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第8章
平面解析几何
课程标准
命题解读
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．3．掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直．4．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．5．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．6．能判断直线与圆，圆与圆的位置关系．7．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．8．了解抛物线与双曲线的定义、标准方程，以及它们的简单几何性质．9．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
考查形式：一般为两个选择题或填空题和一个解答题．考查内容：直线和圆的位置关系，圆锥曲线标准方程的求解，椭圆、双曲线离心率的计算等几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，最值与范围问题，定点与定值问题，探索性问题或证明问题．备考策略：(1)熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程的求法．(2)深刻理解圆锥曲线的定义，并能应用定义解决相关问题．(3)在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，要加强运算的训练，重视“设而不求”的思想方法的应用．(4)掌握最值和范围、定点与定值、探索性问题等的一般解法和思想．核心素养：数学抽象、数学运算.
第1节　直线方程
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)若直线与x轴平行或重合，则规定该直线的倾斜角为0°.
(3)倾斜角的取值范围是0°～180°.
2．直线的斜率
(1)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan_θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．
直线的斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换．就是说，如果分子是y2－y1，那么分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，那么分母必须是x1－x2.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有的直线都适用
(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率，应对斜率存在与不存在加以讨论．
(2)“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0.若不确定，则需分类讨论．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(
×
)
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(
×
)
(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．(
×
)
(4)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示．(
×
)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(
√
)
2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin
α＋cos
α＝0，则a，b满足
(　　)
A．a＋b＝1
B．a－b＝1
C．a＋b＝0
D．a－b＝0
D　解析：因为sin
α＋cos
α＝0，所以
tan
α＝－1.
又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－，
所以－＝－1，即a－b＝0.
3．如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C　解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
4．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则
x＝________.
－3　解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＝－3.
5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为__________________．
3x－2y＝0或x＋y－5＝0　解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
考点1　直线的倾斜角与斜率——基础性
1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k2D　解析：由图可知k1>0，k2<0，k3<0，且直线l3的倾斜角大于直线l2的倾斜角，所以k3>k2.综上可知k22．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
D　解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令－3<1－<3，解不等式得k<－1或k>.
3．已知直线的方程为xsin
α＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
B　解析：因为直线l的方程为xsin
α＋y－1＝0，所以y＝－x＋，即直线的斜率k＝－.由－1≤sin
α≤1，得－≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为∪.
4．(2021·八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．
，－3　解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图的平面直角坐标系．
设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan
θ＝2.
由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，
kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
1．倾斜角α与斜率k的函数关系
k＝tan
α，α∈∪，求倾斜角或斜率范围时，可结合图像解题．
2．斜率的两种求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan
α求斜率．
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据公式k＝(x1≠x2)求斜率．
考点2　求直线的方程——基础性
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin
α＝(0≤α<π)．
从而cos
α＝±，则k＝tan
α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知纵、横截距不为0.设直线方程为＋＝1.又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意．
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
求适合下列条件的直线方程：
(1)求过点A(1,3)，倾斜角是直线y＝－x的倾斜角的的直线方程；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解：(1)因为y＝－x的斜率为k＝－，其倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为，
所以直线方程为y－3＝(x－1)，即直线方程为x－y＋3－＝0.
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan
α＝3，所以tan
2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又直线经过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
考点3　直线方程的综合应用——综合性
考向1　求与最值有关的直线方程
过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)．
因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为1＝＋≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．
所以，当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小．
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1(a>0，b>0)，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤
(1)设出直线方程，建立目标函数．
(2)利用均值不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数．
(3)写出直线方程．
考向2　由直线方程求参数的值或取值范围
已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当0　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.又0由直线方程求参数的值或取值范围的注意事项
(1)注意寻找等量关系或不等关系．若点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解．
(2)注意直线恒过定点问题．
1.如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一根电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米．现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米．
10　解析：如图，建立平面直角坐标系．
设人行道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，所以A，B(0,4－3k)，所以△ABO的面积S＝×(4－3k)×＝×.
因为k<0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行道的长度为＝10(米)．
2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA||PB|的最大值是________．
5　解析：由直线x＋my＝0求得定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，得定点B(1,3)．当m＝0时，两条动直线垂直；当m≠0时，因为×m＝－1，所以两条动直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA||PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.
已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　
[四字程序]
读
想
算
思
△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程
1.三角形面积的表达式；2．以谁为变量？
用适当的变量表示面积S，并求其最小值和此时的直线方程
转化与化归
直线过定点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点
1.
S＝ah；2．S＝ab·sin
C；3．点的坐标作变量；4．直线的斜率作变量
1.S＝ab≥12；2．S≥[12＋2]＝×(12＋12)＝12
1.均值不等式；2．三角函数的性质
思路参考：设出直线的截距式方程，利用均值不等式求出ab的最小值．
解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．
将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24.
从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－.
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．
解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
将点P(3,2)的坐标代入得＋＝1.
令＝sin2α，＝cos2α，则a＝，b＝，
所以S△ABO＝ab＝＝.
因为0由图可知b＞0，所以当且仅当＝时等号成立，即k＝－＝－，
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合均值不等式求得最值．
解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A，B(0,2－3k)，
所以S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．
2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化，构造函数利用均值不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．
过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：
(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；
(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．
解：(1)设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.所以ab＝ab＝2b＋a≥2，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA||OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)．
所以|PA||PB|＝＝≥4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
所以|PA||PB|的最小值为4时，
直线的方程为x＋y－3＝0.第2节　两条直线的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．两条直线相交、平行与重合的条件
(1)利用斜率关系判断
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
①l1与l2相交?k1≠k2；
②l1与l2平行?k1＝k2且b1≠b2；
③l1与l2重合?k1＝k2且b1＝b2；
④l1⊥l2?k1·k2＝－1.
(2)向量方法判断
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量．
①l1与l2相交?A1B2≠A2B1.
②l1与l2平行或重合?A1B2＝A2B1.
③l1与l2重合?存在实数λ使得
④l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(3)两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.
2．三种距离
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：
(1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.(
×
)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(
×
)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(
×
)
　　　
　　　　　
　　　　　
　　　
2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A.
B.
C.7
D.
D　解析：由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为＝.
3．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的值为
(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
A　解析：由题意，＝，即m＝.
4．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A．1
B．2
C．
D．2
C　解析：圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)．由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.
5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
1　解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
考点1　直线的平行与垂直——基础性
1．(2020·长沙明德中学3月月考)“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：若l1∥l2，则即
解得m＝－3或2.
因此，“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行”是“m＝2”的必要不充分条件．
2．已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则a的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
A　解析：(方法一)当a＝－1时，方程分别化为x＋1＝0,2y＋1＝0，此时两条直线相互垂直，因此a＝－1满足题意．当a≠－1时，由两条直线相互垂直，可得×＝－1，解得a＝－1(舍去)．
综上a＝－1.
(方法二)由l1⊥l2得(a－1)(a＋1)＋2(a＋1)＝0，
整理得a2＋2a＋1＝0，解得a＝－1.
3．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和3x－y＋4＝0的交点，并且平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程是________________．
3x＋4y＋＝0　解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.
设平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为3x＋4y＋c＝0，
则3×＋4×＋c＝0，解得c＝，所以直线的方程为3x＋4y＋＝0.
