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第6章
平面向量、复数
课程标准
命题解读
1．理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素．2．掌握平面向量加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义．3．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．4．理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．5．能用坐标表示平面向量的数量积及共线、垂直的条件，会求两个平面向量的夹角．6．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题．7．了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．8．掌握复数的表示、运算及其几何意义，掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
考查形式：一般两个选择题或一个选择题、一个填空题．考查内容：向量的线性运算及其几何意义；向量加、减、数乘及向量共线的坐标表示；两个向量的数量积的运算、夹角公式、垂直问题．复数的定义、几何意义、共轭复数、复数的模、复数相等及复数的四则运算．备考策略：(1)熟练应用三角形、平行四边形法则，进行向量的线性运算，熟练掌握向量的数量积运算，能解决向量的模、夹角、垂直问题．(2)熟练掌握复数的四则运算、复数的模及其几何意义．核心素养：数学抽象、数学运算.
第1节　平面向量的概念与线性运算
一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小称为向量的模(或长度)
向量由方向和长度确定，不受位置影响
零向量
始点和终点相同的向量
其方向是任意的，记作0
单位向量
模等于1的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的两个非零向量
0与任一向量平行(或共线)
相等向量
大小相等、方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
方向相反、大小相等的向量
0的相反向量为0
(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.
(2)单位向量有无数个，它们的大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．
(4)与非零向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.
2．平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
平行四边形法则
减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法
三角形法则
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
(3)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．
3．共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(1)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”．若忽视“a≠0”，则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)三点共线的等价关系：
A，P，B三点共线?＝λ(λ≠0)?＝(1－t)＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)?＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)
(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)
(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　×　)
2．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　
A.＝
B.＝
C.＝－
D.＝
D　解析：由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．
3．(2021·山东省师大附中模拟)设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“＝”成立的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，则和分别表示a，b方向上的单位向量，所以＝成立；反之不成立．故选B.
4．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
　解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.
5．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
－a＋b　解析：由＝3，得＝＝(a＋b)．
又＝a＋b，
所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.
考点1　向量的相关概念——基础性
1．下面说法正确的是(　　)
A．平面内的单位向量是唯一的
B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C．所有的单位向量都是共线的
D．所有单位向量的模相等
D　解析：因为平面内的单位向量有无数个，所以选项A错误；当单位向量的起点不同时，其终点就不一定在同一个圆上，所以选项B错误；当两个单位向量的方向既不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误；因为单位向量的模都等于1，所以选项D正确．
2．下列说法正确的是(　　)
A．若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D　解析：若向量与向量是共线向量，则AB∥CD或点A，B，C，D在同一条直线上，故A错误；共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同也不相反，故B错误；长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确．
3．判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
A　解析：只有④正确．
4．给出下列命题：
①零向量是唯一没有方向的向量；
②零向量的长度等于0；
③若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
B　解析：①错误，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正确，由零向量的定义可知，零向量的长度为0；③正确，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时等式才成立．
向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度为0，规定零向量与任何向量共线．
考点2　平面向量的线性运算——应用性
在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
B　解析：因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.
1．本例条件不变，用，表示.
解：＝＋＝(＋)
＝(＋－)
＝－
＝－(＋)
＝－
＝－.
2．本例中，若＝2，其他条件不变，用，表示.
解：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．三种运算法则的关注点
(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“起点相同”．
(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，用，表示.
解：根据题意得，＝＋.
又＝＝，＝，
所以＝＋＝＋.
考点3　平面向量线性运算的综合应用——综合性
考向1　根据平面向量的线性运算求参数的值或范围
(1)(2020·朔州模拟)在△ABC中，＋＝2，＋＝0.若＝x＋y，
则(　　)
A．y＝3x
B．x＝3y
C．y＝－3x
D．x＝－3y
D　解析：因为＋＝2，所以点D是BC的中点．又因为＋＝0，所以点E是AD的中点，所以＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋，因此x＝－，y＝，所以x＝－3y.
(2)(2020·怀化模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是
(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：设＝y，因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈，所以＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
根据平面向量的线性运算求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值或范围．
考向2　共线向量定理
(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2.若A，B，D三点共线，则k的值为________．
－　解析：因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2.又e1与e2不共线，所以解得k＝－.
1．证明向量共线的方法
应用向量共线定理．对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．
2．证明A，B，C三点共线的方法
若存在实数λ，使得＝λ，则A，B，C三点共线．
3．解决含参数的共线问题的方法
经常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值．
1．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)
A．A，B，C
B．A，B，D
C．B，C，D
D．A，C，D
B　解析：因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，且，有公共点A，所以A，B，D三点共线．
2．(2020·无锡模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上．若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
　解析：由已知可得AD＝1，CD＝，所以＝2.
