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第4章
三角函数与解三角形
课程标准
命题解读
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．2．借助单位圆理解任意角三角函数的定义，能够利用定义推导出诱导公式．3．理解同角三角函数的基本关系式sin2x＋cos2x＝1，＝tan
x.4．能画出三角函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值．5．了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．6．会推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式．7．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
考查形式：一般为一个选择题或一个填空题和一个解答题．考查内容：三角函数的定义、图像与性质、同角三角函数基本关系、诱导公式、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理．备考策略：(1)熟练应用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换公式化简、求值．(2)重视对三角函数图像和性质的研究，注意将问题和方法进行归纳、整理．(3)加强正弦定理、余弦定理应用方面的训练．核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算.
第1节　任意角与弧度制及三角函数的概念
一、教材概念·结论·性质重现
1．角的概念
(1)分类
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1
rad.
(2)公式
①弧度与角度的换算：360°＝2π
rad,180°＝π
rad，＝.
②弧长公式：l＝αr.
③扇形面积公式：S扇形＝lr和S扇形＝αr2.
说明：②③公式中的α必须为弧度制．
有关角度与弧度的注意点
角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
(1)定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0)．一般地，称为角α的正弦，记作sin
α；称为角α的余弦，记作cos
α；称为角α的正切，记作tan
α.
(2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝，则角α的终边与单位圆的交点为P(cos_α，sin_α)．
(3)三角函数值在各象限内的符号．(口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦)
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)小于90°的角是锐角．(
×
)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(
×
)
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(
×
)
(4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(
×
)
2．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos
α＝(　　)
A．
B．
C．－
D．－
D　解析：记P(－4,3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝＝5.故cos
α＝＝＝－.故选D.
3．已知sin
A>0且tan
A<0，则角A的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B　解析：因为sin
A>0，所以角A为第一或第二象限角；因为tan
A<0，所以角A为第二或第四象限角，所以角A为第二象限角．
4．在与2
020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
－　解析：2
020°＝＝12π－，所以与2
020°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为－.
5．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
6π　解析：设此扇形的半径为r.由题意得r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
考点1　象限角及终边相同的角——基础性
1．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　)
A．－是第二象限角
B．是第三象限角
C．－400°是第四象限角
D．－315°是第一象限角
BCD　解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是
(　　)
C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边在～内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边在π＋～π＋内，结合选项知选C.
3．设集合M＝，N＝，那么(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N＝?
B　解析：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.故选B.
4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
一或三　解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
(1)判断象限角的两种方法
图像法
在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角
转化法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角
(2)确定kα，(k∈N
)的终边位置的步骤
①用终边相同的角的形式表示出角α的范围；
②写出kα或的范围；
③根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性
已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：(1)因为α＝60°＝，
所以l＝α·R＝×10＝(cm)．
(2)由题意得解得(舍去)或故扇形的圆心角为.
(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．
(方法一)S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以，当R＝5
cm时，S取得最大值，且最大值为25
cm2，此时l＝10
cm，α＝2.
(方法二)S＝lR＝l(2R)≤2＝25，
当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25
cm2，
此时α＝2.
若本例(1)条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解：l＝αR＝×10＝(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝lR－×R2×sin
＝××10－×102×＝(cm2)．
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积的最大值问题，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，也可以通过“配凑”法利用均值不等式求最值．
1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
(　　)
A．2
B．sin
2
C．
D．2sin
1
C　解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交于点D.
则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，
且AC＝AB＝1.
在Rt△AOC中，
AO＝＝，
即r＝，
从而的长为l＝α·r＝.故选C.
2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)
A．
B．
C．3
D．
D　解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M.
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，
所以AM＝r，AB＝r.
所以弧长l＝r.所以圆心角α＝＝＝.
考点3　三角函数的定义及应用——应用性
考向1　三角函数的定义
(1)已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　)
A．(2cos
θ，sin
θ)
B．(－2cos
θ，2sin
θ)
C．(－2cos
θ，－2sin
θ)
D．(2cos
θ，－2sin
θ)
C　解析：由任意角的三角函数定义，可知角θ的终边上的点M′的坐标为(2cos
θ，2sin
θ)，其中|OM′|＝2.因为|OM|＝2，所以点M和点M′关于原点对称，所以点M的坐标为(－2cos
θ，－2sin
θ)．
(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin
30°)，且cos
α＝－，则m的值为
(　　)
A．
B．－
C．±
D．±
A　解析：因为角α的终边过点P(－8m，－6sin
30°)＝(－8m，－3)，cos
α＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，|OP|＝.
由cos
α＝＝－，解得m＝(m>0)．
三角函数定义的应用策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程(注意分为两条射线)，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．
(3)已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
考向2　三角函数值的符号
(1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos
2α>0
B．cos
2α<0
C．sin
2α>0
D．sin
2α<0
D　解析：因为α是第四象限角，所以－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上，所以sin
2α<0，cos
2α可正、可负、可为零．故选D.
(2)sin
2·cos
3·tan
4的值(　　)
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．大于等于0
A　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin
2＞0，cos
3＜0，tan
4＞0.
所以sin
2·cos
3·tan
4＜0.故选A.
(3)若sin
αtan
α＜0，且＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
C　解析：由sin
αtan
α＜0可知sin
α，tan
α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos
α，tan
α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．
(1)三角函数值符号及角的终边位置判断．
已知角的三角函数值(sin
α，cos
α，tan
α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
(2)三角函数值的符号规律．
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝
(　　)
A．
B．
C．－
D．－
D　解析：因为α是第二象限角，所以cos
α＝x<0，即x<0.又cos
α＝x＝，解得x＝－3，所以tan
α＝＝－.
2．(2020·永州祁阳二模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则sin
2θ＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
D　解析：在角θ的终边所在直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝|a|.由三角函数的定义知sin
θ＝，cos
θ＝，故sin
2θ＝2sin
θ·cos
θ＝2··＝－.故选D.
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2,3]
B．(－2,3)
C．[－2,3)
D．[－2,3]
A　解析：因为cos
α≤0，sin
α>0，所以角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上．所以所以－2一、教材概念·结论·性质重现
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan
α＝.
(1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．
(2)商数关系的作用：切化弦，弦切互化．
(3)掌握变形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin
α＝tan
αcos
α，sin2α＝，cos2α＝.
2．诱导公式
公式①
sin(α＋k·2π)＝sin
α，cos(α＋k·2π)＝cos
α，tan(α＋k·2π)＝tan
α，其中k∈Z
公式②
sin(π＋α)＝－sin
α，cos(π＋α)＝－cos
α，tan(π＋α)＝tan
α
公式③
sin(－α)＝－sin
α，cos(－α)＝cos
α，tan(－α)＝－tan
α
公式④
sin(π－α)＝sin
α，cos(π－α)＝－cos
α，tan(π－α)＝－tan
α
公式⑤
sin＝cos
α，cos＝sin
α
公式⑥
sin＝cos
α，cos＝－sin
α
(1)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
(2)利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤：
也就是：“负化正，去周期，大化小，全化锐”．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(
√
)
(2)诱导公式中的角α可以是任意角．(
×
)
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos
θ＝.(
×
)
(4)已知sin
θ＝，cos
θ＝，其中θ∈，则m<－5或m≥3.(
×
)
2．若tan
α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－　　　
B．　　　
C．　　　
D．－
D　解析：因为tan
α＝，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－.故选D.
