函数的基本知识和解决函数问题的基本方法．(2)关注点——函数的定义域，抽象函数问题及函数的实际应用．(3)重视函数的创新问题——新定义问题，函数零点的交汇问题，函数图像的灵活运用问题．核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
第1节　函数及其表示
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x称为自变量，y称为因变量，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域；所有函数值的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有代数法(或解析法)、列表法和图像法．
4．分段函数
(1)如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(1)直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图像有0个或1个交点．
(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
(3)判断两个函数是否为同一个函数的依据，是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(
×
)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(
×
)
(3)f(x)＝＋是一个函数．(
×
)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(
×
)
(5)函数y＝f(x)的图像可以是一条封闭的曲线．(
×
)
2．(2021·烟台模拟)函数f(x)＝ln＋x的定义域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0,1)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
B　解析：要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
B　解析：A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图像不表示函数，D中函数的值域不是[0,2]．
4．已知函数f(x)＝，若f(a)＝3，则实数a＝________.
10　解析：因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．
(－∞，2]　解析：因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2].
考点1　函数的定义域——基础性
1．(2020·北京卷)函数f(x)＝＋ln
x的定义域是________．
(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
2．函数f(x)＝＋ln(x＋4)的定义域为________．
(－4,1]　解析：要使函数f(x)有意义，需满足解得－4即函数f(x)的定义域为(－4,1]．
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
[0,1)　解析：因为y＝f(x)的定义域为[0,2]，
所以，要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1.
所以g(x)的定义域是[0,1)．
4．已知函数f(x－1)的定义域为[0,2
022]，则函数g(x)＝的定义域为________．
[－2,1)∪(1,2
020]　解析：由函数f(x－1)的定义域为[0，2
022]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1，2
021]．
令得－2≤x≤2
020且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2
020]．
1．常见函数定义域的类型
(1)分式型要满足f(x)≠0；
(2)根式型(n∈N
)要满足f(x)≥0；
(3)f(x)0要满足f(x)≠0；
(4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0；
(5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.
2．求抽象函数定义域的方法
考点2　求函数的解析式——综合性
(1)已知f
＝lg
x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解：(1)(换元法)令＋1＝t，得x＝.
代入得f(t)＝lg.又x>0，所以t>1.
故f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x.②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，即f(x)＝.
故f(x)＝，x∈R.
求函数解析式的三种方法
待定系数法
当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数换元，然后求出外函数的解析式
解方程组法
如果给定两个关于f(x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过解方程组求出函数解析式
1．已知f
＝＋，则f(x)＝(　　)
A．(x＋1)2
B．(x－1)2
C．x2－x＋1
D．x2＋x＋1
C　解析：f
＝＋＝2－＋1.令＝t，得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1.
2．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1　解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
所以
解得或
故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.
3．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
2x－(x≠0)　解析：2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
考点3　分段函数——应用性
考向1　分段函数求值
(1)设f(x)＝则f(f(1))的值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
B　解析：因为f(x)＝
所以f(1)＝22－1＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝log28＝3.
故选B.
(2)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
　解析：当a>0时，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0与a＝－舍去)；当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝.
求分段函数的函数值的步骤
(1)确定要求值的自变量所在区间．
(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．
[提醒]①自变量的值不确定时，必须分类讨论；
②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；
③出现f(f(a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．
考向2　分段函数与方程、不等式
(1)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
D　解析：函数f(x)的图像如图所示．
结合图像知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或所以x＜0.故选D.
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.
－3　解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．
求参数或自变量的值(范围)的解题思路
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图像易得，也可以画出函数图像后结合图像求解．
1．(2020·天津南开中学高三月考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________．
　解析：由f(x＋4)＝f(x)得函数f(x)的周期为4，所以f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝＝.因此f(f(15))＝f
＝cos＝.
2．已知函数f(x)＝若f(a)－f(－a)>0，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　解析：当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.
当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.
综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
3．若函数y＝f(x)的图像上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”．已知函数f(x)＝则此函数的“和谐点对”有________对．
2　解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图像的交点个数．由图像知，函数f(x)有2对“和谐点对”．第2节　函数的单调性与最值
一、教材概念·结论·性质重现
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D：如果对任意x1，x2∈I，当x1都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
结论
y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)
y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．
1．单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．增、减函数定义的等价形式
对于?x1，x2∈I，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0(<0)或>0(<0)，则函数f(x)在I上单调递增(减)．
3．函数的最值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
4．平均变化率与函数单调性
(1)若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
①y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立；
②y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立．
(2)一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，
0)∪(0,
＋∞)．(
×
)
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(
×
)
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数．(
×
)
(4)所有的单调函数都有最值．(
×
)
2．函数y＝x2－5x－6在区间[2,4]上(　　)
A．递减
B．递增
C．先递减再递增
D．先递增再递减
C　解析：作出函数y＝x2－5x－6的图像(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，所以函数在区间[2,4]上先减后增．故选C.