4．过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为______________．
2x－4y－5＝0　解析：设点A，
过坐标系原点O作
OB⊥l于点B，连接OA，
则OB为原点O到直线l的距离．
在直角三角形AOB中，OA为斜边，
所以有OB而kOA＝＝－2，所以kl＝，所以直线l的方程为y＋1＝×，
整理得2x－4y－5＝0.
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
—
↓
—
考点2　两条直线的交点与距离问题——应用性
(1)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A．
B．
C．2
D．2
A　解析：联立
解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0.
所以m＝－5－2n.
所以点(m，n)到原点的距离
d＝＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号．所以点(m，n)到原点的距离的最小值为.
(2)(2020·上海青浦高级中学月考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos
θ，sin
θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
C　解析：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P为单位圆上一点．而直线x－my－2＝0过点A(2,0)，记坐标原点为O，
所以d的最大值为|OA|＋1＝2＋1＝3.故选C.
(3)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
2或－6　解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.
又两平行线之间的距离为，
所以＝，
解得c＝2或－6.
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式的注意点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
1．已知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
　解析：由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)．所以点A到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为______________．
x＋3y－5＝0或x＝－1　解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
(方法二)当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．
所以直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
考点3　对称问题——应用性
考向1　中心对称问题
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________________．
x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
中心对称问题的解法
(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则
(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．
考向2　轴对称问题
(1)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)
A．x－2y＋3＝0
B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0
D．x＋2y－1＝0
A　解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．
由
得
因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
(2)已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
(2,6)　解析：设点A′的坐标为(x，y)，
由题意可知
解得所以点A′的坐标为(2,6)．
轴对称问题的解法
(1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，
则有
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
1．若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　)
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0
D．2x－3y－12＝0
B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.
令可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)．
故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选B.
2．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是(　　)
A．2
B．6
C．3
D．2
A　解析：由题意知直线AB的方程为x＋y＝4.
设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，
则解得即Q(4,2)．
又P关于y轴的对称点为T(－2,0)，
所以|QT|＝＝2.第3节　圆的方程
一、教材概念·结论·性质重现
1．圆的定义及方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：，半径：
(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的中垂线上；
③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)23．常用结论
以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(
√
)
(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(
×
)
(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是.(
×
)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(
×
)
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2,3)，3
B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)，
D　解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3．若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2
B．－2
C．1
D．－1
B　解析：由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.
4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．a＝±1
A　解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－15．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4)　5　解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．
考点1　求圆的方程——基础性
　　　　　　　　　　　　　
(1)(2020·北京高三一模)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上．若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋4)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－2)2＋(y－4)2＝4
D．(x－2)2＋(y－4)2＝16
D　解析：因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)．
因为圆C与x轴正半轴相切于点A，所以a>0且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．
因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝，所以d＝＝，解得a＝6或a＝2，所以A(2，0)或A(6,0)．
因为A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r＝4，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.
(2)(2021·聊城第一中学月考)已知圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
A　解析：(方法一)因为圆心在直线x－y＝0上，所以圆心的横、纵坐标相同，排除B，C.选项D中，圆心(－1，－1)到直线x＋y＝0的距离是＝；圆心(－1，－1)到直线x＋y－4＝0的距离是＝3≠.故D不符合题意．故选A.
(方法二)由圆心在直线y＝x上，设圆心为(a，a)，因为圆C与直线y＝－x及x＋y－4＝0都相切，所以圆心到两直线y＝－x及x＋y－4＝0的距离相等，即＝，解得a＝1，所以圆心坐标为(1,1)，R＝＝，则圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选A.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法．通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
1．(2020·重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0上的定点为圆心，半径r＝4，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16
B．(x－2)2＋(y－2)2＝16
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16
D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16
A　解析：由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0，可得(2x＋y＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过的交点，解得即直线过定点(－2,2)，则所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝16.故选A.
2．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为(　　)
A．(－1,1)
B．(－1,0)
C．(1，－1)
D．(0，－1)
D　解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝.
当k＝0时，rmax＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
考点2　与圆有关的轨迹问题——综合性
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，
从而
又点N在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．
(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
1．若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝32
B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16
D．x2＋(y－1)2＝16
B　解析：设P(x，y)，则由题意可得2＝，化简整理得x2＋y2＝16.
2．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程．
解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．
由A(－1,0)，B(1,0)，
设动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)．由重心坐标公式得
则
代入x2＋y2＝1，整理得2＋y2＝(y≠0)，
故所求轨迹方程为2＋y2＝(y≠0)．
考点3　与圆有关的最值问题——综合性
考向1　斜率型、截距型、距离型最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，
解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，最小值是(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题的3种几何转化法
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
考向2　利用对称性求最值
已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
A　解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
1．设点P是函数y＝－图像上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
－2　解析：函数y＝－的图像表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图像如图所示．
由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，故直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
2．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
2　解析：因为圆C化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r＝为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故解得故A′(－4，－2)．所以|A′C|＝＝3.连接A′C交圆C于点Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线与圆的位置关系的判断
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断．
dr?相离．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ，
直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含．
(2)两圆的位置关系与公切线的条数：
①内含：0条．②内切：1条．③相交：2条．④外切：3条．⑤外离：4条．
3．常用结论
(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
(2)圆的切线方程常用结论
过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(
×
)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(
×
)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(
×
)
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(
×
)
(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(
√
)
　
　　　　　　
　　　　　
　　　　
2．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m的值为(　　)
A．±
B．±
C．±
D．±1
D　解析：由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r＝.又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝±1.
3．若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A．(－，)
B．[－，]
C．
D．
D　解析：数形结合可知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤.
4．若直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
　解析：由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝.又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝.由2＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝.
5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
2　解析：由
得两圆公共弦所在直线方程为x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.
考点1　直线和圆的位置关系——基础性
1．直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
A　解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝<2，所以直线与圆相交．
2．(2020·泰安市高三三模)已知抛物线C：x2＝4y的准线恰好与圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C　解析：抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，圆M：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)的圆心为(3,4)．因为准线恰好与圆M相切，所以圆心到准线的距离为r＝|4＋1|＝5.
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是
(　　)
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C　解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为，圆心到直线的距离为d＝.
由直线与圆有公共点可得≤
，
即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
所以实数a的取值范围是[－3,1]．
4．(2020·济宁第一中学质量检测)已知过点P(1,2)的直线与圆x2＋y2＝1相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为(　　)
A．0
B．－
C．0或
D．
C　解析：当a＝0时，直线ax＋y－1＝0即直线y＝1，此时过点P(1,2)且与直线y＝1垂直的直线为x＝1，并且x＝1与圆相切，满足题意，所以a＝0成立．
当a≠0时，过点P(1,2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，则直线方程为y－2＝(x－1)，即x－ay＋2a－1＝0.再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1，可得＝1，解得a＝.故选C.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
考点2　圆与圆的位置关系——基础性
(1)圆C1：x2＋y2－2y＝0与C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为
(　　)
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
(2)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
①求证：圆C1和圆C2相交；
②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)D　解析：圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为C1(0,1)，半径为r1＝1.
圆C2：x2＋y2－2x－6＝0的圆心为C2(，0)，半径为r2＝3，
所以|C1C2|＝＝2.
又r2－r1＝2，所以|C1C2|＝r2－r1＝2，所以圆C1与C2内切．
(2)①证明：由题意得，圆C1化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆C2化为标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝16，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4.
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，
|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|②解：由①知两圆相交，将圆C1和圆C2的方程相减，
得4x＋3y－23＝0，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2.