因为点E在线段CD上，
所以，设＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
所以＝1，即μ＝.
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
3．如图，在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD,
E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＝________，n＝________.
　－　解析：＝(＋)＝＝－＝(－)－＝＋.又＝m＋n，所以m＝，n＝－.
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
[四字程序]
读
想
算
思
用基底表示
1.三角形法则，平行四边形法则；2．以谁为基底？
选择不同的三角形，利用三角形法则
转化与化归
O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，E是OD的中点，AE的延长线与CD交于F
1.＝＋，如何表示？2.＝＋，如何表示？3.＝＋，如何表示？4．利用方程组思想与向量相等解决
1.在△AGF中表示；2．在△ACF中表示；3．在△ADF中表示；4．直接设＝x＋y，利用向量相等求系数
1.向量的线性运算法则；2．向量相等的条件；3．平行线的性质
思路参考：利用，表示.
B　解析：因为由题意可知△DEF∽△BEA，
所以＝＝.再由AB＝CD可得＝，
所以＝.
作FG平行BD交AC于点G，
所以＝＝，
所以＝＝＝b.
因为＝＋＝＋＝
＋＝＝a，
所以＝＋＝a＋b.
思路参考：利用，表示.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.
由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是＝＝×(b－a)＝b－a.
所以＝＋＝a＋b.
思路参考：利用，表示.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.
由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
于是＝＝，
那么＝＋＝＋＝a＋b.
思路参考：利用，表示.
B　解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.
由DE＝EO，得DF＝FG.
又由AO＝OC，得FG＝GC，
故＝＋＝＋＝＋.
设＝x＋y.
因为＝＋，＝－，
所以＝(x＋y)＋(x－y)，
于是解得
所以＝＋＝a＋b.
1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于三角形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．
2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图识图能力、运算求解能力、推理能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
B　解析：(方法一)连接AO，如图．
因为O为BC的中点，所以＝(＋)＝＋.
因为M，O，N三点共线，
所以＋＝1，所以m＋n＝2.
(方法二)连接AO(图略)．
由于O为BC的中点，故＝(＋)，
＝－＝(＋)－
＝＋，
同理，＝＋.
由于向量，共线，故存在实数λ使得＝λ，即＋＝λ.
由于，不共线，故得－＝λ，且＝λ，
消掉λ，得(m－2)(n－2)＝mn，
化简即得m＋n＝2.第2节　平面向量基本定理及坐标表示
一、教材概念·结论·性质重现
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果平面内的两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
(2)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}常称为该平面上向量的一组基底．
理解基底应注意以下三点
(1)基底a，b必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
(3)对于一组基底a，b，若c＝λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b，则
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
(2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
a∥b?x2y1＝x1y2.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
4．常用结论
(1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(3)已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)
(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　√　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝.(　×　)
(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)
2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　)
A．(－2，－1)　　　　　
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
D　解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,1)－(1，－1)＝－＝(－1，2)．
3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D　解析：由题意可知a与b不共线，即3m－2≠2m，所以m≠2.故选D.
4．设0＜θ＜，向量a＝(sin
2θ，cos
θ)，b＝(cos
θ，1)，若a∥b，则tan
θ＝________.
　解析：因为a∥b，所以sin
2θ×1－cos2θ＝0，
所以2sin
θcos
θ－cos2θ＝0.
因为0＜θ＜，所以cos
θ＞0，
所以2sin
θ＝cos
θ，
所以tan
θ＝.
5．在?ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为________．
(－3，－5)　解析：因为＋＝，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝－＝(－3，－5)．
考点1　平面向量的坐标运算——基础性
1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　)
A．
B．2
C．5
D．50
A　解析：由向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，可得a－b＝(－1,1)，所以|a－b|＝＝.
2．(2020·榆社中学诊断)若向量＝＝(2,0)，＝(1,1)，则＋等于
(　　)
A．(3,1)
B．(4,2)
C．(5,3)
D．(4,3)
B　解析：＝＋＝(3,1)，又＝－＝(－1,1)，则＝＋＝(1,1)，所以＋＝(4,2)．
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________.
(4，－6)　解析：由题意知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)．
4．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝
2||，则向量的坐标是________．
(4,7)　解析：因为点C是线段AB上一点，且||＝2||，所以＝－2.