3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)
A．y＝e－x
B．y＝x3
C．y＝ln
x
D．y＝|x|
B　解析：由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B.
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)
A．2
B．
C．
D．－
B　解析：因为y＝在[2,3]上单调递减，所以ymin＝＝.故选B.
5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
－6　解析：由图像(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是.令－＝3，得a＝－6.
考点1　函数的单调性(单调区间)——基础性
1．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A．
B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和
D．和[2，＋∞)
B　解析：y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，
函数的单调递增区间是和[2，＋∞)．
2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(4，＋∞)
D　解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图像的对称轴为直线x＝1.由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
3．(多选题)下列函数中，满足“?x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．f(x)＝2x
B．f(x)＝|x－1|
C．f(x)＝－x
D．f(x)＝ln(x＋1)
AD　解析：由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；C中，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．故选AD.
4．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：(方法一：定义法)
设－1则f(x1)－f(x2)＝a－a
＝.
因为－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0.
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(方法二：导数法)
f′(x)＝＝
＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
判断函数的单调性和求单调区间的方法
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图像法
若f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，则可由图像的上升或下降判断函数的单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
考点2　函数的最值(值域)——综合性
(1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
3　解析：(方法一)函数y＝作出函数的图像如图所示．
根据图像可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.
(方法二)利用绝对值不等式的性质．y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.故函数的最小值为3.
(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
3　解析：由于y＝x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
4　解析：当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x>0时，f(x)＝sin
x，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.
求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值．
1．函数y＝的值域为________．
[－1,1)　解析：由y＝，可得x2＝.由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1.故所求函数的值域为[－1,1)．
2．函数y＝x＋的最大值为________．
　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.令x＝cos
θ，θ∈[0，π]，则y＝cos
θ＋sin
θ＝sin，θ∈[0，π]，
所以－1≤y≤，故原函数的最大值为.
3．当－3≤x≤－1时，函数y＝的最小值为________．
　解析：由y＝，可得y＝－.因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3.
所以所求函数的最小值为.
考点3　函数单调性的应用——应用性
考向1　比较函数值的大小
设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)D．f(π)A　解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)单调递增．所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质，转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．
考向2　解不等式
已知函数f(x)＝ln
x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是_____．
(－，
－2)∪(2,
)　解析：因为函数f(x)＝ln
x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln
1＋2＝2.由f(x2－4)<2得f(x2－4)所以0求解含“f”的不等式的思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)考向3　利用函数的单调性求参数(范围)
函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围为________．
[4,8)　解析：由题意，函数f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上分别单调递增，且f(x)在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即解得4≤a<8.
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．
1．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f()，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bB．aC．bD．aC　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，则a＝f()＝f(－2)，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(－1)．因为－1<－2<0，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以b2．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．
[0,1)　解析：因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数f(x)在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－23．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a,
a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
(－∞，1]∪[4，＋∞)　解析：作出函数f(x)的图像如图所示．
由图像可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.第3节　函数的奇偶性与周期性
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的奇偶性的定义
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图像特点
关于y轴对称
关于原点对称
1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?＝1?f(x)为偶函数．
(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?＝－1?f(x)为奇函数．
3．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
3．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x，
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．函数图像的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图像关于点(b,0)中心对称．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域关于坐标原点对称．(
√
)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(
×
)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．(
√
)
2．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　)
A．y＝－
B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2
D．y＝x3－1
C　解析：函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上单调递增．选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．
3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f
等于(　　)
A．
B．
C．
D．1
B　解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f
＝f
＝2＝.
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－
B．
C．
D．－
B　解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.
又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝.
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝________.
1　解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝f(x)，得T＝4，f(9)＝f(1)＝1.
考点1　函数奇偶性的判断——基础性)
1．(多选题)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|f(x)|是偶函数
B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数
D．f(|x|)f(x)是偶函数
ABC　解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)·f(x)是奇函数．故选ABC.
2．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是________．
奇函数　解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法：根据奇、偶函数的定义来判断．
(2)图像法：利用奇、偶函数图像的对称性来判断．
(3)性质法：利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．
考点2　函数奇偶性的简单应用——基础性)
1．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)
A．2
B．4
C．－2
D．－4
C　解析：根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　)
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
D　解析：当x<0时，－x>0.因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以
f(－x)＝e－x－1.
