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第2章
函数的概念与性质
函数的新定义问题
在函数的概念与表示中，函数新定义问题是一个热点知识，通过函数新定义问题考查阅读理解能力，分析问题、解决问题的能力，也是复习的一个难点．
　概念型新定义函数问题
已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N
，定义fn(x)
＝，那么f2
021(2)的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0
B．1
C．2
D．3
A　解析：因为f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，所以fn(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f2
021(2)＝f3×673＋2(2)＝f2(2)＝0.
【点评】解答本题的关键是理解新函数fn(x)的含义，并能得出fn(2)的值具有周期性进而求解．
(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”．例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋
C．y＝－log3x
D．y＝
AD　解析：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．y＝[x]的定义域为R，在定义域内不是单调函数，故A可以构造“同值函数”；y＝x＋为定义在[－1，＋∞)上的单调递增函数，故B不可以构造“同值函数”；y＝－log3x为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，故C不可以构造“同值函数”；y＝不是定义域上的单调函数，故D可以构造“同值函数”．故选AD.
　性质型新定义函数问题
(2020·潍坊模拟)已知集合A0＝{x|0成立，则称该函数y＝f(x)具有性质“φ”．
(1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是
________.
(2)给出下列函数：
①y＝；②y＝x2＋1；③y＝cosx＋2.
其中具有性质“φ”的函数的序号是________．
(1)
y＝x＋1(答案不唯一)
(2)①②
解析：(1)对于解析式y＝x＋1，因为A0＝{x|0(2)
对于①，A0＝{x|0【点评】(1)理解符号语言的含义是解题的关键，An－1，An分别看成定义域和值域．
(2)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果．
具有性质f
＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是(　　)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①
B　解析：对于①，f(x)＝x－，f
＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于②，f
＝＋x＝f(x)，不满足“倒负”变换；对于③，
f
＝
即f
＝
故f
＝－f(x)，满足“倒负”变换．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.第2章
函数的概念与性质
函数性质的应用
函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题．解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
　函数性质的判断
已知函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．f(x)的图像关于点(1,0)对称
C　解析：f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln
u在其定义域上单调递增，所以f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选项A，B错误．因为f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＝f(2－x)，所以f(x)的图像关于直线x＝1对称，故选项C正确．因为f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln
x]＋[ln
x＋ln(2－x)]＝2[ln
x＋ln(2－x)]，不恒为0，所以f(x)的图像不关于点(1,0)对称，选项D错误．故选C.
【点评】本题涉及复合函数单调性的判断.
解题的关键是将函数解析式进行等价化简，再根据函数性质的有关结论来判断．
定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)．当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)的一个单调递减区间为(　　)
A．[3,7]
B．[4,5]
C．[5,8]
D．[6,10]
B　解析：依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]?[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．
　函数性质的综合问题
已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)
A．－50
B．0
C．2
D．50
C　解析：因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(1－x)＝－f(x－1)．
因为f(1－x)＝f(1＋x)，
所以－f(x－1)＝f(x＋1)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0.
又因为f(1－x)＝f(1＋x)，
所以f(x)的图像关于直线x＝1对称，
所以f(2)＝f(0)＝0，所以f(－2)＝0.
又f(1)＝2，所以f(－1)＝－2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
故选C.
【点评】本题为函数奇偶性与周期性综合的题目.
解题时先通过等式f(1－x)＝f(1＋x)的奇偶性求出函数的周期，进而求出函数在一个周期的和，再根据周期求和．
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．
　解析：由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为f(2|a－1|)>f(－)＝f()，
所以2|a－1|<＝2，所以|a－1|<，所以函数的概念与性质
一　多选题命题热点之函数性质的综合问题
函数问题中的多选题主要集中在函数的性质中，涉及函数的单调性、奇偶性和周期性等.
从命题角度看，既可以是与函数性质有关的组合型选择题，也可以是新定义函数后再从不同角度研究函数的性质问题.
　与函数性质有关的组合型问题
(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋2)为偶函数
D．函数f(x－4)为偶函数
BCD　解析：偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，即有f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得4为函数f(x)的周期，故A错误，B正确．由f(x)＋f(2－x)＝0，可得f(－x)＋f(2＋x)＝0，两式相减得f(2－x)－f(2＋x)＝0，故f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x＋2)为偶函数，故C正确．由f(x)为偶函数得f(－x－4)＝f(x＋4)．若f(x－4)为偶函数，则有f(－x－4)＝f(x－4)，可得f(x＋4)＝f(x－4)，即f(x＋8)＝f(x)，可得8为f(x)的周期，故D正确．故选BCD.
关于函数性质有关的组合型多选题，关键是要熟练掌握函数的有关性质及一些常用结论，以及它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力．
(多选题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋4)
D．f(x＋3)是奇函数
CD　解析：因为f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，所以函数f(x)的图像关于点(1,0)及点(－1,0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－2－x)＝0，故有f(2－x)＝f(－2－x)，函数f(x)是周期T＝2－(－2)＝4的周期函数，选项C正确．因为f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝－f(x＋3)，所以f(x＋3)是奇函数，选项D正确．故选CD.
　新定义函数问题
(多选题)若函数f(x)满足条件：
①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有＞0；
②对于定义域内任意x1，x2都有f≥成立．
则称其为G函数．下列函数为G函数的是(　　)
A．f(x)＝3x＋1
B．f(x)＝－2x－1
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)
AD　解析：①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有＞0，则函数f(x)为增函数；②对于定义域内任意x1，x2都有f
≥成立，则函数f(x)为“凸函数”或其图像为一条直线．对于A，f(x)＝3x＋1在R上为增函数，且f
＝，故满足条件①②；对于B，f(x)＝－2x－1在R上为减函数，不满足条件①；对于C，f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，不满足条件①；对于D，f(x)＝－x2＋4x－3的对称轴为直线x＝2，故函数f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.
故选AD.
关于新定义函数问题，关键是理解新定义函数的概念.
根据新定义函数的概念并挖掘其隐含条件，对比选项判断正误．
(多选题)(2020·枣庄二调)对?x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称为“取整函数”．下列命题中的真命题是(　　)
A．?x∈R，x≥[x]＋1
B．?x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]
C．函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0,
1)
D．若?t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同时成立，则正整数n的最大值是5
BCD　解析：[x]是整数，[x]＋1是整数，若x≥[x]＋1，则[x]≥[x]＋1，矛盾，A错误．?x，y∈R，[x]≤x，[y]≤y，所以[x]＋[y]≤x＋y，所以[x]＋[y]≤[x＋y]，B正确．由定义知x－1<[x]≤x，所以0≤x－[x]<1，所以函数f(x)＝x－[x]的值域是[0,1)，C正确．若?t∈R，使得[t3]＝1，[t4]＝2，[t5]＝3，…，[tn]＝n－2同时成立，则1≤t<，≤t<，≤t<，≤t<，…，≤t<.因为＝，若n≥6，则不存在t同时满足1≤t<，≤t<，只有n≤5时，存在t∈[，)满足题意．故选BCD.
【点评】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化为不等关系是解题关键，本题属于难题．

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