资源简介

第4章
三角函数与解三角形
三角函数解析式中“ω”的求法
在三角函数的图像与性质中，求ω的值是高考命题中的一个热点，与其有关的问题灵活多样，涉及的知识点多，历来是复习的难点．
　利用三角函数的单调性求解ω
(2020·永州祁阳二模)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：令2kπ≤ωx－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得≤x≤(k∈Z)．
因为函数f(x)在上单调递减，
所以其中k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．
又因为函数f(x)在上单调递减，
所以T≥π?ω≤2.
又ω>0，所以k＝0，故有≤ω≤.故选B.
【点评】根据余弦函数的单调递减区间确定函数f(x)的单调区间，由此建立不等式，解不等式可得ω的取值范围．
若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)
A．
B．
C．2
D．3
B　解析：由题意知，函数f(x)在x＝处取得最大值1，所以sin
＝1，所以＝2kπ＋，k∈Z，得ω＝6k＋，k∈Z.当k＝0时，ω＝.
　利用三角函数的最值求解ω
设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f
对任意实数x都成立，则ω的最小值为________．
　解析：因为f(x)≤f
对任意x∈R恒成立，所以f
为f(x)的最大值．所以f
＝cos＝1，所以ω－＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋，k∈Z.又因为ω>0，所以当k＝0时，ω的最小值为.
设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f
＝2，f
＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－
D．ω＝，φ＝
A　解析：由f(x)的最小正周期大于2π，得>.
又f
＝2，f
＝0，得＝－＝，
所以T＝3π，则＝3π，解得ω＝.
所以f(x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sin.
由f
＝2sin＝2，
得sin＝1.
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
取k＝0，得φ＝<π，所以ω＝，φ＝.
　利用三角函数图像的对称性、周期性求解ω
设函数f(x)＝－sin2ωx－sin
ωxcos
ωx(ω>0)，且y＝f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，求ω的值．
解：f(x)＝－sin2ωx－sin
ωxcos
ωx＝－·－sin
2ωx＝cos
2ωx－sin
2ωx＝－sin.
因为y＝f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故该函数的周期T＝4×＝π.
又ω>0，所以＝π，因此ω＝1.
【点评】三角函数图像两条相邻对称轴或对称中心之间的水平间隔为，相邻对称轴和对称中心之间的水平间隔为，可以利用三角函数图像的对称性来研究周期性，进而可以求出ω的值．
函数f(x)＝3sin＋1(ω>0)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，则ω的值为________．
2　解析：因为f(x)＝3sin＋1图像相邻两条对称轴之间的距离为，ω>0，所以＝＝，所以ω＝2.第4章
三角函数与解三角形
三　多选题命题热点之三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质是高考考查的热点内容之一，且在多选题中出现频率较高，主要考查内容有：三角函数的奇偶性、周期性、单调性、图像的对称性、平移变换等．在考查时经常与三角恒等变换相结合，解题时要充分利用三角函数的图像及性质，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．
　三角函数的图像
(多选题)(2020·全国卷Ⅰ)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin　　　　　
B．sin
C．cos
D．cos
BC　解析：由函数图像知＝－＝，则ω＝＝＝2，所以A项不符合．
当x＝＝时，y＝－1，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的解析式为
y＝sin＝sin
＝cos＝sin，故BC正确．
而cos＝－cos，故D错误．故选BC.
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的策略
已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像求其解析式时，可以通过观察图得出A，求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)的坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
(多选题)(2020·菏泽模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋4φ)的部分图像如图所示．若函数f(x)的图像纵坐标不变，将横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，则(　　)
A．函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin
B．函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin
C．函数f(x)图像的一条对称轴是直线x＝－
D．函数g(x)在区间上单调递增
ABD　解析：由图可知，A＝2，＝π，所以T＝4π＝，得ω＝，所以f(x)＝2sin.将(0,1)代入得sin
4φ＝.因为0<φ<，所以4φ＝.
所以f(x)＝2sin，故A正确．
函数f(x)的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin，故B正确．
f
＝2sin＝0，不是最值，故x＝－不是函数f(x)图像的对称轴，C错误．
由x∈，得2x－∈.函数y＝sin
x在区间上单调递增．根据复合函数的单调性可知，函数g(x)在区间上单调递增，D正确．故选ABD.
　三角函数的性质
(多选题)已知函数f(x)＝Asin
ωx－cos
ωx(A>0，ω>0)，g(x)＝2sin
x．若对于?x1∈R，?x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，且f(x)在区间上的值域为[－1，]，则实数ω的取值可能是(　　)
A.