又因为
f(x)为奇函数，所以
f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
3．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
1　解析：令g(x)＝ln(x＋)，若f(x)＝x·g(x)为偶函数，则必有g(x)为奇函数，所以g(0)＝ln＝0，所以a＝1.经验证，a＝1满足题意．
应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式．由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
考点3　函数的周期性——综合性
(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2
023)＝________.
－1　解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.
又f(1)＝1，所以f(2
023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数．若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2
019)＋f(2
021)的值为________．
0　解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2
019)＝f(2
019)＝f(3)＝－＝－1，f(2
021)＝f(1)＝log22＝1，所以f(－2
019)＋f(2
021)＝0.
1．若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x∈[2,4])的解析式是________．
f(x)＝x2－6x＋8　解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
2．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2
019)＋f(2
021)＝________.
0　解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，所以f(－2
019)＝－1，f(2
021)＝1，
所以f(－2
019)＋f(2
021)＝0.
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)周期函数的图像具有周期性，如果发现一个函数的图像具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
1．已知函数f(x)的图像关于原点对称，且周期为4，若f(－1)＝2，则f(2
021)＝(　　)
A．2
B．0
C．－2
D．－4
C　解析：因为函数f(x)的图像关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2
021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C.
2．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1.
则f
＋f(1)＋f
＋f(2)＋f
＝________.
－1　解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，
则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.
所以f
＋f(1)＋f
＋f(2)＋f
＝f
＋0＋f
＋f(0)＋f
＝f
－f
＋f(0)＋f
＝f
＋f(0)
＝2－1＋20－1＝－1.
考点4　函数性质的综合应用——应用性
考向1　函数的奇偶性与单调性综合
已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aB．cC．bD．bC　解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．
因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.
考向2　函数奇偶性与周期性的综合
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
D　解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
考向3　函数单调性、奇偶性与周期性的综合
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c
B．c>a>b
C．b>c>a
D．a>c>b
D　解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b.故选D.
解决函数的周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.
－　解析：由题意可知，f
＝f
＝－f
＝－2××＝－.
2．已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(6－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
(－3,2)　解析：因为g(x)是奇函数，所以当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)．易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，所以－3一、教材概念·结论·性质重现
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数．
(2)xα的系数为1.
(3)解析式只有一项．
2．常见的五种幂函数的图像
3．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限逼近x轴．
4．二次函数的图像与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图像
定义域
R
值域
单调性
在上单调递增；在上单调递减
在上单调递增；在上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图像关于直线x＝－成轴对称图形
(1)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝2x是幂函数．(
×
)
(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(
√
)
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(
×
)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(
×
)
2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(2)＝(　　)
A．　　　　　　　　　
B．4
C．
D．
C　解析：设f(x)＝xα，因为图像过点，所以f(4)＝4α＝，解得α＝－，所以f(2)＝2－＝.
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
C　解析：由题意知即解得a>.
4．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是________．
－1　解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图像的对称轴为x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．
当x＝1时，y取得最小值，所以ymin＝2－6＋3＝－1.
5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为__2__.
考点1　幂函数的图像与性质——基础性
1．与函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　　)
B　解析：y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示)．将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B.
2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)
A．－3
B．1
C．2
D．1或2
B　解析：因为幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上单调递减，所以所以n＝1.又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.故选B.
3．(2020·衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图像上．设a＝f
，b＝f(ln
π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aB．aC．bD．bA　解析：因为f(x)＝(m－1)xn为幂函数，
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2,8)在函数f(x)＝xn的图像上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数．
又ln
π>1>2－＝>，
所以f(ln
π)>f(2－)>f，则b>c>a.
幂函数的图像的应用注意点
(1)对于幂函数图像，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点2　二次函数的解析式——综合性
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．
解：(方法一：利用二次函数的一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得
解得
故f(x)＝－4x2＋4x＋7.
(方法二：利用二次函数的顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.
又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－4×2＋8＝－4x2＋4x＋7.
(方法三：利用二次函数的零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即当a≠0时，＝8，
解得a＝－4；
当a＝0时，f(x)＝－1，不符合题意，舍去．
故f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的策略
已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________.
x2－2x＋3　解析：由f(0)＝3，得c＝3.又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
考点3　二次函数的图像与性质——综合性
考向1　二次函数的图像
(1)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的图像为(　　)
D　解析：因为函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x－c＝0的两根．所以a＝－1，c＝－2.所以f(x)＝－x2－x＋2.所以函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图像开口向下，与x轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D.