设点B为(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)．
所以解得
所以向量的坐标是(4,7)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
考点2　平面向量共线的坐标表示——应用性
(2020·福州质检)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
C　解析：因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，所以＝－＝(a－1,1)，
＝－＝(－b－1,2)．
因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，
所以可得2a＋b＝1.
因为a＞0，b＞0，
所以1＝2a＋b≥2，所以ab≤.
当且仅当2a＝b＝时取等号．
因此ab的最大值为.
1．本例若把条件“＝(－b,0)”改为“＝(2,1)”，其他条件不变，求a的值．
解：因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(2,1)，所以＝－＝(a－1,1)，
＝－＝(1,3)．
因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，即(a－1,1)＝λ(1,3)，
所以可得a＝.
2．本例条件“向量＝(1，－2)，＝(a，－1)”不变，若向量c＝(2，a)与向量方向相反，求|c|.
解：因为＝(1，－2)，＝(a，－1)．
所以＝－＝(a－1,1)．
因为向量c＝(2，a)与向量方向相反，
所以a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0，
所以a＝－1或a＝2(舍去)，
所以|c|＝＝.
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，AC与OB的交点为P，求点P的坐标．
解：由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，
得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
考点3　平面向量基本定理的应用——综合性
考向1　用已知基底表示向量
(2020·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A．－
　　
B．－
C．－＋
　　
D．－＋
C　解析：如图，取AB中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，
所以＝＝－＝－，
＝＋＝＋＝＋.
所以＝－＝－＝－＝－＋.
用已知基底表示向量的关注点
(1)理论依据：平面向量基本定理．
(2)实质：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
考向2　解析法(坐标法)在向量中的应用
已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)
A．2
B．
C．3
D．4
C　解析：因为⊥，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝(1,0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n)．
因为tan
30°＝＝，所以m＝3n，即＝3.
应用平面向量基本定理解题的两种思路
(1)基向量法．
(2)坐标法．
能用坐标法的问题，一般不用基向量法．
考向3　利用平面向量基本定理求参数的值(或范围)
在△ABC中，点P是AB上一点，且＝2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
　解析：＝2，
即P为AB的一个三等分点，如图所示．
因为A，M，Q三点共线，
所以＝x＋(1－x)
＝＋(x－1)，
而＝－，所以＝＋.
又＝＋＝－＋，
由已知＝t，可得
＋＝t.
又，不共线，
所以
解得t＝.
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1．(2020·南通模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D.设＝a，＝b，则向量＝(　　)
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
C　解析：连接BD，DC(图略)，设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝.根据圆的性质得BD＝CD＝AB.
又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，＝＋＝a＋b.
2．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解：(方法一)如图，作平行四边形OB1CA1，
则＝1＋1.
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以|1|＝2，||＝4，
所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
(方法二)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.第3节　平面向量的数量积及综合应用
一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉
设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π
θ＝0或θ＝π?a∥b，θ＝?a⊥b
2．平面向量的数量积
定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos
〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
投影
|a|cos
θ叫做向量a在向量b方向上的投影的数量，|b|cos
θ叫做向量b在向量a方向上的投影的数量
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积
(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
(1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
(2)平面向量数量积运算的常用公式．
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
4．平面向量数量积的性质及坐标表示
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2.
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
2．若两个非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，则a，b的夹角是(　　)
　　　　　
　　　　　
　　　
A.
B.
C.
D.π
D　解析：因为|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，
所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9，得a·b＝－2.
所以cos
θ＝＝＝－1.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
12　解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
4．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影的数量为________．
　解析：＝(2,1)，＝(5,5)，
由定义知，在方向上的投影的数量为＝＝.
5．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·＝________.
11　解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，所以·＝4×2＋1×3＝11.
考点1　平面向量数量积的运算——基础性
　　　　　
　　　　　
　　　
1．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则a在b上的投影的数量为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
A　解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝－.
2．(2020·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　)
A．(4,6)
B．(－4，－6)
C．
D．
B　解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝.
由a·b＝14可得－5k＋k＝14，得k＝－4，
所以a＝(－4，－6)．
3．(2020·三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足＝，设AM与BD交于点G，则·＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
A　解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．
因为＝，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以M.
(方法一)显然△DGM∽△BGA，且相似比为1∶3.
＝＝＝，
＝(1,1)，·＝·(1,1)＝1.
(方法二)直线BD的方程为y＝－x＋1，直线AM的方程为y＝3x.
联立解得所以点G.
所以·＝·(1,1)＝×1＋×1＝1.