(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法．重视两圆内切的情况，作图观察．
(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
1．(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝(　　)
A．±2
B．±2
C．0
D．以上均有可能
BC　解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25的圆心为(－4，a)，半径为5.
若两圆相切，分两种情况讨论：
当两圆外切时，有(－4)2＋a2＝(1＋5)2，解得a＝±2；
当两圆内切时，有(－4)2＋a2＝(1－5)2，解得a＝0.综上可得，实数a的值为0或±2.
2．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________________．
(－2，0)∪(0,2)　解析：圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<<2＋2，所以0<|a|<2.所以a∈(－2，0)∪(0,2)．
考点3　直线与圆的综合问题——综合性
考向1　圆的弦长问题
(1)(2020·荆州三模)已知直线l过点(2，－1)，则“直线l的斜率为”是“直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A　解析：直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2?圆心(1，－3)到直线l的距离为1.当直线斜率不存在时，显然符合要求；
当直线斜率存在时，设斜率为k，则l：kx－y－2k－1＝0，
由＝1得(k－2)2＝k2＋1，解得k＝.
因此，直线l被圆C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4截得的弦长为2?k＝或斜率不存在．故选A.
(2)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，求△ABP面积的取值范围．
解：圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．
求弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
考向2　圆的切线问题
过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求AB所在直线的方程．
解：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
(1)处理圆的切线问题要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
1．(2020·洛阳市高三三模)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为(　　)
A．1
B．
C．2
D．2
D　解析：圆心到直线x－y＋2－2＝0的距离d1＝.
因为圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，
所以d1＝＝r＝2，解得a＝2或a＝2－4.
因为a≥2，所以a＝2.所以(x－2)2＋y2＝4.
所以圆心到直线x－y－4＝0的距离为d2＝＝，
所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为l＝2＝2.故选D.
2．(2020·长春市高三三模)已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＝0，则圆E的方程为(　　)
A．x2＋(y－)2＝2
B．x2＋(y＋)2＝2
C．x2＋(y－)2＝3
D．x2＋(y＋)2＝3
C　解析：两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为(0，a)．
又圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，故×＝－1，解得a＝.
故所求圆心为(0，)．
直线x－y＝0截得x2＋y2－2x＝0所成弦长为2＝，
圆心(0，)到直线x－y＝0的距离为，
所以直线x－y＝0截圆所得弦长为2＝，解得r＝.
故圆心坐标为(0，)，半径为.故选C.
3．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.
－2　解析：因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2,2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线方程的斜率为－，所以切线方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，即a＝－2.
4．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
2　解析：设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意，知最短的弦过点P(3,1)，且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，求圆C的方程．
[四字程序]
读
想
算
思
求圆C的标准方程或一般方程
如何求圆的方程？
1.圆的标准方程是什么？2.圆的一般方程是什么？
数形结合的思想方法
1.圆心在直线上；2.圆C与直线相切；3.圆C截直线弦长为
根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解
1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2；2.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
借助于圆的几何性质求解
思路参考：根据圆心在直线上，设出圆心．由圆与直线相切，表示出半径，结合弦长求出圆的方程．
解：因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
所以设所求圆的圆心为(a，－a)．
又因为所求圆与直线x－y＝0相切，
所以半径r＝＝|a|.
又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，
圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2.解得a＝1.
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
思路参考：设出圆的标准方程．利用圆心到直线的距离公式表示出半径，结合弦长求出圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以r2＝＋2，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
因为所求圆与直线x－y＝0相切，
所以(a－b)2＝2r2.②
又因为圆心在直线x＋y＝0上，所以a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为，半径r＝.
因为圆心在直线x＋y＝0上，
所以－－＝0，即D＋E＝0.①
又因为圆C与直线x－y＝0相切，
所以＝.
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
所以D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，
由已知得d2＋2＝r2，
所以(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)．③
联立①②③，解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
1．本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，用待定系数法求解．
2．基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式，体现了数学运算、直观想象的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性．
已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则圆C的方程为________．
(x－1)2＋(y＋4)2＝8　解析：(方法一)如图，设圆心(x0，－4x0)．依题意得＝1，
解得x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(方法二)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2.
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.第5节　椭圆
一、教材概念·结论·性质重现
1．椭圆的定义
(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件
结论
2a＞|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴|A1A2|＝2a；短轴|B1B2|＝2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上?m>n>0，椭圆的焦点在y轴上?0(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(03．直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(
×
)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的半长轴长，c为椭圆的半焦距)．(
√
)
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆．(
√
)
(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在x轴上的椭圆．(
×
)
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦点坐标相同．(
×
)
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A．(±3,0)
B．(0，±3)
C．(±9,0)
D．(0，±9)
B　解析：根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，所以c＝3，故焦点坐标为(0，±3)．
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)
A．a2＝2b2
B．3a2＝4b2
C．a＝2b
D．3a＝4b
B　解析：离心率平方e2＝＝＝，即4(a2－b2)＝a2，即3a2＝4b2.
4．若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是______________．
＋＝1　解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.
5．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
或　解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±.
又x＞0，所以x＝，所以点P坐标为或.
考点1　椭圆的定义及应用——基础性
(1)(2020·东莞4月模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
B　解析：如图所示，因为△ABF2是边长为4的等边三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.
又因为|F1F2|＝2c＝＝2，所以c＝，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.－＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
D　解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－4)2＋y2＝169内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，所以动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1.
(3)(2020·深圳高三二模)已知A，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且点N的纵坐标为b.若△FMN的周长为6，则△FAN的面积为________．
　解析：如图所示，
由题意得，A(0，－b)，F(－c,0)，直线MN的方程为y＝x－b.
把y＝b代入椭圆方程，解得x＝a，所以N.
因为N在直线MN上，所以b＝×a－b，解得＝.
又a2＝b2＋c2，所以2＝b2＋c2，解得b＝c.
令y＝x－b＝0，则M，
即M(c,0)，
所以M为椭圆的右焦点，所以|FM|＝2c.
由椭圆的定义可知，|NF|＋|NM|＝2a，因为△FMN的周长为6，所以2a＋2c＝6，
因为＝，b＝c，所以a＝2c，
所以c＝1，a＝2，b＝，
所以S△FAN＝·|FM|·＝c·b＝.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
1．(2020·北京四中高三开学考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
A　解析：若△AF1B的周长为4，由椭圆的定义可知，4a＝4，所以a＝.因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
2．(2020·上海高三三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，O为坐标原点，点A是椭圆在第一象限的一点，且△OAF为等边三角形，则a＝________.
　解析：如图所示，△OAF为等边三角形，由|OF|＝|OF1|＝|OA|＝1，得△AF1F是直角三角形．
所以|F1F|＝2，|AF|＝1，|AF1|＝.由椭圆的定义得2a＝|AF1|＋|AF|＝＋1，所以a＝.
考点2　椭圆的标准方程——综合性
(1)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C　解析：把椭圆方程化成＋＝1.若m＞n＞0，则＞＞0.所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0，即有m＞n＞0.故“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件．
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
＋＝1　解析：(方法一)椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(方法二)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
本例(2)若改为：已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，－)，则椭圆的方程为____________．
＋＝1　解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由
解得所以椭圆的方程为＋＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
(2)待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1．(2020·银川高级中学高三月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2，则椭圆方程为(　　)
A.＋y2＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
C　解析：由题意可得c＝，＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝，所以所求椭圆方程为＋＝1.故选C.