3．已知cos
31°＝a，则sin
239°·tan
149°的值是(　　)
A．
B．
C．
D．－
B　解析：sin
239°·tan
149°＝sin
(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos
31°·(－tan
31°)＝sin
31°＝.
4．若sin
α＝，<α<π，则tan
α＝________.
－　解析：因为<α<π，
所以cos
α＝－＝－，
所以tan
α＝＝－.
5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
－sin2α　解析：原式＝·(－sin
α)·cos
α＝－sin2α.
考点1　同角三角函数基本关系的应用——应用性
考向1　知弦求切
(2020·福州一模)已知3sin
α·tan
α＋8＝0，α∈，则tan
α＝________.
－2　解析：因为3sin
α·tan
α＋8＝0，α∈，所以＋8＝0，
整理可得3cos2α－8cos
α－3＝0，
解得cos
α＝－或cos
α＝3(舍去)．
所以sin
α＝＝.
所以tan
α＝＝－2.
若本例的条件改为“＝2，α∈”．求tan
α的值．
解：因为＝2，
所以sin
α＝2＋2cos
α.
两边平方，得sin2α＝4＋8cos
α＋4cos2α，
即1－cos2α＝4＋8cos
α＋4cos2α，
整理得，5cos2α＋8cos
α＋3＝0，
解得cos
α＝－1或cos
α＝－.
当cos
α＝－1时，1＋cos
α＝0，无意义；
当cos
α＝－时，sin
α＝，所以tan
α＝＝－.
本例为已知sin
α，cos
α，tan
α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan
α＝即可，但要注意α的取值范围，即三角函数值的符号．
考向2　知切求弦
已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2.
解：由已知得tan
α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2
＝＋2＝＋2
＝＋2＝.
利用“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值．
常见的结构：
①sin
α，cos
α的齐次式(如asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α)；
②sin
α，cos
α的齐次分式.
(2)切化弦：利用公式tan
α＝，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切、余切时，采用此技巧．
考向3　“sin
α±cos
α，sin
αcos
α”之间的关系
已知－πx＋cos
x＝，求sin
x－cos
x的值．
解：由已知，得sin
x＋cos
x＝，
两边平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
因为(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝，
所以sin
x－cos
x＝±.
由－πx<0，
又sin
xcos
x＝－<0，
所以cos
x>0.所以sin
x－cos
x<0.
故sin
x－cos
x＝－.
本例中若将条件“－πx－cos
x的值．
解：因为0xcos
x＝－，
所以sin
x>0，cos
x<0，
所以sin
x－cos
x>0，
故sin
x－cos
x＝.
“sin
α±cos
α，sin
αcos
α”关系的应用
sin
α±cos
α与sin
αcos
α通过平方关系联系到一起，即(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，sin
αcos
α＝，sin
αcos
α＝.因此在解题时已知一个可求另外两个．
1．已知α∈(0，π)，cos
α＝－，则tan
α＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
D　解析：因为cos
α＝－且α∈(0，π)，所以sin
α＝＝，所以tan
α＝＝－.故选D.
2．已知sin
x＋cos
x＝，x∈(0，π)，则tan
x＝(　　)
A．－
B．
C．
D．－
D　解析：因为sin
x＋cos
x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin
xcos
x＝1－，所以2sin
xcos
x＝－＜0，所以x为钝角，所以sin
x－cos
x＝＝，结合已知解得sin
x＝，cos
x＝－，则tan
x＝＝－.
3．(2020·化州二模)已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则的值为________．
　解析：由f(x)＝x3得f′(x)＝2x2，
所以f′(1)＝2，故tan
α＝2.
所以＝＝＝.
考点2　诱导公式的应用——基础性
(1)(多选题)在△ABC中，下列关系恒成立的是(　　)
A．tan(A＋B)＝tan
C
B．cos(2A＋2B)＝cos
2C
C．sin＝sin
D．sin＝cos
BD　解析：对于A，由于tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan
C，故A错误；
对于B，由于cos(2A＋2B)＝cos
2(π－C)＝cos
2C，故B正确；
对于C，sin＝sin＝cos，故C错误，D正确．
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
0　解析：因为cos＝cos＝－cos
＝－a，
sin＝sin
＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.
(1)利用诱导公式解题的一般思路
①化绝对值大的角为锐角；
②角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
互余的角
－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α
互补的角
＋θ与－θ；＋θ与－θ
提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错．
1．已知sin(π＋α)＝－，则tan＝(　　)
A．2
B．－2
C．
D．±2
D　解析：因为sin(π＋α)＝－，所以sin
α＝，cos
α＝±，所以tan＝＝±2.故选D.
2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　解析：①当存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ时，
若k为偶数，则sin
α＝sin(kπ＋β)＝sin
β；
若k为奇数，则sin
α＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin
β，充分性成立；
②当sin
α＝sin
β时，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，
即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，
亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．
所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的充要条件．故选C.
已知3cos
x＋4sin
x＝5，求tan
x的值．
[四字程序]
读
想
算
思
求tan
x的值
1.同角的正弦、余弦和正切有什么关系？2．3cos
x＋4sin
x的最大值是多少？3．由已知条件联想点A(cos
x，sin
x)在哪条直线上
1.求sin
x和cos
x；2．辅助角公式
1.方程思想；2．数形结合；3．转化与化归
3cos
x＋4sin
x＝5
1.sin2x＋cos2x＝1，tan
x＝；2．3cos
x＋4sin
x的最大值为5；3．点A(cos
x，sin
x)在直线3x＋4y＝5上
1.联立3cos
x＋4sin
x＝5与sin2x＋cos2x＝1；2．3cos
x＋4sin
x＝5sin(x＋φ)
1.tan
x可看作直线的斜率；2．将已知条件变为cos
x＋sin
x＝1
思路参考：解方程组
解：由消去cos
x，
整理得(5sin
x－4)2＝0.
解得sin
x＝，cos
x＝.
故tan
x＝＝.
思路参考：注意到3cos
x＋4sin
x的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．
解：3cos
x＋4sin
x＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos
φ＝，sin
φ＝.
所以tan
φ＝.
所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．
于是tan
x＝tan＝＝.
思路参考：令tan
x＝t，借助已知条件用t表示sin
x和cos
x.
解：令tan
x＝t，即tcos
x＝sin
x，
代入3cos
x＋4sin
x＝5，
得3cos
x＋4tcos
x＝5，
所以cos
x＝，sin
x＝.
再代入sin2x＋cos2x＝1，得2＋2＝1，解得t＝，即tan
x＝.
思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝，利用三角函数的定义．
解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝.
把sin
x＝，cos
x＝代入已知等式得3·＋4·＝5.
即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．
整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.
显然m≠0，故tan
x＝＝.
思路参考：设点A(cos
x，sin
x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan
x＝kOA.
解：由3cos
x＋4sin
x＝5可知点A(cos
x，sin
x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．
由于直线3x＋4y＝5的斜率为－，所以OA的斜率为，即tan
x＝.
思路参考：m＝(cos
x，sin
x)，n＝，证明m∥n.
解：因为cos
x＋sin
x＝1，不妨令m＝(cos
x，sin
x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1.
所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.