4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于________．
12　解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2,4)，所以a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，所以(x－2)×(－2)＋20＝0，所以x＝12.
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算．
考点2　平面向量数量积的性质——应用性
(2020·汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：因为a⊥(a－2b)，
所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，
所以a·b＝.又|a|＝|b|，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
且0≤〈a，b〉≤π，
所以a与b的夹角为.
1．将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|a＋b|＝|a|＝|b|≠0”，求a与b的夹角．
解：由|a＋b|＝|a|＝|b|≠0，
所以(a＋b)2＝a2＝b2，
a2＋2a·b＋b2＝a2＝b2.
设a与b的夹角为θ，则|a|2＋2|a||b|cos
θ＋|b|2＝|a|2，化简得1＋2cos
θ＋1＝1，
解得cos
θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ＝.
2．本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝|2a－b|＝1”，求|b|.
解：因为|2a－b|＝1，
所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，
所以4－4|b|cos
30°＋b2＝1，
整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0，
解得|b|＝.
1．求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝.
(2)利用|a|＝.
2．求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos
θ＝，θ的取值范围为[0，π]．
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos
θ＝.
(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．
3．两向量垂直的应用
两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.
(2021·八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0.若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.
因为c＝a＋b，所以|c|＝|a＋b|＝＝＝3.
所以cos〈a，c〉＝＝＝＝＝.
所以sin〈a，c〉＝＝.
考点3　平面向量数量积的应用——综合性
考向1　平面向量与三角函数
已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos
α，sin
α)．
(1)若||＝||，求角α
的值；
(2)若·＝－1，求的值．
解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos
α，sin
α)，
所以＝(cos
α－3，sin
α)，
＝(cos
α，sin
α－3)．
所以||＝，
||＝.
因为||＝||，
所以
＝，
即(cos
α－3)2＋(sin
α)2
＝(cos
α)2＋(sin
α－3)2，
所以sin
α＝cos
α，所以tan
α＝1，
所以α＝kπ＋，k∈Z.
(2)由(1)知，＝(cos
α－3，sin
α)，＝(cos
α，sin
α－3)，
所以·＝(cos
α－3)cos
α＋sin
α·(sin
α－3)＝1－3(sin
α＋cos
α)＝－1.
所以sin
α＋cos
α＝，
所以(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝2，
所以2sin
αcos
α＝－.
所以＝＝2sin
αcos
α＝－.
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
考向2　平面向量的最值问题
(2020·武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A．－1　　　　　　　
B．＋1
C．2
D．2－
A　解析：设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0?x2＋y2－4x＋3＝0?(x－2)2＋y2＝1.如图所示，a＝，b＝B为圆C上动点，.
所以|a－b|min＝|CD|－1＝－1(其中CD⊥OA)．
平面向量的最值一般有两种处理方法
(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决．
(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．
1.
(2020·西城区二模)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为(　　)
A.　　　
B.　　　
C.1　　　
D.
B　解析：|a＋xb|2＝a2＋2xa·b＋x2b2＝x2＋x＋1＝2＋，
所以当x＝－时，|a＋xb|取得最小值.
2．已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
解：(1)a·b＝cos
cos
－sin
sin
＝cos
2x.
因为a＋b
＝，
所以|a＋b|
＝
＝＝2|cos
x|.
因为x∈，
所以cos
x>0，所以|a＋b|＝2cos
x.
(2)f(x)＝cos
2x－2cos
x＝2cos2x－2cos
x－1
＝22－.
因为x∈，
所以≤cos
x≤1，
所以当cos
x＝时，f(x)取得最小值－；
当cos
x＝1时，f(x)取得最大值－1.
(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
[四字程度]
读
想
算
思
求·
1.数量积的计算方法；2．用哪个公式好？
用恰当的基底或坐标表示两向量
转化与化归
AD∥BC，∠A＝30°，AE＝BE
1.基向量法1；2．基向量法2；3．基向量法3；4．坐标法1；5．坐标法2
1.几何法计算线段与夹角；2．用基底或坐标表示与；3．计算数量积
1.向量的线性运算法则；2．数量积计算公式
思路参考：探究△AEB中的边角大小．
－1　解析：如图，因为AD∥BC，且∠DAB＝30°，
所以∠ABE＝30°.
又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°.
所以∠E＝120°.
所以在△AEB中，AE＝BE＝2.
所以·＝(＋)·(＋)
＝－2＋·＋·＋·
＝－12＋2×2×cos
30°＋5×2×cos
30°＋5×2×cos
180°
＝－12＋6＋15－10＝－1.