2．(2021·八省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A.若∠F1AF2＝，则m＝(　　)
A．1
B．
C．
D．2
C　解析：在椭圆＋＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝＝1，
如图所示．
因为椭圆的上顶点为A，焦点为F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a.
因为∠F1AF2＝，所以△F1AF2为等边三角形，则|AF1|＝|F1F2|，即＝a＝2c＝2，
因此，m＝.
考点3　椭圆的几何性质——综合性
考向1　求椭圆的离心率或取值范围
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则椭圆C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示．
设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.
因为|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴于点E，则∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝c，即点P(2c，c)．
因为点P在过点A，且斜率为的直线上，
所以＝，解得＝，所以e＝.
求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2　与椭圆的性质有关的最值或范围问题
如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
4　解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为＋＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.则当x0＝－2时，·取得最大值4.
椭圆的范围与最值问题
(1)在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，有|x|≤a，|y|≤b，可以把椭圆上某一点的坐标视为某一函数问题，进而求函数的单调区间、最值．
(2)椭圆上点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c；椭圆短轴端点与两焦点连线的夹角是椭圆上点与两焦点连线夹角的最大值．
1．(多选题)(2020·菏泽期中)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米．设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则(　　)
A．a－c＝m＋R　　　　
B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
ABD　解析：由题设条件可得
所以a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确；
①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因为a2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)?b＝，故D正确．故选ABD.
2．(2020·临沂模拟)已知两定点A(－1,0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，
与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为.
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
读
想
算
思
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角
1.在焦点三角形中可利用哪些性质或结论？2．离心率的表达式有哪些？
构建点P的横坐标x与a，b，c的关系式，利用椭圆的有界性求解
转化与化归，函数与方程
求椭圆离心率e的取值范围
①椭圆的定义；②勾股定理或余弦定理；③三角形的面积公式．2．e与a，b，c的关系
1.椭圆的有界性；2．一元二次方程有实根的条件
思路参考：利用曲线的取值范围．
解：设P(x，y)，又知F1(－c,0)，F2(c,0)，则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知⊥，
则·＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
将这个方程与椭圆方程＋＝1联立，
消去y，可得x2＝.
由椭圆的取值范围及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2即0≤可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2从而得e＝≥，且e＝<1，
所以e∈.
思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a?|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2.
又由∠F1PF2＝90°，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．
因此，|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0?e2＝≥?e≥.所以e∈.
思路参考：利用三角函数有界性．
解：记∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，由正弦定理有＝＝，即＝|F1F2|.
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则有e＝＝＝＝.
由0≤|α－β|<90°，知0≤<45°，
所以思路参考：利用均值不等式．
解：由椭圆定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|平方后得4a2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)＝2|F1F2|2＝8c2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号，得≥，所以e∈.
思路参考：巧用图形的几何特性．
解：由∠F1PF2＝90°，知点P在以|F1F2|＝2c为直径的圆上．
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，
故有c≥b?c2≥b2＝a2－c2，
由此可得e∈.
思路参考：双焦点最大张角．
解：双焦点最大张角为∠F1B1F2(点B1为短轴的顶点)，
由已知∠F1B1F2≥90°，
所以∠OB1F2≥45°，
tan
∠OB1F2≥1，即≥1，c2≥b2，c2≥a2－c2，
得≥，所以有e∈.
1．本题考查椭圆离心率范围的求解，其基本策略是根据离心率的表达式，利用函数、方程、不等式求解，也可以利用椭圆图形的性质解决．
2．基于课程标准，解答本题一般要熟练掌握离心率的表达式和椭圆的几何性质，试题的解答体现了数学运算和逻辑推理的核心素养．
3．基于高考评价体系，本题通过椭圆性质的相互联系和转化，体现了基础性和综合性．
设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个顶点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞)
B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞)
D．(0，]∪[4，＋∞)
A　解析：(方法一)因为∠AMB＝120°，
所以∠MAB＋∠MBA＝60°.
设∠MAB＝α，∠MBA＝β，
则tan
α·tan
β＝＝t>1.
当m<3时，t＝，当m>3时，t＝.
tan(α＋β)＝＝＝，
所以tan
α＋tan
β＝(1－t)，
所以tan
α，tan
β为方程x2－(1－t)x＋t＝0的两个根，
所以Δ＝3(1－t)2－4t≥0.
得(3t－1)(t－3)≥0.
因为t>1，故t≥3，故≥3或≥3，
解得m≥9或0故选A.
(方法二)当0设M(x0，y0)，不妨y0>0，A(－，0)，B(，0)．
图1
则S△MAB＝y0＝|MA|·|MB|·sinπ＝|MA|·|MB|，得|MA|·|MB|＝4y0.
＝(x0＋，y0)，＝(x0－，y0)，
故·＝(x0＋)(x0－)＋y＝||·||cosπ，
得x－3＋y＝－2y0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
得x－3＝－y，
故－y＋y＝－2y0，解得y0＝≤，解得0当m>3时，如图2，设M(x0，y0)，不妨x0>0，
图2
则A(0，－)，B(0，)，
S△MAB＝x0＝|MA|·|MB|sinπ＝|MA|·|MB|，|MA|·|MB|＝x0，
＝(x0，y0＋)，＝(x0，y0－)，
所以·＝x＋(y0＋)(y0－)＝||·||cosπ，
解得x＋y－m＝－x0.
因为M(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，得y－m＝－x，
故－x＋x＝－x0，
解得x0＝≤，解得m≥9.
综上m≥9或0一、教材概念·结论·性质重现
1．双曲线的定义
(1)定义：一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|.则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当a(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线．
(3)当a>c时，点P不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；半实轴长为a，半虚轴长为b
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.常用结论
(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
(2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同的渐近线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．
(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内到点F1(0,2)，F2(0，－2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线．(
×
)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在y轴上的双曲线．(
×
)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(
√
)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(
√
)
2．双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0)
B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，)
D．(0，－2)，(0,2)
B　解析：由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A.
B．5
C.
D．2
A　解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.
4．经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
－＝1　解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.
5．已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6　解析：设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故|PF2|＝6.
考点1　双曲线的定义——基础性
　
　　　　　　
　　　　　
　　　　
(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3图像上的点，则|OP|＝(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：由双曲线定义可知，点P在以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上．设P(x，y)，则x2－＝1(x≥1)，
将y＝3代入可得x2＝，
所以y2＝3(x2－1)＝，
所以|OP|＝＝.故选D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点为F1，点Q(0，c)(c为半焦距)．P是双曲线C的右支上的动点，且|PF1|＋|PQ|的最小值为6，则双曲线C的方程为______________．
x2－＝1　解析：设双曲线右焦点为F2，则|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值为|QF2|＝＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值为2a＋2c＝6.又＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故双曲线C的方程为x2－＝1.
利用双曲线的定义求方程要注意的问题
(1)实轴长为距离之差的绝对值．
(2)2a＜|F1F2|.
(3)焦点所在坐标轴的位置．
1．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A.x＝0
B.－＝1(x≥)
C.－＝1
D.－＝1或x＝0
D　解析：动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0.在③的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－.故得|MC1|－|MC2|＝2.在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2.由③④得|MC1|－|MC2|＝±2.已知|C1C2|＝8，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4,0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为－＝1.故选D.
2．(2020·深圳市高三二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1(－5,0)，F2(5，0)，P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan
∠PF1F2＝，则双曲线C的方程为(　　)
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
A　解析：如图，因为PF1⊥PF2，tan
∠PF1F2＝，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.