B.
C.1
D.
CD　解析：因为对于?x1∈R，?x2∈，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)max，即≤.因为f(x)在区间上的值域为[－1，]，所以f(x)max＝≥.综上，＝，得A＝1，此时f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝sin.因为f(x)在区间上的值域为[－1，]，即－1≤·sin≤，得－≤sin≤1.当x∈时，ωx－∈，所以≤ω－≤π＋，即1≤ω≤2.故选CD.
探求三角函数的性质策略
(1)正弦、余弦函数的最小正周期T＝2π，函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最小正周期是T＝；正切函数的最小正周期为T＝π，
函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的最小正周期是T＝.
(2)讨论三角函数的性质，应先把函数化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t＝ωx＋φ，转化为研究y＝Asin
t或y＝Acos
t的性质．
1．(多选题)(2020·山东模拟)若函数f(x)＝4sin
ωx·sin2＋cos
2ωx－1(ω>0)在上单调递增，则(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最小正周期T＝
C．ω的最大值为
D．ω没有最小值
BCD　解析：f(x)＝4sin
ωx·sin2＋cos
2ωx－1＝4sin
ωx＋cos
2ωx－1＝2sin
ωx＋2sin2ωx＋1－2sin2ωx－1＝2sin
ωx，为奇函数，包含原点的单调递增区间为.又f(x)在上单调递增，所以解得0<ω≤.综上所述，f(x)是奇函数，最小正周期T＝，ω的最大值是，ω没有最小值．故选BCD.
2．(多选题)(2020·威海一模)设函数f(x)＝2cos
2x－2－cos
2x，则(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的值域为
C．f(x)的一个周期为π
D．f
的图像关于点对称
BC　解析：对于A，函数f(x)＝2cos
2x－2－cos
2x是由y＝2t－2－t和t＝cos
2x复合而成．当x∈时，2x∈(0，π)，t＝cos
2x单调递减．又y＝2t－2－t在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)在上单调递减，故A错误．对于B，因为t＝cos
2x，所以t∈[－1,1]．又因为y＝2t－2－t单调递增，所以ymin＝2－1－2＝－，ymax＝2－2－1＝，所以f(x)的值域为，故B正确．对于C，因为f(x＋π)＝
2cos
2(x＋π)－2－cos
2(x＋π)＝2cos
2x－2－cos
2x＝f(x)，所以π是f(x)的一个周期，故C正确．对于D，设g(x)＝f＝2cos
2－2－cos
2＝2－sin
2x－2sin
2x.在f的图像上任取一点(x，g(x))，则(x，g(x))关于的对称点的坐标为，将代入g(x)，得g＝2－sin
2－2sin
2＝2－sin
2x－2sin
2x＝g(x)≠－g(x)，所以点不在函数f的图像上，所以f的图像不关于点对称，故D错误．故选BC.第4章
三角函数与解三角形
四　开放题命题热点之解三角形
数学开放题是高考的一种新题型，此类问题的核心是培养学生的创造意识和创新能力，激发学生独立思考和创新的意识．开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考．解三角形是开放性命题的热点之一．
　三角形中基本量的计算
(2020·全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin
A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin
A＝sin
B，C＝，________？
解：(方法一)由sin
A＝sin
B可得＝，
不妨设a＝m，b＝m(m>0)，
则c2＝a2＋b2－2abcos
C＝3m2＋m2－2×m×m×＝m2，即c＝m，所以b＝c.
选择条件①：
据此可得ac＝m×m＝m2＝，所以m＝1，此时a＝，b＝c＝1，三角形存在．
选择条件②：
据此可得cos
A＝＝＝－，所以A＝.
则sin
A＝，
所以csin
A＝m×＝3，所以m＝2，则b＝c＝2，a＝6，三角形存在．
选择条件③：
因为b＝c，与条件c＝b矛盾，所以问题中的三角形不存在．
(方法二)因为sin
A＝sin
B，C＝，B＝π－(A＋C)，
所以sin
A＝sin(A＋C)
＝sin
＝sin
A＋cos
A，
所以sin
A＝－cos
A，所以tan
A＝－，所以A＝，
所以B＝C＝，所以b＝c.