由|m||n|≥|m·n|，等号成立的条件为m∥n，
则有cos
x＝sin
x，即tan
x＝.
1．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握运算求解能力，转化与化归的能力，体现数学运算的核心素养．
2．基于高考数学评价体系，本题的多种解法中涉及同角三角函数基本关系式、方程、辅助角公式、直线与圆、向量等知识，渗透着函数与方程、等价转换、数形结合等思想方法，对提升思维的灵活性起到了积极的作用．
已知θ是第一象限角，若sin
θ－2cos
θ＝－，求sin
θ＋cos
θ的值．
解：因为sin
θ－2cos
θ＝－，
所以sin
θ＝2cos
θ－.
所以2＋cos2θ＝1.
所以5cos2θ－cos
θ－＝0，
即＝0.
又因为θ为第一象限角，所以cos
θ＝，
所以sin
θ＝，所以sin
θ＋cos
θ＝.第3节　三角恒等变换
一、教材概念·结论·性质重现
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin
αcos
β±cos
αsin
β.
(2)cos(α±β)＝cos
αcos
β?sin
αsin
β.
(3)tan(α±β)＝.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号相反；S(α±β)异名相乘，符号相同；T(α±β)分子同，分母反．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
2α＝2sin
αcos
α.
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan
2α＝.
二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．
3．常用公式
(1)降幂扩角公式
①cos2＝；②sin2＝.
(2)升幂公式
①1＋cos
α＝2cos2；②1－cos
α＝2sin2.
(3)公式变形
tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
α·tan
β)．
(4)辅助角公式
asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)，
其中sin
φ＝，cos
φ＝.
4．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝(α＋β)－β，
β＝－，
α＝＋，
＝－.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(
√
)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．(
√
)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)，且对任意角α，β都成立．(
×
)
(4)当α是第一象限角时，sin＝.(
×
)
(5)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立．(
√
)
2．sin
45°cos
15°＋cos
225°sin
165°＝(　　)
A．1
B．
C．
D．－
B　解析：sin
45°cos
15°＋cos
225°sin
165°＝sin
45°·cos
15°＋(－cos
45°)sin
15°＝sin(45°－15°)＝sin
30°＝.
3．cos2－sin2＝________.
　解析：根据二倍角公式有cos2－sin2＝cos
＝.
4．化简：＝________.
4sin
α　解析：原式＝＝＝4sin
α.
5．若tan
α＝，tan(α＋β)＝，则tan
β＝________.
　解析：因为tan
α＝，tan(α＋β)＝，所以tan
β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
考点1　公式的简单应用——基础性
1．(2020·山东九校联考)已知点A在圆x2＋y2＝4上，且∠xOA＝π，则点A的横坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：设点A(x0，y0)，因为点A在圆上，所以x＋y＝4.因为∠xOA＝π，cos＝cos＝cos·cos－sinsin＝.
又因为cos
∠xOA＝，即cos
＝，所以x0＝.故选A.
2．(2020·沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”，在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin
18°，则＝(　　)
A．4
B．＋1
C．2
D．－1
C　解析：由题意，2sin
18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，
则
＝
＝
＝＝2.
3.－＝(　　)
A．4
B．2
C．－2
D．－4
D　解析：－＝－＝＝＝＝－4.
4．(2020·全国卷Ⅱ)若sin
x＝－，则cos
2x＝________.
　解析：因为sin
x＝－，所以cos
2x＝1－2sin2x＝.
应用三角恒等变换公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
考点2　三角函数的化简求值问题——综合性
考向1　给值求值问题
(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α＝
(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：由3cos
2α－8cos
α＝5，得6cos2α－8cos
α－8＝0，即3cos2α－4cos
α－4＝0，解得cos
α＝－或cos
α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin
α＝＝.故选A.
(2)(2020·山东师范大学附中高三质评)若sin
θ＝cos(2π－θ)，则tan
2θ＝
(　　)
A．－
B．
C．－
D．
C　解析：因为sin
θ＝cos
(2π－θ)＝cos
θ，所以tan
θ＝，所以tan
2θ＝＝＝－.故选C.
(3)若α∈，且3cos
2α＝sin，则sin
2α的值为________．
－　解析：cos
2α＝sin
＝sin
＝2sincos.
代入原式，得6sincos＝sin.
因为α∈，所以cos＝，所以sin
2α＝cos
＝2cos2
－1＝－.
给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考向2　给值求角问题
已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
　解析：因为0<β<α<，
所以0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝＝.
因为cos
α＝，0<α<，
所以sin
α＝.
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
α·cos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)根据条件确定所求角的范围．
(2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
1．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin
2α＝cos
2α＋1，则sin
α＝(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：由2sin
2α＝cos
2α＋1，得4sin
αcos
α＝2cos2α.又因为α∈，所以2sin
α＝cos
α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin
α＝.
2．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)
A．
B．或－
C．－或
D．－
D　解析：由题意得tan
α＋tan
β＝－3＜0，tan
αtan
β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan
α＜0，tan
β＜0.又由α，β∈，得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
3．(2020·泰安高三一轮检测)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
－　解析：因为α，β∈，所以α＋β∈，β－∈.因为sin
(α＋β)＝－，sin＝，所以cos(α＋β)＝，cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
考点3　角的变换与式的变换——综合性
考向1　角的变换
(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin
θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：因为sin
θ＋sin
＝sin
θ＋sin
θcos
＋cos
θsin
＝sin
θ＋sin
θ＋cos
θ
＝sin
θ＋cos
θ
＝
＝sin
＝1，
所以sin
＝＝.故选B.
(2)(2020·济南一模)已知cos＝，则－sin2的值为________．
　解析：－sin2＝－＝－＝.
(3)化简：
＝________.
1　解析：
＝
＝＝＝1.
本例(2)中条件改为“cos(75°＋α)＝”，求cos(30°－2α)的值．
解：因为cos(75°＋α)＝，
所以sin(15°－α)＝cos(75°＋α)＝，
所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2×2＝.
应用角的变换求值策略
解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．
考向2　式的变换
计算：－sin
10°.
解：原式＝－sin
10°
＝－sin
10°·
＝－sin
10°·
＝－2cos
10°
＝
＝
＝
＝＝.
应用式的变换求值策略
解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦函数化为正切函数，或者把正切函数化为正弦、余弦函数．
1．设α∈，β∈，且tan
α＝，则(　　)
A．3α－β＝
B．2α－β＝
C．3α＋β＝
D．2α＋β＝
B　解析：由tan
α＝，得＝，
即sin
αcos
β＝cos
α＋cos
αsin
β，
所以sin(α－β)＝cos
α＝sin.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈，－α∈，
由sin
(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
所以2α－β＝.
2．(2020·百校联盟1月联考)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin
α＝(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<.
又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝－.
因为cos
2α＝1－2sin2α＝－，所以sin2α＝.
因为sin
α>0，所以sin
α＝.故选A.
考点4　三角恒等变换的综合应用——应用性
已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin
2x＋cos
4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f
＝，求tan的值．
解：(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)·sin
2x＋cos
4x＝cos
2xsin
2x＋cos
4x
＝(sin
4x＋cos
4x)
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)因为f＝，
所以sin＝1.
又α∈(0，π)，所以－＜α－＜.
所以α－＝.故α＝.
因此，tan＝＝＝2－.
