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第8章
平面解析几何
抛物线焦点弦的四个结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2.
(2)|AF|＝，|BF|＝.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4
B．
C．5
D．6
【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E.
设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m.
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，
|BC|＝|BF|＝m，
所以cos
θ＝＝，所以sin2θ＝.
又y2＝4x，所以2p＝4，
利用弦长公式|AB|＝＝.
(方法二)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，
解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
【一般解法】由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
所以yA＋yB＝3，yAyB＝－.
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
【应用结论】由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin
30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5
B．6
C．
D．
【一般解法】如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D.
由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4.因为F是AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3,2)．又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)．代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
【应用结论】前面同一般解法，求得抛物线的方程为y2＝4x.
(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3.又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
(方法二)因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.第8章
平面解析几何
“设而不求”在解析几何中的应用
“设而不求”的解题方法是通过设定未知数，根据题目给出的条件，找到各量之间的制约关系，从而通过方程解出未知数，或是通过列有关未知数的式子计算出答案．“设而不求”的思想通过搭建桥梁关系，直达问题中心，从而得出答案，既节省时间，又减少了解题步骤，提高了解题正确率．
“设而不求”的技巧，要注意运算的合理性、目的性，同时用到了根与系数的关系、中点坐标公式、向量垂直的充要条件等，使思路更加清晰，运算得以简化，从而帮助我们迅速地解决问题．
求以(1,1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
解：设所求直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有y＝8x1，①
y＝8x2.②
由①②得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，
即＝4.③
③式中是AB中点的纵坐标，所以＝1，
而是直线AB的斜率，于是得到kAB＝4.
又该直线过点(1,1)，所以所求直线方程为y＝4x－3.
[点评]此题是常遇到的中点弦问题，利用点差法及斜率之间的关系，就可以顺利地解决问题．
已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
消去x得5y2－20y＋12＋m＝0，
所以y1＋y2＝4，y1y2＝.
因为OP⊥OQ，所以x1x2＋y1y2＝0，
而x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，解得m＝3，此时Δ>0，所以圆心坐标为C，半径为.
[点评]在解答中，我们采用了“设而不求”的解题技巧，并运用了有关向量垂直的充要条件，最终应用了根与系数的关系来求m，另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑．
已知△ABC内接于椭圆x2＋4y2＝8，其重心为G，已知点A(2,1)，求直线BC的方程．
解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则有x＋4y＝8，①
x＋4y＝8，②
＝2，③
＝.④
由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
由③④得x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，
所以kBC＝＝－1.
又BC的中点坐标为，
所以直线BC的方程为y－＝－(x－2)，
即2x＋2y－5＝0.
[点评]在解题过程中，点B，C的坐标“设而不求”，利用“点在椭圆上”以及重心的坐标公式得到关系式①②③④，然后灵活地将x1＋x2，y1＋y2，分别视为整体，通过整体变形得到直线BC的斜率，结合BC中点坐标即可求得直线方程，解题过程较简洁．第8章
平面解析几何
八　多选题命题热点之解析几何
解析几何问题中的多选题，主要集中在椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，解答此类问题的基本方法是直接法．
　圆锥曲线的几何性质
(多选题)(2020·潍坊高三模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋
ACD　解析：因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确．
若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1.由＋1>1，知点P在椭圆外，故B错误．
因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋<1.又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋<1，即a2－3a＋1>0，解得a>＝＝，所以＞，所以e＝＜，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确．
若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1.又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．
(1)恰当地应用圆锥曲线的定义，特别是涉及椭圆、双曲线和抛物线的焦点时，要特别注意其定义的应用．
(2)注意应用平面几何的知识，如三角形相似、全等、线段成比例等．
(3)涉及最值和取值范围时一般转化为函数、均值不等式问题，或利用圆锥曲线的定义解决．
(多选题)(2020·淄博高三二模)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是(　　)
A．渐近线方程为4x±3y＝0
B．渐近线方程为3x±4y＝0
C．离心率为
D．离心率为
AC　解析：设|PF2|＝|F1F2|＝2c.由|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2c＋2a.
设PF1的中点为M，
由等腰三角形PF1F2的性质可得F2M⊥PF1.
因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4＝4b，
所以2c＋2a＝4b，即c＋a＝2b，可得c2＝a2＋b2＝(2b－a)2，解得3b＝4a.则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.
离心率e＝＝＝＝.
　直线和圆锥曲线
(多选题)(2020·聊城市高三二模)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P和抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为x－2y＋1＝0
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值
BCD　解析：因为抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，所以p＝，所以抛物线方程为y2＝x，焦点坐标为F.
对于A，|PF|＝1＋＝，故A错误．
对于B，kPF＝，所以lPF：y＝，与y2＝x联立得4y2－3y－1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，所以S△OPQ＝|OF|·|y1－y2|＝××＝，故B正确．
对于C，依题意斜率存在，设直线方程为y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，
Δ＝1－4k(1－k)＝4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切线方程为x－2y＋1＝0，故C正确．
对于D,
依题意斜率存在，设lPM：y－1＝k(x－1)，与y2＝x联立得ky2－y＋1－k＝0，
所以yM＋1＝，即yM＝－1，
则xM＝2，
所以点M，
同理N，
所以kMN＝＝＝－，故D正确．
(1)涉及直线和圆锥曲线的问题要注意应用“设而不求”的思想方法，用点的坐标表示所涉及的量，把几何条件转化为代数式进行运算求得结果．
(2)掌握弦长、面积的一般表示方法和应用圆锥曲线定义的表示方法．
(多选题)(2020·淄博市高三月考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F，E，直线x＝m(－1A．当m＝0时，△FAB的面积为
B．不存在m使△FAB为直角三角形
C．存在m使四边形FBEA的面积最大
D．存在m使△FAB的周长最大
AC　解析：如图．
对于A选项，经计算显然正确．
对于B选项，m＝0时，可以得出∠AFE＝；当m＝1时，∠AFE<.根据椭圆的对称性，存在m使△FAB为直角三角形，故B错误．
对于C选项，根据椭圆的对称性可知，当m＝0时，四边形FBEA面积最大，故C正确．
对于D选项，由椭圆的定义得△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.
因为|AE|＋|BE|≥|AB|，所以|AB|－|AE|－|BE|≤0，当AB过点E时取等号．
所以|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，
即直线x＝m过椭圆的右焦点E时，△FAB的周长最大．
此时直线x＝m＝c＝1，但－1

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