根据双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以双曲线C的方程为x2－＝1.
考点2　双曲线的方程——综合性
(1)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3)
B．(－1，)
C．(0,3)
D．(0，)
A　解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.
又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1(2)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1
B.x2－＝1
C.－y2＝1
D．x2－y2＝1
D　解析：由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直，所以双曲线C为等轴双曲线，渐近线的斜率分别为1和－1.因为直线l与一条渐近线平行，抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以＝－1，即b＝1.所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.故选D.
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
1．已知双曲线C：－＝1，则双曲线C的焦点坐标为(　　)
A．(±5,0)
B．(±，0)
C．(0，±5)
D．(0，±)
C　解析：双曲线的焦点坐标在y轴上，又a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故双曲线的焦点坐标为(0，±5)．
2．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的是(　　)
A．离心率为
B．双曲线过点
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
ABC　解析：双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，可得c＝5.如果离心率为，可得a＝4，则b＝3.所以双曲线C的方程为－＝1，所以A正确；
由c＝5，双曲线过点，可得解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以B正确．
由c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得＝，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为－＝1，所以C正确．
由c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝，双曲线C的方程为－＝1，所以D不正确．
3．与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为____________．
－＝1　解析：设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k.将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
考点3　双曲线的几何性质——综合性
考向1　双曲线的渐近线
若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
A　解析：(方法一)由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
(方法二)由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
求双曲线的渐近线的方法
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的方程，求渐近线的方程时，可令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
考向2　求双曲线的离心率
(1)(2020·浏阳一模)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)
A．
B．
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
A　解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.
(2)(2020·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
　解析：因为双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以a＝2，则离心率e＝＝＝.
求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
考向3　与双曲线有关的最值和范围问题
已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
A　解析：因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，
所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，
即3y－1<0，解得－与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换求解．
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．
1．(2021·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则双曲线C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
B　解析：由题意知，双曲线C的渐近线方程为by±ax＝0，结合图形(图略)易知与圆相切的只可能是by－ax＝0.又圆心坐标为(2,1)，则＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，则e2＝.又e>1，故e＝.
2．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．
(0,2)　解析：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4已知A，F，P分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，则双曲线的离心率为(　　)
A．
B．
C．2
D．1＋
[四字程序]
读
想
算
思
A，F分别是双曲线的左顶点和右焦点，P是双曲线上的动点
1.双曲线的离心率的表达式是什么？2．如何把几何条件∠PFA＝2∠PAF转化为代数式子？
设∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之间的联系
数形结合
∠PFA＝2∠PAF，求双曲线的离心率
1.e＝＝；2．转化为直线的倾斜角，进而用直线的斜率表示二者之间的关系
tan∠PFA＝tan
2α＝
利用特殊值法或者代数运算，都要结合图形解决问题
思路参考：特殊值法，不妨设∠PFA＝90°求解．
C　解析：因为∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，则∠PAF＝45°.
在双曲线－＝1中，令x＝c，易得P.
因为tan∠PAF＝1，所以＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2.
思路参考：利用诱导公式表示出直线PA，PF之间斜率的关系求解．
C　解析：设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，
kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝＝.
设点P(x0，y0)，故－＝1，①
因为k2＝，k1＝，
所以＝，②
联立①②消去y0得：
x＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(
)
当且仅当时，(
)式恒成立，此时e＝＝2.
思路参考：造构相似三角形，结合平面几何知识求解．
C　解析：如图1，∠ACB＝2∠ABC，由平面几何知识，
△ACD∽△BAD，故＝，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．
　
　图1　　
　　　　图2
在双曲线中，设点P(x0，y0)，
过点P作PM⊥AF，如图2.
因为∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)·(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c.
由双曲线的焦半径公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此时e＝＝2.
思路参考：设出点P(m，n)，利用过两点的斜率公式与倾斜角关系求解．
C　解析：如图，作PM⊥AF于M，
设∠PAF＝α，∠PFA＝2α，设点P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan
α＝，
在Rt△PFM中，tan
2α＝.
因为tan
2α＝，
所以＝，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝m2＋2am＋c2恒成立．
所以所以e＝＝2.
1．本题考查双曲线的离心率的计算，其基本策略是根据双曲线的几何性质寻找a，c的关系式．
2．基于课程标准，解答本题要熟练掌握双曲线的定义，直线的斜率公式和正切的二倍角公式，体现了数学运算的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，本题通过知识间的相互联系和转化，体现了基础性和综合性的统一．
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A．
B．2
C．
D．2
D　解析：(方法一)由离心率e＝＝，得c＝a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2.
(方法二)离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，所以点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为＝2.第7节　抛物线
一、教材概念·结论·性质重现
1．抛物线的概念
(1)定义：一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过定点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
(2)相关概念：定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．
(2)求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确选择抛物线的标准方程．
(3)由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．
(4)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
3．焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y2＝2px(p＞0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p＞0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p＞0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p＞0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(
×
)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(
×
)
(3)抛物线方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．(
×
)
(4)已知AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(
√
)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(
√
)
　
　　　　　　
　　　　　
　　　　
2．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2
B．3
C．4
D．8
D　解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)，故＝，解得p＝8(p＝0舍去)．故选D.
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
B　解析：如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点．
过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
4．顶点在原点，且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是____________．
y2＝－x或
x2＝y　解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或
x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
5．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________．
2　解析：设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.
考点1　抛物线的标准方程——基础性
1．过点F(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)
A．y2＝12x
B．y2＝－12x
C．x2＝－12y
D．x2＝12y
D　解析：由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.
2．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x
B．y2＝9x
C．y2＝x
D．y2＝3x
D　解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D.
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形ACE中，因为|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，所以
2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1.因为BD∥FG，所以＝，解得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x.故选D.
3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上．若抛物线的准线与双曲线5x2－y2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4，则抛物线的方程为____________．
y2＝8x　解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线的准线方程为x＝－，双曲线的渐近线方程为y＝±x.由围成的三角形面积为4，可得××p＝4，解得p＝4.所以抛物线的方程为y2＝8x.
抛物线标准方程的求法
(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而求出抛物线的标准方程．
(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线的标准方程有四种形式．若焦点在x轴上，设为y2＝px(p≠0)；若焦点在y轴上，设为x2＝py(p≠0)．
考点2　抛物线的定义及应用——综合性
(1)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点．若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x＋1＝0的距离为(　　)
A．2
B．4
C．8
D．16
B　解析：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，即x＋1＝0.过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，
则有|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC的中位线，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝4，即点M到准线x＝－1的距离为4.
(2)(2020·滨州期末)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，p为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为　(　　)
A．2
B．4
C．8
D．8
B　解析：由题意得，抛物线y2＝4x的焦点
F(1,0)，设抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为D，则|DF|＝2.又直线AF的斜率为
－，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得
|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为×4×4×sin
60°＝4.故选B.
将本例(2)中点A的坐标改为(3,4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
　解析：因为点A(3,4)在抛物线的外部，所以当P，A，F共线时，|PA|＋|PF|最小，|PA|＋|PF|≥|AF|＝＝.
抛物线定义的应用技巧
(1)涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
(2)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知点A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　)
A．2
B．3
C．6
D．9
C　解析：设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)，
由抛物线定义得|AF|＝x0＋.
因为点A到y轴的距离为9，所以x0＝9，
所以9＋＝12，所以p＝6.故选C.