思路参考：用，作基向量表示·.
－1　解析：如图，
因为AE＝BE，AD∥BC，∠BAD＝30°，
所以在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°.
又AB＝2，所以AE＝BE＝2，
所以＝－.
因为＝＋，所以＝－.
又＝＋＝－＋，
所以·＝(－＋)·
＝－2＋·－2
＝－2＋||·||cos
30°－2
＝－12＋×2×5×－×25＝－1.
思路参考：构造菱形AEBF.
－1　解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.
因为AD∥BC，所以四边形AEBF为平行四边形，
因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．
因为∠BAD＝30°，AB＝2，
所以AF＝2，即＝.
因为＝＝－＝－，
所以·
＝(－)·
＝·－2－2
＝×2×5×－12－10＝－1.
思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程．
－1　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D.
因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y＝(x－2)，直线AE的斜率为－，其方程为y＝－x.
由得x＝，y＝－1，
所以E(，－1)．
所以·＝·(，－1)＝－1.
思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标．
－1　解析：过点B作BF垂直于AD于点F.
因为AB＝2，∠BAD＝30°，
则BF＝，AF＝3.
又因为AD∥BC，AE＝BE，
则∠EBA＝∠BAD＝∠EAB＝30°，则BE＝2.
以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－3,0)，B(0，)，D(2,0)，E(－2，)．
所以＝(2，－)，＝(1，)，
则·＝2－3＝－1.
1．本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解．
2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．
已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
2　解析：(方法一)|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
(方法二)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，
所以|a＋2b|＝2.第4节　复数
一、教材概念·结论·性质重现
1．复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的定义
一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数，其中实部为a，虚部为b，i称为虚数单位
a＋bi为实数?b＝0；a＋bi为虚数?b≠0；a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
z＝a＋bi，＝a－bi(a，b∈R)
复数a(a∈R)的共轭复数是a
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数
向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|
|z|＝|a＋bi|＝
(1)复数构成的集合叫做复数集，记为C.
(2)in(n∈N
)具有周期性，且最小正周期为4，其性质如下：
①i4n＝1(n∈N
)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)；
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
2．复数的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是－＝所对应的复数．
3．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
4．常用结论
(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)
2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
A　解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
C　解析：因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.
4．若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B　解析：由题意，因为z＝＝＝－2－2i，所以＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．
5．设z＝＋2i，则|z|＝________.
1　解析：因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.
考点1　复数的有关概念——基础性
1．(多选题)下面关于复数的四个命题中，真命题是(　　)
A．若复数z∈R，则∈R
B．若复数z满足z2∈R，则z∈R
C．若复数z满足∈R，则z∈R
D．若复数z1，z2的满足z1z2∈R，则z1＝
AC　解析：设z＝a＋bi，
对于A项，若z∈R，则b＝0，此时＝a∈R，所以A正确；
对于B项，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，则ab＝0，所以a＝0或b＝0，则z不一定为实数，所以B错误；
对于C项，＝＝∈R，则b＝0，所以z∈R，所以C正确；
对于D项，设z1＝－1＋i，z2＝2＋2i，则z1z2＝－4∈R，但z1≠，D错误．故选AC.
2．(2020·潍坊一模)已知z为复数，i为虚数单位．若复数为纯虚数，则|z|＝(　　)
A．2　　　
B.　　　
C．1　　　
D.
C　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
所以复数＝＝
＝.
因为复数为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.
所以|z|＝＝1.
3．(2020·青岛二模)若复数z满足(－i)z＝|＋i|(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的虚部为(　　)
A．
B．i
C．－
D．－i
C　解析：由(－i)z＝|＋i|得(－i)z＝＝2，
所以z＝＝＝＝＋i，
所以＝－i，所以的虚部为－.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
考点2　复数的几何意义——应用性
(2020·嘉祥模拟)欧拉公式eix＝cos
x＋isin
x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A　解析：根据题意eix＝cos
x＋isin
x，故ei＝cos＋isin＝＋i，表示的复数在第一象限．
1．本例若把条件改为“已知复数z满足z(1＋2i)＝4＋3i(i为虚数单位)”，求复数在复平面内对应的点所在的象限．
解：因为z(1＋2i)＝4＋3i，
则z＝＝＝＝2－i，
故＝2＋i，对应的点在第一象限．
2．本例若把条件改为“设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)”，求x，y满足的关系式．
解：由题意可得：
z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，
|z－i|＝＝1，故x2＋(y－1)2＝1.