三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将f(x)化为asin
x＋bcos
x的形式．
(2)构造f(x)＝.
(3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)．
(4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
1．(2020·北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos
x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
　解析：因为f(x)＝cos
φsin
x＋(sin
φ＋1)·cos
x＝sin(x＋θ)，
其中tan
θ＝，所以＝2，解得sin
φ＝1，故可取φ＝.
2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin
2α－tan
α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos
α－sin(x－α)·sin
α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．
解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，
所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－.
所以sin
2α－tan
α＝2sin
αcos
α－tan
α＝－＋＝－.
(2)因为f(x)＝cos(x－α)cos
α－sin(x－α)sin
α＝(cos
xcos
α＋sin
xsin
α)·cos
α－(sin
xcos
α－cos
xsin
α)sin
α＝cos
xcos2α＋cos
xsin2α＝cos
x，
所以g(x)＝cos－2cos2x
＝sin
2x－1－cos
2x
＝2sin－1.
因为0≤x≤，
所以－≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
所以－2≤2sin－1≤1.
故函数g(x)在区间上的值域是[－2,1]．
已知＝－，求sin的值．
[四字程序]
读
想
算
思
求sin的值
1.解答本题可能会用到哪些公式？2．条件中既有“切”又有“弦”，如何处理？
三角恒等变换
1.转化与回归；2．数形结合
＝－
1.两角和的正弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系等；2．通常要切化弦
sin＝(sin
2α＋cos
2α)
1.弦切互化及“1”的代换；2．拆角凑角；3．构造图形
思路参考：利用同角三角函数关系求值．
解：由＝＝－，解得tan
α＝－或tan
α＝2.
当tan
α＝－时，α可能为第二象限角或第四象限角．
若α为第二象限角，
sin
α＝，cos
α＝－，
所以sin
2α＝－，cos
2α＝.
若α为第四象限角，则
sin
α＝－，cos
α＝，
sin
2α＝－，cos
2α＝.
把sin
2α＝－，cos
2α＝代入求值，
得sin＝(sin
2α＋cos
2α)＝.
当tan
α＝2时，α可能为第一象限角或第三象限角．
若α为第一象限角，则
sin
α＝，cos
α＝，
所以sin
2α＝，cos
2α＝－.
若α为第三象限角，则
sin
α＝－，cos
α＝－，
所以sin
2α＝，cos
2α＝－.
把sin
2α＝，cos
2α＝－代入求值，
sin＝(sin
2α＋cos
2α)＝.
所以sin＝.
思路参考：根据万能公式sin
2α＝，cos
2α＝求值．
解：由＝＝－，
解得tan
α＝－或tan
α＝2.
根据公式sin
2α＝，cos
2α＝，
可得当tan
α＝－时，sin
2α＝－，cos
2α＝；
当tan
α＝2时，sin
2α＝，cos
2α＝－，两种情况的结果都是sin＝(sin
2α＋cos
2α)＝.
思路参考：利用同角三角函数基本关系中“1”的代换．
解：由＝＝－，
解得tan
α＝－或tan
α＝2.
sin＝(sin
2α＋cos
2α)
＝(2sin
αcos
α＋cos2α－sin2α)
＝×
＝×.
将tan
α＝－或tan
α＝2代入上式均有sin＝.
思路参考：把正切转化为正弦、余弦的比值，得到α与α＋的正余弦值的关系．
解：因为＝＝－，
所以sin
αcos＝－cos
α·sin.①
又＝－α，
所以sin＝sin
＝sincos
α－cossin
α
＝.②
由①②，得sin
αcos＝－，
cos
αsin＝，
把2α＋拆分为α＋，可得
sin＝sin
＝sin
αcos＋cos
αsin＝.
思路参考：令α＋＝β，则2α＋＝α＋β.
将原问题进行转化，然后构造几何图形求解．
解：令α＋＝β，则2α＋＝α＋β.
原题可转化为：
已知＝－，求sin(α＋β)的值．
如图，构造Rt△ABC，其中BC＝1，CD＝2，AD＝1，tan
α＝，tan
β＝－，sin(α＋β)＝sin
θ，满足题意．
在△ABD中，BD＝，AB＝，AD＝1，
由余弦定理得
cos
θ＝
＝＝.
所以sin(α＋β)＝sin
θ＝＝＝.
1．本题考查两角和的正弦、正切公式，三角恒等变换，基本解题方法是利用有关公式直接求值(如解法1)．也可根据题目条件恰当选用“1”的代换、拆角凑角、数形结合等方法．在求解过程中，注意综合运用数学思想方法分析与解决问题．
2．基于课程标准，解答本题一般需要掌握运算求解能力、转化化归能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题涉及两角和的正弦、正切公式等知识，渗透着转化与化归、数形结合等思想方法，有一定的综合性，对培养创造性思维能力起到了积极的作用．
若tan＝3，则＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．3
B．－3
C.
D．－
A　解析：(方法一)因为tan＝＝3，所以tan
θ＝－.所以＝＝＝＝3.
(方法二)同方法一求得tan
θ＝－.
因为sin
2θ＝＝＝－，
cos
2θ＝＝＝.
所以＝＝3.第4节　三角函数的性质与图像
一、教材概念·结论·性质重现
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图像上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图像
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增；在上单调递减(k∈Z)
在[2kπ，2kπ＋π]上递减；在[2kπ－π，2kπ]上单调递增(k∈Z)
在(k∈Z)上单调递增
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
无
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin
t的相应单调区间求解．
(2)表示单调区间时，不要忘记k∈Z.
3．常用结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)y＝sin
x在第一、第四象限单调递增．(
×
)
(2)由sin＝sin
，知是正弦函数y＝sin
x(x∈R)的一个周期．(
×
)
(3)已知y＝ksin
x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(
×
)
(4)若sin
x>，则x>.(
×
)
2．函数y＝tan的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：由3x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠－＋，k∈Z.
3．若函数f(x)＝－cos
2x，则f(x)的一个单调递增区间为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
B　解析：由f(x)＝－cos
2x知单调递增区间为，k∈Z，故只有B满足．
4．若函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是________．
　解析：若函数为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．因为0≤φ≤π，所以φ＝.
5．y＝3sin在区间上的值域是________．
　解析：当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
考点1　三角函数的定义域——基础性
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A　解析：要使函数f(x)＝有意义，则
所以(k∈Z)，
即
所以x≠，n∈Z.
所以函数f(x)＝的定义域为.
2．函数y＝lg(2sin
x－1)＋的定义域是________．
，k∈Z　解析：要使函数y＝lg(2sin
x－1)＋有意义，
则即
解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.
即函数的定义域为，k∈Z.
求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，有时候还需要借助三角函数图像求解．
考点2　三角函数的值域或最值——综合性
(1)函数y＝3－2cos，x∈的值域为________．
[1,4]　解析：因为≤x≤，
所以0≤2x－≤，
所以－≤cos≤1，
所以1≤3－2cos≤4.
所以函数的值域为[1,4]．
(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos
x的最小值为________．
－4　解析：f(x)＝sin－3cos
x＝－cos
2x－3cos
x＝－2cos2x－3cos
x＋1.
令cos
x＝t，t∈[－1,1]，
则f(t)＝－2t2－3t＋1＝－22＋.
易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.
故f(x)的最小值为－4.