2．(2020·山西大学附中模拟)已知点Q(2，0)及抛物线y＝上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是________．
2　解析：抛物线y＝，即x2＝4y，其焦点坐标为点F(0,1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(2，0)，所以|FQ|＝＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．
结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.
考点3　抛物线的几何性质——综合性
考向1　范围问题
设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
C　解析：由抛物线C：x2＝8y知p＝4，所以焦点F(0,2)，准线方程y＝－2.由抛物线的定义，|MF|＝y0＋2.因为以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，且圆心F(0,2)到准线y＝－2的距离为4.所以4＜y0＋2，从而y0＞2.
考向2　弦长问题
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)．设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将AB的方程代入抛物线C，得x2－2pkx－2p＝0.显然方程有两个不等实根，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
由x2＝2py，得y′＝，则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，解得p＝2.
(2)设切线AN的方程为y＝x＋b，又切点A在抛物线y＝上，
所以y1＝，所以b＝－＝－，
则切线AN的方程为yAN＝x－.
同理切线BN的方程为yBN＝x－.
又因为N在yAN和yBN上，
所以
解得N，所以N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，
所以2＝4，所以p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
(2020·合肥模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16
B．14
C．12
D．10
A　解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，
故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)．
由消去y得k2x2－(2k2＋4)·x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.
同理得|DE|＝4＋4k2，
所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
过抛物线x2＝2y的焦点F作直线交抛物线于A，B两点．若|AB|＝，且|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
[四字程序]
读
想
算
思
直线AB与焦点为F的抛物线x2＝2y交于A，B两点
1.直线过抛物线的焦点要应用抛物线的什么性质？2．如何用点A的坐标表示AF的长？
1.应用三角形相似；2．设出直线的方程，联立直线和抛物线，用抛物线的焦半径公式表示线段|AB|，|AF|，|BF|
转化与化归，数形结合
求|AF|的长
1.当直线过抛物线的焦点时，要想到应用抛物线的定义，即抛物线上任意一点到焦点的距离和准线的距离相等；2．对于焦点在y轴上的抛物线来说，设点A的坐标为(x1，y1)，则|AF|＝y1＋
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|AB|＝y1＋y2＋p
1.把线段的长度问题转化为抛物线的定义问题；2．把线段的长度问题转化为三角形相似问题
思路参考：利用抛物线定义及三角形相似关系求解．
　解析：如图，过A，B分别作准线的垂线．
设|AF|＝m，|BF|＝n，则m＋n＝(m由抛物线的定义得|AF|＝|AD|＝m，
|BF|＝|BC|＝n，|FH|＝1.
在△BEC中，因为＝，
所以＝，解得|EA|＝，
|EB|＝|EA|＋m＋n＝，
|EF|＝|EA|＋m＝.
因为＝，
所以＝＝，解得mn＝，
联立解得
故|AF|＝.
思路参考：设直线方程，利用y1y2关系求解．
　解析：设lAB：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2－2kx－1＝0，
则x1x2＝－1，y1y2＝＝.
设|AF|＝m，|BF|＝n，则m＋n＝.
由抛物线的定义知y1y2＝·＝，
得mn＝.
联立解得
故|AF|＝.
思路参考：利用弦长公式及焦半径公式求解．
　解析：设lAB：y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得x2－2kx－1＝0，
所以x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2(1＋k2)＝，得k2＝，
解得k＝±.
当k＝时，
因为x1＝＝k－，
x2＝＝k＋，
所以|AF|＝y1＋＝kx1＋1＝k2－＋1，
将k2＝代入得|AF|＝.
1．本题考查抛物线的定义及焦半径公式的应用，三种解法都是较为基础的解法，需要学生全部掌握．
2．基于课程标准，抛物线的定义是最基本的内容，需要熟练掌握，平面几何知识的应用是解析几何中简化运算的重要手段，体现了直观想象的核心素养．
3．基于高考数学评价体系，解答本题的思路较为开阔，实现了图形和代数式的相互转化，体现了基础性和综合性的特点．
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为120°的直线与抛物线在第一、第四象限的交点分别为A，B，则的值等于________．
　解析：(方法一：特殊值法)
令p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，焦点F(1,0)．
因为直线的倾斜角为120°，
所以直线方程为y＝－(x－1)．
联立
消去y可得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3，
所以＝＝＝.
(方法二：常规法)
抛物线的焦点为F，
因为直线的倾斜角为120°，
所以直线方程为y＝－.
联立
消去y得3x2－5px＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以＝＝＝.第8节　直线与圆锥曲线的位置关系
第1课时　直线与圆锥曲线的位置关系
一、教材概念·结论·性质重现
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C的交点个数
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
0
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)
1
a≠0
Δ＞0
两个不相等的解
2
Δ＝0
两个相等的解
1
Δ＜0
无实数解
0
(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图像和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切．而当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行或重合时也与抛物线相交于一点．
2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝.
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的规律：“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘．”
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)“直线l与椭圆C相切”的充要条件是“直线l与椭圆C只有一个公共点”．(
√
)
(2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．(
×
)
(3)“直线l与抛物线C相切”的充要条件是“直线l与抛物线C只有一个公共点”．(
×
)
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.(
√
)
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(
×
)
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有
(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
C　解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的两条直线．
3．直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点．若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为(　　)
A．3
B．2
C．
D．
D　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．把A，B两点坐标分别代入双曲线的方程，得
两式相减得－＝0.
又所以＝.
所以＝＝kOMkl＝1，所以e2＝1＋＝2.
又e>1，所以e＝.
4．(2021·温州模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点M(－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F2，则该双曲线的标准方程为___________．
－＝1　解析：由题设知点M(－3,4)与右焦点F2(c,0)关于直线y＝x对称，
所以·＝－1，
即4b＝a(c＋3)，①
且线段MF2的中点在直线y＝x上，
即2＝·，得b(c－3)＝4a.②
由①÷②得＝，解得c＝5，代入①可得b＝2a.
又c2＝a2＋b2，所以25＝a2＋(2a)2，所以a2＝5，从而b2＝4a2＝20.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
5．已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
16　解析：直线l的方程为y＝x＋1.
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
所以|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
考点1　直线和圆锥曲线的位置关系——基础性
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1
B．2
C．1
D．0
B　解析：由题意知＞2，即＜2，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部．故所求交点个数是2.
2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．
　解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
解得－研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．
考点2　弦长问题——综合性
(2020·钟祥市高三三模)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，Q是y轴的正半轴上一点，QF2交椭圆于P，且PF1⊥PF2，△PQF1的内切圆⊙M的半径为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AB：y＝2x＋m和圆M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的值．
解：(1)如图，设△PQF1的内切圆⊙M切PF1，QF1，PQ于点E，F，G，|EF1|＝|FF1|＝x，|QF|＝|QG|＝y(x>0，y>0)．
由PF1⊥PF2，且|PE|＝|PG|＝1，有|GF2|＝|FF1|＝x，则|PF2|＝x－1，|PF1|＝x＋1.
由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得(x－1)2＋(x＋1)2＝(2)2(x>0)，解得x＝3.
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝2x＝6，
即a＝3，b＝＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知tan∠PF1F2＝，
所以直线PF1的方程为y＝(x＋)．
设点M(0，t)，其到直线PF1的距离为1，有＝1，
解得t＝或t＝0(舍)．
即M(0，)，故圆M的方程为x2＋(y－)2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得40x2＋36mx＋9m2－36＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝＝×.
所以|AB|＝×|x1－x2|＝×.