3．本例若把条件改为“△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z对应的点是否为△ABC的外心？
解：是．由复数的几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，故z对应的点是△ABC的外心．
与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
解：z＝＝＝＋i，所以所以－1考点3　复数的运算——综合性
考向1　复数的乘法运算
(1)(2020·山东省实验高考预测)已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
D　解析：因为z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因为z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.
(2)(2020·柳州一模)若复数z满足＝i，其中i为虚数为单位，则z＝(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
A　解析：因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.
复数乘法运算的要点
复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成－1.
考向2　复数的除法运算
(1)(2020·毕节一诊)已知i为虚数单位，若z(1＋i)2＝2＋i，则z＝(　　)
A．－i
B．－＋i
C．－－i
D．＋i
A　解析：由z(1＋i)2＝2＋i得
z＝＝＝＝＝－i.
(2)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.
　解析：因为复数z＝＝＝＝＋i∈R，
所以＝0，即a＝3.
则复数z＝＝＝.
求解复数除数问题的注意点
除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
考向3　复数运算的综合应用
(1)(2020·银川三模)若复数z与其共轭复数满足z－2＝1＋3i，则|z|＝(　　)
A.
B.
C．2
D.
A　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝.
(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝(　　)
A．－1
B．1
C．－i
D．i
A　解析：因为z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，则z2＋z＝－1－i，
所以＝＝＝＝－1.故选A.
(1)先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关知识解答．
(2)运用复数的法则进行运算时，要注意运算顺序，先算乘除，后算加减，有括号的要先算括号里面的．
1.等于(　　)
A．－－i
B．－＋i
C．－－i
D．－＋i
D　解析：＝＝＝＝－＋i.
2．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)
A．1或－1
B．1
C．－1
D．不存在的实数
A　解析：由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4?a＝±1.
3．若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A．
B．3
C．5
D．25
C　解析：由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，
则z＝＝＝5，所以|z|＝5.第6章
平面向量、复数
平面向量与“四心”
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．应用向量相关知识，可以巧妙地解决三角形四心所具备的一些特定的性质．
　重心问题
已知O是△ABC所在平面上的一点，若＝(＋＋)(其中P为平面上任意一点),
则点O是△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
C　解析：由已知得
3＝－＋－＋－，
所以3＋3＝＋＋，
即＋＋＝0，
所以点O是△ABC的重心.
如图，△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点．
因为
所以a＋b＋c－3＝＋＋.
而＋＋＝0，
所以a＋b＋c－3＝0，
所以＝.
　垂心问题
已知点O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞),
则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
B　解析：由已知得＝
λ，
所以·
＝λ
＝λ
＝λ(－||＋||)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心．
已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
D　解析：因为2＋2＝2＋2，
所以2－2＝2－2，
所以(－)·(＋)＝(＋)·(－)，
所以·(＋)＝·(－)，
所以·(＋－＋)＝0，
所以·(＋＋)＝0，
所以·＝0，
所以⊥.
同理可得⊥，⊥.
所以O为△ABC的垂心．故选D.
　外心问题
已知点O是△ABC所在平面上的一点．若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O是△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
A　解析：由已知得
(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝0
?2－2＝2－2＝2－2＝0?||＝||＝||.
所以点O是△ABC的外心．
在△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，E为△ACD的重心，点F为△ABC的外心．
求证：EF⊥CD.
证明：建立如图所示的坐标系，设A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，则D，＝，易知△ABC的外心F在y轴上，设为F(0，y)．
由||＝||可得(y－b)2＝(－a)2＋y2，
所以y＝，即F.
连接AE，CE，DE，又由重心公式，
得＋＋＝0，
则E，
所以＝，
所以·＝×＋×＝0，
所以⊥，即EF⊥CD.
　内心问题
已知点O是△ABC所在平面上的一点，若＝(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，则点O是△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
B　解析：因为＝，所以(a＋b＋c)＝a＋b＋c，即a＋bPO＋c＝a＋b＋c，移项并整理可得a(－)＋b(－)＋c(－)＝0，则a＋b＋c＝0，所以点O是△ABC的内心．
已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.
内心　解析：如图所示，＝＋，
由已知，＝＋λ.
所以＝λ，λ∈[0，＋∞)．
设λ＝，λ＝，
所以D，E在射线AB和AC上，所以＝＋，
所以AP是平行四边形ADPE的对角线．
又||＝||，所以四边形ADPE是菱形，
所以点P在∠EAD即∠CAB的平分线上．
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．

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