求三角函数的值域(最值)常见的三种类型
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1．当0A．　　　　
B．　　　　
C．2　　　　
D．4
D　解析：分子、分母同时除以cos2x，得f(x)＝.
因为0x<1.
因为tan
x－tan2x＝－2＋，
所以当tan
x＝时，tan
x－tan2x取得最大值.所以f(x)＝的最小值是4.
2．已知函数f(x)＝sin，其中x∈.若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
　解析：因为x∈，所以x＋∈.
当x＋∈时，f(x)的值域为，
所以由函数的图像(图略)知，≤a＋≤，所以≤a≤π.
考点3　三角函数的单调性——应用性
考向1　求三角函数的单调区间
(1)已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递减区间为_____________．
，　解析：f(x)＝4sin
＝－4sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．因为x∈[－π，0]，所以函数f(x)的单调递减区间为，.
(2)函数y＝|tan
x|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
，k∈Z　，k∈Z
解析：作出函数y＝|tan
x|的图像，如图．
观察图像可知，函数y＝|tan
x|的单调递增区间为，k∈Z；单调递减区间为，k∈Z.
已知三角函数解析式求单调区间的方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解．
(2)图像法：画出三角函数的图像，结合图像求函数的单调区间．
考向2　已知三角函数的单调性求参数
已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
　解析：由0，得＋<ωx＋<ωπ＋.
又y＝sin
x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z，且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是________．
　解析：函数y＝cos
x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z.
又由4k－－≤0，k∈Z，且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤
首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；
其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；
另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．
1．(2020·咸阳一模)函数y＝cos的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
C　解析：由2kπ－π≤πx－≤2kπ，k∈Z，得2k－≤x≤2k＋，k∈Z.
所以函数y＝cos的单调递增区间是(k∈Z)．
2．若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　)
A．
B．
C．
D．π
A　解析：f(x)＝cos
x－sin
x＝－sin.当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，则f(x)＝－sin单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]上单调递减，所以[－a，a]?，所以0所以a的最大值是.
考点4　三角函数的周期性、奇偶性、对称性综合——综合性
考向1　三角函数的周期性和奇偶性
(1)(2020·浙江卷)函数y＝xcos
x＋sin
x在区间[－π，π]的图像大致为(　　)
A
B
C
D
A　解析：因为f(x)＝xcos
x＋sin
x，所以f(－x)＝－xcos
x－sin
x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，函数图像关于坐标原点对称，可知选项C、D错误；
当x＝π时，y＝πcos
π＋sin
π＝－π<0，可知选项B错误．故选A.
(2)(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2
B．
C．1
D．
A　解析：由x1＝，x2＝是f(x)＝sin
ωx的两个相邻的极值点，可得＝－＝，则T＝π＝，得ω＝2.故选A.
(3)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A．
B．
C．π
D．2π
C　解析：由已知得f(x)＝＝＝＝sin
x·cos
x＝sin
2x，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
考向2　三角函数图像的对称性
(1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像(　　)
A．关于点对称　　
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
B　解析：因为函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)图像的对称轴为＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；函数f(x)图像的对称中心的横坐标为＋＝kπ，k∈Z，解得x＝2kπ－π(k∈Z)．故选B.
(2)(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin
x＋有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称；
②f(x)的图像关于原点对称；
③f(x)的图像关于直线x＝对称；
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
②③　解析：要使函数f(x)＝sin
x＋有意义，则有sin
x≠0，所以x≠kπ，k∈Z，所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin
x－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图像关于原点对称．
所以①是假命题，②是真命题．
对于③，要说明f(x)的图像关于直线x＝对称，只需说明f＝f.
因为f
＝sin
＋＝cos
x＋，f
＝sin＋＝cos
x＋，
所以f
＝f
，所以③是真命题．
令sin
x＝t，－1≤t≤1且t≠0，
所以g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图像如图所示(对勾函数图像的一部分)，所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
所以函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.所以④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法
求三角函数图像的对称轴及对称中心，需先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ整体看成一个变量z.若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，则只需令z＝ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解出x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，则只需令z＝ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，解出x.
1．(多选题)设函数f(x)＝cos，则(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
AB　解析：因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．
因为f(x)图像的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，对称轴是直线x＝，B项正确．
f(x＋π)＝cos，将x＝代入，f＝cos
≠0，所以x＝不是f(x＋π)的零点，C项错误．
因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，单调递增区间为(k∈Z)，所以是单调递减区间，是单调递增区间，D项错误．
2．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为_______．
　解析：因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及简单应用
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
用“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的.
3．由函数y＝sin
x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法
先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，左右平移的量是|φ|个单位长度，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，左右平移的量是个单位长度．
4．明确以下两个关系
(1)函数的周期与图像的对称性之间的关系．
①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期；
②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期．
(2)对称轴(对称中心)与函数值的关系．
在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程?f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心?f(x0)＝0，g(x0)＝0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)将y＝sin
2x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像．(
×
)
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(
×
)
(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．(
√
)
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(
√
)
2．已知函数f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则该函数的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．6，
B．6，
C．6π，
D．6π，
A　解析：由已知得2sin
φ＝1，所以sin
φ＝.又|φ|＜，故φ＝.因此f(x)＝2sin，且T＝＝6.
3．为了得到y＝3cos的图像，只要把y＝3cos的图像上所有点的
(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D　解析：y＝3cos图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到y＝3cos的图像．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.
3　解析：观察函数图像可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3.
考点1　由图像确定y＝Asin?ωx＋φ?的解析式——基础性
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图像如图，则函数的解析式为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y＝2sin＋1
B．y＝2sin＋1
C．y＝2sin＋1
D．y＝2sin＋1
D　解析：结合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图像，可得A＝＝2，b＝1，×＝－，所以ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，解得φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin＋1.故选D.
2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图像如图，则
f
＝(　　)
A．2＋
B．
C．
D．2－
B　解析：由图像可知，T＝2×＝，所以ω＝2，所以f(x)＝Atan(2x＋φ)．因为函数过点，所以0＝Atan.又|φ|＜，所以φ＝.又f(0)＝1，所以Atan
＝1，解得A＝1，所以f(x)＝tan，
所以f
＝tan＝tan
＝.
3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
D　解析：由图像知，周期T＝2×＝2，所以＝2，所以ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z.不妨取φ＝，所以f(x)＝cos.由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.
由图像确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点在递增区间上还是在递减区间上)或把图像的最高点(最低点)的坐标代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．
考点2　函数y＝Asin?ωx＋φ?的图像变换——综合性
将函数f(x)＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
D　解析：由函数f(x)＝2sin得周期T＝＝π.将函数f(x)＝2sin的图像向右平移个周期，即为函数f(x)的图像向右平移个单位长度，得y＝
f
＝2sin＝2sin.
本例条件不变，将函数f(x)的图像平移后所得图像再向右平移θ(θ＞0)个单位长度，可得函数g(x)的图像．若y＝g(x)的图像关于y轴对称，则θ的最小值为________．
　解析：由y＝2sin得g(x)＝2sin.又y＝g(x)的图像关于y轴对称，则－2θ－＝kπ＋，k∈Z，所以θ＝－－.又θ＞0，所以k＜－，即当k＝－1时，θmin＝.