若选①，ac＝，因为a＝b＝c，所以c2＝，
所以c＝1，即a＝，b＝c＝1，三角形存在；
若选②，csin
A＝3，则＝3，得c＝2，即a＝6，b＝c＝2，三角形存在；
若选③，与条件c＝b矛盾，三角形不存在．
避免失误准确解题
(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的情况，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．
(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角、大角对大边的规则，可以通过画图来帮助判断．
(2020·德州一模)在条件①2cos
A(bcos
C＋ccos
B)＝a，②csin＝asin
C，③(sin
B－sin
C)2＝sin2A－sin
Bsin
C中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝，b－c＝2，________.
求BC边上的高．
解：若选条件①.
由正弦定理得2cos
A(sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B)＝sin
A＝sin(B＋C)，
即2cos
Asin(B＋C)＝sin(B＋C)，得cos
A＝.
因为0由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，
所以化简得c2＋2c－3＝0，
解得c＝1或c＝－3(舍)，从而b＝3.
设BC边上的高为h，所以bcsin
A＝ah，
解得h＝.
若选条件②.
由正弦定理得sin
Csin＝sin
Asin
C.
因为sin
C≠0，所以sin＝sin
A.
由A＋B＋C＝180°，
可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，因此A＝.
下同选条件①.
如选条件③.
由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin
Bsin
C，
由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos
A＝＝.
因为0下同选条件①.
　与三角形的面积和周长有关的问题
(2020·青岛三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC的面积S＝10，请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若a＝3，求△ABC周长L的取值范围．
解：因为＝，
所以sin
Acos
B＋sin
Acos
C＝cos
A·sin
B＋cos
Asin
C，
即sin
Acos
B－cos
Asin
B＝sin
Ccos
A－cos
Csin
A，
所以sin(A－B)＝sin(C－A)．
因为A，B，C∈(0，π)，
所以A－B＝C－A，即2A＝B＋C，所以A＝.
(1)△ABC还同时满足条件①③④.
理由如下：
若△ABC同时满足条件①②，
由正弦定理得sin
B＝＝>1，此时B无解．
所以△ABC不能同时满足条件①②，
所以△ABC同时满足条件③④.
所以S△ABC＝bcsin
A＝×b×8×＝10，
解得b＝5与②矛盾，
所以△ABC还同时满足条件①③④.
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2.
因为C＝－B，
所以b＝2sin
B，
c＝2sin，
所以L＝a＋b＋c
＝2＋3
＝6＋3
＝6sin＋3.
因为B∈，所以B＋∈，
所以sin∈.
所以△ABC周长L的取值范围为(6,9]．
解答三角形的面积和周长有关问题的策略
(1)利用三角恒等变换公式化简已知条件等式，并注意用正弦定理、余弦定理进行边角互化．
(2)根据条件选择三角形面积公式或计算三角形的周长．
(3)若求最值，注意根据条件利用均值不等式或三角函数的性质求最值．
(2020·临沂高三期末)在①cos
A＝，cos
C＝，②csin
C＝sin
A＋bsin
B，B＝60°，③c＝2，cos
A＝三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，________，求△ABC的面积S.
解：若选①.
因为cos
A＝，cos
C＝，A，C∈(0，π)，
所以sin
A＝，sin
C＝，
所以sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝×＋×＝.
由正弦定理得b＝＝＝，
所以S＝absin
C＝×3××＝.
若选②.
因为csin
C＝sin
A＋bsin
B，
所以由正弦定理得c2＝a＋b2.
因为a＝3，所以b2＝c2－3.
又因为B＝60°，
所以b2＝c2＋9－2×3×c×＝c2－3，
解得c＝4，
所以S＝acsin
B＝3.
若选③.
因为c＝2，cos
A＝，
所以由余弦定理得＝，
即2b2－b－10＝0，
解得b＝或b＝－2(舍去)．
因为A∈(0，π)，所以sin
A＝＝，
所以S＝bcsin
A＝××2×＝.第4章
三角函数与解三角形
五　多选题命题热点之解三角形
以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是多选题中的一类热点题型，主要考查内容有正弦定理、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时通常交替使用正弦定理、余弦定理，利用函数与方程思想等进行求解．
　三角形边、角、周长和面积的计算
(多选题)(2020·烟台模拟)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3.若BC＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)
A．sin∠CDB＝
B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4
D．△ABC为钝角三角形
BCD　解析：由cos∠CDB＝－得sin∠CDB＝＝，故A错误；
设CD＝x，CB＝2x，在△CBD中，由余弦定理得，cos∠CDB＝＝－，
整理得，5x2－2x－15＝0，
解得x＝或x＝－(舍)，即CD＝，BC＝2，
所以S△ABC＝S△BCD＋S△ADC＝×3××＋×5××＝8，故B正确；
由余弦定理得，cos
B＝＝，
即＝，解得AC＝2，
故△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝8＋2＋2＝8＋4，故C正确；
由余弦定理得，cos
∠ACB＝＝－<0，
故∠ACB为钝角，D正确．故选BCD.