(2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.
下面四个结论中正确的是(　　)
A.
b2>4ac
B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0
D．5aAD　解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图像的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图像知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a1．解决二次函数图像问题的基本方法
(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．
(2)讨论函数图像，依据图像特征，得到参数间的关系．
2．分析二次函数图像问题的要点
一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图像上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图像．反之，也能从图像中得到如上信息.
考向2　二次函数的单调性
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D　解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图像对称轴为x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知解得－3≤a＜0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
－3　解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.
又＝－1，所以a＝－3.
利用二次函数的单调性解题时的注意点
(1)对于二次函数的单调性，关键是看图像的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图像的对称性转化到同一单调区间上比较．
考向3　二次函数的最值
已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；
③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．
解：
f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线x＝－a.
①当－a＜，即a＞－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；
②当－a≥，即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a.
综上，f(x)max＝
二次函数的最值问题的类型
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
考向4　二次函数中的恒成立问题
已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－1)　解析：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0.
令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，
只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1.
由－m－1>0，得m<－1.
因此实数m的取值范围是(－∞，－1)．
由不等式恒成立求参数取值范围
将问题归结为求函数的最值，依据是a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
1．(2020·九江一中模拟)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图像可能是(　　)
A　解析：若01，则y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图像开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．
2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　)
A.(0,4]
B.
C.
D.
C　解析：y＝x2－3x＋4＝2＋的定义域为[0，m]．显然，在x＝0时，y＝4.又值域为，根据二次函数图像的对称性知≤m≤3.故选C.
3．(2020·唐山模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0
B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0
D．f(m＋1)<0
C　解析：因为f(x)图像的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图像如图所示．
由f(m)<0，得－10.所以f(m＋1)>f(0)>0.
4．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
　解析：由题意得a>－对1又－＝－22＋，<<1，
所以max＝.所以a>.第5节　指数与指数函数
一、教材概念·结论·性质重现
1．n次方根
(1)根式的概念
一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根．当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数．
(2)a的n次方根的性质
①()n＝a；
②当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正数的正分数指数幂：a＝()m＝
(a＞0，m，n∈N
，n＞1)
正数的负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N
，n＞1)
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指数幂的运算性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)
3．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
4．指数函数的图像与性质
0a>1
图像
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，0当x>0时，y>1；当x<0时，0减函数
增函数
5．比较幂的大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)＝()n＝a.(
×
)
(2)(－1)＝(－1)＝.(
×
)
(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(
×
)
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(
×
)
(5)函数y＝2x－1是指数函数．(
×
)
(6)若am0，且a≠1)，则m×
)
2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)
A．－9　　　　　　　　
B．7
C．－10
D．9
B　解析：原式＝26×－1＝23－1＝7.故选B.
3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)＝________.
　解析：由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝
－1＝.
4．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，
则即无解．
当0则即解得所以a＋b＝－.
5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
c＜b＜a　解析：因为y＝x是减函数，所以＞＞0，即a＞b＞1.
又c＝＜0＝1，所以c＜b＜a.
考点1　指数幂的化简与求值——基础性
1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)
A．(－2)－2＝4
B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1
D．(a－)4＝
D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．
2．化简：·(a＞0，b＞0)＝________.
　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
3．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝________.
－　解析：原式＝－2＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要力求统一．
考点2　指数函数的图像及应用——综合性
(1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　　)
B　解析：y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.
又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减．故选B.
(2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．
(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0,1)．
指数函数图像的应用问题的求解方法
(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．
(2)根据指数函数图像判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图像的交点进行判断．
1．若函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．
(－∞，0]　解析：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．
2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图像，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.
3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围为________．
　解析：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图像只有一个交点，不合题意；当0综上可知，a的取值范围是.
考点3　指数函数的性质及应用——应用性
考向1　比较大小
已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．bC．bD．cA　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b故选A.
考向2　解指数方程或不等式
(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．
　解析：当a<1时，41－a＝2，解得a＝；当a>1时，代入不成立．故a的值为.
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
(－3,1)　解析：当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，
即a<8，所以a<－3，所以a>－3.
又a<0，所以－3当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.
所以0≤a<1.
综上，a的取值范围为(－3,1)．
考向3　指数型函数的单调性
已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
(－∞，4]　解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
考向4　指数型函数的最值
若函数f(x)＝ax2－4x＋3有最大值3，则a＝________.