因为y＝2x＋m与x2＋(y－)2＝1相切，
所以＝1，解得m＝0或m＝2.
故|AB|＝3或3.
直线与圆锥曲线相交时弦长的求法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系．
已知点N(－1,0)，点P是圆M：(x－1)2＋y2＝16上的动点，A为线段PN的中点，G为线段PM上一点，且·＝0.设动点G的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线PN与曲线C相交于E，F两点，与圆M相交于另一点Q，且点P，E位于点N的同侧，当△PMN面积最大时，求|PE|＋|FQ|的值．
解：(1)由题可知圆M的圆心M(1，0)，半径r＝4.
又A为线段PN的中点，G在PM上，且·＝0，
所以GA为PN的中垂线，所以|GN|＝|GP|.
又|GN|＋|GM|＝|GP|＋|GM|＝r＝4>|MN|＝2，
所以点G的轨迹为椭圆．
设曲线C的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
则2a＝4,2c＝2，所以a＝2，c＝1.
b2＝a2－c2＝3，所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)如图．假设点P在x轴上方．
设点E(x1，y1)，F(x2，y2)．当△PMN面积最大时，PM⊥x轴，所以点P(1,4)，则直线PN方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.
所以点M到直线PN的距离为d＝＝.
所以|PQ|＝2＝.
联立得19x2＋32x＋4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|EF|＝·＝，
所以|PE|＋|FQ|＝|PQ|－|EF|＝－.
考点3　中点弦问题——综合性
考向1　由中点弦确定直线方程
(2020·哈尔滨三中高三期末)已知椭圆＋＝1，则与椭圆相交且以点A(1,1)为弦中点的直线所在方程为(　　)
A．3x＋4y＋7＝0
B．2x＋5y－7＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x＋4y－7＝0
D　解析：设以点A(1,1)为弦中点的直线与椭圆交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
依题意所求直线的斜率存在，将点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标代入椭圆方程得，
＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以＝－，即所求直线的斜率为－，所求的直线方程为3x＋4y－7＝0.
考向2　由中点弦确定曲线方程或参数的值
(1)(2020·西宁市高三二模)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，M(4,2)是弦AB的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
D　解析：因为倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，所以直线的斜率k＝tan
＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，①
－＝1.②
由①－②得＝，
则k＝＝·.
因为M(4,2)是弦AB的中点，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
因为直线的斜率为1，所以1＝×，即＝.
所以e2＝＝1＋＝，即e＝.故选D.
(2)(2020·遂宁市高三模拟)若中心在原点，焦点坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
C　解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2－b2＝50.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为(x0，y0)．
因为x0＝，所以y0＝－2＝－.
由可得＝－，
所以直线AB的斜率k＝＝－·＝－·＝3.
因为＝－1，所以a2＝3b2②.
联立①②，可得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
处理中点弦问题的常用方法
(1)点差法，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接将中点和直线的斜率联系起来，借用中点公式即可求得斜率．用点差法求直线方程后需验证直线与圆锥曲线是否相交．
(2)根与系数的关系，即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．
1．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点．若线段MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
D　解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意可得a2＋b2＝7.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点为.由－＝1，－＝1，得＝，即＝，所以＝.联立a2＋b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，故所求双曲线的方程为－＝1.故选D.
2．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x－4y＋1＝0上，则此椭圆的离心率为________．
　解析：联立得x＝1，y＝1.
故直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为坐标为(1,1)，即线段AB的中点坐标为(1,1)．
设x＋2y－3＝0与＋＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－.
分别把A，B的坐标代入椭圆方程得
两式相减并整理，得＝－，
即＝－，所以－＝－，即a2＝2b2，
所以a＝b＝c，e＝＝.第2课时　范围、最值问题
考点1　范围问题——综合性
(2021·威海模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且点P在椭圆C上，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)由题意，得c＝1，所以a2＝b2＋1.
因为点P在椭圆C上，
所以＋＝1，所以a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0.
因为Δ＝48(4k2－1)＞0，所以k2＞.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0.
所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＞0，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0，
所以(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，
即＞0，
所以k2＜.
综上可知＜k2＜，
解得－＜k＜－或＜k＜.
所以直线l的斜率k的取值范围为∪.
圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题意知e＝＝，2b＝2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2.
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
化简得m2<4k2＋1.①
x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2.
所以(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0.
所以(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，
化简得m2＋k2＝.②
由①②得0≤m2<，因为原点O到直线l的距离d＝，
所以d2＝＝＝－1＋.
又所以原点O到直线l的距离的取值范围是.
考点2　最值问题——综合性
考向1　利用几何性质求最值
在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
　解析：直线x－y＋1＝0与双曲线x2－y2＝1的一条渐近线x－y＝0平行，这两条平行线之间的距离为.又P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则c≤，即实数c的最大值为.
考向2　利用函数、导数法求最值
如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M.
联立方程
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
则x1＋x2＝，y1＋y2＝.
(1)将AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.②
由①②得m＜－或m＞.故实数m的取值范围为∪.
(2)令t＝∈∪，则t2∈.
则|AB|＝·，
点O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
则S(t)＝|AB|·d
＝≤.
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
考向3　利用均值不等式求最值
(2020·汉中市模拟)圆O的方程为：x2＋y2＝9，P为圆上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为D，点Q在PD上，且＝.
(1)求点Q的轨迹C的方程；
(2)过点F(－，0)的直线与曲线C交于A，B两点，点M的坐标为(3,0)，△MAB的面积为S，求S的最大值，及直线AB的方程．
解：(1)设P(x1，y1)，Q(x，y)，则D(x1，0)，＝(0，y1)，＝(0，y)．
因为＝，所以
把P(x1，y1)代入圆的方程得x2＋y2＝9，
所以Q的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)由题意易知直线的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝ty－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立?消去x得(4t2＋9)y2－8ty－16＝0.
由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝，
S△MAB＝×(3＋)×|y1－y2|
＝×
＝
＝12(3＋)·
≤12(3＋)×
＝＝.
当且仅当t＝±时取等号，
所以△MAB的面积有最大值为.
当△MAB的面积为最大时，直线AB的方程为
y＝2x＋2或y＝－2x－2.
最值问题的2种基本解法
几何法
根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法
建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(一般方法、均值不等式法、导数法等)
(2020·泸州市高三三模)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k>0)交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．
解：(1)由题意可知e＝＝＝，且＝1，
解得a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)把y＝kx＋m(k>0)代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.又M，N(0，m)，
|CM|＝|DN|，所以xM－x1＝x2－xN，即xM＋xN＝x1＋x2.
所以x1＋x2＝－＝－.
因为y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，
所以m≠0.
又k>0，则k＝，
故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
因为直线y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，
所以－≤－2m≤，即－≤m≤，且m≠0，
所以|CD|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
因为－≤m≤，且m≠0，
所以，当m＝或m＝－时，|CD|的最小值为.
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.
(1)若＝3，求直线AM的斜率；
(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．
[四字程序]
读
想
算
思
已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交
1.向量＝3如何转化？2．如何表示三角形的面积？
把用直线AM的斜率k来表示
转化与化归
求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比
1.用A，P，M的坐标表示；2．利用公式S＝absin
C表示并转化
＝进而用均值不等式求其最大值
把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，利用yp＝3yM求解．
解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，将y＝k(x－2)与椭圆方程＋y2＝1联立，得k2(x－2)2＝(2＋x)(2－x)．
求得点M的横坐标为xM＝，
纵坐标为yM＝.