解答三角形面积周长问题要注意的问题
(1)利用正弦、余弦定理建立三角形中的边和角的关系，并能恰当地进行边角互化．
(2)根据题目条件和所求结论选择正弦定理、余弦定理或三角形的面积公式．
(3)注意三角形内角的特点．在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，tan(A＋B)＝－tan
C，sin＝cos，cos＝sin.
(多选题)(2020·山东全真模拟)四边形ABCD内接于圆O，AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，则(　　)
A．四边形ABCD为梯形
B．圆O的直径为7
C．四边形ABCD的面积为
D．△ABD的三边长度可以构成一个等差数列
ACD　解析：如图．因为AB＝CD＝5，AD＝3，∠BCD＝60°，所以∠BAD＝120°.连接BD，AC，易得△BAD≌△CDA，所以∠BAD＝∠CDA＝120°，所以∠BCD＋∠CDA＝180°，所以BC∥AD.
显然AB不平行于CD，即四边形ABCD为梯形，故A正确．在△BAD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
所以BD2＝52＋32－2×5×3cos
120°＝49，
所以BD＝7，
所以圆的直径不可能是7，故B错误．
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos∠BCD，
所以72＝CB2＋52－2×5×CBcos
60°，解得CB＝8或CB＝－3(舍去)．
因为S△BAD＝AB·ADsin
120°＝×5×3×＝，
S△BCD＝CB·CDsin
60°＝×5×8×＝，
所以S四边形ABCD＝S△BAD＋S△BCD＝＋＝，故C正确．
在△ABD中，AD＝3，AB＝5，BD＝7，满足AD＋BD＝2AB，
所以△ABD的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确．故选ACD.
　解三角形与三角函数的综合
(多选题)(2020·山东模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.(　　)
A．若2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c，则C＝
B．若2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c，则C＝
C．若边BC上的高为a，则当＋取得最大值时，A＝
D．若边BC上的高为a，则当＋取得最大值时，A＝
AC　解析：因为2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c，
所以由正弦定理得2cos
C(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
C，
所以2cos
Csin(A＋B)＝2cos
Csin
C＝sin
C.
因为sin
C≠0，所以cos
C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝，所以A正确，B错误．
因为边BC上的高为a，
所以bcsin
A＝·a·，
所以a2＝2bcsin
A.
因为cos
A＝，
所以b2＋c2＝a2＋2bccos
A＝2bcsin
A＋2bccos
A，
所以＋＝＝2sin
A＋2cos
A＝4sin≤4，
当A＋＝时等号成立，此时A＝，故C正确，D错误．故选AC.
解答三角形边、角问题的关注点
(1)正确应用所学知识“翻译”题目条件，根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
(2)注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是解决问题的突破口．
(3)重视等价转化、函数方程思想的应用．
(多选题)在△ABC中，下列命题正确的有(　　)
A．若A＝30°，b＝4，a＝5，则△ABC有两个解
B．若0Atan
B<1，则△ABC一定是钝角三角形
C．若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形
D．若a－b＝ccos
B－ccos
A，则△ABC是等腰或直角三角形
BCD　解析：由正弦定理得＝，即＝，得sin
B＝.
因为b所以B为锐角，所以△ABC有一个解，故选项A错误．
若0Atan
B<1，则tan
A>0且tan
B>0，所以A，B为锐角，tan(A＋B)＝>0，所以tan
C＝－＜0，C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故选项B正确．
若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则cos(A－B)＝cos(B－C)＝cos(C－A)＝1，即A－B＝B－C＝C－A＝0，所以A＝B＝C，所以△ABC一定是等边三角形，故选项C正确．
若a－b＝ccos
B－ccos
A，由正弦定理得sin
A－sin
B＝sin
Ccos
B－sin
Ccos
A，即sin(B＋C)－sin(A＋C)＝sin
Ccos
B－sin
Ccos
A，整理得(sin
B－sin
A)cos
C＝0，
所以cos
C＝0或sin
B－sin
A＝0，即C＝或B＝A，故△ABC是等腰或直角三角形，所以选项D正确．故选BCD.

展开更多......

收起↑