1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
综合应用指数函数性质的常考题型及求解策略
常考题型
求解策略
比较幂值的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解，要注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论
探究指数型函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致，另外要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决
1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A．f(b)＜f(a)＜f(c)
B．f(c)＜f(b)＜f(a)
C．f(c)＜f(a)＜f(b)
D．f(b)＜f(c)＜f(a)
B　解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数．又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，则a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)．
2．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)＞0
B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0
D．ln|x－y|＜0
A　解析：(方法一)由2x－2y＜3－x－3－y，可得2x－3－x＜2y－3－y.
令f(x)＝2x－3－x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)＜f(y)，
所以x＜y，即y－x＞0.
由于y－x＋1＞1，
故ln(y－x＋1)＞ln
1＝0.故选A.
(方法二)取x＝－1，y＝0，满足2x－2y＜3－x－3－y，
此时ln(y－x＋1)＝ln
2＞0，ln|x－y|＝ln
1＝0，可排除BCD.故选A.
3．函数y＝x2＋2x－1的值域是(　　)
A．(－∞，4)
B．(0，＋∞)
C．(0,4]
D．[4，＋∞)
C　解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以04．函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是________．
[0，＋∞)　解析：设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t的单调递增区间为[1，＋∞)．令2x≥1，得x≥0.又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调递增区间是[0，＋∞)．
(2020·临沂月考)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
[四字程序]
读
想
算
思
比较大小
比较大小的方法是什么？
式子变换
转化与化归
a,
b,
c均为幂值的形式
1.利用函数单调性；2．通过中间量比较大小；3．作差或商比较
1.构造函数；2．统一幂指数；3．化为根式形式
注意分数指数幂的等价变形以及分数指数幂的运算法则
思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．
A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝x.
因为0<<1，所以函数y＝x为减函数．又因为>，所以b＝<＝c.
再比较a与c，因为＝＝>0＝1，所以a>c，所以a>c>b.故选A.
思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．
A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝2＝，b5＝3＝，c5＝
2＝，
所以a5>
c5>
b5，即a>c>b.故选A.
思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．
A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b.故选A.
1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法一是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法二与解法三比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法三，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．
2．基于新课程标准，对于比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识.
比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．
(多选题)已知a，b满足等式a＝b，下列四个关系式中可能成立的是(　　)
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．b＜a＜0
AB　解析：函数y1＝x与y2＝x的图像如图所示．
由a＝b得a一、教材概念·结论·性质重现
1．对数的概念
一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM
(n∈R)．
(2)对数的性质
①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N；
④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式
logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．
换底公式的三个重要结论
(1)logab＝.
(2)logambn＝logab.
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
0a>1
图像
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y<0；当00
当x>1时，y>0；当0减函数
增函数
对数函数图像的特征
(1)由图可知，0(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像只在第一、第四象限．
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(
×
)
(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(
×
)
(3)函数y＝log2x及y＝3x都是对数函数．(
×
)
(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(
×
)
(5)函数y＝ln
与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(
√
)
2．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)
A．0
B．2
C．4
D．6
D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.
3．函数y＝lg|x|(　　)
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图像知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x
B.
C．log0.5x
D．2x－2
A　解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝log2x.
5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点________．
(2,2)　解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2,2).
考点1　对数运算问题——基础性
(1)＝________.
(2)已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．
(3)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
(1)1　(2)2　(3)
解析：(1)原式＝
＝
＝＝＝＝1.
(2)因为2x＝12，所以x＝log212，
所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
(3)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10.所以m＝.
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg
2＋lg
5＝1.
考点2　对数函数的图像及应用——综合性
(1)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图像为(　　)
C　解析：先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图像，显然图像经过点(0,0)，再作此图像关于y轴对称的图像，可得函数f(x)在R上的大致图像，如选项C中图像所示．
(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(1，)
D．(，2)
B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图像如图．
由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1.故选B.
1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________．
　解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图像在上有交点．
由图像可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.
2．若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．
　解析：由x2－logax<0得x21时，显然不成立；当0要使x2所以有2≤loga，解得a≥，
所以≤a<1.
即实数a的取值范围是.
利用对数函数的图像解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
1．下列函数中，其图像与函数y＝ln
x的图像关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x)
B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
B　解析：易知y＝ln
x与y＝ln(－x)的图像关于y轴对称，将y＝ln(－x)的图像向右平移2个单位长度所得图像为y＝ln[－(x－2)]＝ln(2－x)，即与y＝ln
x的图像关于直线x＝1对称．
2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图像有且只有一个交点，结合图像可知a>1.