将y＝k(x－2)与圆方程x2＋y2＝4联立，得k2(x－2)2＝(2＋x)(2－x)．
求得点P的横坐标为xP＝，
纵坐标为yP＝.
由＝3得yP＝3yM，
即＝.
又k<0，解得k＝－.
(2)由M，N关于原点对称，得点N的坐标为xN＝，yN＝，
所以直线AN的斜率为kAN＝＝－.
于是＝＝，
同理＝＝.
所以＝＝·＝＝＝≤＝，
当且仅当16k2＝，即k＝－时等号成立，所以的最大值为.
思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，由＝3转化为xp－xA＝3(xM－xA)求解．
解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k<0，代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16k2x＋4(4k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxM＝，而xA＝2，所以xM＝.
将y＝k(x－2)代入圆的方程，整理得(k2＋1)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxP＝，而xA＝2，所以xP＝.
由＝3，得xP－xA＝3(xM－xA)，
即－2＝3，解得k2＝2.
又k<0，所以k＝－.
(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，所以kAMkAN＝－，即kkAN＝－，所以kAN＝－.下同解法1(略)．
思路参考：设直线AM的方程为x＝my＋2，利用yp＝3yM求解．
解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋2(m≠0)，将其代入椭圆方程，整理得(m2＋4)y2＋4my＝0，得点M的纵坐标为yM＝.
将x＝my＋2代入圆的方程，整理得(m2＋1)y2＋4my＝0，得点P的纵坐标为yp＝.
由＝3，得yP＝3yM，即＝.
因为m≠0，解得m2＝，即m＝±.
又直线AM的斜率k＝<0，所以k＝－.
(2)因为MN是椭圆的直径，直线AM，AN斜率均存在，又kAMkAN＝－，由(1)知kAM＝，所以有kAN＝－，则kAN＝－.
又yM＝，yP＝，所以＝＝.
同理＝＝.
所以＝＝·.下同解法1(略)．
1．本题考查三角形面积之比的最大值，解法较为灵活，其基本策略是把面积的比值表示为斜率k的函数，从而求其最大值．
2．基于新课程标准，解答本题一般需要掌握数学阅读技能，运算求解能力，体现了数学运算的核心素养．
已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由题意知＝，解得c＝.
因为e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)(方法一)显然直线l的斜率存在．设直线l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在线段AQ上．
由得(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
由Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)>0，得k2>.
则S△OPQ＝S△AOQ－S△AOP＝×2×|x2－x1|＝＝.
令＝t，则4k2＝t2＋3且t>0，于是S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，所以l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
(方法二)依题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2.将其代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16kx＋12＝0，则Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，即k2>.
由弦长公式得|PQ|＝·.
由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d＝，
所以S△OPQ＝|PQ|×d＝××＝.
设＝t(t>0)，则4k2＝t2＋3，所以S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立．
故所求直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.第8章
平面解析几何
第3课时　定点、定值、探索性问题
考点1　定点问题——综合性
(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
(1)解：由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．
则＝(a,1)，＝(a，－1)．
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，
所以y1＝(x1＋3)．
直线PB的方程为y＝(x－3)，
所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．
由于＋y＝1，
故y＝－，
可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①
将x＝my＋n代入＋y2＝1得
(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.
解得n1＝－3(舍去)，n2＝.
故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点.
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.
综上，直线CD过定点.
直线过定点问题的解题模型
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(2020·石嘴山市第三中学高三模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点M(x0,4)在抛物线上，且|MF|＝x0.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若A，B是抛物线C上的两个动点，且OA⊥OB，O为坐标原点，求证：直线AB过定点．
(1)解：由题意得，|MF|＝x0＋＝x0，解得x0＝2p.
因为点M(x0,4)在抛物线C上，
所以42＝2px0＝4p2，解得p2＝4.
又p>0，所以p＝2，
即拋物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为OA⊥OB，
所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
因为点A，B在抛物线C上，
所以y＝4x1，y＝4x2，
代入得＋y1y2＝0.
因为y1y2≠0，所以y1y2＝－16.
设直线AB的方程为x＝my＋n，
联立得y2－4my－4n＝0，
则y1y2＝－4n，所以n＝4，
所以直线AB的方程为x＝my＋4，过定点(4,0)．
考点2　定值问题——综合性
(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
(1)解：由题意得＋＝1，e2＝＝，
解得a2＝6，b2＝3.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由AM⊥AN知·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2,1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，
故2k＋3m＋1＝0，k≠1.
于是MN的方程为y＝k－(k≠1)．
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直，
可得N(x1，－y1)．
由·＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去)或x1＝.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝.
若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值．
解答圆锥曲线定值问题的技法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)引进变量法：其解题流程为
—
—
—
(2020·太原五中高三月考)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为2，点(2,1)在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线x＝2与椭圆交于P，Q两点，点P位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x＝2两侧的动点．当点A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为焦距为2，
所以c＝，焦点F1(，0)，F2(－，0)．
又因为点(2,1)在该椭圆上，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝8，所以b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)将x＝2代入椭圆方程得＋＝1，
解得y＝±1，则P(2,1)，Q(2，－1)．
因为当点A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，
所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数．
不妨设kPA＝k>0，则kPB＝－k(k≠0)，
所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)．
联立
得(1＋4k2)x2＋(8k－16k2)x＋16k2－16k－4＝0.
因为2，x1是该方程的两根，
所以2x1＝，即x1＝.
同理，直线PB的方程为y＝－kx＋2k＋1，且x2＝.
所以x1＋x2＝，x1－x2＝－，
所以kAB＝＝＝，
即直线AB的斜率为定值．
考点3　探索性问题——综合性
(2020·绵阳四诊)已知椭圆C：＋y2＝1，直线l：y＝x＋m交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线l过椭圆C的右焦点F，求△AOB的面积；
(2)若＝t(t>0)，试问椭圆C上是否存在点P，使得四边形OAPM为平行四边形？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．直线l过椭圆C的右焦点F，则m＝－1，
直线l的方程为x＝y＋1.
联立得3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝，y2＝－1.
所以S△AOB＝|OF||y1－y2|＝×1×＝.
(2)联立得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
所以Δ＝(4m)2－12(2m2－2)>0，
解得0≤m2<3.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝.
因为四边形OAPM为平行四边形，
所以m≠0，且＝＋.
又＝t(t>0)，
所以＝＋t＝(x1＋tx2，y1＋ty2)，
所以点P的坐标为(x1＋tx2，y1＋ty2)．
又点P在椭圆上，即(x1＋tx2)2＋2(y1＋ty2)2＝2，
整理得(x＋2y)＋t2(x＋2y)＋2tx1x2＋4ty1y2＝2.
又x＋2y＝2，x＋2y＝2，即x1x2＋2y1y2＝－t，
所以＋2×＝－t，解得t＝.
因为t>0,0≤m2<3，所以0综上所述，t的取值范围是(0,2]．
解决存在性问题的注意事项
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都未知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外的途径．
(2020·衡水中学高三月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点M(0，m)，使|＋2|＝|－2|成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得解方程组得a＝2，b＝，c＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在这样的直线．
由已知条件，可知直线的斜率存在．
设直线方程为y＝kx＋m，
由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，
Δ＝16(8k2－m2＋2)>0(
)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
由|＋2|＝|－2|，得⊥，
即·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
故8k2＝5m2－8≥0，代入(
)式，
解得m>或m<－.
所以实数m的取值范围是∪.

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