三角函数图像平移变换问题的关键及解题策略
(1)确定函数y＝sin
x经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，即按“左加右减”的原则进行．
(2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位．
1．(2020·威海一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的最小正周期为π，且其图像向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos
ωx的图像，则φ＝(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以＝π，ω＝2.将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin＝cos
2x的图像，所以φ－＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为－π<φ<π，所以φ＝.故选D.
2．(2020·天津卷)已知函数f(x)＝sin.给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为2π；
②f
是f(x)的最大值；
③把函数y＝sin
x的图像上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图像．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
B　解析：因为f(x)＝sin，所以周期T＝＝2π，故①正确；
f
＝sin＝sin＝≠1，故②不正确；
将函数y＝sin
x的图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，故③正确．故选B.
3．若ω＞0，将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sin
ωx的图像重合，则ω的最小值为________．
　解析：将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图像．因为所得函数图像与函数y＝sin
ωx的图像重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)．因为ω＞0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.
考点3　三角函数模型及其应用——应用性
某港口某天0时至24时的水深y(单位：米)随时间x(单位：时)的变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin＋3.24(ω>0)．若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(　　)
A．16时
B．17时
C．18时
D．19时
D　解析：由题意知，x＝0时，
y＝0.5sin
＋3.24＝3.49.
由五点法作图知，
如果当x＝16时，函数取得最小值，则16ωπ＋＝，得ω＝，
此时函数y＝0.5sin＋3.24，
函数的周期为T＝＝≈14.
该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻水深为3米．
如果当x＝19时，函数取得最小值，则19ωπ＋＝，得ω＝.
此时函数y＝0.5sin＋3.24，
函数的周期为T＝＝，x＝24时，
y＝0.5sin＋3.24>3，如图：
该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻的水深为3米，不满足题意．故选D.
三角函数模型在实际应用中的两种类型
(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系．
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7
000元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9
000元，9月份价格最低为5
000元，则7月份的出厂价格为________元．
6
000　解析：作出函数简图．
由题意知，A＝2
000，B＝7
000，
T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝.
将(3,9
000)看成函数图像的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，所以φ＝0，
故f(x)＝2
000sin
x＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)．
所以f(7)＝2
000×sin
＋7
000＝6
000.
故7月份的出厂价格为6
000元．
2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的平均气温最高，为28
℃，12月份的平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温为________℃.
20.5　解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos.当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
考点4　三角函数图像与性质的综合问题——综合性
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．若f(0)＝，且·＝－8，B，C分别为最高点与最低点．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由f(0)＝，得2sin
φ＝，即sin
φ＝.
又因为|φ|<，所以φ＝.
由题意知，＝，＝，
则·＝－8＝－8，所以T＝π.
故ω＝2，所以f(x)＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由题意将f(x)的图像向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，
所以g(x)＝f
＝2sin
＝2sin.
因为x∈，
所以2x＋∈，sin∈.
所以，当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取得最大值；
当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取得最小值－2.
三角函数图像和性质综合问题的解题策略
(1)图像变换问题
先根据和差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图像变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用公式T＝(ω＞0)求周期；
②根据自变量的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值．
1．(2020·泰安模拟)函数g(x)＝sin
ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图像关于直线x＝对称
B．f(x)在(0,2π)上只有3个极大值点，f(x)在(0,2π)上只有2个极小值点
C．f(x)在(0,2π)上单调递增
D．ω的取值范围是
D　解析：函数g(x)＝sin
ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)＝sin的图像．
已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，
当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，
所以2ωπ＋∈[5π，6π)，所以ω∈.故D正确．
因此只有满足ωx＋＝，，的x是f(x)在(0,2π)上的极大值点，共3个；只有满足ωx＋＝，的x是f(x)在(0,2π)上的极小值点，但当ω接近时，ωx＋＝<6π，也是一个极小值点，这时有3个极小值点，故B不正确．
当x＝时，f
＝sin，
又因为ω∈，所以ω＋∈，
f
不一定能取到最小值或最大值，所以x＝不一定为对称轴，故A不正确．如果函数f(x)在(0,2π)上单调递增，这与f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点矛盾，故C不正确．故选D.
2．已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos
x＋sin
x＝2sin，
于是T＝2π.
(2)由已知得g(x)＝f
＝2sin.
因为x∈[0，π]，
所以x＋∈，
所以sin∈，
所以g(x)＝2sin∈[－1,2]．
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.
将函数y＝cos
x＋sin
x(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
[四字程序]
读
想
算
思
求m的最小值
1.解析式如何变形？2．平移变换的规则是什么？3．图像关于y轴对称说明了什么？
1.三角恒等变换；2．图像的对称轴方程
转化与化归
向左平移，图像关于y轴对称
1.辅助角公式；2．左加右减；3．在x＝0处取得最值
y＝2sin或y＝2cos
1.平移变换前后，解析式之间的关系；2．正弦(或余弦)型函数图像的对称性
思路参考：构造正弦型函数的解析式．
B　解析：y＝cos
x＋sin
x＝2sin，函数的图像向左平移m(m>0)个单位长度，得y＝2sin.由x＋m＋＝kπ＋(k∈Z)，得函数y＝2sin的图像的对称轴为x＝－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图像关于y轴对称，所以－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)，则m的最小值为.
思路参考：构造余弦型函数的解析式．
B　解析：y＝cos
x＋sin
x＝2cos，向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2cos.因为此函数图像关于y轴对称，所以y＝2cos为偶函数，易知m的最小值为.
思路参考：根据图像对称轴与函数最值的关系．
B　解析：由解法1，得y＝2sin.因为所得的图像关于y轴对称，可得f(0)＝±2，进而sin＝±1，易知m的最小值为.
思路参考：利用函数图像．
B　解析：y＝cos
x＋sin
x＝2sin，可得此函数图像的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－.由图像向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为.
1．本题考查三角恒等变换、三角函数的图像和性质，基本解题方法是依据在对称轴处函数值或函数的奇偶性列方程或利用图像．重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法．
2．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图像与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．
将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图像关于原点对称，则函数f(x)在的最大值为(　　)
A．0
B．
C．
D．1
D　解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图像．根据所得图像关于原点对称，可得＋φ＝kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin.
在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1.第6节　正弦定理与余弦定理
一、教材概念·结论·性质重现
1．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
正弦定理的变形公式：
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C.
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．余弦定理
三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍．即
a2＝b2＋c2－2bccos
A，
b2＝a2＋c2－2accos
B，
c2＝a2＋b2－2abcos
C.
余弦定理的推论：
cos
A＝，cos
B＝，
cos
C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin
A＝acsin
B＝absin
C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
4．常用结论
在△ABC中，常用以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin(A＋B)＝sin
C；cos(A＋B)＝－cos
C；tan(A＋B)＝－tan
C；sin
＝cos
；cos
＝sin
.
(5)tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
A·tan
B·tan
C.
(6)A>B?a>b?sin
A>sin
B?cos
AB.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(
√
)
(2)在△ABC中，＝.(
√
)
(3)在△ABC中，a2＋b2>c2是△ABC为锐角三角形的必要不充分条件．(
√
)
(4)在△ABC中，若sin
Asin
BAcos
B，则此三角形是钝角三角形．(
√
)
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝(　　)
A．
B．
C．2
D．3
D　解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos
A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)．故选D.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若a＝2bcos
C，则此三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
C　解析：在△ABC中，因为cos
C＝，所以a＝2bcos
C＝2b·，所以a2＝a2＋b2－c2，所以b＝c，
所以此三角形一定是等腰三角形．
4．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝(　　)
A.