考点3　对数函数的性质及应用——应用性
考向1　比较函数值的大小
设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aB．cC．cD．bC　解析：因为0log0.40.4＝1，c＝log80.4比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
考向2　对数方程或不等式问题
(1)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
C　解析：或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
(2)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
x＝　解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x>1，所以x＝.
简单对数不等式问题的求解策略
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论．
(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
考向3　对数函数性质的综合问题
(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4)
B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
D．[－4,4)
D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D.
(2)若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.
2　解析：令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝.
当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；当0解决对数函数性质的综合问题的注意点
(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．
(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．aB．aC．cD．bB　解析：因为a＝log20.220＝1,02．已知不等式logx(2x2＋1)　解析：原不等式?①或②.解不等式组①，得一、教材概念·结论·性质重现
1．利用描点法作函数图像
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．函数图像的变换
(1)函数图像平移变换八字方针
①“左加右减”，要注意加减指的是自变量；
②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
(2)对称变换
①f(x)与f(－x)的图像关于y轴对称；
②f(x)与－f(x)的图像关于x轴对称．
(3)翻折变换
①|f(x)|的图像是将f(x)的图像中x轴下方的图像对称翻折到x轴上方，x轴上方的图像不变；
②f(|x|)的图像是f(x)的图像中x轴右侧的图像不变，再对称翻折到y轴的左侧得到．
(4)关于两个函数图像对称的三个重要结论
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a对称；
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点(a，b)中心对称；
③若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(5)函数图像自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)?函数y＝f(x)的图像关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图像关于x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
(6)函数图像自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)?函数y＝f(x)的图像关于原点对称；
②函数y＝f(x)的图像关于(a,0)对称?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－f(2a＋x)；
③函数y＝f(x)的图像关于点(a，b)成中心对称?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图像相同．(
×
)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图像相同．(
×
)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于原点对称．(
×
)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．(
√
)
(5)将函数y＝f(－x)的图像向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图像．(
×
)
2．下列图像是函数f(x)＝的图像的是(　　)
C　解析：函数f(x)的图像是由y＝x2的图像中x<0的部分和y＝x－1的图像中x≥0的两部分组成．故选C.
3．已知图①中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图像对应的函数为(　　)
A．y＝f(|x|)　　　　　　
B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)|
D．y＝－f(|x|)
B　解析：观察函数图像可得，②是由①保留y轴左侧图像，然后将y轴左侧图像翻折到右侧所得，结合函数图像的对称变换可得函数的解析式为y＝f(－|x|)．故选B.
4．函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)
A．ex＋1
B．ex－1
C．e－x＋1
D．e－x－1
D　解析：与曲线y＝ex关于y轴对称的图像对应的解析式为y＝e－x.将函数y＝e－x的图像向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图像，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
(0，＋∞)　解析：由题意得a＝|x|＋x.令y＝|x|＋x＝其图像如图所示．故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.
考点1　作函数的图像——基础性
分别作出下列函数的图像：
(1)y＝|lg
x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝图像如图(1)所示．
(2)将y＝2x的图像向左平移2个单位长度．图像如图(2)所示．
(3)y＝图像如图(3)所示．
作函数图像的两种常用方法
1．直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
2．图像变换法：若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．
考点2　判断函数的图像——综合性
考向1　由函数图像的解析式判断图像
(1)(2020·湖北省高三模拟)函数y＝(2x－2－x)sin
x在[－π，π]的图像大致为(　　)
A　解析：设f(x)＝(2x－2－x)·sin
x，则f(－x)＝(2－x－2x)sin(－x)＝f(x)，
故f(x)为[－π，π]上的偶函数，故排除B.
又f
＝2－2－>0，f(0)＝0，排除C，D.故选A.
(2)已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为(　　)
D　解析：(方法一)先作出函数y＝f(x)的图像关于y轴的对称图像，得到y＝f(－x)的图像；
然后将y＝f(－x)的图像向右平移2个单位长度，得到y＝f(2－x)的图像；
再作y＝f(2－x)的图像关于x轴的对称图像，得到y＝－f(2－x)的图像．故选D.
(方法二)先作出函数y＝f(x)的图像关于原点的对称图像，得到y＝－f(－x)的图像；然后将y＝－f(－x)的图像向右平移2个单位长度，得到y＝－f(2－x)的图像．故选D.
下列四个函数中，图像如图所示的只能是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y＝x＋lg
x
B．y＝x－lg
x
C．y＝－x＋lg
x
D．y＝－x－lg
x
B　解析：当x＝1时，由图像知y>0.而C，D中y<0，故排除选项C，D；当x＝时，由图像知y>0，而A中y＝＋lg
＝－<0，排除A.故选B.
函数图像的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
考向2　由动点探究函数图像
在2
h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图像是(　　)
B　解析：依题意，在2
h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图像B适合．
借助动点探究函数图像问题
解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式，然后判断函数的图像；也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置时考查图像的变化特征，从而作出选择．
1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　)
D　解析：因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A.
当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
2．已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图像是(　　)
D　解析：(方法一)由题设得函数g(x)＝－f(－x)＝据此可画出该函数的图像，如题图选项D中图像．故选D.
(方法二)先画出函数f(x)的图像，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图像关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)，即g(x)的图像，如图2所示．故选D.
3．如图，矩形ABCD的周长为4，设AB＝x，AC＝y，则y＝f(x)的大致图像为(　　)
C　解析：(方法一)由题意得y＝＝，x∈(0,2)不是一次函数，排除选项A，B.当x→0时，y→2.故选C.
(方法二)由方法一知y＝在(0,1]上单调递减，在[1,2)上单调递增，且非一次函数．故选C.
考点3　函数图像的应用——综合性
考向1　研究函数的性质
已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减
C．f(x)是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减
D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增
C　解析：f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图．
观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
利用函数的图像研究函数的性质
考向2　解不等式
函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
C　解析：作出函数f(x)的图像如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈?；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．
考向3　求参数的取值范围
设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
[－1，＋∞)　解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，如图，观察图像可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
与函数相关的不等式问题的求解方法
当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两个函数图像的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．
1．对a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
　解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图像如图所示．由图像可得，其最小值为.
2．已知函数f(x)在R上单调且其部分图像如图所示．若不等式－22)，则实数t的值为________．
1　解析：由图像可知不等式－23．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．
[－8，－1]　解析：作出函数f(x)的图像，当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1.令log2＝2，解得x＝－8.当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2.又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．第8节　函数与方程
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
(2)三者之间的关系
函数f(x)有零点?函数f(x)的图像与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根．
2．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实数解．
(2)由函数y＝f(x)(图像是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示．所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
3．二分法
条件
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断；(2)所在区间端点的函数值满足f(a)f(b)＜0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
4．有关函数零点的结论
(1)图像连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(2)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(
×
)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(
√
)
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(
×
)
(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(
×
)
2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)
A　解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．
3．函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(1,2)
B．(2,3)
C．和(3,4)
D．(4，＋∞)
B　解析：因为f(2)＝ln
2－1<0，f(3)＝ln
3－>0，且函数f(x)的图像连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2,3)内．
4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
B　解析：由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．
5．已知2是函数f(x)＝的一个零点，则f(f(4))的值是________．
3　解析：由题意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f(f(4))＝f(log23)＝2log23＝3.
6．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．
(－8,1]　解析：由题意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，所以－8考点1　判断函数零点所在区间——基础性
1．(多选题)已知函数f(x)＝＋x2－2，利用零点存在定理确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是(　　)
A．(－3，－2)
B.
C．(2,3)
D.
ABD　解析：经计算f(－3)＝－＋－2＝>0，f(－2)＝－＋2－2＝－<0，f(－1)＝－1＋－2＝－<0，
f
＝2＋－2＝>0，f(1)＝1＋－2＝－<0，
f(2)＝＋2－2＝>0，f(3)＝＋－2＝>0.
根据零点判定定理可得区间(－3，－2)，，上存在零点．
2．设函数f(x)＝x－ln
x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
D　解析：当x∈时，函数图像连续不断，且f′(x)＝－＝<0，所以函数f(x)在上单调递减．又f
＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点2　确定函数零点的个数——综合性
(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3
B．2
C．7
D．0
B　解析：(方法一：直接法)由f(x)＝0得
或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
(方法二：图像法)函数f(x)的图像如图所示．由图像知函数f(x)共有2个零点．
(2)设m，n∈Z，已知函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
C　解析：因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有两个零点．
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．
(2)函数零点存在定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数．
(3)利用图像交点个数，作出两个函数图像，观察其交点个数即得零点个数．
1．(2020·武邑中学调研)若函数f(x)＝3x－7＋ln
x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
2　解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln
2<0，f(3)＝2＋ln
3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.
2．已知函数f(x)＝x－cos
x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．
3　解析：如图，作出g(x)＝x与h(x)＝cos
x的图像，可知g(x)与h(x)的图像在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.
考点3　函数零点的应用——应用性
考向1　根据函数零点所在的区间求参数
(1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．
　解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，
由题意知
解得－(2)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．
　解析：由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解．设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，所以实数a的取值范围是.