B.
C.
D.1
B　解析：根据正弦定理＝，有＝，得sin
B＝.故选B.
5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°.若三角形有两解，则边b的取值范围是________．
(2,2)　解析：如图，△ABC有两解的充要条件是bsin
45°<2考点1　利用正弦定理、余弦定理解三角形——基础性
1．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则cos
B＝
(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C.　　
D.
A　解析：由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
C
＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3.
又由余弦定理可知
cos
B＝＝＝.
2．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin
A－bsin
B＝4csin
C，cos
A＝－，则＝(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
A　解析：因为asin
A－bsin
B＝4c·sin
C，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos
A＝＝＝＝－，所以＝6.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
75°　解析：由正弦定理，得sin
B＝＝＝.因为0°＜B＜180°，且b＜c，所以B＜C，故B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.
4．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin
A＋acos
B＝0，则B＝________.
　解析：因为bsin
A＋acos
B＝0，
所以＝.
由正弦定理＝，得－cos
B＝sin
B，
所以tan
B＝－1.又B∈(0，π)，所以B＝.
利用正、余弦定理解三角形的策略
(1)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形，可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数；用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角进行判断．结合图像求解较为直观易解．
考点2　判断三角形的形状——应用性
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
B　解析：因为bcos
C＋ccos
B＝asin
A，由正弦定理得sin
Bcos
C＋sin
C·cos
B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sin
A＝sin2A.又sin
A>0，所以sin
A＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形．
若本例条件变为＝，判断△ABC的形状．
解：由＝，
得＝，
所以sin
Acos
A＝cos
Bsin
B，
所以sin
2A＝sin
2B.
因为A，B为△ABC的内角，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1．判断三角形形状的常用途径
2．判断三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中，要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．在等式变形时，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
1．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
A　解析：由cos
B＝1－2sin2得sin2＝，
所以＝，即cos
B＝.
(方法一)由余弦定理得cos
B＝＝，即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形．又无法判断两直角边是否相等．故选A.
(方法二)由正弦定理得cos
B＝，又sin
A＝sin
(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
B·sin
C，所以cos
Bsin
C＝sin
Bcos
C＋cos
B·sin
C，即sin
Bcos
C＝0.又sin
B≠0，所以cos
C＝0.又角C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形．又因为无法判断两直角边是否相等．故选A.
2．给出下列命题：
①若tan
Atan
B>1，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形．
其中正确命题的序号为________．
②③　解析：①因为tan
Atan
B>1，且A，B为三角形内角，所以tan
A>0，tan
B>0，所以A，B均为锐角．又因为－tan
C＝tan(A＋B)＝<0，所以tan
C>0，所以C为锐角，所以△ABC不是钝角三角形，故①错误．
②由正弦定理及条件，得a2＋b2＝c2，
所以△ABC一定为直角三角形，故②正确．
③由cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1及A，B，C为三角形内角，可得cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，所以A＝B＝C.故③正确．
考点3　三角形的面积——综合性
(2020·广东化州二模)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c.若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos
C，则c＝(　　)
A．2
B．2
C．4
D．3
B　解析：因为＝＝＝1，
所以2cos
C＝1，所以C＝60°.若S△ABC＝2，则absin
C＝2，所以ab＝8.因为a＋b＝6，所以c2＝a2＋b2－2ab·cos
C＝(a＋b)2－2ab－ab＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.故选B.
(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin
A＋sin
C＝，求C.
解：(1)由余弦定理得a2＋c2－2accos
B＝b2，
将a＝c，b＝2，B＝150°代入，
可得(c)2＋c2－2×c×ccos
150°＝(2)2，
整理得7c2＝28，解得c＝2.
所以a＝2.
所以S△ABC＝acsin
B＝×2×2×＝.
(2)因为A＋B＋C＝π，
所以sin
A＝sin(B＋C)．
又因为sin
A＋sin
C＝，
所以sin(B＋C)＋sin
C＝，
所以sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＋sin
C＝.
将B＝150°代入，
整理得cos
C＋sin
C＝，
即sin(C＋30°)＝.
因为B＝150°，所以0°＜C＜30°，
即0°＜C＋30°＜60°，
所以C＋30°＝45°，解得C＝15°.
求解三角形面积问题的方法技巧
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．
总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
1．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
6　解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B.
又因为b＝6，a＝2c，B＝，
所以36＝4c2＋c2－2×2c2×，
所以c＝2，a＝4，
所以S△ABC＝acsin
B＝×4×2×＝6.
2．(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.
－　解析：AB⊥AC，AB＝，AC＝1，
由勾股定理得BC＝＝2.
同理得BD＝，所以BF＝BD＝，
在△ACE中，AC＝1，AE＝AD＝，∠CAE＝30°，
由余弦定理得CE2＝AC2＋AE2－2AC·AEcos
30°＝1＋3－2×1××＝1，
所以CF＝CE＝1，
在△BCF中，BC＝2，BF＝，CF＝1，
由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－.
3．(2020·菏泽高三联考)在①B＝，②a＝2，③bcos
A＋acos
B＝＋1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．
已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S.若4S＝b2＋c2－a2，b＝，且________，求△ABC的面积S的大小．
解：因为4S＝b2＋c2－a2，cos
A＝，S＝bcsin
A.
所以2bcsin
A＝2bccos
A.
显然cos
A≠0，所以tan
A＝1.
又A∈，所以A＝.
若选①，B＝，由＝，得a＝＝＝2.
又sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以S＝absin
C＝×2××＝.
若选②，a＝2，由＝，得sin
B＝＝＝.
因为B∈，所以cos
B＝.
又sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以S＝absin
C＝×2××＝.
若选③，bcos
A＋acos
B＝＋1，所以acos
B＝1，
即a·＝1，所以a2＝6＋2c－c2.
又a2＝6＋c2－2c×＝6＋c2－2c，
所以6＋2c－c2＝6＋c2－2c，解得c＝＋1.
所以S＝bcsin
A＝××(＋1)×sin
＝.
已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＋2c2＝8，则三角形ABC面积的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
[四字程序]
读
想
算
思
△ABC面积的最大值
1.面积的表达式；2．以谁为变量？
用适当的变量表示S
转化与化归
a2＋b2＋2c2＝8
1.S＝ah；2．S＝absin
C；3．边作变量；4．角作变量；5．海伦公式
S2＝a2b2·(1－cos2C)；S≤
1.均值不等式；2．函数最值；3．三角函数的性质
思路参考：余弦定理＋角化边＋二次函数的最值．
B　解析：因为a2＋b2＋2c2＝8，即a2＋b2＝8－2c2，
所以S2＝a2b2sin2C
＝a2b2(1－cos2C)
＝a2b2
＝a2b2－
≤2－
＝－＋c2
＝－2＋，
故当a2＝b2＝，c2＝时，S2有最大值，
所以△ABC面积的最大值为.
思路参考：设高转化，利用均值不等式．
B　解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
设AD＝m，BD＝n，CD＝h.
因为a2＋b2＋2c2＝8，所以m2＋n2＋2h2＋2c2＝8.
因为m2＋n2≥＝，当且仅当m＝n时取等号．
故m2＋n2＋2h2＋2c2≥＋2h2＋2c2＝＋2h2≥2ch＝4S，
所以S≤，当且仅当m＝n，c＝h时取等号．
所以△ABC面积的最大值为.
思路参考：利用海伦公式S＝＋均值不等式．
B　解析：设p＝(a＋b＋c)，则p－a＝(b＋c－a)，p－b＝(a＋c－b)，p－c＝(a＋b－c)．
所以S＝
＝
＝.
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以S＝.
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以4a2b2≤(a2＋b2)2
＝(8－2c2)2.
所以S≤＝.
当c2＝时，S2有最大值.
所以△ABC面积的最大值为.
思路参考：建系设点．
B　解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．
不妨令x1>0，y2>0，设A(－x1,0)，
B(x1,0)，C(x2，y2)．
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以(x1－x2)2＋y＋(x1＋x2)2＋y＋8x＝8，
所以5x＋x＋y＝4.
因为S＝x1y2，所以2S≤5x＋y＝4－x≤4.
所以S≤，当且仅当x2＝0,5x＝y＝2时取等号．
所以△ABC面积的最大值为.
1．本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助于三角函数的性质求最值，对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元．
2．基于课程标准，解答本题一般需要熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解：(1)由正弦定理和已知条件sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C，
得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos
A．②
由①②得cos
A＝－.
因为0(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin
B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos
B－sin
B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin
B＋3cos
B＝3＋2sin.
又0一、教材概念·结论·性质重现
1．实际测量中的有关名词、术语
名称
定义
图示
基线
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
铅垂平面
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
α为坡角
坡比
坡面的垂直高度与水平宽度之比
坡比：i＝
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角
2．方位角
从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．
方位角的取值范围：0°～360°.
东北方向是北偏东45°或东偏北45°的方向．
3．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
解三角形应用问题的步骤
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　√　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)
(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　×　)
(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是.(　×　)
2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
D　解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，
又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
3．已知A，B两地间的距离为10
km，B，C两地间的距离为20
km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　)
A．10
km
B．10
km
C．10
km
D．10
km
D　解析：由余弦定理得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos
120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．
4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D.若测得CD＝
km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________
km.
　解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝
km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin
30°＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
45°＝＋－2×××＝.所以AB＝
km.所以A，B两点间的距离为
km.
5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40
m，则电视塔的高度为________．
40
m　解析：设电视塔的高度为x
m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos
120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40
m.
考点1　解三角形的实际应用——应用性
考向1　测量距离问题
如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1
km，AC＝3
km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1
250
m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)
解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1
km.
因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝
km.
在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos
150°，
得9＝3＋CD2＋2××CD.
即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝
km，
BC＝BD＋CD＝(km)．
两个小时小王和小李可徒步攀登1
250×2＝2
500(m)，即2.5
km，
而<＝＝2.5，
所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．
1．若将本例条件“BD＝1
km，AC＝3
km”变为“BD＝200
m，CD＝300
m”，其他条件不变，求这条索道AC的长．
解：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.
因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.
由正弦定理，得＝，
所以＝.
所以AD＝＝200
(m)．
在△ABC中，DC＝300
m，∠ADC＝150°，
所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200)2＋3002－2×200×300×cos
150°＝390
000，所以AC＝100
m.
故这条索道AC长为100
m.
2．若将本例条件“∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1
km，AC＝3
km”变为“∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，AD＝100
m，作CO⊥AB，垂足为O，延长AD交CO于点E，且CE＝50
m，如图”，求角θ的余弦值．
解：在△ACD中，∠ADC＝135°，
∠CAD＝15°，所以∠ACD＝30°.
由正弦定理可得AC＝＝100.
在△ACE中，由正弦定理可得sin∠CEA＝＝－1，所以cos
θ＝cos＝sin∠CEA＝－1.
距离问题的解题思路
这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．
注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．
考向2　测量高度问题
如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100
m，汽车从B点到C点历时14
s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.
22.6　解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，
所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.
设这辆汽车的速度为v
m/s，则BC＝14v.
在Rt△ABD中，AB＝＝＝200.
在Rt△ACD中，AC＝＝＝100.
在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，
所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos
135°，所以v＝≈22.6，
所以这辆汽车的速度约为22.6
m/s.
解决高度问题的注意事项
(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．
(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．
1．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．15米
B．25米
C．35米
D．45米
B　解析：如图所示：
由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB.
设OP＝x，则OA＝x，OB＝x，
在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO，
即(x)2＝502＋x2－2×50x×，
所以x2＋25x－1
250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．
2．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”
)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”
)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，＝，即＝，
则AD＝.
在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin
73.5°，
所以AC＝.故选D.
考点2　正余弦定理在平面几何中的应用
(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.
(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；
(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC.
解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD
中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.
在△BCD中，由余弦定理可得，
cos
C＝
＝＝.
因为C为三角形的内角，故C＝，
所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，
S△BCD＝BC·CDsin
C＝××(1＋)×＝，
故四边形ABCD的面积S＝.
(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，
所以sin∠BDC＝＝.
因为∠ADC∈，
所以∠BDC∈，
所以cos∠BDC＝，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，
故∠ADB＝，
所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.
正余弦定理解平面几何问题的注意点
(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点．
(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．
(3)养成应用方程思想解题的意识．
1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)
A．7
km
B．8
km
C．9
km
D．6
km
A　解析：在△ACD中，由余弦定理得cos
D＝＝.
在△ABC中，由余弦定理得cos
B＝＝.
因为∠B＋∠D＝180°，所以cos
B＋cos
D＝0，即＋＝0，解得AC2＝49.
所以AC＝7.
2．(2021·八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.
(1)若AB＝，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.
解：(1)在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ABD＝＝.
∵CD∥AB，∴∠BDC＝∠ABD.
在△BCD中，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝，所以BC＝.
(2)设BC＝x，则AB＝2x.
在△ABD中，cos∠ABD＝＝＝x；
在△BCD中，cos∠BDC＝＝.
由(1)可知，∠BDC＝∠ABD，
所以，cos∠BDC＝cos∠ABD，即＝x，
整理可得x2＋2x－2＝0.解得x＝－1，其中x>0.
因此，cos∠BDC＝x＝－1.
考点3　解三角形与三角函数的综合问题
(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)sin－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)锐角△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)f(x)＝－sin
xcos
x－＝cos
2x－sin
2x＝－sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)因为△ABC为锐角三角形，
所以0又f(A)＝－sin＝－1，
所以2A－＝，即A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccos
A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．
又a＝2，所以bc≤4，
所以S△ABC＝bcsin
A≤.
即△ABC的面积的最大值为.
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤
已知函数f(x)＝sin
2x－cos2x－(x∈R)，设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0.
(1)求角C；
(2)若向量m＝(1，sin
A)与向量n＝(2，sin
B)共线，求△ABC的周长．
解：(1)f(x)＝sin
2x－cos2x－
＝sin
2x－cos
2x－1
＝sin－1.
因为f(C)＝sin－1＝0且C为三角形内角，所以C＝.
(2)若向量m＝(1，sin
A)与向量n＝(2，sin
B)共线，
则sin
B－2sin
A＝0.
由正弦定理得b＝2a，
由余弦定理得cos＝＝，
解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋.

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