根据函数零点所在区间求参数的步骤
考向2　根据函数零点的个数求参数
已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D　解析：函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根．画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图像(图略)．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
利用函数零点个数求参数的方法
由函数零点个数求参数问题，可采用数形结合法，先对解析式变形，变为关于两个初等函数的方程再在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图像，然后数形结合求解．
设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
(1)－1　(2)∪[2，＋∞)　解析：(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数f(x)的图像如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；
当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．第9节　函数的应用
一、教材概念·结论·性质重现
1．常见的函数模型
(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝(k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；
(8)“对勾”函数模型：y＝x＋(a>0)．
(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．
(4)对于函数f(x)＝x＋(a>0)，当x>0时，在x＝处取得最小值2；当x<0时，在x＝－处取得最大值－2.
2．指数、对数、幂函数性质比较
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)幂函数增长比直线增长更快．(
×
)
(2)不存在x0，使ax0×
)
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(
√
)
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(
×
)
2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)＞g(x)＞h(x)
B．g(x)＞f(x)＞h(x)
C．g(x)＞h(x)＞f(x)
D．f(x)＞h(x)＞g(x)
B　解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B.
3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
4．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)，一万件商品的售价是20万元．为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A．36万件
B．18万件
C．22万件
D．9万件
B　解析：设利润为L(x)，则L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142.当x＝18时，L(x)有最大值．
5．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)
A．减少7.84%
B．增加7.84%
C．减少9.5%
D．不增不减
A　解析：设该商品原来价格为a.依题意得，
a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921
6a，所以(0.921
6－1)a＝－0.078
4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.
考点1　利用函数图像刻画实际问题——基础性
1．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是(　　)
B　解析：由函数图像可判断出该容器的形状不规则，又函数图像的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.
2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　　)
D　解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.
3．(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1
L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)
A．消耗1
L汽油，乙车最多可行驶5
km
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80
km/h的速度行驶1
h，消耗8
L汽油
D．某城市机动车最高限速80
km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
CD　解析：由题图可知，当乙车速度大于40
km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5
km，A错；由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错；甲车以80
km/h的速度行驶时，燃油效率为10
km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，C正确；速度在80
km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，D正确．
判断实际问题中两变量变化的过程的方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点2　已知函数模型解决实际问题——基础性
某市家庭煤气的使用量x(单位：m3)和煤气费f(x)(单位：元)满足关系f(x)＝已知某家庭2020年前三个月的煤气费如表：
月份
用气量
煤气费
一月份
4
m3
4元
二月份
25
m3
14元
三月份
35
m3
19元
若四月份该家庭使用了20
m3的煤气，则其煤气费为(　　)
A．11.5元　　　　　　
B．11元
C．10.5元
D．10元
A　解析：根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5.
已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知条件利用待定系数法，确定函数模型中的待定系数．
(3)利用函数模型求解实际问题．
1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
D　解析：
设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8
300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)>0；当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0.故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23
000.
2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)．如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
3.75　解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式．
联立得方程组
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2
＝－＋－2
＝－2＋.
所以，当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
考点3　构造函数模型解决实际问题——应用性
考向1　二次函数、分段函数模型
(2020·唐山一中模拟)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？求出最大值．
解：(1)由题意得，当0当4由已知得
解得
所以v＝－x＋.
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，
由(1)得f(x)＝
当0当4所以，当0故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
解决分段函数模型问题的注意点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数模型时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.
考向2　指数(对数)函数模型
(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)
A．2022年
B．2023年
C．2024年
D．2025年
C　解析：设第n(n∈N
)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg
200，所以lg
130＋(n－1)lg
1.12＞lg
2＋2，所以2＋lg
1.3＋(n－1)lg
1.12＞lg
2＋2，所以0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞.又因为n∈N
，所以n≥5，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2024年．故选C.
(2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0
＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)(　　)
A．1.2天
B．1.8天
C．2.5天
D．3.5天
B　解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln
2，所以t1＝≈≈1.8(天)．故选B.
指数函数与对数函数模型的应用技巧
(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题．
1．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(单位：元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(单位：元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解：(1)当x≤6时，y＝50x－115.
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，
y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，
结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
f(x)＝
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115
＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.
因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
2．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6
W/m2，求其声强级．
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
解：(1)当声强为10－6
W/m2时，
由公式Y＝10lg，
得Y＝10lg＝10lg
106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg，
得10lg＝0.
所以＝1，即I＝10－12
W/m2，
则最低声强为10－12
W/m2.

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